Электронный сборник_Илика А.И.

Пояснительная записка
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Практика выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся
наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане и поэтому
умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют
величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический
ход решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют параметры, является задачей с параметрами.
Данный курс ориентирован на расширение базового курса математики и
развитие интереса к математике.
Содержание программы актуально с точки зрения задач предпрофильной
подготовки как пропедевтика математического и технологического образования в
старшей профильной школе.
Формой итоговой аттестации являются обобщающие занятия, на которых
учащиеся выступают с защитой своих решений заданий по теме курса. Эти занятия проводятся с приглашением учителей естественно-математического цикла и
учащихся 11 класса, которые выступают в роли оппонентов.
Курс рассчитан на учащихся 9 класса. Количество часов – 17 (одно полугодие).
Целями данного курса являются:
1. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной
деятельности;
2. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся,
обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются
следующие задачи:
1. Выделять логические приёмы мышления и способствовать их осмыслению;
2. Приобщить учащихся к работе с математической литературой;
3. Включение учащихся в поисковую деятельность как фактор личностного развития.
В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:
 Решать линейные уравнения с параметрами;
 Решать квадратные уравнения с параметрами;
 Применять теоремы и следствия о знаках корней квадратного трёхчлена и о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой
к решению заданий с параметрами.
Перечисленные умения формируются на основе следующих знаний:
1
Решение линейных уравнений; решение квадратных уравнений; теоремы
Виета; корни квадратного трёхчлена; разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратичная функция и её график, метод интервалов.
Содержание программы
Линейное уравнение с одной переменной. Линейное уравнение с одной
переменной содержащее параметры. Квадратное уравнение с одной переменной. Теорема Виета. Обратная теорема Виета. Теоремы и следствия о знаках
корней квадратного трехчлена и о расположении корней квадратного трёхчлена
на координатной прямой. Квадратный трёхчлен. Корни квадратного трёхчлена.
Разложение квадратного трёхчлена на множители.
Квадратичная функция и её график. Решение неравенств первой и второй
степени. Метод интервалов. Уравнения второй степени, содержащие параметры.
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Материал, изучаемый на занятии
Проверка и актуализация базовых знаний по теме “Линейное уравнение с одной переменной”
Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, содержащие параметры.
Практикум по решению линейных уравнений с параметрами.
Проверка и актуализация базовых знаний по теме “Квадратное уравнение”
Практикум по решению упражнений, сводящихся к квадратным уравнениям
Теоремы Виета и их применение
Теоремы о знаках корней квадратного трёхчлена (теоремы 1,2)
Практикум по применению теорем о знаках корней квадратного трёхчлена
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой (теоремы 3, 4, 5)
Практикум по применению теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на
координатной прямой (теоремы 3, 4, 5)
Следствия из теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной
прямой (следствия 1, 2)
Практикум по применению следствий из теорем о расположении корней квадратного
трёхчлена на координатной прямой (следствия 1, 2)
Следствия из теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной
прямой (следствия 3, 4)
Практикум по применению следствий из теорем о расположении корней квадратного
трёхчлена на координатной прямой (следствия 3, 4)
Практикум по решению упражнений на исследование корней квадратного трёхчлена
Обобщающее занятие. Защита учащимися своих решений заданий по данной теме
Обобщающее занятие. Защита учащимися своих решений заданий по данной теме
Тематическое планирование
Литература:
1. Алгебра 7. Под редакцией С.А.Теляковского, М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,
1990.
2. Алгебра 8. Под редакцией С.А.Теляковского, М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,
1990.
3. Алгебра 9. Под редакцией С.А.Теляковского, М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 1990
4. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за
курс основной школы. Л.В.Кузнецова и др., М.: Дрофа,2001
5. Примеры с параметрами и их решения. В.С.Крамор, М.: АРКТИ, 2001.
6. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Г.А.Ястребинецкий,
М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 1972.
2
7. Задачи с параметрами. В.В.Амелькин, В.Л.Рабцевич, Минск, Асар,
2002.
Содержание обучения
Уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
Основные определения
Рассмотрим уравнение f(at b, с, ..., k, x)=φ(a, b, с, ..., k, x),
(1)
где а, b, с, ..., k, x — переменные величины.
Любая система значений переменных а=а0, 6=60, с=с0, ..., k=k0, x=X0, при
которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных а, b, с, ..., k,
x. Пусть А — множество всех допустимых значений а,B — множество всех допустимых значений b и т. д., X — множество всех допустимых значений х, т.е. а  А,
b  В, ..., x  X. Если из каждого из множеств А, В, С, ..., K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению а, b, с, ..., k и подставить их в
уравнение (1), то получим уравнение относительно х, т. е. уравнение с одним
неизвестным.
Решение его зависит от выбранной нами системы значений a, b, ..., k и будет иметь определенное числовое значение при каждом таком выборе, следовательно, решение уравнения (1) относительно х является функцией от а, b, с, ...,
k. Если обозначить это решение через F(a, b, ..., k), то получим f[a, b, с, ..., k, F(a,
b, с, ..., k)]=φ[a, b, с, ..., k, F(a, b,c,..., k)].
Переменные а, b, с, ..., k, которые при решении уравнения (1) считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение (1) называется
уравнением, содержащем, параметры.
Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: а, b, с, d, ..., k, t, m, n, a неизвестные — буквами x, y, z..
Так, в уравнении
2nx  5
3nx  5 n  1


