Noranovich_4

1 МИКРОМИР АТОМНО-МОЛЕКУЛЯРНЫХ МАСШТАБОВ И
КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
1.1.
Сколько α-частиц рассеется в интервале углов между 44° и 46°, если на
медную пластинку толщиной 0.005 мм было выпущено 104 α-частиц с
энергией 1 МэВ.
1.2.
Оценить число фотонов в единице объема для равновесного
электромагнитного излучения с температурой а) 300 К, б) 3 К.
1.3.
Оценить поток энергии ультрафиолетового излучения от Солнца на
поверхности Земли. Считать, что излучение Солнца имеет планковский
спектр с температурой T  5700 К. Поглощением излучения в атмосфере
Земли пренебречь.
1.4.
Найти температуру печи, если известно, что из отверстия в ней размером
6.1 см2 излучается за 1 с 8.28 кал. Излучение считать близким к излучению
абсолютно черного тела.
1.5.
Какое количество энергии излучает Солнце за 1 мин? Излучение солнца
считать близким к излучению абсолютно черного тела. Температуру
поверхности Солнца принять равной 5800 К.
1.6.
Мощность излучения абсолютно черного тела равна 34 кВт. Найти
температуру этого тела, если известно, что поверхность его равна 0.6 м2.
1.7.
Пользуясь формулой Планка, определить среднее число фотонов в единице
объема полости, заполненной равновесным излучением, при температуре Т.
1.8.
Среднее число фотонов в единице объема равновесного излучения,
приходящееся на интервал частот ω, ω+dω или длин волн λ, λ+dλ, можно
представить в виде dn = f1(ω,T)=φ1 (λ,T), где Т – температура излучения.
Найти положения максимумов функций f1 (ω,T) и φ1 (λ,T).
3
1.9.
Найти массу, соответствующую энергии фотона видимого света с длиной
волны  = 500 нм.
1.10. Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы масса, соответствующая
его энергии, была равна массе покоя электрона?
1.11. Найти импульс фотона видимого света (  = 500 нм). Сравнить его с
импульсом молекулы водорода при комнатной температуре. Масса
молекулы водорода М = 2,35*10-24 г.
1.12. При какой длине волны импульс фотона равен импульсу молекулы
водорода при комнатной температуре? (См. предыдущую задачу).
1.13. Сравнить энергию фотона (  = 500 нм) с кинетической энергией
поступательного движения молекулы водорода при комнатной температуре.
1.14. Средняя длина волны излучения лампочки накаливания с металлической
спиралью равна 1200 нм. Найти число фотонов, испускаемых 200-ваттной
лампочкой в единицу времени.
1.15. Импульс излучения рубинового лазера (   0.69 мкм) с энергией Q  1 Дж
и длительностью   1 нс падает на зеркальную металлическую пластину с
коэффициентом отражения R  1 . Определить силу светового давления,
действующую на пластину.
1.16. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из
медного электрода, освещаемого монохроматическим светом с длиной
волны  = 250 нм. Работа выхода электрона из меди Р = 4.17 эВ.
1.17. Вычислить длину волны  для длинноволновой границы фотоэффекта на
серебре, если работа выхода электрона из серебра Р = 4.28 эВ.
1.18. Максимальная скорость фотоэлектронов при освещении цезиевого
электрода монохроматическим светом оказалась равной  max = 5.5*107 см/с.
Работа выхода электрона из цезия составляет 1.89 эВ. Вычислить длину
волны света, применявшегося для освещения этого электрода.
1.19. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым светом с
4
длиной волны 250 нм. До какого максимального потенциала зарядится
шарик? Работа выхода электрона для цинка равна 3.74 эВ.
1.20. При каких длинах волн облучающего света шарик в условиях предыдущей
задачи не будет заряжаться?
1.21. На металлическую поверхность с работой выхода A  3.6 эВ воздействует
электромагнитное поле E  E0 (1  cos t ) cos  0t ( E - напряженность
электрического поля волны). Найти энергию фотоэлектронов, если
  4.8  10 15 с-1,  0  6.4  10 15 с-1.
1.22. Оценить величину фототока с поверхности металла площадью S  1 см2
(работа выхода A  4 эВ) под действием излучения Солнца. Солнце считать
планковским излучателем с температурой T  5700 К. Радиус Солнца
RS  7  10 10 см, радиус земной орбиты r  1.5  10 13 см. Величина
квантового выхода фотоэффекта (вероятности вырывания электрона
фотоном)   0.01 .
1.23. Определить изменение длины волны при эффекте Комптона, если
наблюдение ведется перпендикулярно к направлению первичного пучка
излучения.
1.24. В результате комптоновского рассеяния длина волны λ фотона с энергией
Еф = 0.5 МэВ увеличилась на Δλ = 0.25λ. Определить кинетическую энергию
электрона отдачи.
1.25. Фотон рентгеновского излучения с длиной волны λ в результате
