Чему должно быть равно отношение ... напряженность магнитного поля в центре ... Примеры решения задач

Примеры решения задач
Задача 1
Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы
напряженность магнитного поля в центре катушки можно было найти по
формуле для напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при
таком допущении не должна превышать 5%.
Дано:
ε=0.05
Решение
Воспользуемся формулами для напряжённости магнитного поля
на оси соленоида
конечной
длины:
Найти:
l
?
D
H 
и бесконечно
соленоида:
n
N
l
длинного
H   In .
Здесь
плотность намотки
–
соленоида.
поля
в
силу симметрии
In
cos 1  cos  2 
2
1   2  
(см.
рис.
1),
Для напряжённости
центре соленоида в
тогда cos  2   cos 1 , и
In
2 cos  1   In cos  1 . Относительная погрешность   H  H   H  H   1;
2
H
H
H
In
1
1
l
1 
 1 ; cos  1 
или  
. Из рис.1 cos 1  2
. Тогда
1 
In cos  1
cos  1
l  D2
H
l

1
,
1 
l 2  D2
D
2
 1     1 ;
l
откуда
l 2  D2
 1  ,
l
l
1
.

D
 2   
Подставим
l 2  D2
 1  ;
l2
численные
1
D2
 1  ;
l2
значения:
l
1

 3.12 .
D
0.052  0.05
l
Ответ:  3.12 .
D
Задача 2
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи
силой 50 А и 100 А в противоположных направлениях. Расстояние между
проводами 0.2 м. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на 0.25 м
от первого и на 0.4 м от второго провода.
1
Решение
Дано:
I1=50 А
I2=100 А
r1=0.4 м
r2=0.25 м
d=0.2 м
1
2
Найти:
B=?
О
Рис.2

По правилу правого винта определяем направления векторов индукции B1 и

B 2 магнитных полей, созданных в точке О токами I1 и I2 соответственно (рис.2).

 

По принципу суперпозиции B  B1  B2 . Величину результирующего вектора B
найдём по теореме косинусов: B 2  B12  B22  2B1 B2 cos  . Аналогично, по теореме
косинусов
для
треугольника
12О:
Тогда
d 2  r12  r22  2r1r2 cos  .
r12  r22  d 2
. Величины
r1 r2
B  B12  B22  B1 B2

B1

и B2 определяем по формуле
индукции прямого бесконечного проводника с током: B1   0
I1
I
и B2   0 2 .
2r1
2r2
Магнитную проницаемость считаем равной 1 (магнетика нет): μ=1. Тогда

B 0
2
2
2


 I1   I 2 
I I r 2  r22  d 2
      1 2  1
.
r1r2
r1 r2
 r1   r2 
Подставим
численные
значения:
4  10 7  50   100 
50  100
0.4 2  0.25 2  0.2 2  2  10 7 125 2  400 2  91250 ,

 
 
2
2
 0.4   0.25  0.4  0.25
или B  581  10 -7  58.1  10 6 Тл  58.1мкТл .
Ответ: B  58.1мкТл .
2
B
2


Задача 3
По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью 2106 А/м2.
Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом 510-3 м,
проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость
составляет угол 300 с вектором плотности тока.
Дано:
Решение
6
2
j=210 А/м
По теореме о циркуляции циркуляция
-3
R=510 м
вектора напряжённости магнитного поля по
0
β=30
произвольному замкнутому контуру равна
результирующему
макротоку,
текущему
Найти:
 
 Hdl  ?
L
Рис.3
2
сквозь поверхность, натянутую на этот контур:
 
макро
H
 dl   I i . Суммарный
i
L
 
 
макроток выразим через плотность тока:  Hdl   j dS   j  cos   dS , где интеграл
L
S
S
берётся по поверхности S, натянутой на контур L, α – угол между нормалью к
контуру и вектором плотности тока (рис.3). Поскольку     90 0 и ток
распределён равномерно ( j  const ), то  j  cos   dS  j  sin    dS  j  sin   R 2 .
S
S
Здесь учтено, что интеграл по поверхности,
натянутой на контур, равен площади
 
2
круга:  dS  R . Таким образом,  Hdl  j  sin     R 2 . Подставим численные
S
L
 
значения:  Hdl  2  10 6  sin 30 0  3.14  5  10 3

L

2
 78.5 А .
 
