Естественный алгоритм

Полуинвариант.
Петя умножает число 2014 на правильную дробь так, чтобы результат оказался снова натуральным числом. С результатом он проделывает то же самое, и т.д. Какое наибольшее количество умножений он может проделать?
2. Последовательность чисел образована по следующему правилу. Первые три ее члена – a1, а2, а3, – произвольные натуральные числа. Четвертый член а4 равен остатку от деления а2а3 на a1, пятый член а5 равен остатку от деления а3а4 на a2 и
т.д. Докажите, что в этой последовательности обязательно встретится 0.
3. Докажите, что любые 2n точек на плоскости являются концами n непересекающихся отрезков.
4. Задано несколько красных и несколько синих точек, некоторые точки соединены отрезками. Назовем точку особой, если
более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется
ни одной особой точки.
5. На каждой грани куба написано число, причем среди этих чисел есть различные. Каждое из написанных чисел заменяется на среднее арифметическое чисел, написанных на четырех соседних гранях. Могут ли через несколько операций на
всех гранях оказаться исходные числа?
6. По окружности выписаны несколько натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами вписывается их
наибольший общий делитель. После этого прежние числа стирают, а с оставшимися проделывают ту же операцию. Докажите, что через несколько шагов все числа на окружности будут равны.
7. С невыпуклым многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой АВ, где
А и В – несмежные вершины многоугольника, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками А и
В, центрально симметрично отражается относительно середины отрезка АВ. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.
8. В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на две так, чтобы каждый человек
имел знакомого из другой группы.
9. В парламенте у каждого депутата не более трех врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, чтобы у каждого депутата в своей палате было не более одного врага.
10. В посёлке некоторые дома соединены проводами. Соседями называются двое, дома которых связаны проводами. Всегда
ли удастся поселить в каждый дом по одному человеку – лжецу или рыцарю – так, чтобы каждый на вопрос: «Есть ли
среди ваших соседей лжецы?» – ответил положительно. (Каждый знает про каждого своего соседа, лжец он или нет).
1.
11. В стране из каждого города выходит по 3 железные дороги. Две компании хотят их все приватизировать. Антимонопольный комитет требует, чтобы из каждого города выходили дороги обеих компаний. Доказать, что
компании могут договориться между собой, чтобы требование Антимонопольного комитета было выполнено.
12. При дворе короля Артура собрались 2N рыцарей, причем каждый из них имеет среди присутствующих не более N–1 врага. Докажите, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за Круглый Стол, что
ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.
13. Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой
квадрат 1х1, все участки вместе составляют квадрат 5х5. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с
тремя другими. Доказать, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки двух поссорившихся коротышек не были соседними.
14. На плоскости дано N точек, некоторые из которых соединены отрезками. Известно, что из любой точки выходит не более 11 отрезков. Докажите, что эти точки можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы отрезков с одноцветными концами было не более N.
15. На доске написаны 10 чисел: единица и девять нулей. Разрешается выбрать любые два числа и заменить каждое их средним арифметическим. Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы после серии таких операций?
16. В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности каждое число, начиная с некоторого места, равно сумме всех предыдущих чисел.
17. С натуральным числом, написанным на доске, разрешается проделать такую операцию: умножить его на выражение (p–1)2/p, где p – его простой делитель, и записать результат вместо исходного числа. Докажите, что,
какое бы исходное число мы ни взяли и как бы мы ни проделывали описанные операции, на доске рано или
поздно появится число 1.
18. Дан набор из P чисел, каждое равно +1 или -1. За одну операцию можно изменить знак нескольких стоящих
подряд чисел. За какое минимальное число таких операций можно прийти к набору из одних +1?
19. По кругу стоят несколько ребят, у каждого из них несколько шариков. По сигналу ведущего каждый передает
половину своих шариков стоящему справа (если число шариков у кого-нибудь нечетно, то ведущий предварительно добавляет ему один шарик). Это повторяется много раз. Докажите, что когда-нибудь у всех ребят будет
поровну шариков.
20. За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему
сигналу каждый передает часть своих орехов соседу справа: половину - если у него было четное число, или
один орех плюс половину остатка - если нечетное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий, и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десяти орехов.
21. В библиотеке на полке в произвольном порядке расставлены N томов энциклопедии. Робот-библиотекарь
каждую минуту делает следующее: берет произвольный том, не стоящий на своем месте, и ставит его на место. Докажите, что через некоторое время все тома будут стоять на своем месте.