Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Армавирская государственная педагогическая академия»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине
Б З.Р «Математика»
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Начальное образование (ZSВП Нач4-2)
Бакалавр педагогического образования
Форма обучения заочная
Составитель: доц. Фоменко Е.И.
Армавир, 2013
Литература
Основная литература
1. Виленкин Н.Я. и др. “Математика” - М. Просвещение, 1978 г.
2. Лаврова Н.Н., Стойлова П.П. “Задачник-практикум по математике” - М. Просвещение,
1985 г.
3. Стойлова Л.П. “Математика”, М. Изд. Центр «Академия», 1997 г.
4. Стойлова Н.П., Виленкин Н.Я. “Математика”, М. Просвещение, 1990 г.
5. Стойлова Н.П., Пышкало А.М. “Основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1988 г.
6. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть1. Армавир, 2000
7. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 2. Армавир, 2000
8. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть3. Армавир, 2004
9. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 4. Армавир, 2000
10. Фоменко Е.И. Основные вопросы математики: учебно- методическое пособие по
математике для студентов социально – педагогического факультета отделения
педагогики и методики начального образования педагогических вузов/ Е.И. Фоменко.Армавир: Редакционно – издательский центр АГПУ, 2009.-260с.
Дополнительная литература
11.Архипов Б.М. и др. “Математика” - Минск, 1976 г.
12.Кессельман В.С. Занимательная математика. М.: АСТ: Астрель,2008.
13.Колягин Ю.М., Луканкин Г.М. “Основные понятия современного школьного курса
математики”. - М. Просвещение, 1974 г.
14.Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И.
Адян, Н.С. Бахвалов и др.- М.: Сов. Энциклопедия, 1988.
15.Новая иллюстративная энциклопедия. Кн.4 Ве-Ге.- М.: Большая российская
энциклопедия, 2000.
16.Пышкало А.М. “Теоретические основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1974 г.
17.Столяр А.А., Лельчук М.П. “Математика” - Минск, 1975 г.
Интернет-ресурсы:
1. 1. Образовательная система «Школа 2100» –http://www.school2100.ru
2. Российский общеобразовательный портал - http://www.school.edu.ru
3. Электронная библиотека. Грамотей. http://www.gramotey.com
5. Научная библиотека МГУ http://www.nbmgu.ru/ruslibraries
6. Российская государственная библиотека http://www.rsl.ru/
7. Электронная библиотека диссертаций РГБ http://www.diss.rsl.ru
ЗАДАНИЯ К ЗИМНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Отношение делимости на множестве N0 . Свойства отношения делимости.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
1 Выделите особенность в определении отношения делимости на множестве N0.
3. Выделите отличительные и сходные черты признаков делимости:
а) на 2,5,10; б) на 3 и 9.
4. В чем заключается особенность признаков делимости на составное число?
Выполните задания:
1. Докажите, что n(n+1) делится на 2.
2. Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится
на 37.
3. Напишите наименьшее трехзначное число, кратное 3 так, чтобы первая цифра была 7.
4. Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так чтобы первая цифра его была 3
и все цифры были различными.
5. Какие из чисел 804, 75, 144, 150 кратны а) 2; б) 3; в) 5; г) 9?
6. Какие остатки могут быть получены при делении а на 3? Каков вид чисел которые на 3
не делятся?
7. А – множество целых неотрицательных чисел вида 3а, В – множество целых
неотрицательных чисел вида 3а+1, С – множество целых неотрицательных чисел вида
3а+2. Можно ли утверждать, что АВС=Z0?
8. Из множества целых неотрицательных чисел выделили подмножество чисел, кратных
7. Разбейте каким-либо образом на классы подмножество чисел, не кратных 7. Сколько
классов разбиения множества Z0 получилось?
9. Известно, что а не кратно n и в не кратно n. Верно ли, что:
а) а+в не кратно n; б) ав не кратно n?
11.Не производя вычислений установите, делится ли значение выражения на 3, 4, 5, 8, 9,
10 (8, 18, 45 для умножения):
а) 180+144; б) 720+308; в) 103+370; г) 535-413; д) 1215-1307;
ж) 753227.
12.Докажите, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при
делении на 4 дает остаток 1.
13.Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Указание: (а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.
14.Докажите, что при любом nN число n6-n2 делится на 60.
15.Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его
цифр делится на 7, то и число делится на 7.
16. Докажите, что: а) n(n+1) делится на 2; б) n3+5n делится на 6.
17.Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось число делящееся: а) на 5:
483*, 34*0, 5*31; б) на 9: 179*, 54*7, 5*24;
в) на 3: 24*, 1*6, 22;
г) на 4: 257*4, 3*2, 4355*.
18.Докажите, что при любом натуральном n истинны утверждения
(n5-n) 5.