, m и n – параметры, а х – не(m  3)nx
n 1
nx
известное.
Допустимой является любая система значений m, n и x, удовлетворяющая
2 õ  5 3õ  5

 0,
условию m≠3, n≠0, x≠0. При m=4, n=1 получаем уравнение:
õ
2
6õ  5 9õ  5 2


при m=5, n=3 получаем уравнение:
и т.д.
6õ
4
3õ
Решить уравнение (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существуют решения и, каковы они.
Линейные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.
Уравнения вида kх - р=0, где k и p – выражения, зависящие только от параметров, а х – неизвестное, называется линейным относительно х. Оно привоð
дится к виду kх = р и при k≠0 имеет единственное решение õ 
при каждой
k
системе допустимых значений параметров.
Например, уравнение (а2 – 1)х – (2а2+а-3)=0 или (а2 – 1)х = 2а2+а -3 является линейным относительно ч. Оно имеет смысл при любых действительных
значениях параметра а. Приведя его к виду (а-1)(а+1)х = (2а+3)(а-1), заметим,
3
что при а = 1 оно принимает вид 0х=0, т.е. решением его служит любое действительное число. При а = -1 уравнение имеет вид 0х=-2, т.е. не имеет решения.
2à  3
При а=±1 уравнение имеет единственное решение: õ 
. Это значит, что
à 1
каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
Например, при а=3 х=2,25, при а=0 х=3 и т.д.
Исследование квадратного трехчлена
Квадратным трехчленом называется выражение: f(x)=ax2+bx+c (а ≠ 0),
графиком соответствующей функции является парабола (рис. 1).
Рис. 1
В зависимости от величины дискриминанта D (D = b2 - 4ас) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:
 при D > 0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью
Ох (два различных действительных корня трехчлена);
 при D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);
 при D < О точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет);
 в последнем случае, если а > О, график параболы целиком лежит выше оси
Ох (рис. 2, а), а если а < О - целиком ниже оси Ох (рис. 2, б).
Рис. 2 (а)
Рис.2(б)
Координаты вершины параболы определяются формулами:
b
4ac  b 2
x0 
;
y0  
2a
4a
Теорема Виета
Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 + bх + с и коэффициентами существуют соотношения:
4
b
c
x1 x2 
;
а
a
При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.
х1  х2  
ТЕОРЕМА 1
Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:
c
D=b2-4ac≥0, х1 х2   0 , при этом оба корня будут положительными, если доa
b
полнительно наложить условие: х1  х2    0 , и оба корня будут отрицательa
b
ны, если х1  x2    0
a
ТЕОРЕМА 2
Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:
c
x1 x2   0 , при этом положительный корень имеет
D = b2-4ac>0,
a
b
b
большую абсолютную величину, если x1  x2    0 , если же x1  x2    0 , то
a
a
отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.
При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.
Пусть f(x) = ах2 + bх + с имеет действительные корни x1 и х2, a x0 - какоенибудь действительное число. Тогда:
ТЕОРЕМА 3
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число
x0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):
а <0
Рис. 3
ïðè à  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
ïðè à  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
5
ТЕОРЕМА 4
Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число x0 а
другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и
достаточно выполнение условий (рис. 4):
а >0
а <0
ïðè a  0

