Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА
Рабочая программа для специальности
080507.65 - МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ
форма обучения заочная
Тюмень 2011
Программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 080507.65
– Менеджмент организации.
Согласно этим требованиям дипломированный специалист по указанной специальности должен быть знаком со следующими разделами математики: аналитическая геометрия и линейная алгебра, последовательности и пределы, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, функции нескольких переменных, теория
вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина изучается в 1, 2 и 3 семестрах.
Форма итогового контроля – 1 семестр – экзамен,
2 семестр – экзамен,
3 семестр – зачет.
Индиви№
Наименование
п/п
темы
Лекции
Практи-
Лабора-
ческие
торные
занятия
работы
дуальная
и само-
Форма
стоя-
контроля
тельная
работа
Количество часов
1.
2.
3.
4.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Линейная алгебра
Множество вещественных чисел
Введение в анализ
2
2
40
4
2
45
0
0
7
4
2
45
10
6
137
2
2
30
К/р
Дифференциальное исчисле5.
ние функций одного переменного
К/р
Дифференциальное исчисле6.
ние функций многих перемен-
2
2
30
2
2
30
ных
7.
Интегральное исчисление
функций одного переменного
8.
Дифференциальные уравнения
2
0
24
9.
Ряды
2
0
24
10
6
138
2
40
4
4
57
2
2
40
8
8
137
28
20
Предмет теории вероятностей.
Основные понятия. Случайные 2
10.
К/р
события
Случайная величина.
11.
Элементы математической
12.
статистики.
ИТОГО:
0
412
ВСЕГО ЧАСОВ: 460
ЦЕЛИ ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью дисциплины является формирование у студентов основ математической
культуры будущих специалистов, которая является составляющей общечеловеческой
культуры, а также выработка у студентов знаний и умений логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические понятия и методы в профессиональной деятельности.
В результате изучения дисциплины студенты должны
Иметь представление:
• об основных теоретических положениях фундаментальных общеобразовательных математических дисциплин таких, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения;
• о вероятностно-статистических методах, применяемых в профессиональной деятельности.
Знать:
• схемы, методы и рекомендации для решения типовых математически формализованных
задач;
• приемы употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;
• о технике вычисления определителей любого порядка и о способах решений систем линейных уравнений (с использованием справочной литературы);
• о разнообразных аналитических описаниях прямых и плоскостей (с использованием
справочной литературы).
• о характеристике основных кривых второго порядка (с использованием справочной литературы);
• простейшую технику дифференцирования и интегрирования функций (с использованием
справочной литературы);
• о приемах исследования на сходимость числовых рядов (признаки Даламбера и Коши,
абсолютная сходимость);
• об основных приемах и методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений
первого и второго порядков (с использованием справочной литературы);
• основные определения и формулы, различные подходы к толкованию вероятности;
• основные теоретические положения теории вероятностей и математической статистики;
• закономерности, которым подчиняются случайные массовые явления, т.е. основные виды распределений случайной величины.
Уметь:
• вычислять определители второго и третьего порядков;
• решать системы линейных уравнений (невысокого порядка) методом Гаусса и по правилу Крамера.
• уметь вычислять простейшие пределы и находить асимптоты;
• исследовать основные свойства функций при помощи дифференциального исчисления
(нахождение промежутков монотонности и выпуклости, решение экстремальных задач);
• вычислять определенные интегралы и использовать в приложениях: геометрических и
финансово-экономических.
• решать обыкновенные дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, а
также линейные уравнения первого и второго порядков (с постоянными коэффициентами);
• владеть простейшими приемами представления функций степенными рядами;
• переводить на язык теории вероятностей сложные события;
• применять элементы комбинаторики для вычисления вероятности;
• решать различные типовые задачи по классической схеме, с применением теорем и их
следствий;
• строить различные законы распределений случайных величин, проводить анализ их числовых характеристик;
• проводить согласование теории с экспериментальными данными;
• оценить необходимые параметры выборочных и генеральных совокупностей;
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1 семестр Содержание теоретического курса
Тема 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение. Длина вектора.
Расстояние. Прямоугольная система координат на плоскости и в трехмерном пространстве. Разложение вектора по координатным ортам. Угол между векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
Векторное и смешанное произведения векторов, их геометрический смысл. Nмерные векторы, линейная зависимость векторов, базис векторного пространства.
Прямые на плоскости. Описание прямой, проходящей через заданную точку и с заданным наклоном. Прямая, проходящая через две точки. Общее уравнение прямой на
плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в
отрезках. Расстояние от точки до прямой.