Вопросы и задания для самоконтроля:
1.Когда целое натуральное число а делится на натуральное число в? Как называется а и
как называется в?
2.Для каких пар чисел верны оба отношения ав и ва?
3. Какими свойствами обладает отношение делимости? Докажите свойства 1-10.
4.Сформулировать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
5.Что такое НОД чисел? Как вычислить?
6.Что такое НОК чисел? Как вычислить?
7.Сформулировать и доказать свойства НОД и НОК.
8.Сформулировать и доказать обобщенный признак делимости на составное число.
9.Что называется разложением числа на простые множители?
10.Сформулировать и доказать основную теорему арифметики.
11.Какое разложение называется каноническим?
12.Какой процесс называется алгоритмом Евклида?
13.Опишите алгоритм Евклида.
Тема:Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Общее кратное и общий
делитель.
Выполните задания:
1. Объясните, почему число 19 является простым, а число 12 – составным.
2. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
3. Установите, являются ли числа 353, 357, 359 простыми.
4. При каких значениях с значения выражения 11с являются простыми числами?
5. Методом решета Эратосфена найдите все простые числа, меньшие чем 300.
6. Напишите 7 идущих подряд составных чисел.
7. Назовите 6 чисел, кратных числу 36 и 6 чисел, кратных числу 24. Укажите среди них
общие кратные.
8. Выпишите все делители каждого из чисел 36 и 24 и укажите их общие делители.
9. Разложите на простые множители числа: 136, 291, 2025, 1001, 111.
10.
Не пользуясь таблицей простых чисел, определите просты ли числа:
а) 167; б) 253; в) 463; г) 571.
11.
Найдите а и в если известно, что: а) а : в=11:13; б) ав=294;
в) ав=375; г) а : в=17:14; д) а : в=7: в; е) ав=1470.
12. Разложите числа 144, 1760, 1430, 84700 на простые множители.
13. Сколько существует натуральных чисел, меньших 500 и не делящихся ни на 2, ни на
3, ни на 5?
Вопросы для самоконтроля:
1. Какоечислоназываетсяпростым?
2. Какое число называется составным?
3. Какой существует способ распознания чисел?
4. На какие классы разбивается множество целых натуральных чисел?
5. Сформулировать и доказать свойства простых чисел.
6. Сформулировать и доказать теорему Евклида.
7. Какое число называется общим кратным?
8. Какое число называется общим делителем?
Тема: НОД и НОК и их свойства. Признаки делимости на составное число. Основная
теорема арифметики. Алгоритмы нахождения НОД и НОК. Алгоритм
Евклида.
1. Выделите особенность в признаке делимости на составное число.
3. Выделите отличительные и сходные черты НОД и НОК.
Выполните задания:
1. Найти НОД и НОК чисел: а) 160 и 240; б) 500 и 255; в) 120, 80 и 280.
2. НОД двух чисел, одно из которых 60, равен 15. НОК этих же чисел равно 450. Найдите
другое число.
3. Докажите что числа 432 и 385 взаимно простые.
4. Найдите а и в, если известно, что: а) НОД(а, в)=5, НОК(а, в)=165; б) НОД(а, в)=7,
ав=294; в) НОД(а, в)=17, ав=375; г) а : в=7:8 и НОК(а, в)=224.
5. Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД чисел: а) 160 и 240; б) 500 и 255; в) 120,
80 и 280.
6. Докажите, что: а) НОД(6025, 1728)=1; б) НОД(816, 323)=17;
в) НОД(2956,
13302)=1478.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое НОД чисел? Как вычислить?
2. Что такое НОК чисел? Как вычислить?
3. Сформулировать и доказать свойства НОД и НОК.
4. Сформулировать и доказать обобщенный признак делимости на составное число.
5. Что называется разложением числа на простые множители?
6. Сформулировать и доказать основную теорему арифметики.
7. Какое разложение называется каноническим?
8. Какой процесс называется алгоритмом Евклида?
9. Опишите алгоритм Евклида.
Тема:Целые числа (отрицательные целые числа). Свойства множества целых чисел
и их геометрическаяинтерпритация.
Выполните задания:
1. Найти числа противоположные данным: а) 5; б) –3; в) 78; г) 0; д) –104.
2. Найти значение выражения при а=-1; в=-1 а-в--а2+-в2
-а-в--а
3. Верно, ли что если к отрицательному числу прибавить его квадрат, то получится
положительное число? Приведите примеры.
4. Записать выражение без знака модуля: а) х-2; б) х+2;
в) х2-х; г) х+2-х.
5. Покажите на числовой прямой множество решений уравнений или неравенств: а)
х=2; б) -х=2; в) х5; г) х5;
д) х2.
