ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г.Хохлов, к.ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по научной работе
_______________________ /А.В. Толстиков/
__________ октября 2014 г.
Теория неподвижных точек и методы их вычисления
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов
09.06.01 Информатика и вычислительная техника (Математическое
моделирование, вычислительные методы и комплексы программ)
очной и заочной форм обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Авторы работы _________________/ А.Г.Хохлов /
________________/ И.В.Гайдамак /
«______» октября 2014г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций
___________, протокол №__.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем _________стр.
Зав. кафедрой ____________________/А.Г. Хохлов/
«______» октября 2014 г.
Рассмотрено на заседании УМК института МиКН __________, протокол № ___.
Соответствует ФГОС ВО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________/Н.М. Гаврилова/
«______» октября 2014 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Директор ИБЦ____________________/Е.А. Ульянова/
«______» октября 2014г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Начальник отдела
аспирантуры и докторантуры ___________________/ М.Р. Сорокина /
«______» октября 2014 г.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Хохлов Алексей Григорьевич
Гайдамак Инна Владимировна
ТЕОРИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов
09.06.01 Информатика и вычислительная техника (Математическое
моделирование, вычислительные методы и комплексы программ)
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2014
А.Г.Хохлов, И.В.Гайдамак. Теория неподвижных точек и методы их
вычисления. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов
направления 09.06.01 Информатика и вычислительная техника (Математическое
моделирование, вычислительные методы и комплексы программ). Тюмень, 2014, 10 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ОПОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математическое
моделирование стохастических потоков [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено проректором по научной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г.Хохлов, к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций ТюмГУ.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Хохлов А.Г., Гайдамак И.В., 2014.
1.
1.1.
Пояснительная записка.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целью изучения дисциплины «Теория неподвижных точек и методы их вычисления»
является ознакомление аспирантов с основными положениями теории неподвижных
точек и рядом алгоритмов, позволяющих указанные точки вычислять.
Задачи дисциплины:
- дать определение сжимающих отображений и неподвижной точки;
- изложить теоремы и леммы, составляющие основы данной дисциплины;
- ознакомить с алгоритмами неподвижных точек;
- ознакомить с возможностями применения указанной теории в различных областях
математики, физики, экономики;
- сформировать у аспирантов способности к ведению исследовательской работы и
решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Теория неподвижных точек и методы их вычисления» является
обязательной дисциплиной.
Изучение ее базируется на следующих дисциплинах: «Математический анализ», «Теория
вероятностей», «Линейная алгебра», «Функциональный анализ», «Теоретикомножественная топология».
В результате изучения этих дисциплин студент должен
Знать:

основные понятия, определения и свойства объектов теоретико-множественной
топологии, математического анализа, функционального анализа, формулировки и
доказательства утверждений, методы их доказательства;

корректные постановки классических задач функционального анализа и топологии,

методы математического и алгоритмического моделирования при анализе
теоретических проблем и задач.
Уметь:

строго доказывать утверждения;

выделять главные смысловые аспекты в доказательствах;

формулировать научные задачи;

понимать поставленную задачу и формулировать результат;

на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат и самостоятельно
увидеть следствия сформулированного результата;

грамотно пользоваться терминологией математического и функционального
анализов, топологии;

ориентироваться в постановках задач и понимать их корректность;

извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек,
реферативных журналов, сети Интернет;

самостоятельно математически корректно ставить естественно-научные и
инженерно-физические задачи;

