(x+ (x++1)*(y+ (x++1)* (

1) Доказать что не существует многогранник имеющий 7 ребер.
Решение:
Если в многограннике хотя бы одна грань – четырехугольник, то в нем уже не меньше 8
ребер. Поэтому будем искать многогранник с треугольными гранями, чтобы у него было 7
ребер. Если число граней к, то ребер будет
3к
2
3к
2
=7
3к=14
к=
14
3
, Получилось дробное число граней, что показывает невозможность
многогранника с семью ребрами.
2) Стороны треугольника а, в, с; ∠А =600. Доказать, что
𝟑
𝟏
а+в+с
𝟏
= а+в + а+с
Доказательство:
Находим общий знаменатель к дробям:
3
а+в+с
=
1
а+в
1
+ а+с /(a+b+c)*(a+b)*(a+c);
и находим дополнительные множители к этим дробям, тогда
1. 3(а+b)(а+с)=(а+b+с)(а+с)+(а+b+с)(а+b)
2. Почленно умножая, приведя подобные слагаемые, получим
3а2+3 ас+3аb+3bс=а2+аb+ас+ас+bс+с2+а2+аb+ас+аb+b2+bс
3а2+3ас+3аb+3bс=2а2+3аb+3ас+2bс+с2+b2
а2+bс=с2+b2
а2=с2+b2- bс
Т.к. ∠А =600 то по теореме косинусов
1
а2=с2 +b2-2bс*cos 600=с2+в2-2вс∗ 2 =с2+b2-bс;
а2=с2+b2- bс
ч.т.д.
3) Первая цифра некоторого шестизначного числа равна 1. Если эту цифру
переставить в конец числа, вставив остальные цифры без изменения, то
полученное число окажется второе больше исходного. Найдите исходное число.
Решение:
Первоначальное шестизначное число имеет вид 1∗105+х
После перенесения цифры 1 на последнее место получим 10х+1
По условию, 10х+1=3∗(105+х)
10х+1=300000+3х
7х=299999
х=42857
Действительно,142857∗3=428571$
Ответ: 142857
4) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
у, =
2х2 +6х+6
х2 +4х+5
Решение: Находим производную функции у, =
𝑦 !=
(4х+6)(х2 +4х+5)−(2х2 6х+6)(2х+4)
(х2 +4х+5)2
(х2 +4х+5)2
2х2 + 8х + 6 = 0
}
х2 + 4х + 5)2 ≠ 0
2х2 + 8х + 6 = 0
х2 + 4х +3=0
Д = 16 − 12 = 4
х1 =
−4−2
2
=-3
х2 = -1
f(-3) = y =
2∗(−32 )+6∗(−3)+6
(−3)2 +4∗(−3)+5
2−6+6
2
f(-1) = у =1−4+5 = 2 = 1;
6
х2 +4х+5
=
4х3 +6х2 +16х2 +24х+20х+30−4х3 − 8х2 −12х2 −24х−12х−24
у, = 0; тогда {
2х2 +6х+6
=2 =3
2х2
= (х2 +44х+5)2
Наибольшее значение функции: 3;
Наименьшее значение функции: 1.
Ответ: 3; 1
5) Решить уравнение:
х2+2√𝟑 х2+3х+√𝟑-1=0
Решение:
х(х2+2√3 х +3)+√3-1=0
х(х+√3)2 +√3-1=0
х(х+√3)2 =1-√3
Отсюда,сразу видно, что решение х=1-√3 , т.е
Если х=1-√3; (1-√3)*(1 − √3 + √3)2 =1-√3.
Ответ: 1-√3
6) Некоторые члены арифметической прогрессии 17,21, 29,… и 16,21,26,31
одинаковы. Найдите сумму первых ста одинаковых членов.
Решение
1. 17;21;29, …
d1 = a2 – a1 ; d=21-17=4
2. 16;21;26;29,…
d2 =21- 16= 5
НОК(d1 ; d2 ) =НОК(4;5)= 20.
