К о н т р о л ь н а я р а б о т а З а д а н и е № № 1 1 Решить системы линейных уравнений, используя формулы Крамера. x y 2z 6 1) x y z 4 ; 2 x 3 y z 7 2 x y z 5 2) x y z 4 ; x 2 y 3z 9 x 2 y z 5 3) x y z 4 ; 2 x y 3 z 9 x y 2z 8 5) x y z 5 ; 2 x 3 y z 8 2 x y z 6 6) x y z 5 ; x 2 y 3z 12 x 2 y z 6 x 2 y z 6 7) x y z 5 ; 8) 2 x y z 6 ; 2 x y 3z 12 x y z 5 x y 2z 6 9) x y z 5 ; 10) 2 x 3 y z 12 x 2 y z 5 4) 2 x y z 5 ; x y z 4 2 x y z 6 ; x y z 5 x 2 y 3z 10 Образец решения: x y 2z 9 x 2 y z 8 x y z 6 11 2 9 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 1 1 ; x 8 2 1 18 6 16 24 9 8 1 ; 11 1 6 1 1 19 2 11 9 y 1 8 1 8 9 12 16 6 9 2 ; z 1 2 8 12 8 9 18 8 6 3 ; 16 1 11 6 x 1 1; 1 y 2 2; 1 З а д а н и е № z 3 3. 1 2 Дана система уравнений x 2 y 2z b 1 2 x y z b2 2 3x y z b3. 3 Записать ее в 1 2 матрицы A 2 1 2 3 3 матричном виде и решить при условии, что матрица, обратная для 2 1 b 2 0 3 3 1 1 1 , равна A 1 5 3 и вектор B b2 равен: 5 16 1 3 b3 3 3 0,1 1) 0,2 0,3 0,2 2) 0,3 0,4 0,2 6) 0,1 0,3 0,3 7) 0,2 0,4 0,3 3) 0,4 0,5 0,4 4) 0,5 0,6 0,4 5) 0,5 0,6 0,4 0,5 0,6 8) 0,3 9) 0,4 10) 0,5 0,5 0,6 0,7 Образец решения: x y z 6 2x y 2z 10 2x 3 y 3z 17 AX B A 1AX A 1B X A 1B . 1 1 1 A 2 1 2 , 2 3 3 3 6 B 10 , 17 1 1 0 , 1 4 1 A 1 2 0 3 0 1 6 1 X 2 1 0 10 2 , 1 17 3 4 1 т.е. x 1, y 2 , z 3 . З а д а н и е № 3 x1 x2 x3 2 x4 x5 1 1) 2 x1 x2 x3 3x4 5x5 2 3x 2 x x 4 x 6 x 3 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 2 x4 3x5 2 2) 2 x1 x2 x3 6 x4 4 x5 3 3x 2 x x x 5 x 2 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 x4 2 x5 3 3) 2 x1 x2 x3 6 x4 3x5 3 3x 2 x x 5x 4 x 2 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 6 x4 x5 1 4) 2 x1 x2 x3 5x4 2 x5 3 3x 2 x x 4 x 3x 2 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 5x4 6 x5 3 5) 2 x1 x2 x3 4 x4 x5 2 3x 2 x x 3x 2 x 1 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 4 x4 5x5 2 6) 2 x1 x2 x3 3x4 6 x5 1 3x 2 x x 2 x x 3 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 3x4 4 x5 1 7) 2 x1 x2 x3 2 x4 5x5 2 3x 2 x x x 6 x 4 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 2 x4 3x5 2 8) 2 x1 x2 x3 x4 4 x5 4 3x 2 x x 6 x 5x 1 2 3 4 5 1 2 x1 x2 x3 2 x4 x5 4 9) 2 x1 x2 x3 3x4 x5 1 3x 2 x x x 2 x 2 2 3 4 5 1 x1 x2 x3 3x4 2 x5 1 10) 2 x1 x2 x3 x4 x5 4 3x 2 x