Документ 929880

Статья в сборник трудов конференции ТГПИ "Математические модели физических процессов", 2003.
УДК 513.736
Сидорякина В.В.
ТГПИ (Россия)
Бесконечно малые ARG-деформации поверхности
положительной кривизны при внешней связи обобщенного
скольжения.
1.В настоящей статье используются результаты и обозначения нашей
работы 1. Как в 1 предполагаем, что поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности F строго положительна вплоть до края, т.е. K  k0  0 , k0  const , поверхность F расположена выпуклостью вниз. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности
F: r  r x, y , x, y  D, описываются уравнением:
(1)
r y ,U x  U y , r x  2Hc r x , r y  g ,
где U - поле смещений деформации, n - единичный вектор нормали к поверхности F, c  U , n , H – средняя кривизна поверхности F, g – заданная
функция,  - коэффициент рекуррентности деформации поверхности 1.
2. Рассмотрим бесконечно малые ARG-деформации поверхности F,
подчиненные вдоль края F условию обобщенного скольжения.
Пусть вдоль края F задано векторное поле l       n, l  C 2, ,
0    1 , где  – единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Oxy,  – заданная функция.
Определение 1. Будем говорить, что поверхность F подчинена условию обобщенного скольжения вдоль края F относительно векторного поля l   , если поле смещений U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет вдоль края F условию:
U , l    h,
(2)
где h– заданная функция.
Следуя Векуа И.Н. 2 , введем понятие корректности задачи.
Определение 2. Задача корректна в отношении некоторой группы параметром, фигурирующих в постановке задачи, если ее решение всегда
существует, единственно и непрерывно изменяется при непрерывном изменении этих параметров.
Будем рассматривать вопросы корректности краевой задачи в отношении величин g и h, стоящих в правых частях уравнения ARGдеформации и краевого условия (1). Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть (m + 1)-связная поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности строго положительна,
т.е. K  k0  0 , k0  const . Предполагаем, что поверхность F подвергнута

 


 



бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности 
и на краю F подчинена внешней связи обобщенного скольжения (2). То
гда, если   0 ,  0, то существует счетное множество значений i ,
 
i 0
0  0  1  2  ...  i  ...  , таких, что при заданном  ,   i краевая задача является корректной. При   i i  0, 1, 2, ... однородная (
g0,h0) задача (1), (2) допускает конечное число линейно независимых
бесконечно малых ARG-деформаций, а неоднородная задача разрешима
при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на
функции g, h.
Доказательство этой теоремы проведем в §2. В §1 приведем аналитическую запись условия обобщенного скольжения поверхности F.
§1. Аналитическая запись условия обобщенного скольжения поверхности F.
Будем считать, что поверхность F на краю F подчинена условию
обобщенного скольжения (2). Докажем следующее утверждение:
Пусть F – (m + 1)-связная поверхность положительной гауссовой кривизны K  k0  0 , k0  const , удовлетворяющая условиям регулярности.
Вдоль края F задано векторное поле l      n , l  C 2, , 0    1 и поверхность F на краю F подчинена условию обобщенного скольжения:
U , l    h , где h – заданная функция. Тогда условие (2) представляет задачу с косой производной относительно функции     p  q , вида


a

 h1 ,
(3)

1  p2  q2
1
2

где a    ai1  ai 2   ,  ,   – координаты единичного вектора 
i , j 1

внешней нормали области D в плоскости Oxy,  – конормаль в плоскости
Oxy вдоль границы D области D уравнения (1), h1  h , aij определены в
2
1.
В самом деле, координаты векторного поля l   имеют вид


p
q



l     
; 
;
.
2
2
2
2
2
2

1 p  q
1 p  q
1 p  q 


Используя формулу     p  q , получаем
U , l        2 2 .
1 p  q
Применив формулы для вычисления  ,  , условие (2) преобразуется к
виду:
 t  s
s  





  h на F
x
y
2
2
rt  s 2
rt  s 2
1 p  q
(4).
Покажем, что коэффициенты, стоящие перед функциями  x ,  y выражения (4), определяют координаты вектора  .
1
Пусть   Y1,Y2 , тогда известно [3], что Y1  a11  a12   ,
a
1
Y2  a21  a22   .
a
Используя эти формулы, находим:
1  t  s 
1  r  s 
Y1  
Y

,


.
2
a  rt  s 2 
a  rt  s 2 
Условие (4) запишется в виде

 aY1 x  aY2 y 
 h.
2
2
1 p  q

Учитывая, что
 Y1 x  Y2 y , последнее условие преобразуется к виду



a

 h; a  0

1  p2  q2
Обозначив h1  h и умножив последнее равенство на (–1), получим
условие (3).
§2. Доказательство теоремы.
Рассмотрим краевую задачу:
 2    
 aij
  b  g 2 в D;




x

x
i
,
j

1

i 
j 
(5)




a

 h1 на D.
2
2
 
1

p

q

Так как  0,  0, то краевая задача (5) эквивалентна интегральному
уравнению:
6
 x , y     K x , y , , b ,   ,  d d  g3 x , y ,x , y  D,
D
где g 3  x, y  - известная функция. В силу того, что задача (5) является самосопряженной, то ядро K  x, y,  ,  в уравнении (6) является симметрическим по переменным  x, y  и  ,  и невырожденным как функция Грина
задачи (5) при =0. Кроме того, все собственные числа уравнения (6) являются положительными и, следовательно, ядро K  x, y,  ,  является положительно определенным. Так как b>0, то уравнение (6) может быть сведено к уравнению с симметрическим ядром
~x , y     K x , y , , b , ~ ,  d d  g~3 x , y ,x , y  D,
~
7
D
~
где K x, y,  ,   K x, y,  ,  bx, y b , ;
~x, y    x, y  bx, y ; g~3 x, y   g3 x, y  bx, y .
Отсюда следует, что уравнение (7) имеет бесконечную систему положительных собственных чисел.
Все i i  0, 1, 2,  могут быть занумерованы в порядке возрастания
0  0  1  2  ...  i  ..., что при i  , i   . Переходя от (6), (7) к
задаче (5), получим, что множество
i 

i 0
образует спектр указанной за-
дачи, который является дискретным и конечнократным. Так каждому
  i соответствует конечное число линейно независимых нетривиальных
 k k  0,1, 2, , p  из
решений
однородной задачи
C 2, D 
( g 2  0, h  0 ). Неоднородная задача (5) разрешима при этом, если выполнено конечное число условий разрешимости, налагаемых на функции g 2 и
h1 .
Итак, задача о бесконечно малых ARG-деформациях поверхности F с
условием обобщенного скольжения при   i является корректной. При
  i , рассматриваемая задача не корректна и разрешима при указаниях
ограничений, налагаемых на функции g 2 и h1. Однородная задача (5) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARGдеформаций. Теорема доказана.
Выражаю глубокую благодарность профессору
В.Т. Фоменко за постановку задачи и научное
руководство данной работой.
Литература.
1. Сидорякина В.В. Уравнения бесконечно малых ARG – деформаций поверхностей положительной кривизны // Сборник трудов международной
научной конференции «Математические модели физических процессов и
их свойства», Таганрог, ТГПИ, 2002.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1988. с. 224-232.
3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. с. 132-167.
4. Фоменко В.Т. О регулярности решений уравнений бесконечно малых
ARG-преобразований поверхностей положительной гауссовой кривизны
при внешних связях в евклидовом пространстве // Сб.: Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности. –
Таганрог, 1999. – С. 58-63.