 f ( x0 )  0
D  0

ïðè a  0

 f ( x0 )  0
D  0

Рис.4
ТЕОРЕМА 5
Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число хQ (т.е.
лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно
выполнение условий (рис. 5):
Рис. 5
ïðè à  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
ïðè à  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
Во всех вышеперечисленных соотношениях f(х0) представляет собой выражение
(ах02 + bx0 + с).
Ниже приводятся наиболее часто встречающиеся следствия из вышеприведённых утверждений.
6
Следствие 1
Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но
меньше, чем число А (М < А), т.е. лежали и интервале между М и А, необходимо и
достаточно (рис. 6):
а>0
а<0
Рис.6
ïðè à  0
D  0


 f (M )  0

 f ( A)  0
ïðè à  0
D  0


 f (M )  0

 f ( A)  0
Следствие 2
Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале
МА (М < А), необходимо и достаточно (рис. 7):
Рис.7
ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

при этом меньший корень вне отрезка МА.
ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

Следствие 3
Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале
MA (M < А), необходимо и достаточно (рис. 8):
а >0
а <0
Рис.8
7
ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

при этом больший корень лежит вне отрезка МА.
Следствие 4
Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой
больше, чем А (М<A), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между
корнями, необходимо и достаточно (рис.9):
a>0
a<0
Рис.9
ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

ïðè à  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.
8
Задания для классного и домашнего тренинга.
Решите уравнения относительно х:
1.
3mx  5
2m  1
5


;
2
(m  2)( x  9) (m  2)( x  3) x  3 2.
x
2a  x
16a 2


2ax x  2a 4a 2  x 2
1 õ a
1
1 3
x  3m 2m  3 m  5
 ;
 


4. 1 
5. 2
1 õ b
ax x a
x 9
x3
x3
2
2(à  1) õ
7
x
2m
8m
 3( õ  1)  ; 7.
6.

 2
à
à
x  m x  m x  m2
2b
1
1
bx  7 3b  2
x4 2
1


;

 b 1
 
;
8.
9.
10.
x
ab ab
x 1
5
x  1 k k ( x  1)
11. (k-5)x2 + 3kx – (k – 5) = 0;
xk k 4

12. При каких значениях k уравнение
не имеет действительных
k 3 xk
корней?
13. При каких вещественных а корни уравнения х2 – 3ах + а2 = 0, таковы, что
7
сумма их квадратов равна
?
4
14. При каких вещественных а корни уравнения х2 +ах + 1 = 0, таковы, что
4
4
x1  x2  1 ?
15. Установить, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения х2
-ах+а= 0 будет наименьшей?
16. Найти все те значения параметра k, при каких оба корня квадратного
уравнения
x2-6kx+(2-2k+9k2)=0 действительны и больше, чем 3.
17. Найти все те значения параметра с, при каких оба корня квадратного
уравнения
x2+4сх+(1-2с+4с2)=0 действительны и меньше, чем -1.
18. При каких значениях k один из корней уравнения (k2 + k + 1)x2 + (2k – 3)x
+ k – 5=0 больше 1, а другой меньше 1?
19. Существуют ли такие k, при которых корни уравнения х2 + 2х + k = 0
действительны и оба заключены между -1 и +1?
20. При каких k корни уравнения kх2 – (k + 1)х + 2 = 0 будут действительны
и оба по абсолютной величине меньше 1?
21. Найти все действительные решения уравнения 8(х4 + у4) – 4(х2 + у2) + 1
= 0.
22. Найти все действительные знвчения k, при которых квадратный трёхчлен х2+kx+k2+6k будет отрицателен для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 1<x<2.
3.
9
Примерные задания для обобщающих занятий
b  5 7  3b
2bx  5