комптоновского рассеяния на свободном электроне отклонился от
первоначального направления на угол θ. Определить энергию и импульс
электрона отдачи. Дать численный ответ для λ = 0.02 нм и θ = 90°.
1.26. В предыдущей задаче определить угол φ между направлением первичного
фотона и направлением движения электрона отдачи.
1.27. Во сколько раз изменение длины фотона при комтоновском рассеянии на
5
свободном электроне превосходит аналогичное изменение при рассеянии на
свободном протоне при одинаковых углах рассеяния?
1.28. Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рассеянного фотона
равна кинетической энергии отдачи, а угол разлета между рассеянным
фотоном и протоном отдачи равен 90°. Найти энергию падающего фотона.
1.29. При прохождении рентгеновского излучения через некоторое вещество
было обнаружено, что максимальная кинетическая энергия комптоновских
электронов отдачи составила Emax  0.44 МэВ. Определить длину волны
рентгеновского излучения.
1.30. Определить длину волны рассеянного назад фотона ( 0  10.6 мкм) на
релятивистском электроне с энергией Ee  20 ГэВ, движущемся ему
навстречу.
1.31. Определить наименьшую коротковолновую длину волны рентгеновского
излучения при ускоряющем напряжении на трубке 50 кэВ.
1.32. Определить наибольшую скорость электронов на аноде рентгеновской
трубки, если наименьшая длина волны сплошного рентгеновского
излучения составляет 0.1 нм.
1.33. На кристалл с межплоскостным расстоянием 0.3 нм падает рентгеновский
луч с длиной волны 0.15 нм. Определить угол скольжения, при котором
будут наблюдаться интерференционные отражения первого порядка.
2 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.
АТОМ БОРА
2.1.
Найти релятивистское выражение для длины волны де Бройля λ электрона
6
или протона, если ускоряющее напряжение равно V. При каких значениях
напряжения можно пользоваться нерелятивистским выражением, чтобы
ошибка не превосходила 5%? Найти λ для этих частиц при V=1, 100, 1000,
105, 1010 и 1015 В.
2.2.
Найти среднюю длину волны де Бройля теплового нейтрона, т.е. нейтрона,
находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой, при
комнатной температуре Т=300К.
2.3.
Вычислить длины волн де Бройля атомов водорода и ртути с энергиями в 1
и 106 эВ, а также длины волн для этих атомов, движущихся со средней
тепловой скоростью, при 0°С.
2.4.
Доказать, что в атоме водорода и водородоподобных ионах на круговой
стационарной орбите укладывается целое число длин волн де Бройля.
Определить длину волны де Бройля на круговой орбите с главным
квантовым числом n.
2.5.
Протон с дебройлевской длиной волны 0.001 нм упруго рассеялся под
углом π/2
на первоначально покоившейся α-частице. Определить
дебройлевскую длину рассеяного протона.
2.6.
Определить
кинетическую
энергию
электрона,
при
которой
его
дебройлевская и комптоновская длины волн равны между собой.
2.7.
Определить длины волн де Бройля для электронов и протонов с энергией
10 МэВ.
2.8.
Положение центра шарика с массой 1г и положение электрона определены
с ошибкой 10-5 см. Какова будет неопределенность в скорости для шарика и
электрона?
2.9.
Электрон находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной
яме
размером
a  b.
Оценить
минимально
возможное
значение
кинетической энергии электрона в случаях: а) a  b  1 А; б) a  1 А, b  1
см.
7
2.10. Пучок атомов водорода со скоростью v  10 7 см/с падает нормально на
экран с узкой щелью, за которой на расстоянии L  1 м находится
непрозрачный экран. Оценить ширину щели, при которой размер пятна на
экране является минимальным.
2.11. Какова напряженность электрического поля ядра на первой и четвертой
боровских орбитах атома водорода?
2.12. Вычислить силу притяжения между электроном, находящемся на первой
орбите атома водорода, и ядром. Во сколько раз эта сила больше силы
всемирного тяготения между электроном и протоном на таком же
расстоянии?
2.13. Определить длину волны первых трех линий серий Лаймана, Бальмера,
Пашена, Брэккета и Пфунда.
2.14. Определить длину волны, соответствующую серии Бальмера.
2.15. Определить энергию атома водорода в основном состоянии, а также
вычислить потенциал ионизации атома.
2.16. Позитроний представляет собой связанную систему из электрона и
позитрона, вращающихся вокруг центра масс этой системы. Найти уровни
энергии, энергию ионизации и длину волны резонансной линии для
позитрония.
2.17. Воспользовавшись квантовым условием Бора, определить радиусы орбит и