x 2 x x 2 2 3 4 5 1 Образец решения: x1 x2 x3 2 x4 3x5 1 2 x1 x2 x3 x4 2 x5 4 3x 2 x x 2 x 3x 1 2 3 4 5 1 1. Умножаем 1-е уравнение на 2 и вычитаем из 2-го: x1 x2 x3 2 x4 3x5 1 0 x2 x3 3x4 4 x5 2 3x 2 x x 2 x 3x 1 2 3 4 5 1 2. Умножаем 1-е уравнение на 3 и вычитаем из 3-го x1 x2 x3 2 x4 3x5 1 0 x2 x3 3x4 4 x5 2 0 x 2 x 4 x 6 x 2 2 3 4 5 3. Вычитаем 2-е уравнение из 3-го x1 x2 x3 2 x4 3x5 1 0 x 2 x 3 3 x 4 4 x5 2 0 0 x 3 x 4 2 x 5 4 Получили трапецеидальную форму, т.е. ниже главной диагонали (обведена рамкой) стоят только нули. Базисные неизвестные x1 , x 2 , x 3 . Свободные неизвестные x 4 , x5 . Выражаем x 3 из последнего уравнения x3 4 x 4 2 x5 , подставляя во 2-е уравнение, получаем x2 2 x3 3x4 4 x5 2 4 x4 2 x5 3x4 4 x5 6 2 x4 2 x5 и, подставляя в 1-е уравнение, получаем x1 1 x2 x3 2 x4 3x5 1 6 2 x4 2 x5 4 x4 2 x5 2 x4 3x5 3 x4 x5 . Таким образом, имеем x1 3 x4 x5 x2 6 2 x4 2 x5 - общее решение, x3 4 x4 2 x5 придавая свободным неизвестным любые значения получаем частные решения, например, x4 1 ; x5 2 ; x1 6 ; x2 12 ; x3 1. З а д а н и е N 4 Заданы точки A 0, 0 , B 0, 9 , C 10, 0 , D m, n . Найти координаты векторов AD , BD , DC и сумму их длин. 3 1) m 3, n 5 5) m 4, n 5 9) m 5, n 6 2) m 3, n 6 6) m 4, n 6 10) m 5, n 7 3) m 3, n 7 7) m 4, n 7 З а д а н и е № 4) m 3, n 8 8) m 4, n 8 5 Найти: а) скалярное произведение a b ; б) векторное произведение a b ; в) cos a b ; г) проекцию Пр b a . a 1,2,3 1) a 2,1,3 3) a 4,1,2 5) 7) a 2,1,4 9) a 1,3,4 b 2,1,2 ; 2) b 2,1,2 ; 4) b 2,2,1 ; 6) b 2,2,1 ; 8) b 1,2,2 ; a 3,0,4 a 3,2,1 b 2,1,2 ; a 4,2,1 b 1,2,2 ; a 1,2,4 a 3,1,4 10) b 2,1,2 ; b 2,2,1 ; b 1,2,2 ; Образец решения a 4, 3, 8 ; b 6, 2, 3 a b 4 6 3 2 8 3 6 ; i j k a b 4 3 8 9i 48 j 8k 16i 12 j 18k 7i 60 j 26k ; 6 2 3 a b 6 6 6 ; cos a b 89 49 7 89 ab 42 32 82 6 2 22 32 Пр b a a b b 6 6 2 2 2 3 2 6 49 6 . 7 З а д а н и е На плоскости заданы три точки А, B, C: а) построить треугольник ABC; б) найти уравнения его сторон; в) найти длины его сторон; г) найти координаты середин его сторон; д) найти уравнение высоты h A ; е) найти уравнение медианы AE; ж) найти тангенсы его углов. 