 2
;
x 1 x  2
x x2
1
m 1
m 
2. Решите уравнение:
;
m m( x  1)
x  2 2x  a  1

3. Решите уравнение:
;
a 1
x2
4. При каких значениях а корни уравнения х2 + (а3 – 4а + 1)х + а4 – 7а –
14 = 0 равны 3 и -4?
5. Дано квадратное уравнение (а – 1)х2 – (2а – 1)х + а + 5 = 0. При каких а
это уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней.
6. При каких значениях а корни квадратного трёхчлена (2 - а)х2 – 3ах + 2а
1
действительны и оба больше ?
2
7. При каких значениях k уравнение (k – 2)x2 – 2(k + 3)x + 4k = 0 имеет один
корень больше 3, а другой меньше 2?
8. При каких действительных значениях k оба корня уравнения (1 + k)x2 –
3kx + 4k = 0 больше 1?
1. Решите уравнение:
Решения к отчётным заданиям по элективному курсу
«Решение уравнений с параметрами», предложенные учащимися
1. Решите уравнение:
b  5 7  3b
2bx  5

 2
;
x 1 x  2
x x2
Решение:
Данное уравнение является дробно-рациональным. Умножим обе части
уравнения на общий знаменатель. Так как квадратный трёхчлен х2 – х – 2 имеет
корни 2 и – 1, то по теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители
его можно представить в виде (х + 1)(х – 2). Тогда общий знаменатель будет (х +
1)(х – 2). Так как деление на 0 невозможно, то (х + 1)(х – 2) ≠ 0. Следовательно, х
≠ - 1 и х ≠ 2.
Приведём исходное уравнение к общему знаменателю:
(b  5)  ( x  1)  ( x  2) (7  3b)  ( x  1)  ( x  2) (2bx  5)  ( x  1)  ( x  2)


;
( x  1)
( x  2)
( x  2)  ( x  1)
(b – 5)(x – 2) – (7 + 3b)(x + 1) = 2bx -5;
bx – 2b – 5x + 10 – 7x – 7 – 3bx – 3b = 2bx – 5;
-4bx – 12x = - 8 + 5b; или
4bx + 12x = 8 - 5b;
(-4b – 12)x = - 8 + 5b; или
(4b + 12)x = 8 - 5b;
 8  5b
8  5b
x

;
 4b  12 4b  12
Так как на 0 делить нельзя, то 4b + 12 ≠ 0  b ≠ - 3. Вывод: при b ≠ - 3
8  5b
уравнение имеет один ко- x 
рень
4b  12
8  5b
Так как х ≠ - 1 и х ≠ 2, то
 1 (1)
имеем
и
4b  12
10
8  5b
 2 . (2)
4b  12
Решая 1 уравнение имеем: 8 – 5b ≠ - 4b – 12  - b ≠ - 20, b ≠ 20;
3
;
13
3
8b  5
Ответ: при b ≠ - 3, b ≠ 20 и b ≠  1
уравнение имеет один корень x 
;
13
4b  12
Решая 2 уравнение имеем: 8 – 5b ≠ 8b +24  - 13b ≠ 16, b ≠  1
при b = - 3, b = 20 и b =  1
3
уравнение не имеет корней.
13
1
m 1
;

m m( x  1)
Данное уравнение является дробно-рациональным. Умножим обе части
уравнения на общий знаменатель. Общий знаменатель будет m(х - 1). Так как деление на 0 невозможно, то m(х - 1) ≠ 0. Следовательно, m ≠ 0 и х ≠ 1.
Приведём исходное уравнение к общему знаменателю:
mm( x  1) m( x  1) m(m  1)( x  1)
;


1
m
m( x  1)
m2x – m2 = x – 1 + m – 1;
m2x – x = m2 + m – 2;
m2x – x = (m + 2)(m – 1);
2
x(m – 1) =(m + 2)(m – 1);
(*)
(m  2)( m  1) (m  2)( m  1) m  2
; m ≠ ±1;
x


(m  1)( m  1) m  1
m2 1
2. Решите уравнение:
m
Ответ: при m ≠ ±1 и m ≠ 0 уравнение имеет один корень x 
при m = 1 x – любое число, кроме х = 1;
при m = -1 и m = 0 нет решений.
3. Решите уравнение:
m2
;
m 1
(*)
x  2 2x  a  1