Ответ:  Hdl  78.5 А .
L
Задача 4
По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0.24
мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10 рад/с
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.
Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного
стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень
имеет массу 12 г.
Решение
Дано:
l=0.2 м
q=0.24.10-6 Кл
ω=10 рад/с
m=0.012 кг
Найти:
pm=?
pm
?
L
На расстоянии
Рис.4
x от оси вращения выделим элемент длины стержня dx
dq dx
. Заряд dq, вращающийся по

q
l
dq
2
окружности, создаёт эквивалентный ток dI  , где T 
– период вращения.
T

Магнитный момент этого тока равен dpm  dI  S , где S    x 2 – площадь «витка»
(рис.4). Его заряд dq найдём из пропорции:
эквивалентного тока, поскольку заряд вращается по окружности радиусом x.
3
Таким
образом,
получим:
dpm  dI  S  dI  x 2 
dq
q  dx
q  2
 x 2 
 x 2 
 x  dx .
2

T
2l
l

Проинтегрировав полученное выражение по всей длине стержня, получим
магнитный
момент,
обусловленный
его
вращением:
q  2
q 2
q x 3
p m   dp m  
 x  dx 
x
dx



2

l
2
l
2
l
3
0
0
0
l
l
l
l

0
q l 3
q  l 2
 , или p m 
.
2l 3
6
Момент импульса твёрдого тела по определению равен L  J   , где J 
ml 2
3
– момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня
перпендикулярно ему. Тогда pm 
ml 2
  . Таким образом, отношение моментов
3
q  l 2
pm
q
6


равно:
.
Подставим
численные
значения:
2
L
ml   2m
3
2
-6
pm
q  l
0.24  10  10  0.2 2
q
0.24  10 6
pm 

 1.6  10 8 А/м 2 ;


 10 5 Кл / кг .
6
6
L
2m
2  0.012
p
Ответ: p m  1.6  10 8 А/м 2 ; m  10 5 Кл / кг .
L
Задача 5
По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г был пропущен ток
силой 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой
нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном
магнитном поле с индукцией 2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.
Решение
Дано:
На
рамку с током в магнитном поле действует момент


m=0.002 кг
сил M  pm  B . Величина момента зависит от угла α между
I=6А

B
вектором
магнитной
индукции
и магнитным моментом
B=0.002 Тл
рамки p m : M  pm B sin  . В положении равновесия оба вектора
направлены одинаково, α=0 (рис.5). Если рамку вывести из
Найти:
положения равновесия, повернув на малый угол α, проекции
T=?
момента сил и углового перемещения на ось
вращения будут иметь противоположные знаки
(момент сил возвращает в положение
равновесия), тогда M   pm B   . Здесь учтено,
что угол – малый, и sin    . По закону
динамики вращательного движения твёрдого
тела M  J   , где J – момент инерции тела
относительно оси вращения;     – угловое
ускорение, равное второй производной по
времени от угла поворота. Таким образом,
Рис.5
4
pm B
   0 . Сравнив с дифференциальным
J
уравнением гармонических колебаний:     2    0 , получим циклическую
p B
частоту:   m . Обозначим a длину стороны рамки, тогда магнитный момент
J
её равен p m  I  S  I  a 2 . Момент инерции J рамки можно найти как сумму
m
моментов инерции всех четырёх сторон, масса каждой из которых равна m1  .
4
получим: J      pm B   , или   
Для двух горизонтальных сторон используем формулу момента инерции тонкого
стержня относительно оси, проходящей через его середину: J 1 
m1  a 2 ma 2
.

