Номер - Кафедра Высшей Математики

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Дисциплина "Дифференциальные уравнения,
алгебра и аналитическая геометрия»
Факультет
Инженерной механики
Курс 1
Номер
недели
1
1
2
3
4
группы МИ- 12 - 1 - 4
осенний семестр 2012/2013
учебного года
Лектор доцент С.Е.Носов
Лекции
2
Определители второго и третьего порядка. Определители
высших порядков. Линейная зависимость. Свойства
определителей. Разложение определителя по строке.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
Метод Гаусса. Классификация линейных систем. Ранг
матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема КронекераКапелли.
Алгебра матриц. Сложение матриц, умножение на число.
Произведение матриц. Единичная матрица.
Обратная матрица. Методы построения обратной матрицы.
Решение матричных уравнений.
Колво
часов
УЧЕБНЫЙ ПЛАН :
Всего часов
108
Лекции
Практич. занятия
36
72
Колво
часов
Практические занятия
3
2
4
Вычисление определителей.
2
Форма контроля
(Рейтинговая оценка)
5
2
.
Решение систем линейных уравнений. Вычисление
ранга матрицы.
6
.
2
Действия над матрицами.
4
2
Вычисление обратной матирцы. Решение матричных
уравнений.
4
.
6
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
2
4
5
Понятие системы координат. Координаты точки.
Геометрические векторы и их свойства. Понятие о
линейном пространстве. Базис.
Скалярное произведение векторов. Угол между
векторами. Векторное произведение. Понятие
ориентации пространства. Смешанное произведение.
Объем.
2
Задачи на применение векторов. Разложение по
базису.
4
2
Скалярное, векторное и смешанное
произведение.
2
Уравнение прямой на плоскости. Признаки
параллельности и перпендикулярности прямых.
Нормальное уравнение прямой. Уравнение в
отрезках. Расстояние от точки до прямой.
Уравнение плоскости в пространстве. Признак
параллельности плоскостей. Нормальное уравнение
плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Канонические и параметрические уравнения прямой
в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Расстояние между параллельными
прямыми. Расстояние между скрещивающимися
прямыми.
Подмножества множества действительных чисел.
Понятие о действительном числе и его десятичной
записи. Числовая последовательность. Предел
числовой последовательности. Арифметические
свойства пределов. Пределы и неравенства.
Монотонные последовательности. Теорема о
стягивающихся отрезках.
Предел функции. Единственность предела функции.
Алгебраические свойства предела. Предел функции и
неравенства. Первый и второй замечательный
пределы.
Непрерывность функции. Понятия точной верхней и
нижней грани . Теоремы Вейерштрасса.
Производная и дифференциал. Правила
дифференцирования. Производная сложной функции.
Производные элементарных функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило
Лопиталя.
Исследование графика функции с помощью первой и
второй производных. Асимптоты графика функции.
Формула Тейлора. Разложения Маклорена.
2
Прямая на плоскости.
4
2
Плоскость в пространстве.
4
2
Смешанные задачи.
4
2
Вычисление алгебраических пределов.
4
2
Первый и второй замечательный пределы и
сводящиеся к ним.
6
2
Эквивалентность функций.
2
2
Задачи на вычисление табличных производных.
6
2
Применение правила Лопиталя.
2
2
Построение графиков функций с помощью
первой и второй производных.
Приближение функций многочленом Тейлора.
4
2
6
Контрольная работа №1
Системы линейных уравнений.
Матрицы. Векторная алгебра.
20 баллов
Контрольная работа №2
Прямая и плоскость.
10 баллов
Контрольная работа №3
Пределы.
15 баллов
Контрольная работа №4
Производная и ее приожение к
исследованию функций.
15 баллов
Литература: Письменный Д.Т. Курс лекций по высшей математике, ч.1,2. Айрис Пресс, 2002
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.Наука, 1985, т.1,2.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М. Профессия, 2007.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М. Наука, 2000.
Лектор потока
Носов С.Е.
Вопросы к экзамену (ХТ –О9-1-6, 3 семестр )
1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка (общее решение, начальное условие, частное решение, теорема существования ).
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные уравнения.
5. Линейные уравнения первого порядка.
6. Уравнение Бернулли.
7.Дифференциальные уравнения второго порядка.
8. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства решений.
10. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
11. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
12 Линейная зависимость и независимость решений.
13. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная
система решений.
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
f(x
)P
x
)eax.
n(
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
ax




f
(
x
)

e
P
(
x
)
sin
bx

Q
x
cos
bx
n
m
17. Метод наложения решений.
18. Метод вариации произвольных постоянных (линейное уравнение второго порядка).
19. Дифференциальные уравнения высших порядков.
20. Определение функции нескольких переменных. Изображение. Предел.
21. Непрерывность функции двух переменных . Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
22. Частные производные первого порядка. Геометрический смысл.
23. Полный дифференциал(теорема).
24. Производная сложной функции.
25. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
26. Неявные функции и их дифференцирование.
27. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
28. Наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных.
29. Скалярное поле и его геометрическое изображение.
30. Производная по направлению.
31. Градиент. Связь градиента с производной по направлению.
32. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
33. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
34. Задача о вычислении объема цилиндрического тела.
35. Определение двойного интеграла. Свойства. Теорема существования.
36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
38. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.
39. Приложения двойного интеграла.
40. Тройной интеграл. Свойства.
41. Вычисление тройного интеграла.
42 Приложения тройного интеграла.
Примерный вариант экзаменационного билета.
(3 семестр)
Теоретические вопросы:
1. Уравнение Бернулли. (4 балла)
2. Градиент. Связь градиента с производной по направлению. (4 балла)
Практические задания:
x y (5 баллов)
xy
y
1. Найти общее решение уравнения 2
2

xy

x
y
6,y x 1  2
2. Найти частное решение уравнения 2
(5 баллов)
x



y

2
y

y

3
e

x

1
3. Найти общее решение уравнения
(6 баллов)
2
3z
y
z
arcsin
.
4.
Найти y 2 x
x
2
(5 баллов)
5. Вычислить данный интеграл
2
lny
1
0
x
dye dx
(6 баллов)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2
2
2
4

x

y

z

x

y

z
в точке М(2;3;6) .
(5 баллов)