Теория нечетких множеств

УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
В.Б. ТАРАСОВ
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ:
НОВЫЙ ВИТОК РАЗВИТИЯ
Указаны ограничения традиционной теории нечетких множеств Л. Заде. Дан краткий
обзор нетрадиционных и гибридных нечетких множеств. Рассмотрены варианты описания
нечеткости на основе произведений решеток и бирешеток. Введено понятие BL-нечеткого
множества, определены основные операции над BL-нечеткими множествами для случая BL
= [0,1]2, приведены примеры.
Каноническая версия теории нечетких множеств, предложенная в 1965 г. Л. Заде [1], опирается на понятие функции принадлежности, которое представляет собой прямое обобщение двузначной характеристической функции. Таким образом,
она использует весьма сильные логические допущения о природе принадлежности.
Главными из них являются: а) принцип бивалентности; б) принцип различимости;
в) принцип взаимной компенсации принадлежности и непринадлежности.
Согласно принципу бивалентности, любой элемент либо принадлежит, либо не
принадлежит множеству: третье исключено. Формально это можно записать в виде
  , причем разрывы (провалы) принадлежности типа    =  () недопустимы.
Принцип различимости гласит, что любые два элемента множества всегда различимы на шкале принадлежности. Отсюда вытекает условие однозначности:
только одноточечные множества ={},={}пригодны для оценки принадлежности элемента множеству; любые составные значения {,}, выражающие одновременно и принадлежность, и непринадлежность, запрещены (запрет пресыщенных оценок принадлежности), что можно записать в форме  (, ). Еще более
сильным является условие непротиворечивости  ().
В соответствии с принципом взаимной компенсации, при возрастании степени
принадлежности убывает степень непринадлежности и наоборот. Чаще всего, их
связь выражается классическим оператором отрицания  =  , что дает возможность ограничиться только рассмотрением принадлежности элемента множеству.
Область значений принадлежности нечеткого множества вовсе необязательно
должна быть интервалом [0,1] и, вообще, интервалом чисел: это может быть некоторая структура, например, цепь, решетка L, решеточно упорядоченный моноид.
Тем не менее, большинство известных расширений нечетких множеств, например,
предложенные в 1967г. Дж. Гогеном L-нечеткие множества [2], которые представ-
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 3
1
УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
ляют собой функции вида A: XL, также опираются на принципы бивалентности,
однозначности и взаимной компенсации, указанные выше.
Во многих реальных ситуациях наряду с нечеткостью требуется учитывать
другие возможные НЕ-факторы (термин А.С. Нариньяни): неточность, неопределенность, противоречивость и др. Это означает необходимость перехода к новым
базовым семантикам принадлежности. Например, для учета неопределенности за
основу можно взять трехзначную семантику Клини, а для учета бессмыслицы –
семантику Бочвара. При фазификации модальностей естественно опираться на
исходную четырехзначную семантику Данна-Белнапа. Наконец, для расширения
областей значений функций принадлежности могут использоваться произведения
решеток.
Новый виток развития теории нечетких множеств обусловлен введением нетрадиционных и гибридных нечетких множеств. К числу нетрадиционных относятся векторнозначные, интервальнозначные, нечеткозначные, гетерогенные, двухосновные нечеткие множества. Примером двухосновных нечетких множеств являются интуиционистские нечеткие множества [3], описываемые парами функций
принадлежности  и непринадлежности  соответственно, А = {(x, А(x), А(x))},
где A: X [0,1], A: X  [0,1]. Таким образом, здесь допускаются пресыщенные
оценки «принадлежности – непринадлежности», причем А(x)+А(x) 1.
Другим показательным примером служат обобщенные нечеткие оценки на полярных шкалах А = {(x, А+(x), А-(x)}, предложенные в [4].
В настоящей работе с целью развития единого подхода к построению нетрадиционных и гибридных нечетких множеств предлагается понятие BL-нечеткого
множества, которое выражается функцией А: X BL. Здесь бирешетка BL (введенная М.Гинсбергом в [5]) задается четверкой BL = (L1L2, 1, 2, f), где (L1,1) и
(L2,2) – полные решетки, а f – унарная операция на X, такая что: 1) если x 1 y, то
f(x) 1 f(y); 2) если x 2 y, то f(x) 2 f(y); 3) f(f(x))=х. Часто предполагается, что
L1=L2=L, т.е. вместо L1L2 в определении бирешетки берется L2, например [0,1]2.