12
48
Моменты инерции двух вертикальных сторон можно найти из формулы для
момента инерции твёрдого тела J   r 2 dm с учётом, что вся масса стороны
m
m1 
m
4
расположена на одинаковом расстоянии от оси, равном
r
a
:
2
2
a 2 m ma 2
a
J 2   r 2 dm  r 2   dm     m1 
 
. Тогда момент инерции всей рамки
4 4
16
2
m1
m1
 ma 2 ma 2  1
  ma 2 . Подставим выражения для p m и J в формулу
J  2 J 1  2 J 2  2

48
16

 6
для циклической частоты  
2
pm B

J
Ia 2 B
6 IB

и найдём период колебаний:
2
m
ma / 6
m
2m
. Вычислим период,


6IB
3IB
2m
2  0.002
3.14
T 
 3.14

 1.05с .
3IB
3  6  0.002
3
Ответ: T  1.05с .
T
 2
подставив значения величин:
Задача 6
Протон влетел в однородное магнитное поле под углом 60 0 к направлению
линий поля и движется по спирали, радиус которой 25 мм. Индукция магнитного
поля 0.05 Тл. Найти кинетическую энергию протона.
Решение
Дано:
На
протон,
α=600
движущийся
в
R=0.025 м
магнитном
поле,
B=0.05 Тл
действует
сила
Лоренца,
равная
Найти:

 
FЛ  qv  B,
Wкин.=?
направленная
перпендикулярно
скорости и индукции поля. Величина
силы равна FЛ  qvB sin  . Скорость v
Рис.7
5
протона можно разложить на две составляющие: одна перпендикулярна
направлению поля, другая параллельна: v   v sin  ; v||  v  cos (рис.7). Тогда
можно представить силу Лоренца как FЛ  qv  B . Движение частицы является
суперпозицией двух: вращение по окружности радиуса R со скоростью v  в
плоскости, перпендикулярной полю, и равномерное поступательное движение
вдоль линий поля со скоростью v || ; в результате получается движение по
винтовой линии с шагом (расстоянием между соседними витками), равным
h  v ||  T , где T 
FЛ  m  aц.с.
2R
v
– период вращения. По второму закону Ньютона
m  v
v 2
v 2
2m
2m
, или q  v   B  m . Отсюда R 
; T
; h  v || 
.
m
qB
R
R
qB
qB
Для решения нашей задачи достаточно из второго закона Ньютона выразить
скорость и затем найти кинетическую энергию: v  
2
Wкин.
mv 2 m  RqB 

 
 ;
2
2  m sin  
значения:. Wкин.
Wкин. 
1

2  1.67  10  27
v
RqB
RqB
; v  
;
m
sin  m  sin 
2
Wкин.
1  RqB 


 .
2m  sin  
Подставим
численные
2
 0.025  1.6  10 19  0.05 
  1.6  10 17 Дж ,
 
0
sin 60


или
1.6  10 17
 100эВ .
1.6  10 19
Ответ: Wкин.  1.6  10 17 Дж  100эВ .
Задача 7
Провод в виде тонкого полукольца радиусом 10 см находится в однородном
магнитном поле с индукцией 50 мТл. По проводу течет ток силой 10 А. Найти
силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна
линиям индукции, а подводящие
провода находятся вне поля.
Решение
Дано:
Выделим
R=0.1 м
элемент
тока

B=0.05 Тл
I  dl (рис.8). Пусть
I=10 А
индукция
магнитного
поля
Найти:
направлена
из-за
F=?
рисунка к нам.
R
Угол
между
элементом тока и вектором индукции
равен 900, тогда величина
силы
Ампера, действующей на этот
dF  IdlB sin 90 0  IdlB , а
элемент,
направление её, найденное по
правилу левой руки, указано на
Рис.8
6
рисунке. Проекции силы Ампера на оси OX и OY равны соответственно:
dFx  dF  cos  и dFy  dF  sin  . Элемент длины проводника можно выразить через
приращение угла d : dl  R  d . Тогда
dFx  I  B  R  cos   d ,
dFy  I  B  R  sin   d .
Полученные выражения проинтегрируем по всей длине полуокружности, то есть


по углу  в пределах       :

2
2


2
 
  
Fx   dFx  IBR  cos d ; Fx  IBR sin   2    IBR  sin  sin     ,
 
2
 2 


 2

2

 
  
