ЕН.В1.2 Моделирование экспериментальных ситуаций

АННОТАЦИЯ
Учебно-методический комплекс дисциплины «Моделирование экспериментальных ситуаций» разработан для студентов 4 курса направления
подготовки 180100.62 Кораблестроение и океанотехника, в соответствии с
требованиями ГОС 2 ВПО.
Дисциплина «Моделирование экспериментальных ситуаций» относится к
дисциплинам выбора цикла естественно-научных дисциплин.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 128 часов.
Учебным планом предусмотрены лекционные занятия (32 часа), практические работы (32 часа), самостоятельная работа студента (64 часа). Дисциплина реализуется на 4 курсе в 8 семестре.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с изучением основных теоретических положений моделирования экспериментальных ситуаций. Рассматриваются такие аспекты моделирования как принципы отображения предметной области средствами языка моделирования.
Особое внимание уделяется особенностям имитационного моделирования –
отсутствие возможности дать аналитическое описание соотношений в предметной области и необходимость оперирования случайными величинами. В
результате изучения дисциплины студенты должны освоить общую схему
проведения экспериментов при моделировании экономических процессов,
владеть инструментальными средствами построения имитационных моделей.
2
3
Целями освоения дисциплины «Моделирование экспериментальных
ситуаций» являются:
-
приобретение студентами знаний в области моделирования органи-
зационно-экономических систем в случаях, когда отсутствует возможность
аналитического описания объекта моделирования и значения существенных
параметров объекта являются случайными величинами;
- приобретение студентами навыков практического использования программных систем имитационного моделирования для исследования и проектирования объектов организационно-экономического характера.
Задачи дисциплины:
Основные задачи курса – знакомство с основными понятиями теории
вероятностей в приложении к задачам имитационного моделирования, языковыми и инструментальными средствами построения имитационных моделей. В результате освоения дисциплины студенты должны:
Знать:
- условия целесообразности применения методов имитационного моделирования,
- основы методологии имитационного моделирования,
- назначение и способы применения методов теории вероятностей при
осуществлении имитационного моделирования,
- общие сведения об инструментальных средствах имитационного
моделирования;
Уметь:
- выполнить содержательную и формализованную постановку задачи
построения имитационной модели систем организационно-экономического
характера;
- с помощью программной системы имитационного моделирования
исследовать варианты организации функционирования экономических систем и процессов, и на основе этого осуществлять выбор оптимальных решений.
4
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Раздел 1. Введение в понятие имитационного моделирования.(16
час.)
Тема 1. Понятие моделирования, цели моделирования, классификация
видов моделей. Общая схема моделирования (целевые и управляемые параметры). Особенности и условия применимости имитационного моделирования. Необходимые функциональные компоненты инструментальных систем
имитационного моделирования. (6 час.)
Тема 2. Сущность метода «Монте-Карло». Сопоставление метода по
целям и используемому аппарату с задачами имитационного моделирования.
Соотношение между понятиями «математическое ожидание случайной величины» и «среднее значение случайной величины по результатам испытаний».
Применение метода «Монте-Карло» для вычисления определенных интегралов. (10 час.)
Раздел 2. Применение аппарата теории вероятностей в имитационном моделировании. (16 час.)
Тема 1. Определение понятия разыгрывания случайной величины, использование этой процедуры в задачах имитационного моделирования. Общий способ разыгрывания случайной величины с произвольным законом
распределения. Способы разыгрывания случайных величин с характерными
законами распределения (равномерное на произвольном интервале, нормальное, экспоненциальное). Метод Неймана. (6 час.)
Тема 2. Место процедуры определения закона распределения случайной величины на основе опытных данных в имитационном моделировании.
Элементы математической статистики, применимые в задачах определения
закона распределения значений целевых параметров в имитационном моде-
5
лировании.
Статистическая функция распределения, статистический ряд,
«сглаживание» статистического ряда. (4 час.)
Тема 3. Этапы процедуры определения закона распределения случайной величины на основе опытных данных. Проверка правдоподобия гипотез.
Критерий согласия Пирсона. Характер заключения, которое может быть сделано на основании значения критерия согласия. (2 час.)
II. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Практическая часть курса включает в себя практические работы, объемом
32 часа.
Содержание лабораторных работ
№
пп
Номер раздела теоретической части Наименование лабораторной работы
1
Раздел 1
2
Раздел 2
Определение площади произвольной фигуры методом
«Монте-Карло».