6. При каких значениях х верно равенство: а) х=х; б) –х=-х в) –х=х.
7. Где на координатной прямой расположены числа х, если:
а) х2; б) х3;
в) 2х3? Назовите несколько таких чисел и изобразите их на координатной
прямой.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое множество называется множеством целых чисел?
2. Какие целые числа называются отрицательными?
3. Как возникли отрицательные числа?
4. Какие числа называются противоположными?
5. Какое число противоположно числу 0?
6. Что такое модуль?
7. Какова геометрическая интерпритация модуля числа?
8. Какова геометрическая интерпритация целых чисел?
9. Сформулируйте свойства множества целых чисел.
Тема:Понятие обыкновенной дроби как результата измерения длины отрезка.
Равносильные дроби. Основное свойство дроби. Свойства отношения
равносильности дробей. Понятие положительного рационального числа.
Несократимая запись рационального числа
Выполните задания:
1. Покажите, как в процессе измерения длины отрезка может быть получена дробь?
а) 7 б) 13 в) 2
3
4
5
2. Назовите три дроби: равные а) 5
б) 11
6
3
3. Сократите дроби 275 и
45469
980
41033
4. Приведите дроби 17, 13, 17 к общему знаменателю.
24 136 208
1. Верны ли следующие высказывания:
а) Дробь 3 является записью некоторого рационального числа.
6
б) 17 положительное рациональное число.
5
2. Докажите, что при любом натуральном значении а следующие дроби несократимы:
а) 2а+1 б) 2а+3а+7+а2
а
5а
7. Дробьа несократима. Будет ли сократима дробь а___
в+ав
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое дробь?
2. Какие дроби называются равными?
3. Какая дробь называется несократимой?
4. Сформулируйте свойство дроби (основное).
5. Что такое положительное рациональное число?
6. Сформулируйте теорему верную для любого положительного рационального числа?
7. Какие числа называются дробными?
Тема:Арифметические действия над положительными рациональными числами и их
свойства. Отношение порядка.
Выполните задания:
1. Сложите дроби, предварительно сократив их, если это возможно:
15 17 39
11
3
2
4
4 10

 ; 2) 3  5  ; 3) 1  5  .
1)
120 68 78
12
15 19
40
5 30
2. Вычислите наиболее рациональным способом, применяя законы сложения:
2
5
1
3
4
1
6
5
15
22
32
7 2
 1  3  4 ; 2) 2  3  5  2  3 ; 3) 5  3  1  1  .
1)
15 13
5
26
9
14
14
9
24
33
48
24 3
3. Найдите разность:
59
37
2
1
1) 10  8 ; 2) 105  3 .
63
45
17
13
5
7
5
4.Сумму чисел 24
и 22 уменьшите на 7 . Сколькими способами это можно сделать?
24
15
6
79
67
5.Какое из чисел ближе к 1:
или
?
97
85
3
3
1 17
1 3 7
2
6.Выполните действие: а) (20  19 )  (17  17)  (2  ); б) 2  (   ).
4
4
2 24
2 5 10 15
1 2
6
3
3
1
1 1
1
1
1
1
в) 8 : 12 ; г) (4  5 ) : 6 ; д) 4 : (11  5 ) ;е) (12  4 ) : (7  4 ) ;
2 3
57
19
4
4
3 4
2
6
2
6
7
1
7
1 8
7.Найдите значение выражения: а) 2  1  (2  (1  ));
15 12
90
2 45
7
5 11
б) (24  3 )  (21  ).
36
12 18
3
2
1
4
8. Решить уравнения: 5  (1  ((  х)  2)  2 .
7
5
2
7
3
7
3
1
1
1
5
14
(2  (1  ( х  )))  3
 5; 1  (2  ((  х)  1))  2
18
27
9
34
15
5
12
4
3
2
1
1
5  ( х  20)  8 ; (10  х) : 1  9 )
5
7
3
4
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое число называют суммой положительных рациональных чисел?
2. Каким свойством обладает сложение положительных рациональных чисел? Доказать
эти свойства.
3. Что значит число а больше числа в вQ+?
4. Какое число называется разностью положительных рациональных чисел?
5. Докажите теорему о существовании и единственности разности.
6. Какая дробь называется правильной (неправильной, смешанным числом)?
Тема:Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними. Понятие
процента.
В чем сходство и различие операций над арифметическими действиями десятичных
и натуральных чисел? (Выделите отличительные черты).
Выполните задания:
195
записать в виде
260
десятичной. Разложив знаменатель этой дроби на простые множители, он получил, что
195
260=225 13, и сделал вывод, что дробь
можно записать в виде десятичной дроби.
260
Учитель оценил ответ учащегося как неправильный. Почему?
21 192 15 13
,
2. Какие из дробей
,
,
можно записать в виде десятичной?