Fx  IBR sin   2    IBR  sin  sin     ;



2
 2 

 2


2
Fx  2IBR . Аналогично, Fy   dFy  IBR  sin d  IBR  cos   2  0 . Таким образом,



2
2
результирующая сила направлена по оси OX и равна F  Fx  2IBR . Подставим
численные значения: F  2 10  0.05  0.1  0.1Н .
Ответ: F  0.1Н .
Задача 8
Горизонтальный металлический стержень длиной 50 см вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с частотой 2 Гц.
Определить разность потенциалов между концами стержня, если вертикальная
составляющая напряженность магнитного поля Земли равна 40 А/м.
Решение
Дано:
Разность потенциалов на концах стержня возникает, так
l=0.5 м
как на электроны металла, движущиеся вместе со стержнем в
ν=2 Гц
магнитном поле, действует сила Лоренца, направленная
H=40 А/м
вдоль стержня и равная FЛ  qvB sin  , где угол между
направлением скорости и индукцией магнитного поля α=90 0.
Найти:
Действие силы Лоренца можно интерпретировать как
Δφ=?
действие
эквивалентного
электрического
поля
Е B  v  B.
напряжённостью
Она
направлена
противоположно силе Лоренца,
так как заряд электрона
отрицателен. Под влиянием
силы
Лоренца
произойдёт
перемещение электронов, и на
концах проводника возникнет
разность
потенциалов
Δφ.

2
1

EB
Рис.9


7

Возникшее электрическое поле Е будет препятствовать передвижению зарядов,
и их дальнейшее передвижение прекратится, когда сила со стороны
индуцированного электрического поля будет равна по величине, но


ЕB  E .
противоположна по направлению силе Лоренца, или
Разность
потенциалов
связана
с напряжённостью
электростатического
поля:
2
 
   2  1    Edl
,
2


l
  

   Е B dx   v  B  dx ,
тогда
1
1
l
   vBdl .
или
0
Здесь
0
интегрирование ведётся по длине стержня от точки 1 до точки 2. Линейная
скорость v электрона, находящегося на расстоянии x от оси вращения, и угловая
l
x2
ω связаны соотношением: v  x   , тогда    xBdx  B
2
0
Такой
же
результат
электромагнитной индукции:
даёт
εi
использование
d

, или
dt
εi


T
l
 2  B
0
закона
l2
   Bl 2 .
2
Фарадея
для
, где  – пересечённый
магнитный поток (поток вектора магнитной индукции через поверхность
S    l 2 , заметённую проводником за время, равное периоду вращения T 
  BS  B  l 2 ;
εi


1

):
  B  l 2 . Индукцию магнитного поля выразим через
T
B   0 H , тогда
     0 Hl 2 (магнитная проницаемость
напряжённость:
среды   1 ).
Подставим численные значения:
  3.14  2  4  3.14  10 7  40  0.5 2  79  10 6 В  79 мВ .
Ответ:   79 мВ .
Задача 9
Проводник длиной 60 см и сопротивлением 0.02 Ом под действием силы
Ампера движется в магнитном поле с индукцией 1.6 Тл равномерно со
скоростью 50 см/с по медным шинам. Шины подключены к источнику ЭДС 0.96
В и внутренним сопротивлением 0.01 Ом. Поле перпендикулярно плоскости, в
которой лежат шины. Определить: 1) силу тока в цепи; 2)
мощность, развиваемую движущимся проводником; 3)
Дано:
мощность, расходуемую на нагревание проводника.
l=0.6 м
Решение
R=0.02 Ом
На
проводник
B=1.6 Тл
действует сила Ампера,
v=0.5 м/с


FA  I l  B ;
равная
её
ε=0.96 В
величина FA  I  l  B  sin  ,
r=0.01 Ом
где   90 0 – угол между
направлением
вектора
Найти:

B
магнитной
индукции
и
I=?