Очевидно, что бирешетка может рассматриваться как алгебра с двумя различными
операциями пересечения и объединения BL = (L2, , , , ).
Алгебру нечетких множеств можно представить в виде ограниченной импликативной решетки FAL = <[0,1]X, n, T, S, I, 0, 1 >, где n – некоторая операция отрицания, T – треугольная норма , S – треугольная конорма, I – некоторая обобщенная
операция импликации, например, S-импликация I(x,y) = S(n(x), y). Расширим эти
операции на случай BL = [0,1]2. Предварительно дадим следующие определения.
Назовем функцию a: [0,1]  [0,1] операцией предутверждения на интервале
[0,1], если она удовлетворяет условию: a1) xy  a(x)a(y), x,y[0,1] (мoнотонность). Если эта функция a удовлетворяет также условию a2) a(0)=0; a(1)=1
(ограниченность), то она будет называться операцией утверждения. В свою очеISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 3
2
УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
редь, операция предотрицания (инверсии) на интервале [0,1] определяется функцией n: [0,1]  [0,1], такой, что n1) x  y  n(x) n(y),  x, y [0,1] (антитонность).
Когда удовлетворяется также условие n2) n(1)=0; n(0)=1 (ограниченность), получаем операцию отрицания. Если отрицание удовлетворяет также условию n3)
n(n(x))=x, x[0,1] (инволютивность), то оно называется инволюцией.
Будем также полагать, что S (x, y) = n T (n(x), n(y)),  x, y [0,1]. При n(x) = 1– x,
n(y) = 1– y получаем S (x, y) = 1 – T (1– x, 1– y).
Пусть x = (x1, x2) [0,1]2, y = (y1, y2)[0,1]2. Унарная операция nr = an («полуутверждение-полуотрицание») есть функция nr: [0,1]2[0,1]2, такая, что nr (x) =
(a(x1), n(x2)), x[0,1]2. Аналогично унарная операция n1 =an («полуотрицаниеполуутверждение») есть функция n1: [0,1]2[0,1]2, такая, что n1(x)=(n(x1) ,a(x2)),
x[0,1]2. Наконец, отрицание n: [0,1]2[0,1]2 есть n (x) = (n(x1), n(x2)), x[0,1]2.
Примеры. n r0(x) = (x1, 1–x2), n10 (x) = (1–x1, x2), n0 (x) = (1–x1, 1–x2),
Бинарная операция T = TS есть функция T: [0,1]2[0,1]2[0,1]2, такая что T(x, y)
= (T (x1, y1), S(x2, y2)), x y[0,1]2. Аналогично определяется бинарная операция S(x,
y) = (S (x1, y1), T (x2, y2)), x y,[0,1]2.
Примеры. T0(x, y) = (x1 y1, x2y2), S0(x, y) =(x1 y1, x2 y2),
Tp(x, y) = (x1y1, x2+y2 – x2y2), Sp(x, y) = (x1+y1 – x1y1, x2y2,),
Tb(x, y) = ((0  (x1 + y1 – 1), (1(x2+y2)), Sb(x, y) = ((1(x2+y2), 0 (x2 + y2 – 1)).
Наконец, бинарная операция I(x, y)=S(n(x),y)=(S (n(x1), y1)),T(n(x2), y2)), x
y,[0,1]2. Примеры S-импликаций: I0(x, y) = ((1–x1) y1, (1–x2)  y2), Ip(x, y) = (1–
x1+x1y1, y2–x2y2), Ib(x,y) = (1 (1 + y1 – x1), (0  y2–x2).
Список литературы
1. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Information and Control. 1965. Vol..8. P. 338-353.
2. Goguen J. L-Fuzzy Sets // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1967. Vol.18. P.145174.
3. Atanassov K.T. Intuitionistic Fuzzy Sets // Fuzzy Sets and Systems. 1986. Vol.20. P.87-96.
4. Тарасов В.Б. Анализ и моделирование НЕ-факторов на полярных шкалах // Интегрированные
модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов Международного научнопрактического семинара (Коломна, 17-18 мая 2001 г.). М.: Наука. Физматлит, 2001. С. 65-71.
5. Ginsberg M. Multi-Valued Logics: a Uniform Approach to Reasoning in AI // Computer Intelligence.
1988. Vol.4. P. 256-316.
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 3
3