;
a 1
x2
Данное уравнение является дробно-рациональным. Умножим обе части
уравнения на общий знаменатель. Общий знаменатель будет (a + 1)(х - 2). Так
как деление на 0 невозможно, то (a + 1)(х - 2) ≠ 0. Следовательно, a ≠ -1 и х ≠ 2.
Приведём исходное уравнение к общему знаменателю:
( x  2)( x  2)( a  1) (2 x  a  1)( a  1)( x  2)

;
a 1
x2
x2 – 4 = 2ax + 2x – a2 – a – a – 1;
x2 - (2a + 2)x – (3 – 2a – a2) = 0;
2
D = (2a + 2) + 4(3 – 2a – a2) = 4a2 + 8a + 4 + 12 – 8a – 4a2 = 16;
2a  2  16 2a  2  4
2a  2  4
x2 
 a  1;
x1 

 a  3;
2
2
2
Так как х ≠ 2, то имеем а + 3 ≠ 2 и а - 1 ≠ 2  а ≠ -1 и а ≠ 3.
Ответ: при а ≠ 3 и а ≠ -1 х1 = а + 3 и х2 = а - 1
11
при а = 3 х = 6. (х1 = а + 3 = 3 + 3 = 6, х2 = а – 1 = 3 – 1 = 2, но х ≠ 2)
при а = - 1 – уравнение не имеет корней.
4. При каких значениях а корни уравнения х2 + (а3 – 4а + 1)х + а4 – 7а
– 14 = 0 равны 3 и -4?
Решение:
Данное уравнение является приведённым квадратным уравнением относительно переменной х. Значит для него справедлива теорема Виета, т.е. х1 · х2 = b, а х1 + х2 = q. Для данного уравнения имеем: х1 · х2 = 3 · -4; х1 · х2 = - 12 и х1 + х2
= - 4 + 3; х1 + х2 = - 1. Получаем, что
а4 – 7а – 14 = - 12 (1) и
а3 – 4а
+ 1 = 1.
(2).
Решая второе уравнение, получим, что а1 = 0, а2 = 2 и а3 = - 2. Подставив
данные корни в 1 уравнение, получим, что а1 = 0 и а3 = - 2 не являются его корнями (04 – 7 · 0 -14 ≠ -12; (-2)4 – 7 · (-2) – 14 ≠ -12). Следовательно, данному условию удовлетворяет только а=0.
ны
Ответ: корни уравнения х2 + (а3 – 4а + 1)х + а4 – 7а – 14 = 0 будут рав3 и -4 при а = 0?
5. Дано квадратное уравнение (а – 1)х2 – (2а – 1)х + а + 5 = 0. При каких
а это уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней.
Решение:
Данное уравнение при а = 1 имеет один корень х = 6:
(1 – 1)х2 – (2 ·1 – 1)х + 1 + 5 = 0;
- х = - 6;
х = 6.
При а ≠ 1 данное уравнение является квадратным относительно х.
Для того, чтобы квадратное уравнение имело действительные корни необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю, т.е. D0:
D = (2а – 1)2 – 4(а – 1)(а + 5) = 4а2 – 4а + 1 – 4а2 – 20а + 4а + 20 = - 20а +
21;
- 20а + 210;
-20а  -21;
21
1
1
 1 , учитывая, что а ≠ 1, имеем а  (- ; 1)  (1; 1 ).
а≤
20
20
20
На основании теоремы 1: чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение
ñ
следующих соотношений: D = b2 – 4ac  0, х1· х2 = , при этом оба корня будут
à
положительными, если
b
b
х1+х2=-  0 , и оба корня будут отрицательны, если х1+х2=-  0 .
a
a
1. Оба корня будут положительными, если будут выполнены условия:
12
1

1

a  1 20
a 1


20

a  5
0 

a  5 è a  1 ñì .íèæå
 a 1

1
 2a  1
a  è a  1 ñì .íèæå
2

 a 1  0

a5
 0 методом интервалов:
Решим неравенство
a 1
a5
Рассмотрим функцию f(x) =
. Область определения - множество дейa 1
ствительных чисел, кроме а = 1. Функция непрерывна на всей области определения. Нули функции а = -5.

