Документ 903395

Самый большой,
сохранившийся до
наших дней,
древнеегипетский
математический текст
– это так называемый
папирус писца XVIII –
XVII вв. до н. э.
Ахмеса. Папирус
имеет размер 5. 25 м
× 33 см и содержит 84
задачи. Папирус был
приобретен в 1858 г. Г. Райндом и изучен впервые профессором А.
Эйзенлором в 1877 г.
Задача: Наставление, как определять разности. Тебе сказано:
раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между
количеством хлеба у каждого человека и ему
предшествующего составляет 1⁄8 меры.
Решение: 10 мер хлеба автор разлагает на
10 членов арифметической прогрессии с
разностью 1⁄8 и получает, что 10-й член
прогрессии равен 1+ 9× 1⁄2 × 1⁄8=19⁄16
В Древнем Вавилоне
математика зародилась
задолго до нашей эры.
Вавилонские памятники в
виде глиняных плиток с
текстами математических
задач хранятся в различных
музеях мира. Расшифровкой и
анализом клинописных
текстов много занимались
историки – математики
О.Нейгебауэр и Ф.Тюро –
Данжен.
Задача: За длину окружности вавилоняне принимали периметр
вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти
приближение для 𝜋, которым пользовались вавилоняне.
Решение: Сторона правильного шестиугольника, вписанного в
окружность, равна радиусу, следовательно, 2
𝜋R=6R, откуда 𝜋 = 3.
Если от
математики Древнего
Востока до нас дошли
отдельные задачи с
решениями и таблицы,
то в Древней Греции
рождается наука
математика.
основанная на строгих
доказательствах. Этот
важнейший скачок в
истории науки
относится к VI – V вв. до
н. э.
Задача Пифагора: Всякое нечетное число, кроме единицы, есть
разность двух квадратов.
Решение: В школе Пифагора эта задача решалась геометрически.
Действительно, если от квадрата отнять гномон, то есть фигуру Г –
образной формы, представляющий нечетное число, то в остатке
получится квадрат, то есть тогда 2n+ 1 = (n+1)2 – n2 .
Древнеримская задача: Некто, умирая, завещал: «Если у моей
жены родится сын, то пусть ему будет дано 2⁄3 имения, а жене –
остальная часть. Если же родится дочь, то ей
1⁄ , а жене 2⁄ ». Родилась двойня – сын и
3
3
дочь. Как же разделить имение?
Решение: Имение следует разделить
между сыном, женой и дочерью
пропорционально числам 4:2:1.
Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к
началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначение цифр на гадательных костях
животных XIV в. до н. э. На обломках посуды XIII – XII вв. до н. э. имеются
изображения геометрических орнаментов с
правильными 5-, 7-, 8-, 9 – угольниками.
К эпохе, когда «расцвели сто цветов,
соперничали сто школ ученых», относится
деятельность Конфуция (551 – 479 до н. э.),
выработавшего основы учения о
«добродетельном поведении». В это время
появились первые книги по математике,
которые составили основу «Математики в
девяти книгах ». Для забвения прежних
традиций император Цинь
Шихуанди в 221 г. до н. э.
приказал сжечь все книги.
Но уже вскоре, во II в. до н. э., была изобретена бумага и
началось восстановление древних книг.
Среди важнейших достижений китайской математики
отметим: правила двух ложных положений, введение
отрицательных чисел, методов решения систем линейных
уравнений и извлечение корней любой степени.
Задача: 1 петух стоит 5 цяней (цянь – денежная единица),
1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100
птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.
Решение: Задача сводится к решению системы {
5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 3 = 100,
⁄
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100.
Отсюда x1=0, y1=25, z1=75; x2=4, y2=18, z2=78; x3=8, y3=11, z3=81; x4=12,
y4=4, z4=84.
Творчество индийских
математиков оказало огромное
влияние на развитие
арифметики (индийская
десятичная позиционная
нумерация), алгебры (метод
рассеивания для решения
неопределенных уравнений
первой и второй степени с двумя
неизвестными) и тригонометрии
(бесконечные ряды для синуса,
косинуса и арктангенса). Наиболее ранние сведения о математике в
Древней Индии относятся к эпохе составления священных религиозно
– философских книг «Веды».
Задача: Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит
из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа
монет. Но как число вещей, так и суммы
денег у каждого различны. Какова ценность
вещи?
Решение: Задача сводится к решению
уравнения ax+b = cx +d, откуда x
(𝑑 − 𝑏)
=
⁄(𝑎 − 𝑐), где у первого лица будет a
вещей и b монет, а у второго лица – с вещей
и d монет.
Многие достижения арабской
математики связаны с
исследованиями в астрономии. В
частности, были разработаны
вычислительно-алгоритмические
проблемы и методы. Значительных
успехов достигла арифметика и
геометрия.