28 375 24 20
500
6
2 3
12
3. Даны записи чисел: 0,40;
; 0,4;
; 5;
; ; 0,6;
. Сколько различных
100
3
3 5
12
чисел написано? Сколько среди этих чисел дробных?
4. Вычислите рациональным способом:
6,75 2  0,125  67,5
(81,624 : 4,8  4,505) 2  125  0,75
а)
;
б)
((0,44 2 : 0,88  3,53) 2  2,75 2 ) : 0,52
5,9 2  (1,03  1,89726 : 0,618) 2
5. Какой смысл имеют предложения:
1) Членские взносы члена профсоюза составляют 1 % его заработной платы.
2) Производительность труда возросла на 7 %.
3) Цена на радиоаппаратуру снизилась на 18 %.
1. Учащемуся было предложено установить, можно ли дробь
6. Запишите следующие десятичные дроби в виде несократимых обыкновенных дробей:
0,125; 0,625; 0,1375; 0,2454.
7.
Найти: а) 0,8 % от 60,5 м;
б) 2,5 % от 84,8 т.
2
1
8.
Какую часть единицы составляют: а) 2,5 % ее? б) 66 % ее? в) 133 % ее?
8
3
9. Колхоз отвел под кукурузу три участка. Второй участок на 20 % больше первого, а
третий – на 20 % меньше второго. На сколько процентов второй участок больше
третьего?
Вопросы для самоконтроля:
1. Какиедроби называются десятичными?
2. Сформулируйте и докажите теорему о преобразовании обыкновенных дробей в
десятичные.
3. Сформулируйте свойства десятичных дробей.
4. Как сложить (вычесть) две десятичные дроби?
5. Как найти произведение (частное) двух десятичных дробей?
6. Какую часть числа называют процентом?
ТЕМА:Числовое выражение: определение, значение. Числовые равенства и
неравенства: определения, свойства, состав. Выражения с переменной.
Тождественные преобразования выражений. Тождество.
1. Сравните понятия, свойства числовых- равенств и неравенств.
2. Сравните понятия числового выражения и выражения с переменной
Выполните задания:
1. Прочитайте выражения:
1
3
а) 17 +15 ; б) 35,6-30,42; в) 6,8:17;
4
7
2
1
г) 15  16 ; д) 138:3+12,7; е) 1,5-(26,4:30); ж) 22(11,7+123,3);
5
4
1
3
д) ( 15  12 ) : 2.
3
4
2. Запишите в виде выражения:
а) сумма ста восьми и семидесяти пяти;
б) разность двадцати четырех и семи;
в) произведение двухсот сорока трех и пятнадцати;
г) частного пятисот сорока и шестидесяти.
3. Приведите примеры для учащихся 1-3 классов: а) числовых выражений; б)
числовых выражений, не имеющих смысла. Имеют ли значение приведенных вами
выражений: 1) вмножествеZ; 2) в множестве R?
4. Найдите значение числового выражения:
-2
5 3
3 16
(   )
(0,75) 2  (0,25) 2
8 16 32 17
; б)
а)
.
2
2
1
60
(0,3)  0,6  0,7  (0,7)
(5 : 1,6  3 : 2,5) 
2
69
5. Среди следующих записей укажите; а) числовые выражения; б) числовые равенства;
в)числовые неравенства:
1) 42:5; 2)32; 3)27; 4)7 16  3 ; 5) 12 ; 6)27-4= 20+3; 7) 13- 5<7, 7).-5< 2.
6. Установите , какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а)102 + 112 + 122 = 132 + 142;
б) 33 + 43 + 53 = 63;
1 2
1
1
в)(  ) : (3)  6 : (6 );
14 7
13
3
г) 1,0905: 0,025 - 6,843,07 + 2,38 : 100 < 4,8 : (0,04 0,006).
7. Известно, что х> у - истинное неравенство. Будут ли истинны следующие
х у
неравенства: 2х > 2у; 2)   ; 3) 2х-7< 2у - 7; 4) - 2х-7 <-2у-7 ?
2 2
8. Как трактуются в начальном курсе - математики понятия числового равенства и
числового неравенства, если учащимся предлагается задание:
а) запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя
выражения: 93: 30-6; 39; 30 – 3;
б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными:
4+23=18; 31-10-3 =24; 54-12+8= 34;
в) Поставь знаки действия так, чтобы получились верные равенства: 3 * 6 *
2=9;9*3* 6=18.
9. Какие из ниже приведенных записей являются выражениями с переменными:
а) 8+0,36; б) 21-(4+у); в) х+2у = 7; г) 32 : у +3-5у?
10. Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на
множестве действительных чисел: а) (3-у): 64; б) 64: (3-у); в) (5+х): (х-12).