элементом тока I  l , а
PДВ=?
направление можно найти
PНАГР=?
Рис.10
8
по правилу левой руки (рис.10). Сила тока по закону Ома для замкнутой цепи
равна I 
 i
Rr
, где

i

d
– ЭДС индукции, возникающая при изменении
dt
площади контура, и, соответственно, при изменении магнитного потока через
площадь контура. За время dt проводник переместится на расстояние v  dt ,
площадь контура увеличится на dS  l  v  dt , а магнитный поток – на
d  BdS  B  l  v  dt .
FA
  Blv  l  B .

Rr
Таким
образом,

i

d
Bl vdt

  Bl v ,
dt
dt
I
 Blv ,
Rr
Мощность, развиваемая движущимся проводником, – это
мощность силы Ампера и равна: PДВ 
FA  v  dt
 FA  v  I  lBv . Мощность,
dt
расходуемую на нагревание проводника, найдём по закону Джоуля-Ленца:
PНАГР 
dQ Д  Л
dt
I 2 R  dt

 I 2R .
dt
Подставим
численные
значения:
I
 Blv  0.96  1.6  0.6  0.5  16 А ;
Rr
0.02  0.01
PДВ  I  lBv  16  0.6  1.6  0.5  7.68Вт ; PНАГР  I 2 R  16 2  0.02  5.12Вт .
Можно проверить полученные результаты, используя закон сохранения

энергии: полная мощность, даваемая источником, равна PПОЛН  PДВ  PНАГР  PНАГР
  I 2 r  16 2  0.01  2.56Вт – мощность, выделяемая на внутреннем
Здесь PНАГР
сопротивлении источника тока, а PПОЛН    I  0.96  16  15.36Вт . Таким образом,
получаем верное равенство: 7.68  5.12  2.56  15.36 .
Ответ: I  16 А ; PДВ  7.68Вт ; PНАГР  5.12Вт ;
Задача 10
Определить силу тока смещения между квадратными пластинами
конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля
изменяется со скоростью 4.52 МВ/(м.с).
Решение
Дано:
По определению плотность тока смещения
dE
 4.52  10 6 В /  м  с 
dt
а=0.05 м
Найти:
IСМ =?

D
, а вектор электрического смещения связан с
j см. 
t
напряжённостью электрического
поля соотношением



D   0 E ,
тогда

E
.
jсм .   0
t
Силу
  1.
Диэлектрическая
проницаемость
тока
смещения,
протекающего между обкладками конденсатора, найдём из определения
плотности тока:
I СМ  j СМ S   0
j
I
, где
S
S  a2
– площадь обкладок. Таким образом,
dE 2
a . Подставим численные значения:
dt
I СМ  8.85  10 12  4.52  10 6  0.05 2  0.1  10 6 А .
9
Ответ: I СМ  0.1  10 6 А  0.1мкА .
Задача 11
В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток
силой 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две
Дано:
большие стороны ее длиной 0.65 м параллельны проводу, а
I=50 А
расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее
а=0.65 м
ширине. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.
b=l
Решение
Найти:
Прямой бесконечный проводник с током создаём магнитное
Ф =?
поле, величина вектора индукции которого определяется
расстоянием x до провода: B   0
I
2  x
, а направление – по
правилу правого винта (рис.11). Найдём магнитный поток d через малую
площадку dS  a  dx , параллельную проводнику. Так как dx мало, то в пределах
заштрихованного прямоугольника индукцию
можно
считать
одинаковой,
и
по
определению
магнитного
потока
d  B  dS  cos  , где   0 – угол между

направлением вектора B и нормалью к
площадке.
Таким
образом,
d  B  a  dx 
 0 I
 a  dx .
2  x
Проинтегрируем
полученное выражение по x в пределах
l  x  l  b , то есть по всей площади
прямоугольника:
l b
Рис.11
 0 I
 0 Ia l b dx
;
   d  
 a  dx 
2  x
2 l x
l
 Ia  l  b    0 Ia
2l
  0   ln
 ln , так как

2 
l 
2
l
 0 Ia
 0 Ia
l b
lnl  b  ln l  ;
 ln x  l 
2
2
 Ia
  1 . И, наконец,   0  ln 2 . Подставим численные значения:
2
7
4  10  50  0.65

 ln 2  4.5  10 6 Вб .
2
Ответ:   4.5  10 6 Вб  4.5 мкВб .