Генерация (разыгрывание) непрерывной случайной величины с заданным законом распределения. Определение
закона распределения случайной величины на основании
опытных данных.
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЙ ЦЕЛЕЙ КУРСА
В учебном плане предусмотрен экзамен. Осуществляется рейтинговая
система оценки знаний.
Экзаменационные вопросы для студентов, не набравших баллы в ходе
рейтинговой оценки, представлены в разделе УМКД « Контрольно- измерительные материалы».
Вопросы к экзамену
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой классификации.
6
2. Существенные особенности (целесообразность применения) имитационного моделирования. Основы методологии имитационного моделирования.
3.
«Метод Монте-Карло», сущность. Сопоставление понятий «имита-
ционное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность и схема применения «Метода Монте-Карло» для вычисления определенного интеграла.
4. «Метод Монте-Карло», сущность. Правило «3-х сигм», способы
оценки достоверности и точности метода.
5. Разыгрывание случайных величин, определение. Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины с распределением
┌ 3
│
4
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
6. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая схема
разыгрывания дискретной случайной величины.
7. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула
разыгрывания непрерывной случайной величины. Оценка ее применимости
для различных видов распределений.
8. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины равномерно распределенной на интервале (а, в).
9. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом распределения.
10. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана
для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным законом распределения.
7
11. Разыгрывание случайных величин, определение. Приемы разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.
12. Два аспекта применения аппарата теории вероятностей в имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое ожидание» и
«среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
13. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Характерные задачи. Особенность применения методов математической статистики в имитационном моделировании.
14. Статистическая функция распределения. Пример построения по результатам опыта.
15. Статистический ряд. Пример построения по результатам опыта.
16. Оценка достоверности гипотезы о законе распределения случайной
величины, сделанной на основании опытных данных. Критерии согласия.
17. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Критерий согласия Пирсона. Схема применения.
V.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
Основная литература
1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций
в экономике.: Учеб. пособ. - СПб.: Изд-во ''Питер'', 2009. – 368 с.
2. Емельянов А.А. и др. Имитационное моделирование экономических
процессов: Учеб. пособие /А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума; Под ред.
А.А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 453 с.
3. Аверченков В.И., Фёдоров В.П., Хейфец М.Л. Основы математического моделирования технических систем: учебное пособие Издательство:
Флинта, 2011. – 271 с.
Дополнительная литература
8
1. Карманов В.Г.Математическое программирование: учебное пособие
Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 264 с.
Электронные образовательные ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/305/64305 Баранов А.В., Виноградова
Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Парфенов П.С., Шилов В.Б. Техника
физического эксперимента в системах с пониженной размерностью: Учебное
пособие. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 168 с.
2. http://window.edu.ru/resource/711/59711 Ковалева А.В., Черный А.А.
Композиционные материалы в технике и исследование возможностей получения изделий из разнородных материалов в литейном производстве: учебное
пособие. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008. - 161 с.
3. http://window.edu.ru/resource/454/77454 Радоуцкий, В.Ю. Основы
научных исследований: учебное пособие / В.Ю. Радоуцкий, В.Н. Шульженко,
Е.А. Носатова. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2008. - 133 с.
9
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине Моделирование экспериментальных ситуаций
180100.62 Кораблестроение и океанотехника
г. Большой Камень
10
Раздел 1. Задачи и существенные особенности имитационного моделирования экономических процессов
Лекция №1
Тема 1. Введение в понятие имитационного моделирования
Понятие моделирования, цели моделирования, классификация видов
моделирования. Общая схема моделирования (целевые и управляемые параметры). Особенности и условия применимости имитационного моделирования. Необходимые функциональные компоненты инструментальных систем
имитационного моделирования.
Моделирование есть один из методов, приемов изучения какого-либо
объекта, процесса.
Вообще говоря, наиболее точный результат даст непосредственное
изучение самого объекта, проведение экспериментов на нем «в натуре», по
крайней мере, адекватность результата будет гарантирована.
Но в подавляющем большинстве практических случаев это:
- либо неоправданно дорого: примеры, реструктуризация предприятия в банке стремясь к увеличению прибыли можно уволить часть кассиров; как
поведет себя Международная космическая станция в случае потери герметичности; как изменится экономическая ситуация в случае радикального изменения налоговой системы;
- либо неприемлемо в принципе, например, вооруженные конфликты,
ядерный взрыв.
Кроме того, моделирование востребовано тогда, когда объекта еще
просто нет, он проектируется, создается.