11. Выясните, являются ли выражения 3(4-х) и 12-3х тождественно равными на
множестве: а) {1,2,3,4}; б) действительные числа.
12. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующего выражения:
5 (1-2х) +10х= 5-10х+10х=5.
13. Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а) 6(2аb-3)+ 2a(6b-5); б) (12a-16b)-4(10a-4b).
14. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных
чисел: а) 3p+5m=5m+3p; б) 3p-5m=5m-3p;
в) 3p5m=5m3p;
г) 3p:5m=5m:3p.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое выражение называется числовым?
2. Какое число называется значением числового выражения?
3. Какие выражения не имеют смысла?
4. Каков порядок действия при вычислении значений числового выражения?
5. Какое равенство называют числовым?
6. Назовите свойства числовых равенств. Докажите их.
7. Какое неравенство называют числовым?
8. Какие неравенства называют одинакового противоположного смысла?
9. Назовите свойства числовых неравенств. Докажитеих.
10. Какие выражения называются выражениями с переменными?
11. Какие числа называются значениями переменной?
12. Что такое область определения выражения?
13. Какие выражения называются тождественно равными?
14. Что такое тождество?
15. Что такое тождественное преобразование выражений?
16. Какие выражения называются тождественно равными?
17. Что такое тождество?
18. Что называется тождественнымпреобразованием выражения?
ТЕМА: Уравнения и неравенства с одной переменной: определение, свойства
равносильных неравнств и их решение. Уравнение: с двумя переменными,
линии, окружности. Система (совокупность) уравнений: способы решений.
Системы и совокупности неравенств с одной переменной.
1. Сравните понятия: уравнение и неравенство.
2. Сравните понятия:
а) Уравнение с одной переменной и уравнения с двумя переменными.
б) Системы и совокупности уравнений.
3. Сравните понятия системы и совокупности неравенств.
Выполните задания:
1. Объясните решение следующих уравнений и неравенств, используя теоремы о
равносильности(множество их решений изобразите на числовой прямой для
6
9
12 х 2  15
неравенств): а)
;


1  2х 2х  1
4х2  1
3х 2  4 х  15
1 х
5  5х
10
50
2
 2

б) 1 
4
; в) 1 
; г)
 0.
2
3
х3 х  х6 х2
(7  2 х ) 2
2. Решите задачу и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их решения:
а) Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же
расстояние по течению, затратив на весь путь 14 ч. Определите собственную
скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч;
б) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В
середине пути он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч,
прибыл в пункт В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину
пути.
3. Докажите равносильность следующих пар уравнений с двумя неизвестными:
а) х2+у2+6х=8у-4
и х2+у2+6х-8у+4=0;
б) х+у=5х-2у-2у+1
и (х2+у2+1) (х+у)=(х2+у2+1) (5х-2у+1);
в) х3-у3+6х+8=9х+5х+9 и х3-у3+х=9х+1.
4. Напишите уравнение окружности с центром А (а;в) и радиусом R, если:
а) а=-4, в=0, R=10.
б) а=0, в=0, R=6.
5. Найдите на окружности х2+у2-3х-4у-4=0 точки, абсцисса которых равна 4.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется уравнением с двумя переменными?
2. Какая пара чисел называется решением уравнения с двумя переменными?
3. Что называется множеством решений уравнения с двумя переменными?
4. Что такое график уравнения?
5. Какие уравнения называются равносильными?
6. Сформулировать и доказать свойства (теоремы) равносильных уравнений с двумя
переменными.
7. Какое уравнение называется уравнением окружности?
8. Запишите уравнение окружности.
9. Что называется системой уравнений?
10. Что значит решить систему уравнений?
11. Какие способы решений систем уравнений вы знаете?
12. Что является геометрическим решением системы уравнений?
13. Что называется совокупностью уравнений?
14. Что называется решением совокупности уравнений?
15. Какое множество называется множеством решений системы (совокупности)
уравнений?
16. Что называется системой (совокупностью) неравенств?
17. Что значит решить систему (совокупность) неравенств?
18. Какие способы решения систем (совокупностей) неравенств вы знаете?
Тема:Функция: способы задания, свойства, график, виды функции
1. Выявите различные способы задания функций.
2. Выделите отличительные и схожие признаки функций: а) линейной и прямой
пропорциональности; б) прямой и обратной пропорциональности.
Выполните задание:
1. Приведите примеры трех упражнений из учебников математики начальных классов,
выполнении которых может быть осуществлена пропедевтика понятия функции.
2. Запишите выражение линейной функции, если заданы к и значение у1 этой функции
2
в точке х1: а) к=2 х1=-3 у1=4; б) к= х1=4 у1=2. Постройте графики этих
3
функций.
