Контрольная работа № 1 – Целые числа

Содержание
Контрольная работа № 1 – Целые числа ..................................................................................2
Контрольная работа № 2 – Комплексные числа .....................................................................3
Контрольная работа № 3 – Многочлены ..................................................................................3
Контрольная работа № 4 – Матрицы и определители. ..........................................................4
Контрольная работа № 5 – Линейные пространства. Системы линейных уравнений .....5
Контрольная работа № 6 – Пределы .........................................................................................7
Контрольная работа № 7 – Неопределенный интеграл .........................................................7
Контрольная работа № 8 – Построить графики функций .....................................................7
Контрольная работа № 9 – Пределы .........................................................................................8
Контрольная работа № 10 – Производная................................................................................8
Контрольная работа № 11 – Неопределенный интеграл .......................................................9
Контрольная работа № 12 – Определенный интеграл ...........................................................9
Список использованных источников......................................... Error! Bookmark not defined.
Контрольная работа № 1 – Целые числа
1) Найдите каноническое представление числа:
а) 64984829; б) 38!
2) Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 64255 и 12070 (по алгоритму Евклида);
б) 736310, 21547 и 580580 (через каноническое представление).
3) Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 272 и 256 (по формуле);
б) 56, 64 и 78 (через каноническое представление чисел).
4) Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для
числа n  189189 .
5) Составьте таблицы сложения и умножения по модулю 13.
3
6) Найдите три последние цифры числа 3301.
7) Решите сравнение:
а) 47 x  19(mod 77) ; б) 105 x  42 (mod 213) .
8) Решите систему сравнений:
 x  3(mod 42)

 x  12(mod 51)
 x  17(mod 70)

9) Найдите 13 последовательных составных чисел.
10) Докажите, что 2 60  7 30 делится на 13.
Контрольная работа № 2 – Комплексные числа
1) Вычислите: а)
a  bi a  bi

; б) (1  i) 3047 .
c  di c  di
2) Решите уравнение: (2  4i) z 2  2 z  6  6i  0 .
3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
24
 1 i 
а) 
 ; б)
1 i 3 
3
i.
2
4) Решите уравнения: а) z 3  z  z  0 ; б) 2 z 2  3 z  0 .
z
5) Докажите, что а) z1  z 2  z1  z 2 ; б)  1
 z2
 z1
 
; в) z n  ( z ) n .
 z2

  arg z  
6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых  4
 1  2i  z  2

7) Выразите ctg6 x через ctgx .
8) Найдите сумму: cos a  cos(a  h)  cos(a  2h)  ...  (1) n1 cos[a  (n  1)h] .
Контрольная работа № 3 – Многочлены
1) Разложите многочлен x 4  x 3  8 x  8 на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное
представление:
x 6  2 x 4  4 x 3  3x 2  8 x  5 и x 5  x 2  x  1 .
3) Отделите кратные множители:
4
x 7  x 6  7 x 5  5 x 4  x 3  19 x 2  16 x  12 .
4) Решите уравнение 3 степени: x 3  3x 2  3(1  2i) x  3  2i  0 .
5) Решите уравнение 4 степени: x 4  2 x 3  4 x 2  2 x  3  0 .
6) Для многочлена x 5  5 x 4  40 x 2  80 x  48 определите кратность корня c  2 .
7) Разложите многочлен 2 x 5  3x 4  5 x 3  8 x 2  3x  1 по степенях x  4 .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами,
имеющий тройной корень 1, двойной корень 3, простой корень 1  i .
9) Докажите, что многочлен (n  2m) x n  nx nm  nx m  (n  2m) имеет число 1
тройным корнем.
10) Запишите в лексикографическом виде: xy 2  x 2 y 2  x 3 y 2  x 4  x 2 y .
Выразите
11)
через
элементарные
симметрические
многочлены:
( x1  x2 )( x1  x3 )( x2  x3 ) .
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных
чисел:
x6  x2 1
.
( x  1) 3
Контрольная работа № 4 – Матрицы и определители.
1) Подберите k и l так, чтобы перестановка (6,3,4, k ,7, l ,2,1) была нечетной.
2
 1 2 3 4
 .
2) Выполните умножение подстановок: 
2 3 4 1
4) Вычислите определитель, пользуясь теоремой Лапласа:
1
2
0
0
0
0
3
4
0
0
0
0
1
1
1
2
0
0
2
3
3
4
0
0
9
8
1
1
1
2
7
6
2
3
3
4
.
5) Вычислите определители:
1
a
a2
a3
2
...
a
a n  2 ; б) 1 2 a ... n
... ... ... ... ...
...
...
x11
1
a
a
а) x 21
...
x n1
x 22
1
a
...
...
...
...
...
xn 2
xn3
xn 4
....
an
n 1
1
1
2
3 ... n
1
a
3 ... n
1
2
3 ... a
5
6) Вычислите определитель, применяя метод рекуррентных соотношений:
a1
x
x
...
x
x
a2
x
...
x
x
x
a3
...
...
...
... ...
x .
...
x
x
x
... a n
1  2
 2 1 0
3




7) Вычислите AB  BA , если A   1 1 2 , B   3  2 4  .
 1 2 1
 1 5 1




8) Вычислите:
 991 992 993 

  12  6  2   1 1 
 

 994 995 996  
а) 