Таким образом, задача моделирования - анализ характеристик изучаемого или проектируемого объекта путем проведения экспериментов на его
(объекта) модели в случаях, когда прямой анализ характеристик объекта «в
натуре» невозможен, в принципе, или неоправданно дорог.
11
Так как создание модели должно быть в принципе дешевле создания
объекта, понятно, что модель должна быть неизбежно проще и менее точна,
чем оригинал. И, соответственно, результаты моделирования не являются абсолютно адекватными. Контрольные вопросы:
1. Что такое моделирование, в каких случаях оно необходимо ?
2. Укажите виды моделей.
3. Изложите общую схему моделирования.
4. Что такое «целевые» параметры моделирования ?
5. Что такое «управляемые» параметры моделирования ?
6. В каких случаях необходимо применение методов имитационного
моделирования ?
7. Какие функциональные возможности должны реализовывать инструментальные системы имитационного моделирования.
Лекция №2
Общая схема моделирования:
- устанавливается перечень целевых параметров, значения которых
представляют интерес и подлежат определению в процессе эксперимента;
- устанавливается перечень управляемых параметров, значения которых могут задаваться и варьироваться экспериментатором;
- создается модель, позволяющая устанавливать зависимость значений
целевых параметров от значений управляемых параметров;
- проводится эксперимент на модели, суть которого: для заданных значений управляемых параметров определяются значения целевых параметров.
Особенности имитационного моделирования, выделяющие его из других видов моделирования:
- невозможность аналитического задания способа расчета значений целевых параметров, исходя из значений управляемых;
12
- недетерминированный
(стохастический) характер моделируемого
процесса: величины, характеризующие и параметры объекта, и параметры
внешней среды, являются случайными;
- поскольку взаимосвязь между значениями целевых и управляемых
параметров не имеет прямого аналитического выражения, а носит случайный
характер, должна быть проведена серия экспериментов с целью установления
статистически значимых закономерностей для этих взаимосвязей.
В случае, когда предметом моделирования являются экономические
процессы, результаты экспериментов на модели могут сопровождаться расчетом (оценкой) некоторых экономических показателей. При этом, как правило, целевые параметры позволяют оценить размер дохода от анализируемой экономической деятельности, а управляемые параметры – значение затрат, сопровождающих то или иное управленческого решения.
Тема 2. Метод «Монте-Карло» (Метод статистических испытаний)
Лекция №3
Сущность метода «Монте-Карло». Сопоставление по целям и используемому аппарату с задачами имитационного моделирования. Соотношение
между понятиями «математическое ожидание случайной величины» и «среднее значение случайной величины по результатам испытаний». Применение
метода «Монте-Карло» для вычисление определенных интегралов.
Метод «Монте-Карло» (Метод статистических испытаний) получил
свое развитие в работах Дж. Ф. Неймана и С. Улама с 1944 г.
Сфера применения метода – вычисление значения некоторой (неслучайной) величины, в случае отсутствия аналитического выражения для такого вычисления.
Схема применения метода:
а) имеется детерминированная искомая величина, требующая вычисления;
б) подбирается (конструируется) случайная величина, такая что:
13
- её математическое ожидание (чаще всего, но, возможно, и иная её характеристика) в точности равны искомой величине;
- значения этой случайной величины легко могут быть получены
(«разыграны») в опыте (испытаниях);
в) проводится серия испытаний (разыгрывания) сконструированной
случайной величины;
г) по результатам испытаний вычисляется среднее значение случайной
величины, которое является приближенным значение искомой величины
(асимптотически стремится к ней при увеличении числа испытаний).
Контрольные вопросы:
1. Изложите схемы применения Метода «Монте-Карло».
2. Охарактеризуйте соотношение между понятиями «математическое
ожидание случайной величины» и «среднее значение случайной величины по
результатам испытаний».
3. Приведите примеры применения Метода «Монте-Карло».
Раздел 2. Краткие сведения из теории вероятностей, необходимые для
решения задач имитационного моделирования
Тема 1. Разыгрывание случайной величины с заданным законом распределения
Лекция №4
Определение понятия разыгрывания случайной величины, назначение
этого приема в задачах имитационного моделирования. Общий способ
разыгрывания случайной величины с произвольным законом распределения.
Способы разыгрывания случайных величин с характерными законами распределения (равномерное на произвольном интервале, нормальное, экспоненциальное). Метод Неймана.