D  0

c


 x1  x2   0
a

b

 x1  x2   a  0
+
-
+
-5
1
Ответ данного неравенства: а < - 5 и а > 1.
2a  1
 0 методом интервалов:
Решим неравенство
a 1
2a  1
Рассмотрим функцию f(x) =
. Область определения - множество
a 1
действительных чисел, кроме а = 1. Функция непрерывна на всей области опре1
деления. Нули функции а = .
2
+
+
◦
◦
1
1
2
1
Ответ данного неравенства: а <
и а > 1.
2
Отметим полученные решения на координатной прямой:
◦
◦
◦
◦
1
1
-5
1
1
2
20
1
Ответ системы неравенств: a < - 5 и 1 < a < 1 .
20
2.
Оба корня будут отрицательными, если будут выполнены условия:

D  0

c

 x1  x2   0
a

b

 x1  x2   a  0
1

a  1 20

a  5
0
 
 a 1
 2a  1
 a 1  0


1

a  1 20

a  5 è a  1 ñì .âûøå
1
  a  1 ñì .âûøå
2
13
◦
◦
◦
◦
1
1
2
Ответ данной системы: нет решений.
-5
1
1
20
3. Корни будут иметь разные знаки, если будут выполнены условия (используется теорема 2: чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений
D = b2 – 4ac >0,
ñ
x1 · x2 =  0 :
à
21

21

a  20
D  0
a 

 
20


à

5
 x1  x2  0



5

a  1 ñì .íèæå
0

 a  1
a5
 0 методом интервалов:
a 1
a5
Рассмотрим функцию f(x) =
. Область определения данной функции a 1
множество действительных чисел, кроме 1. Функция непрерывна на всей области
определения.
Нули функции а = - 5.
Решим неравенство
+
◦
-
+
◦
-5
1
Ответ данного неравенства: -5 < a < 1.
Отметим решения неравенств данной системы на координатной прямой:
◦
◦
-5
◦
1
1
1
20
Ответ данной системы неравенств: -5 < a < 1.
1
Исследуем данное уравнение при а = 1 , и а = -5.
20
1
При а = 1
дискриминант данного уравнения будет равен 0 и уравнение
20
1
2 1  1
b
2,1  1 1,1
20
будет иметь один корень х = 
=


 22 .
1
2a
0
,
05
0
,
05
1 1
20
При а = -5 исходное уравнение примет вид (-5 – 1)х2 – (2 ·(-5) – 1)х - 5 + 5
= 0;
-6х2 + 11х = 0;
11
х1 = 0 и х2 =
.
6
Ответ задания: при а = 1
данное уравнение имеет один корень х = 1;
14
при а =
21
данное уравнение имеет один корень х = 22;
20
при а = - 5 данное уравнение имеет два корня х1 = 0 и х2 =
11
;
6
1
оба корня будут положительными;
20
при
a<-5 и 1<a<1
при
-5 < a < 1 корни будут иметь разные знаки.
При каких значениях а корни квадратного трёхчлена (2 - а)х2 –
1
3ах + 2а действительны и оба больше ?
2
Данный трёхчлен является квадратным относительно переменной х. Для
ответа на поставленный вопрос используем теорему 5:
(Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число хо (т.е.
лежали на координатной прямой правее, чем число хо), необходимо и достаточно
выполнение условий)).
6.
ïðèà  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
ïðèà  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
Применив теорему к данному трёхчлену, получим две системы неравенств:
2  a  0
 2
9a  8a (2  a )  0( D )

а)  3a  1 (ò ..Âèåòà )
 2(2  a ) 2
1
1
 (2  a )  3a   2a  0
2
4
2  à  0
 2
9à  8à (2  à )  0

б)  3à  1
 2( 2  à ) 2
1
1
 (2  à )  3à   2à  0
2
4
Решим эти системы:
15
a  2
  a  2
a  2

 2
2

a  0èa  16 ñì .íèæå
9
a

16
a

8
a

0
a
(
17
a

16
)

0



17
 3a  2  a
 2a  1

а) 