5
3. Постройте графики функции: а) у=
, хХ=-2;-1;0;1;2
х3
б) у=2х+7, х-2;5)
4. Графики на рис. 1 разбиты на классы: а,в,в,е,г,д. Какие свойства
соответствующих функций положены в основу этой классификации?
У
уу
Х
а)
хх
б)
уу
У
Х
г)
в)
хх
д)
е)
5.Постройте график функции: а) у=-3х; б) у=4х+1; в) у=
6.Постройте графики функций: а) у=
6
.
х
5
; б) у=-2 х +3.
х
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое соответствие называется функцией?
2. Какая функция называется числовой?
3. Какое множество называется областью определения (множеством значения)?
4. Что такое аргумент (значение функции)?
5. Какие способы задания функции вы знаете?
6. Какими свойствами обладает функция?
7. Какая функция называется линейной (прямой или обратной пропорциональности)?
8. Назовите свойства линейной (прямой или обратной пропорциональности) функции?
9. Какое множество называется графиком функции?
10. Постройте график линейной (прямой или обратной пропорциональности) функции.
11. Что такое угловой коэффициент? Как его вычислить?
2)Решите примерные задания зачета.
1. Не выполняя сложения, установите, делится ли на 3 сумма:
а) 2526 + 315; б) 208 + 7873 б) 546 - 185.
2. Найдите цифру х, при которой число 1х3670х делится на 3.
3. Найдите НОД чисел 456 и 188 с помощью алгоритма Евклида, а также – НОК этих же
чисел.
4. Найдите НОД и НОК чисел 3500, 140 и 6300 различными способами.
5. НОД(а,в )= 14, НОК (а,в)= 84.Найдите а и в.
6. Разложите на простые множители числа 3424 и 8264.
7. Докажите, что число 237 простое, а число 459- составное.
8. Найдите значение выражения
2,1(7)  3, (2)
.
4, (7)  2,5(1)
9. Известно, что числа а=2,3621…, в=0,9871…. Найдите два первых десятичных знака: а) суммы
а+в.; б) разности а-в; в) произведения ав; г) частного а:в.
10. Найдите область определения функции: а) у=
1
2х
; б) у=
.
6х  х2
6 х
11. Найдите значение следующих выражений с точностью до 0,001:
а) 7+
6 =;
б)
6
 2 =.
11
12. Решите неравенство: 7( х  2)  5( х  1) 2( х  3)  9 и обоснуйте все преобразования,
которые будете при этом выполнять.
13. Решите уравнение:
х  1 6х  1
х

 1  и обоснуйте все преобразования, которые
2
2
7
будете при этом выполнять.
ЗАДАНИЯ К ЛЕТНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Отражение свойств реального мира через понятие величины. Основные
свойства скалярных величин. Понятие измерения величины.
1. Выявите особенность в определении величины.
Выполните задания:
1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях: а) Груши дороже яблок; б)
Книга тяжелее тетради; в) Таня выше Светы.
2. Какие величины могут характеризовать следующие объекты: а) карандаш; б) человек;
в) озеро?
3. Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить их длины, не прибегая
к измерению? Какими могут быть результаты сравнения?
4. Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя массу каждого из них?
Какими могут быть результаты сравнения?
5. Назовите стандартные единицы, с помощью которых можно измерить величины,
указанные в таблице. Запишите их.
длина
масса
Ширина
Объем
время
высота
количество
6. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины в
каждом из следующих предложений: а) В коробке 8 кг яблок, б) Глубина оврага 2
метра, в) Площадь садового участка 6 соток, г) В сервизе 6 тарелок, д) Рост девочки 1
м20 см.
2
7
3
7. Сравните величины: а) 36 мин и
ч; б) 3,5 дм и
м; в) кг и 750 г.
15
10
4
8. Как изменится числовое значение величины, если единицу этой величины: а) увеличить
в 5 раз? б) увеличить в 4 раза?
9.Разбейте на классы тремя способами следующие величины: в каждом случае укажите
основание классификации:
А-высота дерева,
М-площадь доски,
В-16кг,
Н-13с,
С-масса доски,
К-26м,
Д-25 см,
L-длина веревки,
Е-возраст дерева,
Р-толщина доски.
Вопросы для самоконтроля:
1.
Что такое величина?
2. Какие величины (меры) называются однородными (разнородными)?
3. Какими свойствами обладает величина?
4. Что называется единицей измерения?
5. Что такое численное значение величины?
6. Какие существуют способы измерения величины?
7. Какая величина называется аддитивной скалярной величиной?
8. Какие величины называются равновеликими?
Тема: Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные
единицы длины и отношения между ними.
1. Сравните определения положительной скалярной величины и длины отрезка.