уровни энергий в центрально-симметричном силовом поле F  kr .
Орбиты считать круговыми.
2.18. Определить релятивистскую поправку и поправку, связанную с учетом
конечной массы ядра к потенциалу ионизации водородоподобного иона с
зарядом ядра Z . Считать, что орбиты являются круговыми, а число
протонов в ядре равно числу нейтронов.
2.19. Квантование в макроскопической системе: Искусственный спутник массы
m  100 кг движется по круговой орбите на высоте H  100 км над
8
поверхностью Земли. В рамках модели Бора оценить номер квантового
числа, соответствующего движению по такой орбите. Определить
изменение радиуса орбиты при изменении квантового числа на величину
n  1 .
3 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
3.1.
Исходя из предположения, что свободной частице с импульсом
p
соответствует плоская волна с волновым вектором k  p  (гипотеза де
Бройля) и частотой   E  ( E  p 2 2 m ), получить нерелятивистское
волновое уравнение, описывающее свободное движение частицы.
3.2.
Используя выражение для релятивистской связи энергии и импульса
E 2  p 2 c 2  m 2 c 4 , в условиях предыдущей задачи найти релятивистское
волновое уравнение, описывающее движение свободной частицы.
3.3.
Волновая функция частицы в некоторый момент времени определяется
выражением
 1 ( x  x0 )2 
.
( x ) 
 exp ik0 x   exp 
2
 2

a
a 


1
Определить средние значения и дисперсии координаты и импульса частицы
в этом состоянии.
3.4.
Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в
основном
состоянии
а)
линейного
гармонического
осциллятора
x   A exp( 2 x 2 ) , б) атома водорода.
3.5.
Показать, что гауссов волновой пакет минимизирует соотношение
9
неопределенностей.
3.6.
Определить собственные значения и собственные функции операторов

импульса p x  i ,
x

кинетической энергии Tx  p x2 2m , z - проекции


момента количества движения Lz  i
.

