Урок 20 - Licey

Интернет-курс “ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”
(Латышев В.В.)
Урок 20
Уравнение прямой в различных формах
Цель урока: напомнить определение уравнения прямой линии и способ ее
построения, показать дополнительные варианты задания уравнения прямой, полезные
при решении многих задач с линейными уравнениями и их системами, дать представление
о связи уравнений параллельных и перпендикулярных линий, показать применение
уравнений прямых в задачах на нахождение площадей простейших плоских фигур.
1. Прямая линия: уравнение, разрешенное относительно ординаты
Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно представить
уравнением вида
y  ax  b .
Здесь a есть тангенс угла  (см. рис.1), образованного
прямой с положительным направлением оси абсцисс, а
число b по абсолютному значению равно длине
отрезка OK, отсекаемого прямой на оси ординат.
Число b положительно или отрицательно в
зависимости от направления отрезка OK. Если прямая
проходит через начало координат, b  0 . Величину a называют угловым
коэффициентом, величину b - начальной ординатой.
Величина углового коэффициента численно равна тангенсу угла  ,
образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс:
a  tg .
Пример 1. Написать уравнение прямой, образующей с осью OX угол
  45 и отсекающий начальную ординату b  3.

Решение. Угловой коэффициент   tg  45   1. Искомое
уравнение есть y   x  3 .
Ответ: y   x  3 .
Пример 2. Какую линию представляет уравнение 3x  3 y ?
Решение. Разрешив заданное уравнение относительно y , находим
y  3x . По угловому коэффициенту a  3 найдем угол  : так как
tg  3 , то   60  . Начальная ордината b  0 . Поэтому данное
уравнение представляет прямую, проходящую через начало координат и

образующую с осью OX угол 60 .
2. Прямая, параллельная оси
Прямая, параллельная оси абсцисс (рис.2) представляется уравнением
y  b,
где величина b по абсолютному значению равна расстоянию от оси абсцисс
до прямой. Если b  0 , то прямая лежит над осью
абсцисс (как на рис.2), если b  0 , - то под ней. Сама
ось абсцисс представляется уравнением y  0 .
Прямая, параллельная оси ординат, задается
уравнением
x  c.
Абсолютное значение c дает расстояние от оси
ординат до прямой. Если c  0 , прямая лежит справа от оси ординат; если
c  0 - слева от нее. Сама ось ординат представляется уравнением x  0 .
Пример 3. Написать уравнение прямой,
отсекающей начальную
ординату b  3 и
параллельной оси OX (рис.3).
Ответ: y  3 .
Пример 4. Какую линию представляет уравнение 3 x  5  0 ?
Решение. Разрешая заданное уравнение относительно x , находим
5
x   . Данное уравнение представляет прямую, параллельную оси OY и
3
5
5
лежащую слева от нее на расстоянии . Величину c   можно назвать
3
3
«начальной абсциссой».
3. Общее уравнение прямой
Уравнение
Ax  By  C  0
(где А, В и С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициенты А и В не
были нулями одновременно) представляет прямую линию. Всякую прямую
можно представить уравнением этого типа. Поэтому его называют общим
уравнением прямой.
Если А=0, т.е. уравнение не содержит x , то оно представляет прямую,
параллельную оси ОХ.
Если В=0, т.е. уравнение не содержит y, то оно представляет собой
прямую, параллельную оси OY . Когда B  0 , уравнение можно разрешить
относительно ординаты y , тогда оно преобразуется к виду
A
C
, b   ).
B
B
Так уравнение 2 x  4 y  5  0  A  2, B  4, C  5 преобразуется к виду
y  0,5 x  1,25
2
5