Линии второго порядка на плоскости и их общее описание. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их геометрическая характеристика.
Плоскости и прямые в трехмерном пространстве. Векторное описание плоскости,
проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение
плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Общее описание прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой и их
следствия, аналитические характеристики разнообразно задаваемых прямых. Взаимные
расположения прямых и плоскостей в пространстве и их аналитическая характеристика.
Тема 2. Линейная алгебра.
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.
Свойства операций сложения и произведения матриц. Единичная и обратная матрицы.
Определители и их свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения, замещения и аннулирования.
Основные методы решений систем линейных уравнений: метод Гаусса, метод обратной матрицы, правило Крамера.
Тема 3. Множество вещественных чисел.
Множество вещественных чисел и его геометрическая интерпретация. Модуль вещественного числа.
Тема 4. Введение в анализ.
Числовые функции. Их способы задания и классификация.
Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических
операциях и неравенствах. Признаки существования предела для промежуточных и монотонных последовательностей. Число е.
Два равносильных определения предела числовой функции в точке. Арифметические свойства операции предельного перехода. Замечательные пределы. Сравнение функций.
Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки
разрыва и их классификация. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях непрерывных функций.
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного (производная, дифференцируемость, дифференциал) и их интерпретации в физике,
геометрии, экономике и др.
Формулы дифференцирования арифметических операций, сложной и обратной
функций.
Производные и дифференциал высших порядков. Формула Тейлора.
1 семестр Содержание практических занятий
1.
Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Его свойства
и геометрические приложения. Векторное произведение векторов. Его свойства и
геометрические приложения. Смешанное произведение векторов. Его свойства и
геометрические приложения.
2.
Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Действия с матрицами. Решение систем линейных уравнений методом исключения,
ранг матрицы.
3.
Вычисление пределов функций. Замечательные пределы. Производная функции.
Таблица производных. Правила дифференцирования.
Вопросы к экзамену
1. Векторы, действия над ними. Координаты вектора.
2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Их геометрические
приложения.
3. Описание прямой, проходящей через заданную точку и с заданным наклоном. Прямая, проходящая через две точки. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых.
4. Линии второго порядка на плоскости и их общее описание. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их геометрическая характеристика.
5. Плоскости и прямые в трехмерном пространстве. Векторное описание плоскости.
Общее уравнение плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
6. Определители и их свойства.
7. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.
Свойства операций сложения и произведения матриц. Единичная и обратная матрицы.
8. Решение СЛАУ (метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса).
9. Множества и операции над ними.
10. Функции. Их способы задания и классификация.
11. Предел функции в точке.
12. Замечательные пределы.
13. Непрерывность функции в точке.
14. Точки разрыва и их классификация.
15. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
2 семестр Содержание теоретического курса
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных
свойств числовых функций (нахождение промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точки перегиба, определение асимптот). Правило Лопиталя.
Тема 6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Функции многих переменных. Понятие их предела и непрерывности. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал. Высшее дифференцирование. Формулы
дифференцирования неявных функций.
Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции многих переменных.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Тема 7. Интегральное исчисление функций одного переменного.
Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интегрирования. Таблица интегралов.
Методы замены переменного и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций
Определённый интеграл и его свойства. Теорема о среднем значении. Интеграл с
переменным верхним пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменного и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла.
Понятие несобственных интегралов и условие их существования.
Тема 8. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятия их порядка и решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка и их геометрическая интерпретация.
Задача Коши для уравнения первого порядка. Общее решение и общий интеграл
таких уравнений.
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения).
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 9. Ряды.
Числовой ряд. Его сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие
сходимости ряда. Важнейшие примеры сходящихся и расходящихся рядов
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами(признаки сравнения,
Даламбера и Коши). Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Степенные ряды. Радиус и интервалы сходимости степенности ряда. Ряд Тейлора.
Разложения основных элементарных функций в степенные ряды.
2 семестр. Содержание практических занятий
1.
Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций одного переменного (монотонность, локальные и глобальные экстремумы).
2.
Техника дифференцирования функций многих переменных. Локальные экстремумы
функций многих переменных. Условные экстремумы
3.
Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределённом
интеграле. Метод замены переменной и интегрирования по частям в определённом
интеграле.
Вопросы к экзамену
1. Производная функции, её геометрический смысл.
2. Правила дифференцирования. Таблица производных.
3. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
4. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
5. Нахождение направлений выпуклости и точек перегиба графика функции.