3.7.
Может ли так быть, что в одном и том же состоянии импульс и полная
энергия имеют точно определенные значения?
3.8.
Для частицы, состояние которой описывается функцией  x   Ae

x2
a2
 ik0 x
,
найти средние координату и импульс.
3.9.
Волновая функция некоторой системы в сферических координатах
определяется выражением
 ( r , , )  R( r , ) 
sin 

.
Какие значения z- проекции момента количества движения и с какой
вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее
значение и дисперсия величины L z ?
3.10. Волновая функция некоторой системы в сферических координатах
определяется выражением
 ( r , , )  R( r )
3
 sin   cos  .
4
Какие значения квадрата момента количества движения, и с какой
вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее
значение и дисперсия величины L2 ?
3.11. Найти собственное значение оператора квадрата момента импульса L̂2 ,
соответствующее

его

Y  ,   A 3 cos2   1  sin 2 cos .
10
собственной
функции
3.12. Определить собственные значения оператора L̂ z и их вероятности для
системы, находящейся в состоянии     A1  cos  2 .
3.13. Возвести в третью степень оператор
d 1
 .
dx x
3.14. Найти результат действия операторов
d2
dx 2
x
2
d 
и  x
 dx 
2
на функции: а)
sin x , б) e 2 x .
3.15. Доказать, что если операторы Â и B̂ коммутируют, то:
Aˆ  Bˆ 2  Aˆ 2  2 Aˆ Bˆ  Bˆ 2 ; б) Aˆ  Bˆ Aˆ  Bˆ   Aˆ 2  Bˆ 2 ;
Aˆ  Bˆ , Aˆ  Bˆ   0 .
а)
в)

3.16. Найти коммутатор оператора x̂ и оператора Лапласа  2 .
3.17. Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана Ĥ в
 



dU
потенциальном поле U x : а) Hˆ , y  i pˆ y ; б) Hˆ , pˆ x  i
;
m
dx
H , 
pˆ x2
в)
2
dU
2 d U
 2i
pˆ x  
.
dx
dx 2
3.18. Найти собственные значения и нормированные собственные функции

оператора Aˆ  i
 a sin  .

3.19. Показать, что в стационарных состояниях плотность вероятности и
плотность потока вероятности не зависят от времени.
3.20. Частица
массы
m
находится
в
одномерном
потенциале
 x  0,

V ( x )  0 , 0  x  a . Определить, сколько связанных состояний находится
V , x  a.
 0
в яме в следующих случаях: а) V0 a 2  75 2 m , б) V0 a 2   2 m .
3.21. В
одномерной
прямоугольной
потенциальной яме с абсолютно
11
непроницаемыми стенками шириной a находится частица, состояние
которой описывается волновой функцией  x   A sin 2
x
a
. Определить
вероятность пребывания частицы в основном состоянии и среднее значение
кинетической энергии.
3.22. Для
частицы
в
одномерной
потенциальной
яме
с
абсолютно
непроницаемыми стенками вычислить вероятность ее нахождения в
области
1
3
a  x  a , если она обладает наименьшей возможной энергией.
4
4
 U1 , x  0,

3.23. Частица массой m находится в потенциальной яме вида U  x   0,0  x  a,
 U , x  a,
 2
причем U 1  U 2 . Получить уравнение, определяющее спектр собственных
значений энергии в области энергий E  U1 .
4 «БАРЬЕРНЫЕ ЗАДАЧИ»
4.1.
Определить
величину
плотности
тока
вероятности
для
состояния
 ( x )  A exp ik1 x   B exp  ik2 x  .
4.2.
Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольной потенциальной
0 , x  0 ,
ступеньке V ( x )  
Определить вероятности прохождения и
V0 , x  0.
отражения.
Нарисовать
графики
зависимости
( x )
2
для
случаев
«подбарьерного» E  V0 и «надбарьерного» E  V0 движения.
4.3.
Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольном потенциальном
12
барьере высотой V0
и шириной
a , причем
E  V0
(надбарьерное
прохождение). Определить энергии, при которых вероятность отражения от
барьера равна нулю (резонанс прозрачности).
4.4.
Частица массой m, имеющая энергию E  0 , движется слева направо в
 U ,0  x  a
потенциальном поле вида U x    0
. а) Найти коэффициент
0
,
x