1) 3) 5) 7) 9) А(1,1) А(1,1) А(1,1) А(1,1) А(1,1) В(6,2) В(6,2) В(7,2) В(7,2) В(8,2) С(2,4) С(2,6) С(2,7) С(2,5) С(2,5) № 6 А(1,1) В(6,2) А(1,1) В(6,2) А(1,1) В(7,2) А(1,1) В(7,2) А(1,1) В(8,2) 2) 4) 6) 8) 10) Образец решения 4 С(2,5) С(3,6) С(2,6) С(2,4) С(2,6) А (1,1) В (6,3) С (2,4) Сторона АВ: x1 y1 2x 3 2 ; k AB . ; 2x 2 5y 5 ; y 61 31 5 5 5 Сторона AC: x 1 y 1 ; 3x 3 y 1 ; y 3x 2 ; k AC 3 . 2 1 4 1 Сторона BC: x6 y3 x 9 1 ; x 6 4 y 12 ; y ; k BC . 26 43 4 2 4 Длина AB 6 1 2 3 1 2 29 . Длина AC 2 1 2 4 1 2 10 . Длина BC 2 6 2 4 3 2 17 . 1 6 7 1 3 ; yF 2. Середина АВ: x F 2 2 2 62 3 4 7 4 ; yE . Середина ВС: x E 2 2 2 1 4 5 1 2 3 ; yD . Середина АС: x D 2 2 2 4 Медиана AЕ: 5 1 x1 y1 ; 5x 5 6y 6 ; y x . 6 6 41 7 1 2 1 1 Высота h A : k h высоты вычисляется по формуле k h 4 ; уравнение k BC 1 4 высоты: y 1 4 x 1 . 2 1 2 3 13 5 4 13 5 ; tgA ; tgB y 2 11 2 1 18 1 3 C 1 5 5 4 E hA B 1 3 D 4 tgC 13 . F 1 1 1 3 4 A x 1 З а д а н и е № 7 Привести уравнение параболы, заданное в общем виде, к каноническому виду и построить график. 1) x y 2 4 y 3 2) x y 2 6 y 7 3) x y 2 8 y 13 4) x y 2 10 y 22 5) x y 2 4 y 2 6) x y 2 6 y 8 7) x y 2 8 y 14 8) x y 2 10 y 23 9) x y 2 4 y 1 10) x y 2 6 y 6 5 y x Образец выполнения задания 0 x y 2 10y 19 . Выделяем в правой части полный квадрат 5 6 x y 2 10y 25 25 19 y 2 10y 25 6 y 5 6 . 2 O1 Переписываем уравнение в виде 5 6 x 6 y 5 , 2 откуда 6 , 5 . При x 0 , y 5 6 y 5 6 - точки пересечения с осью OY. З а д а н и е № 8 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M 2 , параллельно вектору a 1, 2, 1 : 1) M11, 1, 2 M2 2, 2, 3 2) M11, 2, 3 M2 2, 3, 4 3) M11, 2, 4 M2 2, 3, 5 4) M11, 2, 2 M2 2, 3, 3 5) M1 2, 1, 1 M2 3, 2, 2 6) M1 3, 1, 2 M2 4, 2, 3 7) M1 4, 1, 2 M2 5, 2, 3 8) M1 2, 1, 2 M2 3, 2, 3 9) M11, 2, 1 M2 2, 3, 2 10) M1 2, 3, 1 M2 3, 4, 2 Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M11, 1, 1 и M2 0, 2, 1 параллельно вектору a 2, 0, 1 . Решение Задача имеет единственное решение, т.к. векторы M1 M2 1, 1, 0 неколлинеарны. В качестве нормального вектора n можно взять i и a 2, 0, 1 j k n M1 M 2 a 1 1 0 i j 2k . 2 0 1 x 1 y 1 2 z 1 0 . Уравнение плоскости имеет вид Его можно преобразовать к виду x y 2z 0 . З а д а н и е № 9 Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями 1) x 2 y 3z 1 0 ; x 3 y 4z 2 0 2) x 3 y 2 z 2 0 ; 2 x 4 y 2 z 1 0 3) x y 2 z 3 0 ; x 2 y 3z 2 0 4) x y 3z 2 0 ; 2 x 2 y 3z 1 0 5) 2 x y 3z 1 0 ; 2 x 2 y 4 z 2 0 6) 2 x 3 