Metodi resheniaj sistem yravnenij v zadaniayx GIA

Профессиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ-КОНКУРС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2012/13 учебный год)
__________________________________________________________________
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа «№2»
(МБОУ СОШ №2, Заряева Наталья Ивановна)
(461630, Оренбургская область, г. Бугуруслан, ул. Победная, д.76)
Номинация конкурса (педагогические идеи и технологии:
среднее образование)
Методическая разработка на тему:
«Методы решения систем уравнений»
Конспект урока по математике (модуль «Алгебра»)
Класс 9
Учитель: Заряева Наталья Ивановна
Цель: Изучить способ решения систем уравнений методом введения новых
переменных
Задачи: 1) Закрепить знания и умения учащихся в решении систем уравнений
методами подстановки, алгебраического сложения и графическим.
2) Научить решать системы уравнений методом введения новых переменных.
3) Развивать коммуникативные умения
Тип урока: совершенствование умений и навыков
Методы обучения: репродуктивный, частично – поисковый
Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, групповая
Педагогические технологии: личностно-ориентированное обучение,
проблемно-поисковые и коммуникативные
Дидактические средства: проектор, компьютер, учебная литература,
плакаты, карточки – задания, наборы для рефлексии
Планируемые результаты:
личностные: повышение уровня самообразования, качества знаний, решение
творческих задач;
метапредметные: развитие логического мышления, познавательного
интереса, коммуникативных способностей;
предметные: овладение навыками решения систем уравнений различными
способами, успешное выполнение самостоятельной работы
I.
Ход урока.
Организационный момент
На экране появляется эпиграф, тема и цель урока. (Слайды 1).
Учащиеся записывают в тетрадях число, тему урока.
II. АОЗ (Актуализация опорных знаний)
1. Тест. 1 вариант. (Слайд 3)
1. Система уравнений - это...

несколько уравнений, для которых надо найти все их решения

несколько уравнений, для которых надо найти общее решение

несколько уравнений, для которых надо показать, что решений нет
2. Какие преобразования уравнения являются равносильными? (можно выбрать несколько
вариантов)

перенос членов уравнения из одной части в другую

возведение обеих частей уравнения в квадрат

перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными
знаками

умножение или деление обеих частей уравнения на одно и тоже отличное от нуля
число или выражение, всюду отличное от нуля

освобождение от знаменателей, содержащих переменную
3. Решить систему уравнений с двумя переменными - это значит...

найти все пары чисел, которые одновременно являются решением каждого уравнения
системы

все числа, которые одновременно являются решением каждого уравнения

найти все её решения или установить, что решений нет

найти пары чисел, которые являются решением хотя бы одного уравнения системы
4. Две системы уравнений с двумя переменными равносильны, если...

они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений

они имеют одни и те же решения

они обе не имеют решений

Они имеют хотя бы одно общее решение
5. В каком из методов решения систем уравнений выражение одной переменной через другую
является обязательным?

в графическом

в методе подстановки

в методе алгебраического сложения
II. вариант.
1. Что значит решить систему с двумя переменными – это …

найти все пары чисел, которые одновременно являются решением каждого уравнения
системы

все числа, которые одновременно являются решением каждого уравнения

найти все её решения или установить, что решений нет

найти пары чисел, которые являются решением хотя бы одного уравнения системы
2. . В каком из методов решения систем уравнений выражение одной переменной через другую
является обязательным?

в графическом

в методе подстановки

в методе алгебраического сложения
3. Система уравнений - это...

несколько уравнений, для которых надо найти все их решения

несколько уравнений, для которых надо найти общее решение

несколько уравнений, для которых надо показать, что решений нет
4. Какие преобразования уравнения являются равносильными? (можно выбрать несколько
вариантов)

перенос членов уравнения из одной части в другую

возведение обеих частей уравнения в квадрат

перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными
знаками

умножение или деление обеих частей уравнения на одно и тоже отличное от нуля
число или выражение, всюду отличное от нуля

освобождение от знаменателей, содержащих переменную
5. Две системы уравнений с двумя переменными равносильны, если...

они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений

они имеют одни и те же решения

они обе не имеют решений

Они имеют хотя бы одно общее решение
2. Решение системы уравнений изученными способами (работа в
парах).
Задание №1: Найти координаты точек пересечения графиков уравнений х2 – у
= 4 и 2х + у = -1. (Слайд 4) .
Совместное обсуждение формулировки задания: для того, чтобы
выполнить предложенное задание необходимо решить систему, составленную
из данных уравнений:
 x 2  y  4,
(Слайд 4). Каждой паре предлагается

2 x  y  1
решить данную систему одним из способов: подстановки - 1 ряд, сложения –
2 ряд или графически – 3 ряд. В это время трое учащихся работают у доски.
Ответ: (1; -3), (-3; 5) (Слайд 4).
После того, как задание выполнено, идет обсуждение плюсов и
минусов каждого способа решения системы (количество шагов в решении,
временные затраты, возможность применения данного способа к решению
любой системы уравнений; например: графический метод решения систем
уравнений красив, но ненадежен. Во-первых, потому, что графики уравнений
мы сумеем построить далеко не всегда. Во-вторых, даже если графики
уравнений удалось построить, координаты точек пересечения могут быть
нецелыми числами, либо точки могут оказаться за пределами чертежа).
III. Изучение нового материала
Задание
№2:
Решить
систему
уравнений:
x y
 y  x  2,5,

x 2  y 2  3

(Слайд
5).
Выслушиваются предложения учащихся, и делается вывод, что ни одним из
известных нам способов решить данную систему не удастся. Следовательно,
необходим какой-то иной способ решения данной системы: метод введения
новой переменной.
x
y
Решение: Введем новую переменную t  . Слайд (6). Тогда систему
 1
t   2,5,
уравнений примет следующий вид:  t
. Решим первое уравнение
x 2  y 2  3