6. Правило Лопиталя.
7. Асимптоты графика функции.
8. Функция двух переменных, её область определения и график.
9. Частные производные функции двух переменных.
10. Экстремум функции двух переменных: необходимое условие, достаточное условие
существования.
11. Неопределённый интеграл и его свойства.
12. Таблица неопределённых интегралов.
13. Метод замены переменной в неопределённом интеграле.
14. Формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.
15. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.
16. Геометрические приложения определённого интеграла.
17. Интеграл с бесконечными пределами.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка: интегральная кривая, задача Коши.
19. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные, однородные относительно переменных.
20. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
21. Дифференциальные уравнения второго порядка линейные с постоянными коэффициентами.
22. Числовые ряды, сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда.
23. Признаки сравнения, Даламбера, Коши для рядов с неотрицательными членами.
24. Радиус сходимости степенного ряда, формулы для его нахождения.
25. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
3 семестр. Содержание теоретического курса
Тема 10. Предмет теории вероятностей. Основные понятия. Случайные события.
Событие, его виды, алгебра событий. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Комбинаторика.
Основные теоремы теории вероятностей. Условная вероятность. Теорема сложения, теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
Вероятность полной группы событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Предельные
теоремы: локальная, интегральная. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Тема 11. Случайная величина.
Виды, способы задания. Функция распределения, свойства. Законы распределения
дискретной случайной величины: биномиальный, геометрический.
Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Свойства математического ожидания, вероятностный смысл.
Непрерывная случайная величина. Способы задания: F(x), f(x). Свойства плотности
распределения и вероятностный смысл. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.
Законы распределения случайной величины: нормальный, равномерный, показательный. Нормальная кривая; числовые характеристики: асимметрия, эксцесс.
Тема 12. Элементы математической статистики.
Предмет,
объект,
задачи
математической
статистики.
Основные
поня-
тия:Генеральная совокупность, выборка. Гистограмма, полигон. Эмпирическая функция.
Числовые характеристики выборки: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленная дисперсия. Доверительная вероятность, доверительный интервал.
Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона. Понятие статистической гипотезы. Их классификация. Общая схема проверки гипотез.
Ошибки при проверке гипотез. Гипотеза о функции распределения. Критерий 2.
3 семестр Содержание практических занятий
1.
Классическое определение вероятности. Основные теоремы теории вероятностей:
теорема сложения, теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бернулли.
2.
Дискретная случайная величина. Построение ряда и функции распределения. Числовые характеристики. Биноминальный закон распределения.
3.
Непрерывная случайная величина. Способы задания. Числовые характеристики.
Законы распределения случайной величины (равномерный, показательный). Нормальный закон распределения СВ.
4.
Выборка и способы её представления. Числовые характеристики выборки. Методы
вычисления. Доверительный интервал для оценки математического ожидания и
дисперсии.
Вопросы к зачету
1. Комбинаторика. Размещения, сочетания, перестановки.
2. Случайные события. Алгебра событий.
3. Классическое определение вероятности.
4. Условная вероятность.
5. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
6. Вероятность появления хотя бы одного события.
7. Формула полной вероятности.
8. Формула Бернулли.
9. Понятие случайной величины. Виды случайных величин.
10. Способы задания случайных величин.
11. Числовые характеристики случайной величины. Их свойства.
12. Равномерное распределение. Вид. Свойства.
13. Показательное распределение. Вид. Свойства.
14. Нормальное распределение. Вид. Свойства.
15. Выборка и способы её представления. Статистический ряд.
16. Эмпирическая функция F*(x), графическое изображение вариационных рядов.
17. Числовые характеристики выборки. Методы вычисления. Доверительный интервал
для оценки математического ожидания и дисперсии.
18. Предварительная обработка результатов наблюдений и моделирование случайной
величины. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
19. Элементы корреляционно-регрессионного анализа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1. В.А. Аксентьев. Математические методы в экономике: практикум. Издательство
ТюмГУ, 2008
2. В.И.Кругликов. Основы высшей математики: учебное пособие. Издательство ТюмГУ,
2008
3. Е.Г. Пыткеев, А.Г.Хохлов. Математические методы в экономике и финансах: учебное
пособие. Издательство ТюмГУ, 2007
Дополнительная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высш. школа, 2001.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. Высш. школа, 2000.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. М.Высш. школа, Т 1,2. 2001.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М. Высш. школа 2001.
5. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа, 2003.
Программу составила
к. ф.-м. н., доцент кафедры МиИ
Трефилина Е. Р.