Разыгрывание случайной величины с заданным законом распределения
(z) – получение (вычисление) значения искомой случайной величины на ос14
новании одного или нескольких значений базовой случайной величины γ
(случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0,1). Практический способ получения значений такой базовой случайной величины – использование соответствующих стандартных функций, «встроенных» в языки
программирования (моделирования).
Перечень способов разыгрывания непрерывных случайных величин. .
z
Из уравнения
 p( x)dx  
a
(общее решение).
Для случайной величины, равномерной распределенной на интервале а,
b: z = a + γ(b – a).
1
z   ln 
a
Для экспоненциальной:
.
Для нормальной: через «стандартное нормальное распределение» x: z
= m + σx.
Для нормальной: с использованием «центральной предельной теоремы» - «сумма большого числа случайных чисел с одинаковыми законами
распределения приблизительно нормальна».
Универсальное – метод Неймана.
Где:
z – значение интересующей (разыгрываемой) случайной величины;
γ - значение «базовой» случайной величины – равномерно распределенной на интервале 0 ÷ 1;
x – значение случайной величины со «стандартным нормальным распределением» (m=0, σ =1).
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение понятию «разыгрывание случайной величины».
2. Практические приемы получения базовой случайной величины
(дискретная случайная величина, равномерно распределенная на интервале
0,1).
15
3. Вид общего уравнения для решения задачи разыгрывания случайной величины.
4. Метод разыгрывания случайной величины, равномерно распределенной на произвольном интервале.
5. Метод разыгрывания случайной величины с нормальным законом
распределения.
6. Метод разыгрывания случайной величины с экспоненциальным законом распределения. Покажите вывод формулы для данного метода.
7. Метод Неймана для разыгрывания случайной величины.
Тема 2. Определение закона распределения случайной величины на основе опытных данных
Лекция №5
Место задачи определения закона распределения случайной величины
на основе опытных данных в имитационном моделировании.
Элементы математической статистики, применимые в задачах определения закона распределения значений целевых параметров в имитационном
моделировании.
Статистическая функция распределения, статистический
ряд, «сглаживание» статистического ряда. Этапы решения задачи определения закона распределения случайной величины на основе опытных данных.
Проверка правдоподобия гипотез. Критерий согласия Пирсона. Характер заключения, которое может быть сделано на основании значения критерия согласия.
Задача определения закона распределения случайной величины на основе опытных данных актуальна в имитационном моделировании в связи с
необходимостью получить компактные характеристики целевого параметра
моделирования.
16
Лекция №6
Приемы, являющиеся предметом рассмотрения в математической статистик: построение статистической функции распределения, статистического
ряда, их «сглаживание».
Для оценки степени правдоподобия принятой гипотезы о характере
теоретического распределения используются критерии согласия (опытных
данных и теоретического предположения).
На основании полученного значения критерия согласия (в частности,
«критерия Пирсона» определяется (по формуле или с помощью стандартной
таблицы) значение некоторой вероятности, характеризующей природу расхождения гипотетического распределения и фактических опытных данных.
«Большое» значение вероятности (0,9 и более) свидетельствует о случайном
характере расхождений (позволяет не отвергать гипотезу). «Малое» значение вероятности свидетельствует о «системной природе» расхождения теоретического и опытного распределений, принципиально неправильном выборе
вида теоретической функции, и является основанием для отклонения гипотезы.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте цель решения задачи определения закона распределения случайной величины на основе опытных данных в процессе имитационного моделирования.
2. Дайте определение понятия «статистическая функция распределения».
3. Дайте определение понятию «статистический ряд».
4. Приемы сглаживания статистического ряда.
5. Приведите формулу для вычисления критерия согласия Пирсона.
6. Какое заключение может быть сделано на основании определенного
значения критерия согласия?
17
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине Моделирование экспериментальных ситуаций
180100.62 Кораблестроение и океанотехника
г. Большой Камень
18
Практическая работа № 1
Тема: Вычисление площади произвольной фигуры методом «МонтеКарло» (МК).
Цель: Применяя метод МК для решения простой задачи вычисления
площадей геометрических фигур, получить представление о сути метода и
технологии его реализации.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) в чем суть метода МК;
б) изложить принцип применения метода для вычисления площадей
(вычисления определенных интегралов);
в) назвать другие возможные области применения метода «МонтеКарло».
Постановка задачи.