0

0
 1  a  2ñì .íèæå
 2( 2  a )
 2a
2
1 1

1
1
a  4
3a

  a
 a
 2a  0
2
8
2
2 4
Решим неравенство а(17а – 16)  0 методом интервалов:
1. Рассмотрим функцию у = а(17а – 16);
2. Область определения - R;
16
3. Нули функции а1 = 0, а2 =
;
17
4. Функция непрерывна на всей области определения.
+
0
16
-
+
17
•
•
Ответ данного неравенства: (-; 0][ 16 ; );
17
2à  1
Решим неравенство
> 0 методом интервалов:
2à
2à  1
1. Рассмотрим функцию
;
2à
2. Область определения - множество действительных чисел, кроме 2;
1
3. Нули функции а = ;
2
4. Функция непрерывна на всей области определения
-
+
◦
Ответ данного неравенства:
◦
-4
•
◦
0
-
◦
1
2
2
1
<a<2
2
•
1
2
◦
16
17
2
16
a2
17
a  2
2  à  0

 2
a  0 è a  16 ñì ..âûøå
9
à

8
à
(
2

à
)

0


17
 3à

1
б) 
 1

 a  2 ñì ..âûøå
 2( 2  à ) 2
2
1
a  4
1

 (2  à )  3à   2à  0
2
4
Ответ системы (а):
16
◦
•
◦
•
◦
1
2
Ответ системы (б): нет решений
16
17
Исследуем данный трёхчлен при а =
16
. В этом случае D = 0, и
17
-4
0
2
16
b
3a
17  48 : 36  48  17  4 . Исследуем данный
x = =

2a
2  (2  a) 2(2  16 ) 17 17 17  36 3
17
1
3
трёхчлен при а = . В этом случае D = - , следовательно данный трёхчлен
2
4
корней не имеет.
2
1 2
1
1
3 2 3
3
9 12
3
 3
 ;
((2 - )х – 3 · х + 2 ·
= х - х + 1; D =     4   1  
2
2
2
2
2
2
4 4
4
 2
2
При а = 2 , (2 – 2)х2 – 3 · 2х + 2· 2 = 0, -6х = -4, х = .
3
3
Ответ задания: при а = 2
2
;
3
4
данный трёхчлен имеет один корень х = ;
3
данный трёхчлен имеет один корень х =
16
17
1
при а =
данный трёхчлен не имеет корней;
2
16
 a  2 данный трёхчлен имеет два действительных корпри
17
при а =
ня
и оба больше
1
.
2
7.
При каких значениях k уравнение (k – 2)x2 – 2(k + 3)x + 4k = 0 имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?
При k-2 ≠ 0 данное уравнение является квадратным относительно переменной х. Для ответа на поставленный вопрос используем следствие 4:
(Чтобы один квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше
А (М<А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
ïðèà  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

ïðèa  0

 f (M )  0
 f ( A)  0

)
)
17
Исследуем данное уравнение на наличие корней при k = 2.
(2 – 2)х2 -2(2 + 3)х + 4 · 2 = 0;
- 10х = - 8;
х = 0,8.
Для ответа на поставленный вопрос составим две системы неравенств и
решим их:
a  0
a  0


а)  f (2)  0
б)  f ( 2)  0
 f (3)  0
 f (3)  0


f(2) = (k – 2)· 22 – 2(k + 3) · 2 + 4k = 4k – 8 – 4k – 12 + 4k = 4k – 20;
f(3) = (k – 2)· 32 – 2(k + 3) · 3 + 4k = 9k – 18 – 6k – 18 + 4k = 7k – 36;

k  2

 k  5

1
k  5
7

k  2  0

а) 4k  20  0
7 k  36  0

◦
◦
◦
2
5
5
1
7
5
5
1
7
Ответ данной системы: 2 < k < 5.

k  2
a  0


б)  f ( 2)  0
 k  5
 f (3)  0

1

k  5
7

◦
◦
◦
2
Ответ данной системы: нет решений.
Исследуем данное уравнение на наличие корней при k = 2.
(2 – 2)х2 -2(2 + 3)х + 4 · 2 = 0;
- 10х = - 8;
х = 0,8.
Исследуем данное уравнение на наличие корней при k = 5.
(5 – 2)х2 – 2(5 + 3)х + 4 · 5 = 0;
3х2 – 16х + 20 = 0;
D = (-16)2 – 4 · 3 · 20 = 256 – 240 = 16;
16  4 20
1
16  4