0
,
x

a

прозрачности и коэффициент отражения. б) Определить энергию E , при
которой частица будет беспрепятственно проходить через яму. Установить
для этого случая связь между шириной ямы a и длиной волны де Бройля
внутри ямы.
5 КВАНТОВО - МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА
5.1.
Определить среднее и наиболее вероятное удаление электрона от ядра в
атоме водорода, находящемся в состояниях 2 s , 2 p и 3d.
5.2.
Нарисовать радиальные волновые функции и распределения вероятности
обнаружить электрон на расстоянии r от ядра в атоме водорода,
находящимся в состояниях с главным квантовым числом n  3 .
5.3.
Вычислить для электрона, находящегося в 1s – состоянии в атоме водорода,
вероятность пребывания электрона в области r  rвер .
5.4.
Вычислить для 1s- электрона в атоме водорода средние значения
расстояния r от ядра, а также величины r 2 и
5.5.
r 2
.
Вычислить для 2 p и 3d электронов в атоме водорода средние значения
расстояния r от ядра, а также величины r 2 и
13
r 2
.
5.6.
Вычислить
среднее
значение
кинетической
энергии
и
среднюю
квадратичную скорость для 1s – электрона в атоме водорода.
5.7.
Вычислить
средние
значения
силы
взаимодействия
с
ядром
и
потенциальной энергии для 2p – электрона в атоме водорода.
5.8.
Покажите интегрированием, что в водородоподобном атоме взаимно
ортогональны орбитали: а) 1s и 2s; б) 2s и 2pz; в) 2px и 2py.
6 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЙ АТОМ
6.1.
Мультиплетность F – состояния равна 5. Напишите термы, принадлежащие
этому состоянию.
6.2.
D – терм состоит из пяти компонент. Какова может быть мультиплетность
этого терма.
6.3.
Из скольких компонент состоят термы 1S, 2S, 2P, 3P, 4P, 5D.
6.4.
Найти число электронов в атомах, у которых в нормальном состоянии
заполнены: а) K – и L-оболочки, 3s- и 3p- подоболочки; б) K-, L- и Mоболочки и подоболочки 4s, 4p, 4d, 5s.
6.5.
Записать электронные конфигурации атомов аргона (Z = 18), криптона (Z =
36), палладия (Z = 46) и цезия (Z = 55).
6.6.
Найти всевозможные термы системы из двух f-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны).
6.7.
Найти всевозможные термы системы из трех f-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны).
6.8.
Найти всевозможные термы
системы из трех d-электронов: а)
14
с разными главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными
квантовыми числами (эквивалентные электроны).
6.9.
Найти всевозможные термы системы из четырех f-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны).
6.10. Найти всевозможные термы системы из четырех d-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны).
6.11. Найти всевозможные термы системы из четырех p-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны); в) показать, что в системе из четырех
эквивалентных p – электронов состояния те же, что и в системе из двух
эквивалентных электронов.
6.12. Найти всевозможные термы системы из восьми d-электронов: а) с разными
главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми
числами (эквивалентные электроны).
6.13. С помощью правил Хунда определить основной терм атома с электронной
конфигурацией незаполненной подоболочки а) nd3, б) nd5, в) nd7, г) nf2,
д)nf3, е)nf12, ж)nf11.
6.14. Какие электронные переходы являются разрешенными между состояниями,
получающимися из конфигураций p2 и pd в приближении (LS) – связи?
6.15. Какие переходы между термами запрещены, если исходный терм 1S0, 3P1
или 2F5/2, а конечные термы 1P1, 3P0, 3P1, 3P2, 1D2; 3D1, 1D2, 3D3, 1S0, 1P1; 2S1/2,
2
D5/2, 2G7/2, 2P3/2, 2D3/2?
6.16. Основное состояние атома азота имеет конфигурацию 1s22s22p2 и символ
терма 4S3/2. Какие термы, возникающие при возбуждении электрона с 2pорбитали на орбиталь с квантовым числом n=3, могут наблюдаться при
прямом поглощении электромагнитного излучения.
15
Приложение А.
Основные физические постоянные
Скорость света в вакууме
c  2.998  10 10 см/с
Гравитационная постоянная
G  6.67  10 8 см3/г.с2
Постоянная Больцмана
k  1.381  10 16 эрг/град
Заряд электрона
e  4.803  10 10 абс. ед.
Масса электрона
m  0.911  10 27 г
Энергия покоя электрона
Масса протона
mc 2  0.511 МэВ
Энергия покоя протона
M  1.673  10 24 г
Постоянная Стефана-Больцмана
Mc 2  938 .28 МэВ
Постоянная Планка
  5.67  10 5 эрг/(с.см2.град4)
Постоянная Ридберга
  1.0546  10 27 эрг.с
Ридберг
R  109700 см-1
Боровский радиус
Ry  me 4 2 2  13.606 эВ
Классический радиус электрона
8
Комптоновская длина волны электрона
a0   2 me2  0.529  10
Постоянная тонкой структуры
re  e 2 mc 2  2.82  10 13 см
Магнетон Бора
e  2 mc  2.426  10 10 см
Ядерный магнетон
см
  e 2 c  1 137 .06
 B  e 2mc  0.927  10 20 эрг/Гс
 N  e 2 Mc  5.051  10 24 эрг/Гс
16
Приложение Б
Некоторые интегралы и специальные функции