Для плоской фигуры (индивидуально определяемой для каждого варианта):
- произвести вычисление площади фигуры методом МК;
- вычислить расхождение полученного значения с точным значением
(вычисляемым по формуле) – погрешность вычисления (абсолютное значение и относительное в процентах);
- проанализировать зависимость значения погрешности от числа испытаний.
Ход работы:
1. Для заданной фигуры определить точную формулу вычисления ее
площади.
2. Описать в виде блок-схемы алгоритмы:
- вычисления площади фигуры методом МК, определения погрешности
относительно точного значения;
- анализа зависимости погрешности от числа испытаний.
19
3. Выполнить программную реализацию алгоритмов.
4. Сделать вывод по результатам работы.
Методические указания, пример.
Метод «Монте - Карло» — численный метод, основанный на воспроизведении большого числа реализаций случайного процесса, специально построенного («сконструированного») для данной задачи.
При решении подобных задач ранее, без применения компьютеров, источником случайных чисел служили различные физические эксперименты:
бросание монеты или кубика, верчение рулетки и т.п. С именем города в
княжестве Монако, известного своими игорными домами, и связано происхождение названия метода.
Примерный алгоритм вычисления площади плоской фигуры
Фигура является произвольной, обязательное условие - должны быть
известны границы фигуры в виде аналитического выражения или табличного
задания функции.
В данном примере граница фигуры определяется уравнениями:
- осью абсцисс на интервале (a, b) (y = 0);
- графиком функции y = f(x), при этом f(x)< M;
- вертикальными прямыми x = a и x = b.
1. Генерируем пару случайных величин:
ную в диапазоне от a до b, а также
y
i
x
i
- равномерно распределен-
- равномерно распределенную в диапа-
зоне от 0 до M, Указанные величины рассматриваем как координаты некоторой «случайной» точки внутри прямоугольника, ограниченного снизу осью
абсцисс, сверху прямой y=M, а по бокам - прямыми x = a и x = b. Эта точка
имеет координаты ( xi , yi ) и может попасть в исследуемую фигуру, а может и
не попасть.
20
2. Проверяем принадлежность точки ( xi , yi ) к исследуемой фигуре. Если попадания нет, т.е.
y  f ( x ) , то переходим к пункту 1 и генерируем коi
i
ординаты новой точки ( xi 1 , yi 1) .
3. Если попадание есть, т.е.,
y  f ( x ) , то необходимо зафиксировать
i
i
факт попадания (увеличить на единицу счетчик попаданий P) и снова перейти к пункту 1. Примечание: попадание точки точно на границу фигуры
y
i
 f ( xi ) можно отнести как к первому, так и ко второму исходу — это
воля экспериментатора (автора программы).
4. Предыдущие пункты следует повторить достаточно большое число
раз
(i = 1 ÷ N). От значения N, в конечном итоге, зависит точность
вычислений.
5. После проведения N испытаний имеем несложную пропорцию: общее число опытов соответствует всей площади прямоугольника, равной M ×
(b-a), а число попаданий P будет соответствовать неизвестной площади S
исследуемой фигуры. Отсюда:
S = (M × (b-a) ) × P / N.
Генерация случайных чисел для целей решения задачи
Генерация случайных вещественных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от 0 до 1 (случайная величина, со стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих функций, «встроенных» в язык программирования.
Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.
В MS Excel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.
Если необходимо генерировать случайные числа, равномерно распределенные в другом диапазоне (случайная величина η), то необходимо преобразовать это выражение с помощью операций смещения и масштабирования.
Например, для того, чтобы получить случайное число η с равномерным рас-
21
пределением в диапазоне от C до D, необходимо воспользоваться соотношением:
η = C + (D – C) γ.
Варианты задания.
Геометрическая фигура, площадь которой подлежит расчету, образуется осью абсцисс и графиком функции y=f(x) (y> 0) на интервале a ≤ x ≤ b.
При этом:
а) a ≥ 0, b > а.
б) y=f(x) < M.
Ваш вариант (вид функции) определяется по последней цифре вашего
порядкового номера в списке группы, деленной на 2 (округление в сторону
увеличения).
1) y = k x + c; 2) y = k x ² + c; 3) y = k sin(x) + c; 4) y = k cos(x) + c;
5) y = k ln(x) + c.
Литература: Соболь И.М., Метод Монте-Карло. М., 1968
Отчет о лабораторной работе, содержащий разделы: теоретический, постановка задачи, ход работы, представляется в течение трех
недель преподавателю в электронном виде (на носителе или по адресу
vladim@fentu.ru).