Задача 12
Обмотка соленоида с железным сердечником содержит 500 витков. Длина
сердечника равна 0.5 м. Как и во сколько раз изменится индуктивность
соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от 0.1 до 1 А?
Использовать график зависимости индукции от напряженности магнитного поля
для железа (рис.12).
10
Дано:
N=500
I1=0.1 А
I2=1 А
l=0.5 м
Найти:
L2
?
L1
Решение
По определению индуктивность катушки равна L 

I
, где
  N
– полное потокосцепление, то есть суммарный
магнитный поток через все N витков катушки,   BS –
магнитный поток через один виток, S – площадь сечения
соленоида. Индукцию магнитного поля соленоида с
ферромагнитным сердечником найдём по графику (ри.12),
рассчитав предварительно напряжённость поля соленоида по
формуле
H  nI 
N
I :
l
N
500
I 
 0.1  0.1  10 3 А / м ,
тогда
l
0.5
по
графику
B1  0.5Тл ;
500
H2 
 1  10 3 А / м , и B1  1.45Тл . Таким
0.5
L2  2 /I 2
N 2 I1
образом,
или


 ,
L1 1 / I 1 N 1 I 2
L2  2 I1 B2 I1
.
Подставим

 
L1 1 I 2 B1 I 2
L
1.45  1
численные значения: 2 
 29 .
L1 0.5  0.1
H1 
Рис.12.
Ответ: индуктивность соленоида увеличится в 29 раз.
Задача 13
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2.66 нФ и
катушки без сердечника, намотанной из медного провода
диаметром 0.5 мм (витки вплотную, толщиной изоляции
Дано:
пренебречь). Длина катушки 20 см. Найти логарифмический
C=2.66.10-9 Ф
декремент затухающих колебаний. Удельное сопротивление
d=0.5.10-3 м
меди равно 1.7.10-8 Ом.м.
l=0.2 м
Решение
ρ=1.7.10-8 Ом.м
Логарифмический декремент затухания выразим через
μ=1
период затухающих колебаний
2
Найти:
T
(1)
З
λ =?
и коэффициент затухания
R
:
2L
   T ,

(2)
(3)
а циклическую частоту ωЗ затухающих колебаний – через собственную частоту
контура
11
1
0 
:
(4)
З  02   2 .
(5)
LC
Здесь R – активное сопротивление катушки, а L – её индуктивность:
L   0
Число витков катушки равно N 
N2
S.
l
(6)
l
, так как витки расположены вплотную и
d
изоляция провода ничтожно мала. Площадь сечения катушки выразим через её
радиус r: S    r 2 . Тогда из (6) получим: L   0
L   0
Активное сопротивление R
lПР  N  2  r
R
( 2  r
l
 r2.
2
d
(7)
катушки определяется длиной провода
– длина одного витка) и его сечением
S ПР 
 d2
4
:
l ПР
N 8 r
l 8  r 8  l  r
N  2  r
  2 
, или R  
. Таким образом, из (2) и

2
2
d d
d
d3
S ПР
  d /4
(7) получим:  
Теперь
0 
l2
  r 2 , или
d 2l
1
LC

R 1 8  l  r
d2
; или
 

2L 2
d3
0l    r 2
4

.
d  0    r
выразим
частоту
(8)
собственных
колебаний
из
(4)
и
(7):
d2
d
; 0 
; а затем – частоту затухающих колебаний
2
C 0 l  r
r  C 0 l  
из (5) и (8):  З   02   2 
d2
16  2

;
r 2 C 0 l   d 0 2  r 2
З 
1
d2
16  2

.
r C 0 l   d 0 2
Уравнения (1), (3) и (9) дают:     T  
Окончательно:  
8

d  0
численные значения:  
1
d2
16  2

C 0 l d 0 2
8
5 10 
4 4
 4  10

З
, 
4

d  0    r

, или
2  r
d2
16  2

C 0 l d 0 2
8
d 4 0
16
 2
2
Cl

.
. Подставим
 0.0198 .
7
2.66  10  0.2 1.7  10
-9
2
(9)