 0,5, b  
 1,25 , разрешенному относительно ординаты.
a  
4
4


Ему соответствует прямая линия с угловым коэффициентом a  0,5 и
y  ax  b ,
(где a  
пересекающая ось абсцисс в точке с абсциссой 1,25 выше начала координат
(начальная ордината b  1,25 ).
Аналогично, при A  0 общее уравнение прямой можно разрешить
относительно x .
Если С=0, т. е. уравнение не содержит свободного члена, то оно
представляет прямую, проходящую через начало координат.
3. Уравнение прямой в отрезках
При нахождения уравнения прямой линии полезно помнить еще об
одной форме, если известно, что прямая отсекает от оси OY отрезок,
величина которого равна c, а от оси OX отрезок, величины d (см. рис.4).
Уравнение такой линии имеет следующий вид
y x
  1.
c d
Пример 5. Записать уравнение прямой в виде
y  kx  b , если эта прямая проходит через точки с
3
2


координатами A1 0; 1 и A2  ; 0 
Решение. Запишем уравнение этой прямой в
отрезках
y
x

 1.
1 32
Разрешив это уравнение относительно y , получим y  
Ответ: y  
2
x  1.
3
2
x  1.
3
5. Построение прямой по ее уравнению
Для построения прямой достаточно отметить две ее точки. Например,
можно взять точки пересечения с осями (если прямая не параллельна ни
одной оси и не проходит через начало координат). Для большей точности
полезно найти еще одну-две контрольные точки.
Пример 6. Построить прямую 4 x  3 y  1 .
Решение. Положив y  0 , найдем точку пересечения прямой с осью
1 
A1  ; 0  . Положив x  0 , найдем точку пересечения с осью
4 
 1
ординат: A2  0;  . Эти точки слишком близки друг к другу. Поэтому дадим
 3
абсциссе еще два значения, например, x  3 , и x  3 . Найдем точки
13 
11


A3   3;  , A4  3;   . Проводим прямую A1 A2 A3 A4 (см. рис.5)
3
3


абсцисс:
6. Условие параллельности прямых
Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями
y  a1 x  b1 ,
y  a 2 x  b2 ,
служит равенство коэффициентов a1  a 2 , т.е. две прямые параллельны,
если угловые коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые
коэффициенты различаются.
Например, прямые y  3x  5 и y  3 x  4 параллельны, так как
равны их угловые коэффициенты ( a1  a2  3 ), а прямые y  6 x  1 и
y  5 x  1 не параллельны, так как у них различные угловые коэффициенты.
Если прямые заданы уравнениями общего вида
A1 x  B1 y  C1  0,
A2 x  B2 y  C 2  0,
то для определения, параллельны они или нет, можно разрешить заданные
уравнения относительно y и сравнить угловые коэффициенты. Но можно
проверить условие параллельности непосредственно по коэффициентам А и
В:
A1 B1
.