Выполните задание:
1.Постройте отрезки: а) х 
1,5 5 
1
2
3
е;
б) х 
2 3 7
е;
3
5
4 2  0.5 10
в) х 
е.
2
2. Какие величины измеряли, если в результате получили:
а) 16,5 см; б) 285 га; в) 46 м/с; г) 80 м3; д) 39 дм2.
3. Как изменится числовое значение величины, если единицу этой величины:
а) увеличить в 5 раз; б) уменьшить в 3 раза.
4. Длина отрезка АВ равна 5,6 е. Сколько раз укладывается единица длины е в отрезке
АВ?Сколько раз укладывается десятая доля единицы длины е?
5. Дан единичный отрезок е. Постройте отрезки, длины которых равны: а) 2е; б) 0,6е; в)
1,75е?.
6. Каким числом выразится длина каждого из построенных в предыдущей задаче
1
отрезков, если за единицу длины принять: а)
е; б) 2е;_в) 0,75е?
3
2
7. Выразите десятичной дробью длину отрезка АВ, если: а) АВ = 2 е;
40
5
2
б) АВ = е; в) АВ = 4 е.
6
7
8. Решите следующие задачи и объясните, какие операции над длинами были выполнены в
процессе решения:
а)В мотке 240 м проволоки. — этой проволоки израсходовали. На сколько метров
проволоки больше израсходовали, чем осталось?
б) Периметр треугольника 37 см. Одна сторона 12 см, другая составляет 75% длины
первой стороны. Чему равна длина третьей стороны?
в) В куске было 25 м ткани. Хватит ли этой ткани, чтобы сшить 8 платьев, расходуя на
каждое по 3 м?
г) Бревно длиной 8,1 м распилили на две части так, что одна из них оказалась в 1,7 раза
длиннее другой. Какова длина каждой части бревна?
Вопросы для самоконтроля:
1 . Что называется длиной отрезка?
2. Какие две аксиомы должны выполняться в процессе измерения отрезков?
3. Опиши те процесс измерения длины отрезка.
4. Какими свойствами обладает длина отрезка? Докажите.
5. Как разделить отрезок на 3 разные части?
6. Какова основная (кратная, дельная) мера длины отрезка?
Тема:Площадь фигуры. Способы измерения площадей. Равновеликость и
равносоставленность фигур. Нахождение площади прямоугольника и других
плоских фигур .
1 Сравните определения положительной скалярной величины и площади фигуры.
3. В чем заключается особенность выведения формул некоторых многоугольников?
Выполните задание:
1.Среди фигур, изображенных на рис. 1, укажите: а)
равные; б) равновеликие; в) равносоставленные.
2. Истинно ли высказывание: «Если периметры двух
прямоугольников равны, то равны и их площади»?
Истинно ли утверждение, обратное данному?
3.На сколько процентов уменьшится площадь квадрата, если
каждую его сторону уменьшить на 20%?
4.Сколько существует прямоугольников, имеющих
площади, равные 24 см2, если известно, что длины
их сторон выражаются натуральными числами?
5. Прямые а и b параллельны. Точка В движется но прямой b, занимая положение В1,В2 ,В3
и т.д.,а точка А и С остаются неподвижными. Равновелики ли треугольники АВ1С,
АВ2С и т.д.?
6. На гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника построили квадрат.
Квадрат построили и на его катете. Во сколько раз площадь первого квадрата больше
площади второго квадрата?
7. Дан квадрат. Из него надо вырезать квадрат, площадь которого равна площади
оставшейся части. Как это сделать?
8. Истинны ли утверждения: а) если прямоугольники равновелики, то они равны; б) если
площадь одного прямоугольника больше площади другого прямоугольника, то и
стороны первого больше сторон другого; в) если прямоугольники равновелики, то
периметры их равны?
9. Какая зависимость существует между площадью квадрата и его периметром? Имеет ли
она место для прямоугольника?
10. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 1 см. Докажите, что его площадь
увеличилась больше чем на 1 см2.
11. Прямоугольный участок земли размером 130x60 м окопали рвом шириной 1 м, причем
ров выкопали на участке. Какова новая площадь участка?
12. Существуют ли такие прямоугольники, у которых длины сторон выражаются целым
числом сантиметров, а площадь численно равна периметру?
13. Докажите, что среди прямоугольников, периметры которых равны, наибольшую
площадь имеет квадрат.
14. Докажите, что среди равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет
квадрат.
15. Будут ли равновелики прямоугольники, если сторонами одного из них служат катеты
прямоугольного треугольника, а сторонами другого — гипотенуза и опущенная на нее
высота этого же треугольника?
16. В середине прямоугольной площадки со сторонами 12 м и 10 м требуется разбить
прямоугольную клумбу площадью 8 м2 так, чтобы ее края были на одинаковом
расстоянии от краев площадки. На каком расстоянии от краев площадки должны быть
расположены края клумбы?