y z 2 0 ; 3x 4 y z 1 0 7) 3x y z 2 0 ; 3x 2 y 3z 1 0 8) 3x 2 y z 1 0 ; 3x 3 y 2z 2 0 9) 3x y 3z 2 0 ; 4 x 2 y 3z 1 0 10) 2 x 2 y z 1 0 ; 2 x 3 y 2 z 1 0 6 Пример Прямая задана общими уравнениями x yz0 2 x y 2 0. Написать ее канонические и параметрические уравнения. Решение В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор a n1 n2 , где n1 1, 1, 1 , n2 2, 1, 0 - направляющие векторы плоскостей i j k a 1 1 1 i 2 j 3k , 2 1 0 чтобы найти координаты точки M0 x0 , y0 , z0 придаем значение z0 0 и подставляем в уравнения для плоскостей x y0 2 x y 2 0. 2 Решаем систему: x0 ; 3 y0 2 . 3 2 2 Таким образом, M 0 , , 0 . 3 3 2 2 y 3 3 z t. Канонические уравнения имеют вид: 1 2 3 Выражая x, y, z через t, получаем параметрические уравнения прямой: x 2 x t 3 2 y 2t 3 z 3t. Задание N 10 Найти действительную и мнимую части комплексных чисел. i 1) z 2e 6 3e i i 2 i 3e 3 4) z e i i 7) z e 2 2e 6 i i 10) z e 4 e 6 i i e3 2) z e i i 5) z 2e 2 e 4 3 i i 8) z e 4 e 6 i i П р и м е р . Найти Rez и Imz, если z e 3 2e 2 . 7 i 3) z e 3 3e i i 2 i 3e 6 6) z e i i 9) z e 4 3e 6 i 1 e 3 cos i sin i 3 z 3 3 ; 2 2 1 3 1 3 i 2i i 2 ; 2 2 2 2 i e 2 cos i sin i ; 2 Re z 1 ; 2 2 Im z 3 2. 2 З а д а н и е № 1 1 Заданы два комплексных числа z1 и z 2 : а) изобразить эти числа на комплексной плоскости; б) найти 2 z1 3z 2 и 2z1 3z2 ; в) найти z1 z 2 и z1 z 2 ; г) найти z1 z 2 и z1 z 2 . 1) z1 1 i z 2 2 3i 4) z1 1 i z2 3 2i 7) z1 1 i z2 3 2i 10) z1 1 2i z2 2 3i 2) z1 1 i z2 2 3i 5) z1 1 i z 2 2 3i 8) z1 1 i z2 3 2i 3) z1 1 i z2 3 2i 6) z1 1 i z2 2 3i 9) z1 1 2i z 2 2 3i Комплексное число это число вида z x iy , где i 1 - мнимая единица. Таким образом, i 2 1 . Действительное число x называется действительной частью числа z, а действительное число y называется мнимой частью числа z. Действительная часть числа z обозначается Re z, мнимая часть z обозначается Im z. Комплексные числа можно складывать, умножать и делить по следующим правилам. Пусть z1 x1 iy1 и z 2 x 2 iy 2 - комплексные числа, тогда 1) z1 z 2 x1 x 2 i y1 y 2 ; 2) z1 z2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 ; 3) z1 x1x 2 y1 y 2 y1x 2 x1 y 2 . i z2 x 22 y 22 x 22 y 22 Комплексные числа z x iy и z x iy называются сопряженными. Число z x 2 y 2 называется модулем комплексного числа z x iy . 8