18

9

3

1
2



 ; б)
997 998 999  





1000 1001 1002   24  12  4   3 0 


1
2 
 3


  4  2
5
1  2
2


; в)  3  2 4  .
1 5 1


9) Решите матричное уравнение:
 1  3  1
 2 1  1   0 4  3



 

2   X   3 1  2    4 0 3  .
 2 7
 3
1 0 1   3 4 0 
2
4 


 

Контрольная работа № 5 – Линейные пространства. Системы
линейных уравнений
  
Задание 1. Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты

вектора d в этом базисе.




a  (15,1, 0), b  (4,7,11), c  (1,2,3), d  (9,12,17) .
Задание 2.
Даны два базиса пространства строк: e1 , e2 , e3 и f1 , f 2 , f 3 . Найти:
а) матрицу А перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису f1 , f 2 , f 3 ;
б) матрицу A 1 обратного перехода;
в) координаты e1 в обоих базисах;
г) координаты вектора a в базисе e1 , e2 , e3 , имеющего во втором базисе
координаты (1,1,1) .
6
e1  (0,3,1), e2  (1,2,1), e3  (1,0,2); f1  (1,1,1), f 2  (2,1,0), f 3  (1,1,3) .
Задание 3. Применить процесс ортогонализации к системе векторов.
e1  (2,1,1,1), e2  (1,0,1,0), e3  (1,2,2,1) .
Задание 4. Исследовать совместность данной системы и, в случае ее совместности,
найти общее решение и одно частное решение.
3 x1  2 x 2  5 x3  4 x 4  2,

6 x1  4 x 2  4 x3  3 x 4  3,
9 x  6 x  3 x  2 x  4.
2
3
4
 1
Задание 6. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и
фундаментальную систему решений.
 3x4  2 x5  0,
 x1  2 x 2

 x1  x2  3x3  x4  3x5  0,
2 x  3x  4 x  5 x  2 x  0
2
3
4
5
 1
Задание 7. Привести квадратичную форму к каноническому виду при помощи
невырожденного
линейного
преобразования
неизвестных.
Найти
невырожденное
преобразование, приводящее форму к каноническому виду.
x12  3x32  2 x1 x 2  2 x1 x3  6 x 2 x3
Задание 8. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующую форму к
каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид.
x12  5 x 22  x32  4 x1 x 2  2 x1 x3  4 x 2 x3 .
Задание 9. Построить канонический базис и найти каноническую форму Жордана
следующих матриц.
 3  1 0 0  1


0
1 1 0 0
3 0 5  3 0 


4 1 3 1 0 
0 0 0 0
2 

7
Контрольная работа № 6 – Пределы
1)
sin 3x
lim 3 
2x  9
x 0
2)
lim x
x2 1  x
x 
3)
lim
t 10
arccos t
t 1
 2x  5 
4) lim 

x    2 x  1 
5)

3
lim  1  x
x 1
6)

3

x2
2 

1 x2 
x
lim n sin n
n 
7)
lim
x
1  3x
x 0
Контрольная работа № 7 – Неопределенный интеграл
(arccos x) 2  1
dx
1) 
1 x2
2)
 xe
3)
5 x 3  17 x 2  18 x  5
 ( x  1) 3 ( x  2) dx
x
dx
1 x2
dx
x4
4)

5)
 tg
dx
8
x
Контрольная работа № 8 – Построить графики функций
Построить графики:
а) y = x3 + 3x2
б) y = (x + 1)2 / (x – 2)
в) y = 2x3 / (x2 + 1)
8
г)
д)
е)
ж) y = x – 2 arctg x
з) y = sin x – cos x
Контрольная работа № 9 – Пределы
1) lim
x 
n 5 5n2  4 9n8  1
n  n 
7nn
2
; 2) lim
x 2
x3  6 x 2  12 x  8
1
; 3) lim
; 4) lim
3
2
x 
x 1 0 x  x  1
x  3x  4

72 x  53 x
sin x  sin 2
arcsin 2 7 x
 x 1 
6 x
5) lim
;
6)
; 7) lim
; 8) lim 
; 9) lim 
lim


2
x

x

0
x 2 tg ln  x  1
x 3
x 0
2 x  arcsin 3x
tg 3x
 x4
 3 
2x
1
 tg x  x  a
10) lim 
 .
x  a tg a


Контрольная работа № 10 – Производная
Найдите производную y′:
t

y

4

1 t2
1) y  ln arcsin x  ; 2) 
; 3) y 2  xy  arcsin( y  x) ; 4) y  sin 3 x·tg3x ;
x
t
x 

1 t2
5) y 
5e3 x
4
; 6) y  ln arcsin  3 x  1
2
cos  x  8
Найдите производную y″:
7) y  xe2x ; 8) y  sin x ln x
5
2

x2  1  x2  1 ;
tg
x
6
;
9
Контрольная работа № 11 – Неопределенный интеграл
1)
 cos
dx
2
x 1  tg x
; 2)
x
2
 x  cos xdx ; 3)
4 x3  x 2  2
 x( x  1)( x  2) dx ; 4)
dx
 5  3cos x ; 5) 
Контрольная работа № 12 – Определенный интеграл

4
1.
 tg x ln cos xdx
0
3
2.

1
1 x
x  x  1
3
3.
x
1
dx
dx
2
 x
4. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin x, y 
5. Вычислить длину дуги кривой:   81  cos  , 
3
x , x ≥ 0.
5
2
  0
3
xdx
1 x
.