Задача: Стая голубей подлетела к высокому
дереву. часть голубей села на ветвях, а другая
расположилась под деревом. Сидевшие на
ветвях голуби говорят расположившимся внизу:
«Если бы один из вас взлетел к нам, то вас
стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а
если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами
было бы поровну». Сколько голубей сидело на
ветвях и сколько под деревом?
Решение: Если x и y – число голубей на
дереве и под деревом, то по условию имеем:
(𝑥 + 1)
⁄3,
𝑦−1=
{
𝑥 − 1 = 𝑦 + 1.
Отсюда x=5 и y=3.
В эпоху Возрождения повысилась роль математики. На первом
этапе математической революции XVII в. была создана аналитическая
геометрия. Особенно интенсивно развивался анализ бесконечно
малых. Научная деятельность крупнейших математиков
сосредоточилась в прославленных академиях в Париже, Петербурге и
Берлине.
Задача: За сколько прыжков гончая настигнет зайца, если
первоначально их разделяет
расстояние 150 футов, заяц
с каждым прыжком
удаляется от собаки на 7
футов, а собака бежит
быстрее зайца и с каждым
прыжком приближается к
нему на 9 футов?
Ответ: За 75 прыжков.
Задача К.Г. Баше де
Мезириака: Двое называют
поочередно числа от одного
до десяти, и выигрывает тот, кто первый доведет до ста сумму чисел,
названных обоими игроками.
Решение: Выигрышная стратегия для первого игрока
обеспечивается выбором чисел, при которых суммы всех названных
чисел таков: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67,78. 89, 90, 100.
Первые сведения о
развитии математики на Руси
относятся к IX – XII в. В
древней Руси Ярослава
Мудрого уже существовали
общеобразовательные
школы. Ценные сведения о
математических знаниях
содержатся в памятнике древнерусского права «Русская Правда» и в
памятниках духовного содержания: «Книга святых тайн Еноха»,
«Шестоднев» и др. В первых рукописях создается самобытная русская
математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. «Книга
сошному письму». Первые русские рукописные книги
по математике были вытеснены замечательной
книгой Л.Ф.Магницкого «Арифметика» (1703г.)
Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого: Один
человек выпьет кадь питья в 14 дней, со женою
выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в
колико дней жена его особо выпьет тое же кадь.
Решение: Человек выпивает в день 1⁄14 кади, а
вместе с женою 1⁄10 кади. Следовательно, жена
выпивает в день 1⁄10 - 1⁄14 = 1⁄35 кади. Таким образом, всю кадь жена
выпьет за 35 дней.
Задачи о дележе ставки в
занимательных
формулировках встречались
уже в рукописных
арифметических учебниках XIII
в. и сводились к
справедливому разделению
ставки между двумя игроками,
если игра прервана по какимлибо причинам.
Задача Г.Ф.Певероне: А и В
играют до 10 партий. А
выиграл семь, а В – девять партий. Как разделить ставку?
Ответ: Ставка должна быть разделена в отношении 1:7.
Задача Ричарда де
Форниваля: Подсчитать
число возможных исходов
при бросании трех
игральных костей.
Решение: Ричард де
Форниваль подсчитал
общее число всех
возможных исходов при бросании трех игральных костей как 6× 1+30×
3 + 20 × 6 = 216.
Задача Джироламо Кардано: Указать количество случаев при
бросании двух игральных костей,
в которых единица или двойка
появятся хотя бы один раз.
Ответ: 20.
Задача о гаданиях:
Какова вероятность того, что
травинки при завязывании
наудачу образуют кольцо?
Ответ: 8⁄15.
Задача Якоба Бернулли:
Некто положил в урну два
шара, белый и черный, и предложил трем игрокам премию при
условии, что ее получит тот, кто первый вытянет белый шар. Первым
извлекает шар А и кладет его обратно, затем вторым испытывает
счастье В и в конце, третьим – С. Какие шансы имеют эти три игрока?
Решение: 4:2:1, так как игроку А благоприятствуют случаи б, б, б; б,
б, ч; б, ч, б; б, ч, ч; В – ч, б, б; ч, б, ч; С – ч, ч, б.
Задача Ж.Л.Д'Аламбера – П.С.Лапласа: Слово «Константинополь»
составлено из букв А, И, К, Л, Н, Н, Н, О, О, О, П, С, Т, Т, Ь. Какова
вероятность случайного составления этого слова из перечисленных
букв?
Решение: 1⁄15 × 3⁄14 × 3⁄13 × 1⁄12 × 2⁄11 × 1⁄10 × 2⁄9 × 1⁄8 × 1⁄7 ×
1⁄ × 2⁄ × 1⁄ × 1⁄ × 1⁄ × 1 = (2 × 2 × 2 × 3 × 3)⁄
4
6
3
2
5
15!
Д'Аламбер, выражавший сомнения в основах теории вероятностей,
заявил, что все размещения букв равновероятны только
математически, на самом же деле нет Лаплас сделал иной вывод. Так
как слово «Константинополь» имеет определенный смысл, его
случайное составление маловероятно.