Практическая работа № 2
Тема: Генерация (разыгрывание) случайных величин (СВ) с заданным
законом распределения.
Цель: получить представление и практические навыки разыгрывания
СВ с различными законами распределения.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) дать определение понятия «разыгрывание СВ»;
б) указать перечень наиболее распространенных приемов разыгрывания СВ;
22
Постановка задачи.
1. Выполнить разыгрывание 10 значений дискретной случайной величины, заданной следующим образом:
xi :
1
pi :
0,15
2
0,35
3
0,45
4
0,05
Вычислить среднестатистическое значение разагранной величины и
сравнить его с её математическим ожиданием.
2. Выполнить разыгрывание непрерывной СВ (закон распределения СВ
индивидуально определяется для каждого варианта).
Ход работы:
1. Выбрать метод разыгрывания случайной величины для заданной (см.
раздел «Варианты заданий») функции. Если для данной СВ возможны также
иные (помимо выбранного) способы разыгрывания, указать их.
2. Разыграть случайные величины (получить набор значений разыгранных СВ).
3. Оценить параметры разыгранных случайных величин (среднее значение, статистическая дисперсия) и сравнить их с соответствующими теоретическими параметрами (математическое ожидание, дисперсия).
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать разделы:
- теоретический;
- постановка задачи;
- ход выполнения работы.
Отчет представляется в течение двух недель после проведения лабораторного занятия преподавателю в электронном виде (на носителе или по
указанному электронному адресу).
Методические указания.
Задача может быть реализована средствами MS Excel или какого-либо
языка программирования.
23
Задачу генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом
распределения решают в несколько этапов:
- предварительно реализуется возможность получать последовательность равномерно распределенных на интервале [0, 1] псевдослучайных чисел («базовая» случайная величина);
- с помощью этой базовой случайной величины получают последовательности случайных чисел с заданным законом распределения в заданном
интервале.
Разыгрыванием случайной величины с заданным законом распределения называется получение значения этой случайной величины на
основании одного или нескольких значений базовой случайной величины.
Приемы генерации значений «базовой» случайной величины
«Базовая» случайная величина - случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0, 1), то есть такое распределение (равномерное)
характеризуется тем, что каждое возможное случайное число - равновероятно.
Генерация случайных вещественных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от 0 до 1 (случайная величина, со стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих функций, «встроенных» в язык программирования.
Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.
В MS Excel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.
Разыгрывание дискретных случайных величин.
Общая схема.
Дискретная случайная величина (ДСВ) X задана, если:
- задано множество её возможных значений { x1, x2, …, xi, …, xn};
- задана вероятность каждого из этих значений pi (i = 1 ÷ n).
Как правило, такое задание удобно оформить в виде следующей таблицы:
24
x
X
1
x
2
1
x
n
p
p
…
p
…
2
p
n
Процедура разыгрывания дискретной случайной величины выглядит
следующим образом.
Подготовительные операции:
- разбиваем интервал (0, 1) точками с координатами р1, р1+р2, ,
р1+р2+р3, …, р1+р2+р3 +…+рn-1 на n частичных интервалов :
;
- эти интервалы имеют естественную нумерацию i = 1 ÷ n, очевидно
также, что длина Di каждого из интервалов равна значению вероятности рi .
Собственно разыгрывание (получение очередного значения требуемой случайной величины на основании одного или нескольких значений базовой случайной величины γ) заключается в циклическом выполнении следующей последовательности действий:
- генерируем очередное значение случайной величины γj
(напомним,
оно из интервала (0, 1);
- анализируем, в какой интервал ∆i оно попало, и номер этого интервала определят очередное значение
разыгрываемой случайной величины -
хi.
Сводный перечень способов разыгрывания непрерывных случайных величин.
1. Общее решение на основании метода обратных функций: путем разz
решения уравнения
 p( x)dx  
a
относительно z.
1.1. Решение этого уравнения для разыгрывания равномерной СВ:
25
z = a + γ(b – a).
1.2. Решение этого уравнения для разыгрывания экспоненциальной СВ
1
z   ln 
a
(Пуассона) :
.
2. Специальное решение (поскольку уравнение не разрешимо) для
нормальной СВ (Гаусса) с использованием центральной предельной теоремы.
Разыгрывание нормальной СВ: через «стандартное нормальное распределение» x: z = m + σx.
Разыгрывание «стандартного нормального распределения» на основе
«центральной предельной теоремы» - «сумма большого числа случайных чисел с одинаковыми законами распределения приблизительно нормальна».
Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в
интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия
D(R) = 1/12.
Составим сумму n независимых случайных величин Rj (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим
.
Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы
случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма Ri содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого
равно 1/2. Следовательно, математическое ожидание суммы равно:
;
Аналогично для дисперсии суммы Rj получим:
26
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы Rj:
Теперь пронормируем сумму Rj.
Для этого вычтем из суммы Rj математическое ожидание этой суммы и
разделим на среднее квадратическое отклонение суммы Rj (то есть,
).
Получим
На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при
распределение этой нормированной слу-
чайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и
= 1.
При конечном n распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение
Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное
значение xi нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и
= 1,
нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы
вычесть 6.
27
3. Метод Неймана (универсальный) для разыгрывания непрерывной
случайной величины.
В общем случае может оказаться, что «метод обратных функций» неприменим: в силу того, разрешить общее уравнение трудно или даже невозможно. Например, в случае, когда интеграл от p(х) не выражается через
элементарные функции или когда плотность p(х) задана, не аналитически, а
графически.
В этом случае возможно применение действительно универсального
метода разыгрывания непрерывной случайной величины - «Метода Неймана».
Итак, задана случайная
величина Х с произвольным
законом распределения, она
определена на конечном интервале (а, b) и плотность ее
ограничена (рис. 1): p(х) ≤ M0
.
Рис. 1. Разыгрывание произвольной случайной величины.
28
Разыгрывать значение Х можно следующим образом:
1) выбираем два значения r1 и r2 случайной величины R и строим случайную точку Г (ή, η”) с координатами
ή = a + r1 (b-a);
η”= r2 M0.
2) если точка Г лежит под кривой у = p(х), то полагаем x = ή, если же
точка Г лежит над кривой у = р(х), то пару (ή, η”) отбрасываем и выбираем
новую пару значений (ή, η”).
Примечание:
z – значение интересующей нас (разыгрываемой) случайной величины;
γ - значение «базовой» случайной величины – равномерно распределенной на интервале 0 ÷ 1;
x – значение случайной величины со «стандартным нормальным распределением» (m=0, σ =1).
Как правило, в языках программирования и моделирования имеются
встроенные функции для генерации значений γ и x.
Варианты задания.
Ваш вариант (вид функции плотности распределения) определяется по
последней цифре вашего порядкового номера в списке группы.
0) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =2, σ = 0,7;
1) распределение по закону Гаусса, m =5, σ = 3,5;
2) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 10, в= 15;
3) распределение по закону Пуассона (x≥0) f ( x)  ae  ax , а = 4;
4) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =0, σ = 2;
5) экспоненциальный закон распределения (x≥0), a = 2.
29
6) распределение по закону Гаусса , m =25, σ = 5;
7) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 2, в= 10;
8) распределение по закону Пуассона (x≥0) f ( x)  ae  ax , а = 10;
9) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =10, σ = 5.
30
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине Моделирование экспериментальных ситуаций
180100.62 Кораблестроение и океанотехника
г. Большой Камень
31
1. Случайная величина
интервале (0;1) величины
получена из равномерно распределенной в
по формуле
, где
- постоянная
положительная величина, тогда
a)
- нормально распределенная случайная величина
б)
- случайная величина, распределенная по экспоненциальному за-
в)
подчиняется распределению Пуассона
кону
2. Методом сверток смоделирована случайная величина
, подчиняю-
щаяся нормальному распределению. Укажите формулу, по которой можно
получить ее значение
а)
, где
- положительная константа,
,
-
равномерно распределенные в интервале (0, 1) случайные величины
б)
, где
,
- равномерно распреде-
,
ленные в интервале (0, 1) случайные величины,
,
- параметры распреде-
ления
в)
, где
- положительная константа,
- равномерно
распределенная в (0б 1) случайная величина
3. При сборе статистической информации методом повторений на основе имитационного моделирования для получения одного наблюдения используются
а) Все данные, полученные в результате имитации
б) Данные, полученные в результате имитации, за исключением переходного периода
в) Данные из некоторого подынтервала периода имитации
32
4. При сборе статистической информации методом циклов количество
наблюдений определяется
а) Числом независимых прогонов имитационной модели
б) Количеством групп с одинаковыми начальными условиями
в) Количеством интервалов, на которые разбит период имитации
5. Выберите верное утверждение
а) Метод обратных функций применяется для моделирования непрерывной случайной величины, функция распределения которой задана аналитически
б) Метод обратных функций применяется для моделирования дискретной случайной величины
в) Метод обратных функций применяется для сбора статистической
