«Утверждаю» Председатель Ученого совета математико- механического факультетат СПбГУ, декан математико-механического факультета СПбГУ

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультетат СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«12_» мая 2011 г.
Программа вступительного экзамена
по специальности 01.01.05
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического
факультета СПбГУ, протокол № 5 от 12.05.2011 г.
Программа утверждена на заседании
кафедры теории вероятностей и
математической статистики
протокол № 5
от «12 » мая 2011 г.
Заведующий кафедрой,
Никитин Я.Ю.
Санкт-Петербург
2011
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В АСПИРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА".
на 2011 год
1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Условные
вероятности, формула полной вероятности и формулы Байеса.
Независимость случайных событий.
2. Случайные величины и их распределения, функции распределения.
Дискретный и непрерывный типы распределения. Случайные векторы и их
распределения. Независимость случайных величин. Теорема о
существовании последовательности случайных величин с заданными
конечномерными распределениями.
3. Последовательность независимых испытаний. Теоремы Лапласа. Закон
больших чисел (теорема Бернулли и теорема Бореля с леммой Бореля Кантелли). Теорема Пуассона. Простейший поток событий.
4. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, их
свойства, старшие моменты. Неравенство Чебышева. Смешанные моменты,
коэффициент корреляции, корреляционная матрица
5. Характеристические функции, их свойства. Формула обращения и теорема
единственности. Характеристические функции и моменты.
Характеристические функции случайных векторов. Многомерное
нормальное распределение.
6. Слабая сходимость вероятностных распределений. Теорема Хелли. Слабая
сходимость распределений и сходимость характеристических функций.
7. Последовательность независимых случайных величин, закон нуля и единицы.
Неравенство Колмогорова Сходимость рядов из независимых случайных
величин. Закон больших чисел, теоремы Чебышева, Маркова, Хинчина.
Усиленный закон больших чисел, теорема Колмогорова
8. Центральная предельная теорема, теоремы Леви, Линдеберга, Ляпунова,
Феллера.
9. Дискретные цепи Маркова, основные определения, примеры.
Классификация состояний. Критерий возвратности. Возвратные и
невозвратные случайные блуждания. Асимптотическое поведение
вероятности перехода. Стационарное распределение.
10. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Уравнения
Колмогорова. Процессы размножения и гибели. Ветвящиеся процессы,
вероятность вырождения.
11. Условные вероятности и условные математические ожидания.
12. Процессы Маркова с произвольным множеством состояний. Уравнение
Чепмена-Колмогорова Диффузионные процессы.
13. Случайные процессы с независимыми приращениями. Винеровский
процесс. Процесс Пуассона. Условия непрерывности траекторий процесса с
независимыми приращениями. Каноническое представление
характеристической функции однородного процесса с независимыми
приращениями (дисперсия конечна).
14. Стационарные процессы. Стационарность в узком и широком смысле.
Корреляционная и спектральная теория стационарных процессов.
Спектральное представление стационарного процесса Экстраполяция и
фильтрация стационарных процессов. Закон больших чисел для
стационарных процессов.
15. Безгранично делимые распределения. Каноническое представление
безгранично делимой характеристической функции. Теорема Хинчина о
классе распределений, предельных для распределений сумм независимых
случайных величин при выполнении условия бесконечной малости. Условия
сходимости к заданному безгранично делимому распределению.
16. Оценка скорости сходимости распределения суммы независимых
случайных величин к нормальному распределению. Неравенства Эссена и
Берри-Эссена
17. Локальные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин,
теоремы Гнеденко для плотностей и для решетчатых распределений.
18. Предельные теоремы для вероятностей больших уклонений сумм
независимых случайных величин, теорема Крамера Неравенства
Бернштейна
19. Закон повторного логарифма для последовательности независимых
случайных величин, теорема Колмогорова.
20. Выборочная функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли.
Выборочные моменты как оценки генеральных моментов.
Свойства центральных и крайних членов вариационного ряда.
21. Распределение выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок
из нормального закона Построение доверительных интервалов и проверка
гипотез для параметров нормального закона
22. Достаточные статистики. Теорема факторизации. Эффективное оценивание
с помощью достаточных статистик. Неравенство Рао-Крамера Метод
моментов и метод максимального правдоподобия. Асимптотические
свойства оценок метода максимального правдоподобия.
23. Понятие критической области. Ошибки первого и второго родов. Лемма
Неймана-Пирсона Критерий отношения правдоподобия для проверки
сложных гипотез.
24. Критерий хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова Критерий
однородности Смирнова (проверка неизменности распределения по двум
выборкам). Ранговый критерий Вилкоксона.
25. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства Ранговый
коэффициент корреляции Спирмена
26. Однофакторный дисперсионный анализ.
27. Модель линейной регрессии. Оценивание параметров модели по методу
наименьших квадратов. Теорема Гаусса-Маркова
Изложение перечисленных вопросов можно найти в указанных ниже книгах,
знание всего материала этих книг необязательно.
К пп. 1-19:
1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., 1986
2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 1965
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и приложения. Тома 1 н 2 ., М,
1984
4. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М, 1974
5. Ширяев А.Н. Вероятность. М., 1980
6. Лоэв М. Теория вероятностей. М., 1962
7. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные
процессы. М.,1985
8. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и
математическая статистика. Киев., 1979
9. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.,
1977
10. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные
величины. М., 1965
11. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М., 1972
12. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных
величин. М., 1987
К пп. 20-27:
13. Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1975
14. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., 1979
15. Боровков А.А. Математическая статистика. М., 1984
16. Боровков А.А. Математическая статистика. Дополнительные главы. М., 1984
17. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М., 1984
18. Бикел П., Доксам К. Математическая статистика, вып. 1 и 2. М., 1983
Зав. кафедрой
Я.Ю. Никитин