публично представить собственные и известные научные результаты.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Обеспечиваемых дисциплин нет. Знания, полученные аспирантом в ходе освоения
дисциплины «Теория неподвижных точек и методы их вычисления», используются в
диссертационных работах.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ПК-3: Умение осваивать и использовать типовые программные системы поддержки
математического моделирования.
ПК-5: Умение научно обоснованно организовывать вычислительные эксперименты и
формулировать проекты решений по их результатам.
ПК-7: Готовность организовать внедрение результатов научных исследований в
практику: производство, образование, экономику, медицину и т.д.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать:
- определения сжимающих и непрерывных отображений, неподвижной точки.
- теорему Брауэра, ее приложения и обобщения;
- теорему Какутани и ее обобщения;
- алгоритмы Ивза, Меррилла;
- алгоритм типа гомотопии;
- основные положения, касающиеся триангуляций.
Уметь:
- доказывать основные теоремы и леммы теории неподвижных точек;
- применять полученные теоретические знания при решении практических задач;
- использовать алгоритмы Ивза, Меррилла, алгоритмы типа гомотопии для нахождения
неподвижных точек;
- анализировать предметную область с целью обозначения возможностей применения
теории неподвижных точек.
Владеть:
- теоретическими и практическими навыками применения методов
неподвижных точек в научно-исследовательской и прикладной деятельности.
теории
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 академических часа, из них 26 часов,
выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 1
из них в
интерактивной
форме
самостоятельная
работа
Тема
виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
лекции
№
Всего часов
Тематический план
1.1 Сжимающие отображения.
Неподвижные точки
5
Модуль 1
1
1.2 Теорема Брауэра и ее
обобщения
Всего по модулю 1:
8
3
5
1
13
4
9
2
7
Модуль 2
2
5
1
4
1
Формы
контроля
Контрольная
работа
2.1 Теорема Какутани и ее
приложения
2.2 Алгоритмы нахождения
неподвижных точек
Всего по модулю 2:
8
2
6
1
15
4
11
2
3.1 Триангуляции
8
Модуль 3
2
6
1
Всего по модулю 3:
8
2
6
1
Опрос
Итого:
36
10
26
5
Реферат, зачет
из них часов в
интерактивной форме
5
Контрольная
работа
4. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Сжимающие отображения. Неподвижные точки
Сжимающие отображения. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений) и ее
обращения. Лемма Шпернера. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Свойства
неподвижной точки.
1.2. Теорема Брауэра и ее обобщения
Доказательство теоремы Брауэра для отрезка. Теорема о промежуточных значениях.
Приложения. Теорема Брауэра для квадрата. Ретракция. Неподвижные точки на
плоскости. Непрерывные отображения окружности. Гомотопия. Степень отображения.
Непрерывные отображения сферы. Обобщения теоремы Брауэра.
Модуль 2.
2.1. Теорема Какутани и ее приложения
Приложения теоремы Какутани и ее обобщений
2.2. Алгоритмы нахождения неподвижных точек
Алгоритмы Ивза и Меррилла. Алгоритмы типа гомотопии.
Модуль 3.
3.1. Триангуляции
Триангуляции с непрерывным уменьшением размера сетки. Пестрые симплексы.
5. Планы семинарских занятий.
Не предусмотрены.
6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрен
7. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
аспирантов.
Таблица 2
№
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
Темы
Виды СРС
Модуль 1
Сжимающие
Конспектирование лекций.
отображения.
Подготовка к занятиям.
Неподвижные точки
Изучение литературы и ресурсов
Теорема Брауэра и ее Интернета.
Подготовка к контрольной работе
обобщения
Всего по модулю 1
Модуль 2
Теорема Какутани и ее Конспектирование лекций.
приложения
Подготовка к занятиям.
Алгоритмы нахождения Написание и защита реферата.
Подготовка к контрольной работе
неподвижных точек
Всего по модулю 2
Модуль 3
Триангуляции
Конспектирование лекций.
Подготовка к опросу
Всего по модулю 3
ИТОГО:
Объем
часов
4
5
9
5
6
11
6
6
26
8. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Задачи, включенные в контрольные работы
1. Для каждого из следующих множеств укажите пример непрерывного отображения
этого множества в себя без неподвижных точек: а) числовая прямая; б) полуинтервал
(0,1]; в) пара отрезков [-2,-1] и [1,2].
2. Укажите пример разрывного (т.е. не непрерывного) отображения отрезка [0,1] в себя,
не имеющего неподвижных точек.
2
3. Если f – непрерывная функция, то функция f 2 определяется так: f ( x)  f [ f ( x)] ,
2
т.е. для получения f ( x) надо применить функцию f к точке f (x ) . Непрерывное
2
отображение f отрезка [0,1] в себя называется инволюцией, если f
оставляет