 3 ; x2 =
 2.
x1 =
23
6
3
6
Ответ данного задания:
при k = 2 уравнение имеет один корень х = 0,8;
1
при k = 5 уравнение имеет два корня х1 = 3 и х2 = 2;
3
18
при 2 < k < 5 уравнение имеет один корень больше 3, а
другой
меньше 2.
k)x2
8. При каких действительных значениях k оба корня уравнения (1 +
– 3kx + 4k = 0 больше 1?
Решение:
При k+1≠0 данное уравнение является квадратным относительно переменной х. Для ответа на поставленный вопрос используем теорему 5:
(Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число хо (т.е.
лежали на координатной прямой правее, чем число хо), необходимо и достаточно
выполнение условий))
ïðèà  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
Применив теорему к данному
венств:
1  k  0
 2
9k  16k (1  k )  0
а)  3k
 2(1  k )  1

1  k  3k  4k  0
ïðèà  0
D  0

 b
 2a  x0

 f ( x0 )  0
трёхчлену,
получим две системы
нера-
1  k  0
 2
9k  16(1  k )  0
б)  3k
 2(1  k )  1

1  k  3k  4k  0
 k  1
k  1
1  k  0

2
 16
 2
 7 k  16k  0

9
k

16
k
(
1

k
)

0
 k  0 ñì ..íèæå

 3k  2  2k
 7
а)  3k
 
 
0

1
2
(
1

k
)
 2(1  k )

k  1 è k  2 ñì ..íèæå



1
1
1  k  3k  4k  0
k  
k  
2

2

Решим неравенство -7k2 – 16k  0 методом интервалов.
Рассмотрим функцию f(х) = -7k2 – 16k.
Область определения - множество действительных чисел. Функция непрерывна на всей области определения. Найдём нули функции, для этого решим
уравнение:
-7k2 – 16к = 0;
19
7к2 + 16k = 0;
k(7k + 16) = 0;
Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а
другие при этом имеют смысл, следовательно
16
k1 = 0 или k2 =  ;
7
+
•
•
16

0
7
16
Ответ данного неравенства: 
≤ k ≤ 0.
7
k 2
 0 методом интервалов.
Решим неравенство
2(1  k )
k 2
Рассмотрим функцию f(x) =
.
2(1  k )
Область определения – множество действительных чисел, кроме k = -1.
Нули функции k=3. Функция непрерывна на всей области определения.
+
◦
+
◦
-1
2
Ответ данного неравенства: k < -1 и k > 2.
Отметим решения всех четырёх неравенств на координатной прямой:
•
16
17
◦
◦
•
◦
1
-1
2
Ответ системы (а): нет решений.
Решим систему неравенств (б):
◦
◦
-1
2
k  1
 16

 k  0 ñì ..âûøå
 7
 
k  1 è k  2 ñì ..âûøå

1
k  
2

1  k  0
 2
9k  16(1  k )  0
б)  3k
 2(1  k )  1

1  k  3k  4k  0
•
16
7
0
•
◦
1
2
0
2
16
 k  1 .
7
Исследуем данное уравнение при k = -1.
(1 – 1)х2 – 3·(-1)х + 4· (-1) = 0;
3х – 4 = 0;
4
х= .
3
Ответ системы (б): 
20
16
.
7
 16  2
 16 
 16 
1   x  3     x  4      0 ;
7

 7
 7
9
48
64
 x2 
x
 0;
7
7
7
9х2 – 48х + 64 = 0;
D = 482 – 4 · 9 · 64 = 2304 – 2304 = 0;
48 8
x
 .
18 3
Исследуем данное уравнение при k = -
Ответ данного задания:
при k = -1 уравнение имеет один корень х =
4
;
3
16
8
уравнение имеет один корень х =
(если уравнение имеет
7
3
один корень, то считается, что уравнение имеет два одинаковых корня);
16
 k  1 уравнение имеет два действительных корня и оба корня
при 
7
больше 1.
при k = -
Данные материалы были опробованы в течение двух лет при проведении
занятий по предпрофильной подготовке в 9 классе МОУ Якшангской средней общеобразовательной школы.
21