A2 B2
Если дополнительно и свободные члены пропорциональны
A1 B1
,

A2 B2
то прямые, заданные уравнениями, не только параллельны, но и совпадают.
7. Условие перпендикулярности прямых
Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями
y  a1 x  b1 ,
y  a 2 x  b2 ,
служит соотношение a1 a2  1 , т.е. две прямые перпендикулярны, если
произведение их угловых коэффициентов равно -1.
1
3
Например, прямые y  3 x  1 и y   x  4 перпендикулярны, так
 1
 3
как a1 a 2  3      1.
8. Вычисление площадей фигур, ограниченных прямыми линиями
На вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются задания, связанные с
вычислением площадей фигур, ограниченных различными линиями, в том
числе и прямыми. При решении подобных задач прежде всего необходимо
составить чертеж, позволяющий наглядно увидеть, о каких фигурах идет
речь. Кроме того, нужно помнить формулу из геометрии, которая определяет
расстояние между двумя точками на координатной плоскости A1  x1 ; y1  и
A2  x2 ; y 2 :
A1 A2 
x
 x1    y 2  y1  .
2
2
(1)
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной тремя прямыми
y  0,5 x  3,
2
y  0,5 x  6 и y   x  6 .
Решение. Изобразим указанные линии на плоскости (см. рис.6).
Видим, что все три линии ограничивают треугольник АВС. Вершины А и С
лежат на осях, следовательно, их координаты легко находятся из рисунка:
A(0;6), C(6;0). Для нахождения координат вершины В учтем, она получается
в результате пересечения первой и второй линий, указанных в условии.
Приравняв ординаты, получим уравнение
0,5 x  3  0,5 x  6 ,
решение которого x  9 . Это абсцисса вершины В. Подставив это значение,
например, в первое из рассматриваемых уравнений, получим y  1,5 . Это
вторая координата вершины: В(9; 1,5).
Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу
Герона. Для этого необходимо найти длины сторон треугольника. Из
формулы расстояния между точками находим:
AB  9 2  4,52  4,5 5 ,
AC  6 2  6 2  2 6,
BC  32  1,52  1,5 5 .
Напомним, что формула Герона для площади треугольника имеет вид:
S  p  p  a  p  b  p  c  ,
где p - полупериметр, a, b и c - длины сторон. С учетом найденных сторон
p  3 2  3 5 . Подставляя в формулу Герона, получаем площадь, равную
13,5 кв. единиц.
Ответ: 13,5 кв. единиц.
9. Модули в линейных функциях
Появление модулей в линейных выражениях приводит к тому, что
графики прямых линий превращаются в графики ломаных линий.
Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример 8. Изобразить график функции y  7 x  x  5 x  2 .
Решение. Для нахождения указанных промежутков необходимо
раскрыть модули. Для этой цели удобно использовать метод интервалов.
Найдем промежутки или интервалы, на которых выражения, стоящие
внутри модульных скобок, не меняют своих знаков. В первых модульных
скобках простейшее выражение x меняет знак в начале координатной оси,
т.е. при x  0 . Приравняем к нулю выражение во вторых модульных
скобках: x  2  0 . Следовательно, смена знака этого выражения
происходит при x  2. Эти два значения разбивают координатную ось на
три интервала:  ; 0, 0; 2, 2; . На каждом из них выражения,
стоящие внутри модульных скобок или положительны, или отрицательны.
Начнем с первого интервала  ; 0 . Здесь оба выражения
отрицательны. В этом легко убедиться, подставив любое число из этого
интервала в соответствующие выражения. Следовательно, в соответствии
с правилами раскрытия модулей модульные скобки заменим круглыми,
поставив перед ними знак минус. Поскольку перед модулями уже
имеются отрицательные знаки, они станут положительными:
y  7 x  x  5 x  2 или y  3x  10 .
На втором интервале 0; 2 выражение внутри второго модуля попрежнему отрицательно, а внутри первого – положительно.
Следовательно, имеем
y  7 x  x  5 x  2 или y  x  10 .
Наконец, на интервале 2; оба выражения внутри модулей
положительны:
y  7 x  x  5 x  2 или y  11x  10 .
Объединяя все три случая, результат можно записать единой
формулой. Но при этом граничные точки следует отнести к какому-то
интервалу, например, x  0 включить во второй интервал, а x  2 - в
третий. Тогда
3x  10 при    x  0,

y   x  10 при 0  x  2,
11x  10 при 2  x  .

При построении графика этой функции следует иметь в виду, что на
каждом интервале имеется свое уравнение прямой линии. График этой
функции изображен на рис.7. Из рисунка видим, что найденные уравнения
характеризуют прямые линии, но поскольку они относятся к конкретным
промежуткам, в целом они задают ломаную линию.
9. Итоги урока
В этом уроке мы вспомнили распространенное уравнение прямой
линии, разрешенное относительно ординаты, а так же еще два полезных
представления прямой линии в виде общего уравнения и уравнения в
отрезках.
Общее уравнение часто встречается в системах линейных
уравнений, а уравнение в отрезках упрощает нахождение формулы,
представляющей прямую линию, если известны точки пересечения осей
координат. Рассмотрены условия параллельности и перпендикулярности
двух линий, а также построение прямой линии по ее уравнению.
10. Домашнее задание