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется площадью фигуры?
2. Опишите процесс измерения площади фигуры.
3. Какими свойствами обладает площадь фигуры? Докажите.
4. Какие фигуры называются равновеликими (равносоставленными)?
5. Какова основная (кратная, дольная) мера площади фигуры?
Тема:Объем тела и его измерение. Масса, стоимость, время, скорость, путь. Единицы
их измерения. Зависимость между ними .
1. Сравните определения положительной скалярной величины и объема (массы) тела.
3. В чем отличие и сходство задач с пропорциональными величинами?
4. Вспомните и запишите формулы объемов параллелепипеда, пирамиды, конуса,
цилиндра, шара.
Выполните задание:
1.Кирпич формы прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 25
см,12 см и 6,5 см, имеет плотность 1,8 г/см'. Найдите его массу.
2. Решите методом составления уравнения:
а) Бригада рабочих должна изготовить 360 деталей. Изготовляя ежедневно на 4 детали
больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на один день
раньше срока. Сколько дней потратила бригада на выполнение задания?
б) Две бригады должны были изготовить по 780 деталей. Первая бригада изготовляла в
день на 9 деталей больше второй и выполнила задание на 6 дней раньше, чем
вторая. Сколько дней затратила каждая бригада на выполнение задания?
3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и
острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом 45°. Найдите объем пирамиды.
4. Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной около
его грани, равен R.
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при
основании равен 45°. Определить объем и полную поверхность пирамиды.
6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковых
граней равны l6 см и 3 см. Определить объем параллелепипеда.
11.1. В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами 3 дми 6
дми острым углом в 45°. Боковое ребро призмы равно 4 дми наклонено к плоскости
основания под углом в 30°. Найти объем призмы.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется объемом тела?
2. Опишите процесс измерения объема тела.
3. Какие тела называются равновеликими?
4. Какова основная (кратная, дольная) мера объема тела?
5. Запишите формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда (конуса,
цилиндра, шара, пирамиды, призмы).
6. Что называется массой тела?
7. Опишите процесс измерения массы тела.
8. Какими свойствами обладает масса тела? Докажите.
9. Какова основная (краткая, дольная) мера массы тела?
10.Что такое цена (количество, стоимость)?
11.Что такое время (скорость, путь)?
12.Какая взаимосвязь существует между этими величинами?
13.Сформулируйте необходимые и достаточные условия прямой (обратной)
пропорциональности.
14.Какие существуют способы решения задач с пропорциональными величинами?
15.В каких единицах измеряется время (скорость, расстояние)?
Тема: Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках. Призма, прямоугольный
параллелепипед. Пирамида, цилиндр, конус, шар. Изображение этих фигур
на плоскости.
Выполните задания:
1. Вычислить вместимость ведра, имеющего форму усеченного конуса, если диаметр дна
равен 18 см, диаметр отверстия 35 см и глубина 38,5 см.
2. Диаметр Марса составляет половину земного. Во сколько раз поверхность и объем
Марса меньше, чем соответственные величины для Земли?
3. Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Во сколько раз Юпитер превышает Марс
по поверхности и объему?
4. Нужно вырыть в глинистой почве прямую канаву длиной 300 м и глубиной 1,5 м,
ширина канавы вверху 4 м, у дна 2 м. Сколько рабочих дней нужно для этой работы,
если на извлечение 10 куб. м земли в таком грунте требуется 4 рабочих дня?
5. Найти объем цилиндрической колонны, у которой высота 25,5 м и диаметр основания
1,22 м.
6. Вычислить поверхность купола, имеющего форму полушара, у которого диаметр
равен 5,25 м.
7. В цилиндрическом колодце, внутренний диаметр которого 2,5 м, прибыло
воды на 30 см. Сколько куб. метров воды прибавилось?
8. Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной
4 мм, если известно, что 1 куб. см железа весит 8 г?
9. Сколько весит полая чугунная колонна высотой 2 м, если наружный ее диаметр равен
10 см, а внутренний 6 см и если 1 куб. см чугуна весит 7 г?
10.
Докажите теорему Декарта –Эйлера.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое многогранник (призма, куб, пирамида)?
2. Что такое высота, вершина, ребро, грань, диагональ многогранника?
3. Какие виды призмы вы знаете? Дайте определение.
4. Какие виды пирамиды вы знаете? Дайте определение.
5. Что такое шар, сфера, конус, цилиндр?
6. Что называется радиусом, диаметром шара (сферы, конуса, цилиндра)?
7. Как изображается многогранник (призма, куб, пирамида)?
8. Как изображается шар, сфера, конус, цилиндр?