неподвижной каждую точку отрезка. Иначе говоря, это значит, что функция f обратна
самой себе.
Проверьте, что следующие функции являются инволюциями:
f1 ( x)  x, f 2 ( x)  1  x, f 3 ( x) 
Здесь
1 x
, f 4 ( x)  1  x 2 , f 5 ( x)  1  1  ( x  1) 2 .
1 x
обозначает арифметическое значение корня.
Инволюция f ( x)  x называется тривиальной. Докажите, что каждая нетривиальная
инволюция имеет в точности одну неподвижную точку.
4. В лемме Шпернера ищутся грани триангуляции, отмеченные тремя разными
числами, например, 0, 1 и 2. Пусть имеется такая триангуляция многоугольника, что
а) каждая ее грань несет три разных отметки 0, 1 и 2. Докажите, что тогда б) все грани
триангуляции можно правильно раскрасить в два цвета (например, белый и черный), т.е.
так, что каждые две соседние грани (имеющие общее ребро) окрашены различно.
Докажите, что и обратно, из утверждения б) следует а).
5. Имеется триангуляция треугольника, полученная следующим образом: каждая
сторона треугольника делится на m равных частей (m – любое натуральное число) и через
точки деления проводятся прямые, параллельные его сторонам. Каждая вершина
триангуляции окрашена в один из двух цветов: красный и синий. Докажите, что число
«пестрых» ребер триангуляции четно.
Верно ли это утверждение для любых триангуляций треугольника. Если нет, то для
каких именно триангуляций оно верно?
6. Пусть f – непрерывная функция на отрезке [a, b] , отображающая каждый конец
отрезка в себя, т.е. f (a )  a, f (b)  b . Пусть g – любая непрерывная функция,
отображающая отрезок [a, b] в себя. Докажите, что тогда на этом отрезке найдется такая
f ( x0 )  g ( x0 ) . Сохранится ли это утверждение в силе, если g –
произвольная непрерывная функция на [a, b] ?
7. Докажите, что непрерывное отображение f отрезка A  [a1, a2 ] на (весь) отрезок
B  [b1, b2 ] , содержащий в себе отрезок А, имеет неподвижную точку. Верно ли это, если
образ f ( A) отрезка А не совпадает с В, а только лежит в нем?
8. Пусть f – непрерывное отображение отрезка [a, b] на себя. Докажите, что тогда
точка x0, что
отображение g  f (композиция отображения f с самим собой) имеет по крайней мере
две неподвижных точки. Верно ли это, если f отображает отрезок [a, b] в себя, но не на
себя?
9. Докажите, что неубывающая (а также невозрастающая) функция, отображающая
отрезок в себя, имеет на нем неподвижную точку, даже если она не обязательно
непрерывна.
10. Докажите, что окружность не голоморфна прямой или какому-либо ее
подмножеству.
11. Докажите, что вокруг всякой замкнутой кривой, лежащей на плоскости, можно
описать квадрат.
12. Пусть f – сжимающее отображение числовой прямой в себя. Докажите, что тогда
имеется отрезок этой прямой, который переводится в себя отображением f.
2
13. Обладают ли свойством неподвижной точки: а) круговое кольцо; б) фигура
«восьмерка», т.е. множество, состоящее из двух окружностей, имеющих единственную
общую точку?
14. Являются ли ретрактами квадрата (или круга) а) триод, т.е. фигура буквы Т; б) n-од,
т.е. фигура, состоящая из n отрезков, которые все выходят из одной точки и больше не
имеют попарно никаких других общих точек; в) фигура «восьмерка».
15. Является ли отрезок ретрактом а) триода; б) окружности; в) множества, состоящего
из двух отрезков без общих точек?
16. Является ли ретрактом отрезка множество, состоящее из двух различных точек?
17. Является ли круговое кольцо ретрактом круга?
18. Будет ли ретракт компакта снова компактом?
19. Существует ли непрерывное отображение квадрата на всю его границу, не
обязательно тождественное на границе?
20. Докажите, что всякие два непрерывные отображения f0 и f1 отрезка (а также
окружности или квадрата) в числовую прямую гомотопны между собой.
21. Отображение f окружности в себя называется нечетным, если оно переводит
каждую пару антиподов тоже в пару антиподов, т.е. если f ( x )  [ f ( x)] для любой
точки х на окружности. Докажите, что степень нечетного отображения нечетна.
22. Для каждого целого n укажите пример отображения сферы в себя, имеющего
степень n.
23. Докажите, что любое отображение сферы в себя либо имеет неподвижную точку,
либо представляет некоторую пару точек. Верно ли это для окружности?
24. Если f и g – отображения сферы в себя, то хотя бы одно из трех отображений f, g и
gf имеет неподвижную точку. В частности, такой точкой обладает композиция f 2 любого
отображения f с самим собой. Верно ли это утверждение для окружности?
*
*
25. Покажите, как можно построить для любого С  R , выпуклого, но не
компактного, непрерывную функцию f : С  C без неподвижных точек.
26. Для n  2 и   0 постройте покрытие Sn конечным множеством замкнутых
множеств диаметра, не больше  , так, чтобы никакая точка не лежала больше чем в n+1
таком множестве. (Указание: представьте себе кирпичи при n=2 и продолжайте по