8 2

16
2
Ответ:   0.0198  0.02 .
12
Задача 14
В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены
последовательно емкость 35.4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и
индуктивность 0.7 Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости,
активном сопротивлении и индуктивности.
Решение
Дано:
U
По закону Ома для переменного тока: I 0  0 , где
UЭФФ=220 В
Z
ν=50 Гц
2
1 

C=35.4.10-6 Ф
Z  R 2   L 
–
полное
сопротивление
цепи

C 

R=100 Ом
переменного тока. Амплитудные значения напряжения и тока
L=0.7 Гн
связаны с эффективными формулами: U ЭФФ 
Найти:
IЭФФ=?
U0С=?
U0R=?
U0L=?
U0
2
и I ЭФФ 
а циклическая частота равна:   2 . Тогда I ЭФФ 
I ЭФФ 
U ЭФФ
1 

R 2   2  L 

2  C 

2
.
I0
2
,
U ЭФФ
, или
Z
(1)
Падение напряжения на каждом участке цепи можно найти по закону Ома
для данного участка, используя формулы ёмкостного RC 
1
и индуктивного
C
RL  L сопротивлений:
2  I ЭФФ
;
2  C
 I 0  RL  2  I ЭФФ  2  L ;
U 0C  I 0  RC 
U 0L
U 0R  I 0  R .
(2)
(3)
(4)
Подставим численные значения в (1)-(4):
I ЭФФ 
220
1


100 2   2  50  0.7 
6 
2  50  35.4  10 

U 0C 
2
 1.34 А ;
2  1.34
 170 В ;
2  50  35.4  10 6
U 0 L  2  1.34  2  50  0.7  417 В ;
U 0 R  1.34  100  134 В .
Ответ: I ЭФФ  1.34 А ; U 0C  170В ; U 0 L  417 В ; U 0 R  134В .
Задача 15
В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены катушка индуктивности,
амперметр и ваттметр. Показания приборов соответственно 120 В, 10 А, 900 Вт.
Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление и сдвиг фаз
между током и напряжением.
13
Решение
Цепь не содержит ёмкости, поэтому формула закона Ома
Дано:
ν=50 Гц
UЭФФ=120 В
IЭФФ=10 А
P=900 Вт
U ЭФФ
для переменного тока I ЭФФ 
1 

R 2    L 

 C 

не содержит
2
ёмкостного сопротивления:
Найти:
L=?
R=?
φ=?
U ЭФФ
I ЭФФ 
R 2    L 
2

U ЭФФ
R 2  2   L 
2
.
(1)
Мощность переменного тока равна: P  I эфф .U эфф . cos  , откуда
cos  
P
.
I ЭФФ U ЭФФ
(2)
Сдвиг фаз между током и напряжением определяется формулой:
tg 
1
C  2   L .
R
R
L 
(3)
Преобразуем (3):
2   L  R  tg
и подставим в (1): I ЭФФ
Поскольку
R
1  tg   
2
U ЭФФ
U
. Отсюда получим: R 1  tg    ЭФФ
 I ЭФФ
2
R  R  tg 
2
2
1
,
cos 2 
(4)
U
R
 ЭФФ .
cos  I ЭФФ
то
С

2


 .

учётом
(2)
2
U ЭФФ
U
P
. Таким образом,
 cos   ЭФФ 
I ЭФФ
I ЭФФ I ЭФФU ЭФФ
P
R 2 .
I ЭФФ
(5)
Наконец, найдём индуктивность из (4):
L
R  tg
.
2 
Подставим численные значения в (2), (5) и (6): cos  
(6)
900
 0.75 , откуда
10  120
900
9  tg 42 0

9
Ом
;
L

 0.16 Гн .
2  50
10 2
Ответ:   420 ; R  9Ом ; L  0.16Гн .
  arccos 0.75  42 0 ; R 
14