1
x
относительно переменной t, получим t1  2, t 2  . Но t  , находим, что
2
y
x  2 y, либо y  2x. Таким образом, задача сводится к решению двух систем:
 x  2 y,
 2
2
 x  y  3;
 y  2 x,
и 
2
2
 x  y  3.
Решаем данные системы методом подстановки, первая система
имеет два решения (2;1), (-2;-1), вторая система решений не имеет, значит в
ответ надо включить только решение первой системы. Ответ: (2;1), (-2;-1).
Физкультминутка (Слайды 7)
Продолжаем работу: мы рассмотрели первый вариант данного метода
решения систем уравнений: когда вводится одна новая переменная и
используется только в одном уравнении системы.
Рассмотрим еще один пример – задание №3: Решить систему уравнений
 xy  2  ( x  y )  10,
. (Слайд 8)
5 xy  3( x  y )  11
методом введения новой переменной: 
Обсудить, что необходимо ввести сразу две новых переменных
t  2 z  10,
t  xy, z  x  y , перейти к новой системе: 
. (По желанию, один из
5t  3z  11
учащихся решает данную систему на доске).
Решив данную систему методом алгебраического сложения или
методом подстановки, получаем, что t=4, z=3.
 xy  4,
получим две пары чисел (4;1), (-1;-4).
x  y  3
Затем решая систему: 
Таким образом мы рассмотрели второй вариант метода введения новой
переменной: когда вводятся две новые переменные и используются
одновременно в обоих уравнениях данной системы.
IV.
Подготовка к сам.работе
x²+y²+3xy =-1,
x+2y= 0;
1. Какой из учеников применил метод подстановки
наиболее рационально?
x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1,
x+2y= 0;
2y=-x;
x=-2y.
2. Можно ли записывать отчет?
x²-2y² =14
x²+2y²= 18
2x² =32,
x² =16
x =4;
V.
Самостоятельная работа со взаимопроверкой(задания из (ГИА
9 класс)
I вариант
1.
2.
II вариант
1.
2.
Ответы:
I вариант
1.
Ответ:(4;1), (1;4)
2.
4 у  16,
 х2  у 2  2 х  3 у  31, 
 2 2
 2 2
 х  у  2 х  у  15;  х  у  2 х  у  15;
у  4,
у  4,


 2
 2
 х  16  2 х  4  15  0;  х  2 х  3  0;
Ответ: (3; 4), (-1; 4).
II вариант.
1.
 у4

 х  3
  х  1.

Ответ:(1; 2), (2/3, 3), (-1; -2), (-2/3; -3)
2
2
 5 х 2  5 у 2  25 х  5 у  10,
2.  х  у  5 х  у  2 5

2
2
2
2

5 у  5 х  х  5 у  36 (1) 5 у  5 х  х  5 у  36;
 х  1,
26 х  26,
х  1,



 2
 2
  у  3
2
 х  у  5 х  у  2;  у  у  6  0;   у  2.

Ответ: (1; -3), (1; 2).
VI.
Проблемная ситуация к д\з
Создайте «банк» формулировок заданий по теме «Решение систем
уравнений» в целях подготовки к ГИА.
Саломатина М. Мкртчян Вера, Зиннатов Расуль, Архипов Андрей.
На следующий урок мы их обсудим в ходе решения.
Домашнее задание: из ГИА №
V. Итог урока
Сегодня на уроке мы с вами повторили основные понятия и методы
решения систем уравнений с двумя переменным и рассмотрели новый метод
решения систем – метод введения новых переменных (Слайд 11). Методы
подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных
корректны с точки зрения равносильности. Используя эти методы, мы
заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной
первоначальной.
VI.
Рефлексия
Определяют степень соответствия поставленной цели и
результатов деятельности:
называют наиболее трудные этапы урока, понравившиеся моменты на уроке
высказывают оценочные суждения.
Определяют степень своего продвижения к цели.
Намечают цели дальнейшей деятельности,
определяют задания для самоподготовки и для успешной сдачи ГИА
Что узнали нового? Чему научились?
Что еще хотели бы узнать?
Украсьте дерево плодом, исходя из обозначения цвета и подпишите свое
яблоко.
Красный – урок интересный. Мне все понравилось, я все понял и приобрел
новые знания
Желтый – мне понравился урок, но я не все понял
Полосатый – я все понял, но некоторые задания были сложные
Зеленый – я ничего не понял
Тема «Системы уравнений» в школьной программе достаточна важна как для самой
математики, так и для других наук. По сравнению с уравнениями с одной переменной системы
часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях.
Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной
требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими
переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного
напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают
решать её с помощью системы уравнений.