2.405, n  2


ex  1  4
0
 15 , n  3


x n dx

Интеграл Пуассона
 exp(  x
2
)dx  



 ( p )  x p 1e  x dx
 - функция Эйлера
0
 ( 2 )   (1)  1,
 ( p  1 )  p ( p ) ,
 (1 2 )   .
Сферические функции Ylm (  , )   lm (  ) m (  ) ,
2l  1 ( l  m )! m

 Pl (cos  ),
2 ( l  m )!
где  lm (  )  ( 1 )m
m
2 m/ 2
Pl ( x )  ( 1  x )
m( ) 
d l m
dx
l m
( x 2  1 )l - присоединенные полиномы Лежандра,
1
exp( im ) .
2
Нормировка и ортогональность
Y
*
lm (  ,
)Yl' m' (  , ) sin dd   ll'  mm' .
Явные выражения для нескольких первых функций
17
Y00 
1
3
3
, Y10 
cos , Y1, 1  
sin   exp(i ),
4
8
4
Y20 
5 3
1
2
 cos   ,
4  2
2
Y2, 1  
15
sin   cos  exp(i ),
8
1 15
Y2, 2  
sin 2   exp(2i ),
4 2
18
Приложение В
Радиальные волновые функции атома водорода.
R10 ( r )  2 exp( r ),
1 
1 
 1  r  exp( r / 2 ),
2 
2
1
R21 ( r ) 
r exp( r / 2 ),
2 6
2 
2
2 2
R30 ( r ) 
r  exp( r / 3 ),
1  r 
3
27 
3 3
R20 ( r ) 
8
1 

r  1  r  exp( r / 3 ),
27 6  6 
4
R32 ( r ) 
r 2 exp( r / 3 ).
81 30
R31 ( r ) 
Здесь r  Zr a0 , где Z – заряд ядра, a0 - первый боровский радиус.
19
Список литературы
1 Матвеев А.Н. Атомная физика / А.Н. Матвеев, – М.: Высш. шк., 1989. -439
с.
2 Вихман Э. Квантовая физика / Э. Вихман, – М.: Наука, 1986. -392 с.
3 Савельев И.В. Курс общей физики, т. 3 / И.В. Савельев, - М.: Наука, 1979.
– 304 с.
4 Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика. Ч. 1 / Д.В. Сивухин, - М.: Наука,
1989. -416 с.
20