индукции)
27. Покажите, что не существует триангуляции S3 на тривиальные тетраэдры числом
больше одного. Найдите двугранный угол между смежными гранями тетраэдра.
28. Выведите лемму Шпернера непосредственно из теоремы Брауэра.
29. Докажите, что теорема Брауэра о неподвижной точке влечет за собой следующие
два факта:
1) Сфера Sn не является ретрактом шара Bn+1.
n
2) Тождественное
id S n : S n  S n
отображение
не
гомотопно
постоянному
отображению сферы Sn в точку x  S .
Покажите, что каждый из приведенных выше двух фактов, равно как и теорема о том,
n
что dim I  n , влечет за собой теорему Брауэра о неподвижной точке.
30*. Проблема (Ayres 1930г.). Каждый ли неразделяющий плоскость связный компакт
имеет неподвижную точку?
n
Темы рефератов
1. Неподвижные точки отображений метрических пространств.
2. Неподвижные точки многозначных отображений метрических пространств.
3. Теория неподвижных точек на плоскости.
4. Ретракция и неподвижные точки.
5. Теорема Брауэра и лемма Шпернера.
6. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра.
7. Теорема Борсука как следствие теоремы Брауэра.
8. Теорема Кукатаки и ее обобщения. Приложения в экономике.
9. Размерность топологических пространств.
10. Неподвижные точки и их приложения в экономике.
11 Метод неподвижной точки в анализе.
9. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами
и формами активизации познавательной деятельности для достижения запланированных
результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных
материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация
его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения
об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые
формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со
слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в
учебном процессе; приведение примеров применения изучаемого теоретического
материала к реальным практическим ситуациям.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
10.1 Основная литература:
1.
2.
Кудрявцев,Л.Д. Избранные труды: в 3 т./ Лев Дмитриевич Кудрявцев; Л. Д.
Кудрявцев. - Москва: Физматлит Т. 1: Топология. Теория функций. - 2008. - 388 с.;
Элементарная топология / О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. М. : МЦНМО, 2010. - 368 с. - ISBN 978-5-94057-587-0 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=64196 (дата обращения 12.10.2014).
10.2 Дополнительная литература:
1.
2.
3.
Кытманов, А. М. Интегральные представления и их приложения в многомерном
комплексном анализе [Электронный ресурс] : монография/ А. М.Кытманов, С. Г.
Мысливец. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. - 389 c. – Режим
доступа http://znanium.com/bookread.php?book=441871 (дата обращения 12.10.2014)
Математический и прикладной анализ: [сб. науч. тр.]/ Тюм. гос. ун-т; ред. Т. Г.
Латфуллин. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ Вып. 4. - 2010. - 244 с.
Макаров, Б. М. Лекции по вещественному анализу: учебник / Б. М. Макаров, А. Н.
Подкорытов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с. — Режим доступа
http://znanium.com/bookread.php?book=355014 (дата обращения 12.10.2014)
4.
Пилюгин, С. Ю. Пространства динамических систем/ С. Ю. Пилюгин. - Москва;
Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика: Ин-т компьютерных исслед., 2008. - 272
с.
10.3 Интернет-ресурсы:
1. Книги по теории неподвижных точек:
http://www.drkhamsi.com/fpt/books.html
2. Вычисление и анализ неподвижных точек:
http://mathworld.wolfram.com/topics/FixedPoints.html
3. Неподвижные точки и лемма Шпернера:
http://www.studentlibrary.ru/documents/ISBN5940570720-SCN0010.html
4. В.И.Данилов. Лекции о неподвижных точках:
http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=39616&p_page=3
11. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине.
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.
3. Microsoft PowerPoint.
В организации
учебного процесса необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с
многочисленными группами студентов).
13. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
14. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины.
Для подготовки к опросу и контрольным работам необходимо пользоваться
конспектом лекций, а также полезными ссылками из раздела 10.3 на литературу,
посвященную исследованию неподвижных точек. Для повторения или более глубокого
изучения топологии, знания по которой необходимы для глубокого изучения теории
неподвижных точек, рекомендуется основная литература раздела 10.1.
Литературу из списка дополнительной рекомендуется использовать как
справочную в случае, если возникнет необходимость в знаниях по вещественному,
интегральному и комплексному анализам.