Вариант 1.

Вариант 1.
1.
Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им
до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный
покупатель сделает заказ, равна 0.4. Составить закон распределения (ряд распределения)
числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0,1] . Найти
функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины
3.
X
Yln
.
1X
Даны плотности вероятности независимых составляющих случайной двумерной величины
(X,Y):
0
, x

0
,
0
, y

0
,


f
(
x
)

f
(
y
)



X
Y

5
x

2
y
5
ex
,
0
;
2
e
,y

0
.


Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной
величины (X,Y). Вычислить M ( XY ) и D ( XY ) .
4.
Найти закон распределения разности независимых случайных величин, каждая из которых
имеет стандартное нормальное распределение N(0,1).
5.
Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия - 0.1. Используя неравенство Чебышева,
оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49.5 и не
более 50.5 см. Уточнить вероятность того же события, если известно, что длина случайно
взятой детали имеет нормальный закон распределения.
Вариант 2.
1.
Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0.1. Составить
закон распределения числа выигравших облигаций среди 19 приобретенных. Найти
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду числа
выигравших облигаций.
2.
Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной
работы прибора имеет показательное распределение найти: а) выражение его плотности
вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор
не выйдет из строя.
3.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами а=3,  =2. Найти
плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание, стандартное
отклонение, моду и медиану случайной величины
4.
Y  eX .
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан в таблице
X
Y
1
2
-1
0
1
2
0.1
0.1
0.25
0.05
0.3
0
0.15
0.05
Вычислить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y.
5.
В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона - безработные.
оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы
среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9% до
15% (включительно).
Вариант 3.
1.
Случайные величины
 , - независимы и имеют одинаковое распределение


1
P
(

k
)

P
(k
)

,
k

0
,
.
.
.
,
N

1
.
N
P
(
m
a
x
(,

)
l)
?

Найти распределение max(,). 
1.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Случайные
величины Y и Z соответственно распределены по пуассоновскому и биномиальному закону
с параметрами   3 , n4, p1/2. Случайные величины X, Y, Z независимы. Найти
математическое ожидание и дисперсию Z  XY .
2.
Случайная величина X имеет распределение Коши. Это означает, что плотность
распределения этой случайной величины равна
1
fx
()

,



x


.
2

(
1

x
)
Найти плотность распределения случайной величины Y 12X , ее математическое
ожидание и дисперсию.
4.
 
Пара случайных величин (X,Y) имеет двумерное нормальное распределение с параметрами
M
X

0
,
M
Y

0
, X


1
0
, 
0
.
Определить вероятность того, что
Y
a
)
X

Yb
; )
X

0
;Y

0
.
Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0.7. С помощью
неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000
студентов заключена в границах от 0.66 до 0.74.
Вариант 4.
1.
Среди 10 изделий 3 бракованных. Составить закон распределения для числа бракованных
изделий среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание,
дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа бракованных изделий среди взятых
наудачу четырех приборов.
2.
Случайная величина X нормально распределена с параметрами
a и  . Найти
 X 
P
3.
 

Оценить эту вероятность с помощью неравенства Чебышева.
3.
Случайная величина X имеет плотность распределения
, x
0
,
0
f()
x
x
e , x
0
.

Найти плотность распределения случайной величины Y  2 X .
4.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин
X
P
0
0.5
2
0.2
4
0.3
Y
P
-2
0.1
0
0.6
2
0.2
Найти закон распределения случайных величин а) Z=X+Y; b) U=XY.
5.
Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0.9 утверждать, что частота
интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события
равной 0.4, не более чем на 0.1? Оценку числа опытов провести с помощью неравенства
Чебышева.
Вариант 5.
1.
X
P
Дан ряд распределений случайной величины
1
0.4
4
0.1
5
0.3
7
0.2
Построить функцию распределения этой случайной величины. Найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
2.
Плотность распределения случайной величины имеет вид
c
x
, x

[
0
,1
]
,

f()
x

0
, x

[
0
,1
]
.

Найти константу С, математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию.
Вычислить вероятность того, что X  1/ 2 .
3.
Случайная величина X имеет плотность распределения
, x
0
,
0
f()
x
x
e , x
0
.

Найти плотность распределения случайной величины Y 107X.
4.
Случайные величины X, Y - независимы. Случайная величина X распределена по закону
Пуассона с параметром   3 , Y принимает значения 0 и 1 с равными вероятностями.
Найти распределение случайной величины Z  X Y .
5.
Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько
нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.95, ожидать, что отклонение
числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по
абсолютной величине)? Решить задачу с помощью неравенства Чебышева.