Значит, через каждые 20 членов члены прогрессии будут совпадать.
Поэтому 21 ∗20 = 420 – второй одинаковый член новой арифметической прогрессии:
21;420; … ;
d3 =420 -21 = 399
S100 = 2 a1+d3(n−1)
∗100
2
2∗21+399∗99
S100 =
∗100=(42+39501)∗50=(42 + 39501) ∗50=1977150.
2
Ответ: 1977150.
7. Вычислить без таблиц выражение
𝟏−𝟒𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎°×𝒔𝒊𝒏𝟕𝟎°
𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎°
.
Решение:
1−4 sin 40° sin 70°
1−4∗(sin(40°−30°)∗sin(40°+30°)
=
=
2 sin 10
2 sin 10°
1−4∗(sin 40°∗cos 30°−cos 40° ∗sin 30°)∗sin(40°+30°)(sin 40°∗cos 30°+cos 40°∗sin 30°)
=
2 sin 10°
√3
2
1−4(
1
2
∗sin 40°− cos 40°)(
√3
2
1
2
∗sin 40°+ cos 40°)
2 sin 10°
3
4
1
4
1−4∗( (sin 40)2 − ∗(cos 40)2 )
=
2 sin 10°
=
1−(3(sin 40)2 −(1−sin 40)2 )
2 sin 10°
1−3(sin 40)2 +1−(sin 40)2 2−4 (sin 40)2 2∗(1−2(sin 40)2 ) 2 cos 80° 2 cos(90°−10°) sin 10°
2 sin 10°
=
2 sin 10°
=
2 sin 10°
= 2 sin 10° =
2 sin 10°
=sin 10° = 1
Ответ:1
8.Пусть N- натуральное число, большее 9, все цифры которого нечетны.
Может ли N быть квадратом натурального числа?
Предположим, число N- натуральное число, большее 9, все цифры
которого нечетны является квадратом натурального числа a. и
пусть а =10b+x, где x- нечетное число; тогда 𝑎2 =(10𝑏 + 𝑥)2 .
Поскольку 𝑎2 нечетное число, то (10𝑏 + 𝑥)2 тоже нечетное число.
Пусть x=3, тогда (10𝑏 + 3)2 =100𝑏 2 +60b+9=10*(10𝑏 2 +6b)+9; но
10𝑏 2 +6b – четное число, поэтому оканчивается на четную цифру,
значит предпоследняя цифра числа 𝑎2 - четная. Таким образом
число N- натуральное число, большее 9, все цифры которого
нечетны не является квадратом натурального числа a
Ответ: не может
9. Каким числом способов можно разделить колоду из 36 карт
пополам так, чтобы в каждый пачке было по 2 туза?
Решение
Всякое деление колоды, указанное в условии задачи ⇔ извлечению 16 нетузов из числа 32
нетузов и двух тузов из числа четырех тузов.
Первое извлечение тогда С16 32 , а второе С24 . так как, каждое извлечение можно с V
извлечением двух тузов, то общее число
32!
32!
С1632∗ С42 =(32−16)!∗16!= 16!∗16!= 601080390
С1632∗ С42=601080390∗6= 3606482340.
Ответ: 3606482340.
10. Докажите, что если
(x+√𝒙𝟐 + 𝟏) × (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏) = 𝟏 , то
x+y=0 .
Доказательство: Если x+y=0, то y=-x
(x+√𝑥 2 + 1) × (𝑦 + √𝑦 2 + 1) = 1
(x+|𝑥|+1)*(y+|𝑦| + 1) = 1
(x+|𝑥|+1)* (-x+|−𝑥|+1)=1
Тогда, если x≥ 0, то (x+|𝑥|+1)* (-x+|−𝑥|+1)=1;
(x+x+1)*(-x+x+1)=1
2x=1
x=-1/2
Если, x≤ 0, то (-x+x+1)*(x+x+1)=1;
x=-1/2
y=-x=1/2