информации по результатам имитации
6. Для разыгрывания непрерывной случайной величины
ленной равномерно в интервале
, распреде-
используется формула
а)
б)
в)
, где
- равномерно распределенная в (0, 1) случайная
величина
7. Для получения трех значений дискретной случайной величины
,
закон распределения которой задан в виде таблицы:
2
10
8
использовались
случайные
числа:
0,945;
0,572; 0,857. Результатом моделирования являются следующие значения величины
p
0,5
0,2
:
0,3
33
а) 10; 10; 2
б) 2; 10; 8
в) 8; 10; 8
8. Для того чтобы разыграть непрерывную двумерную случайную величину
, плотность совместного распределения составляющих которой
равна произведению их плотностей необходимо
а) Найти закон распределения одной из составляющих, условный закон
распределения другой, и по ним разыграть
и
б) Найти закон распределения каждой составляющей и разыграть
и
независимо друг от друга
в) Найти условные законы распределения каждой из составляющих и
по ним разыграть
и
9. Для получения трех значений двумерной случайной величины
,
заданной законом распределения:
0,28
0,12
0,42
0,18
Использовались случайные числа: при разыгрывании
0,01; при разыгрывании
- 0,98; 0,52;
- 0,11; 0,80; 0,50. Результатом моделирования яв-
ляются:
а)
34
б)
в)
Ключ правильных ответов:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
б
б
б
б
а
в
в
б
б
35
Вопросы к тестам для тематической (промежуточной) аттестации
Раздел 1.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой классификации.
2. Существенные особенности (целесообразность применения) имитационного моделирования. Основы методологии имитационного моделирования.
3.
«Метод Монте-Карло», сущность. Сопоставление понятий «имита-
ционное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность и схема применения «Метода Монте-Карло» для вычисления определенного интеграла.
4. «Метод Монте-Карло», сущность. Правило «3-х сигм», способы
оценки достоверности и точности метода.
Раздел 2.
5. Разыгрывание случайных величин, определение. Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины с распределением
┌ 3
│
4
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
6. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая схема
разыгрывания дискретной случайной величины.
7. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула
разыгрывания непрерывной случайной величины (. Оценка ее применимости
для различных видов распределений.
8. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины равномерно распределенной на интервале (а, в).
36
9. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом распределения.
10. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана
для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным законом распределения.
11. Разыгрывание случайных величин, определение. Приемы разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.
12. Два аспекта применения аппарата теории вероятностей в имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое ожидание» и
«среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
13. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Характерные задачи. Особенность применения методов математической статистики в имитационном моделировании.
14. Статистическая функция распределения. Пример построения по результатам опыта.
15. Статистический ряд. Пример построения по результатам опыта.
16. Оценка достоверности гипотезы о законе распределения случайной
величины, сделанной на основании опытных данных. Критерии согласия.
17. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Критерий согласия Пирсона. Схема применения.
37
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине Моделирование экспериментальных ситуаций
180100.62 Кораблестроение и океанотехника
г. Большой Камень
38
Основная литература
1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций
в экономике.: Учеб. пособ. - СПб.: Изд-во ''Питер'', 2009. – 368 с.
2. Емельянов А.А. и др. Имитационное моделирование экономических
процессов: Учеб. пособие /А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума; Под ред.
А.А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 453 с.
3. Аверченков В.И., Фёдоров В.П., Хейфец М.Л. Основы математического моделирования технических систем: учебное пособие Издательство:
Флинта, 2011. – 271 с.
Дополнительная литература
1. Карманов В.Г.Математическое программирование: учебное пособие
Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 264 с.
Электронные образовательные ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/305/64305 Баранов А.В., Виноградова
Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Парфенов П.С., Шилов В.Б. Техника
физического эксперимента в системах с пониженной размерностью: Учебное
пособие. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 168 с.
2. http://window.edu.ru/resource/711/59711 Ковалева А.В., Черный А.А.
Композиционные материалы в технике и исследование возможностей получения изделий из разнородных материалов в литейном производстве: учебное
пособие. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008. - 161 с.
3. http://window.edu.ru/resource/454/77454 Радоуцкий, В.Ю. Основы
научных исследований: учебное пособие / В.Ю. Радоуцкий, В.Н. Шульженко,
Е.А. Носатова. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2008. - 133 с.
39