Программа дисциплины «Линейная алгебра» составлена в

Программа дисциплины «Линейная алгебра» составлена в соответствии с требованиями
ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА для реализуемых образовательных программ высшего профессионального образования, к структуре и результатам
освоения основных образовательных программ бакалавриата по профессиональному циклу
по направлению подготовки «Экономика».
Лекторы.
2.1. Доктор экономических наук, профессор, Черемных Юрий Николаевич, кафедра
математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ,
ioucher@yandex.ru
Соавторами курса являются Кострикин Игорь Алексеевич, Анно Евгений Иосифович, Курош Нина Александровна,
Изучение
данной
дисциплины
способствует
в
дальнейшем
освоению
фундаментальных знаний, прикладных экономических навыков и получению
следующих
Общекультурных компетенций (ОК):
 способность использовать фундаментальные экономические знания в различных
сферах деятельности (ОК-3);
 способность к самоорганизации и активному самообразованию (ОК-7).
Общепрофессиональных компетенций (ОПК):
 способностью выбирать и комбинировать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать
результаты расчетов и обосновывать полученные выводы (ОПК-3);
Профессиональных компетенций (ПК):
 способность на основе описания экономических, исторических, политических,
экологических, демографических процессов и явлений строить стандартные
теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно
интерпретировать полученные результаты и делать прогнозы (ПК-4);
 способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические и программные средства и информационные технологии
(ПК-8);
 способность использовать в преподавании экономических дисциплин в
образовательных организациях различного уровня существующие программы и
учебно-методические материалы (ПК-12).
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Целью изучения линейной алгебры является обеспечение базовой математической подготовки студентов-экономистов, которая необходима для изучения теоретических и прикладных
экономических дисциплин.
Задачи:
1. ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики;
2. привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по линейной алгебре;
3. развить логическое и алгоритмическое мышление;
4. воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать свои мысли;
5. выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
1. Обязательная.
Стр. 2 из 18
2. Общепрофессиональные дисциплины, федеральная компонента, математический и естественнонаучный цикл (Б2).
3. Математический анализ вместе с линейной алгеброй составляют фундаментальную математическую основу для всех математических и экономико-математических курсов.
3.1. Для начала освоения дисциплины «Линейная алгебра» необходимо быть знакомым с
курсом алгебры и анализа средней общеобразовательной школы.
3.2. Дисциплина «Линейная алгебра» необходима для дальнейшего освоения следующих
предметов: элементы высшей математики, математический анализ-2, математический
анализ-3, дифференциальные уравнения, микроэкономика-1, микроэкономика-2,
макроэкономика-2, макроэкономика-3, теория отраслевых рынков, математическая
статистика, многомерный статистический анализ, эконометрика, методы оптимальных решений, теория игр, количественные методы в прикладной экономике, моделирование экономических процессов.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать
 основы логических построений: понятия необходимости, достаточности, аксиомы,
следствия, эквивалентности и т.д.;
 основы теории систем линейных алгебраических уравнений и их применения в экономике;
 элементы аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве;
 основы теории конечномерных линейных пространств;
 основы теории матриц, применение матричной алгебры в экономике;
 основы теории определителей;
 понятие и основные свойства квадратичных форм;
 аксиомы евклидова пространства, основные свойства и теоремы;
 алгебраические основы метода наименьших квадратов;
 комплексные числа и операции над ними;
 основы алгебры многочленов;
 переход к новому базису в линейных пространствах;
 основы теории линейных операторов;
 основные свойства выпуклых множеств, в частности, свойства множества решений
систем линейных неравенств.
уметь
 формулировать и обосновывать утверждения в алгебраической форме;
 иллюстрировать основные алгебраические понятия;
 приводить примеры алгебраических объектов;
 формулировать на алгебраическом языке простейшие экономические модели;
 совершать операции над матрицами и решать матричные уравнения;
 решать и исследовать системы линейных алгебраических уравнений;
 определять размерности алгебраических объектов, строить базисы и переходить к новому базису в различных линейных пространствах;
 вычислять определители и применять их в алгебре и математическом анализе;
 исследовать квадратичные формы, в частности, в задачах математического анализа;
 проводить вычисления в евклидовых пространствах;
 совершать операции над комплексными числами;
 работать с матрицей линейного оператора, находить собственные значения и собственные векторы;
 приводить квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Стр. 3 из 18
 приводить пару квадратичных форм к каноническому виду.
владеть
 навыками логических построений;
 методологией линейной алгебры;
 основными принципами алгебраических доказательств;
 навыками работы с матрицами, определителями, системами линейных алгебраических
уравнений , квадратичными формами, линейными операторами;
 теоретическими основами линейной алгебры и их применением в других разделах математики и в экономических исследованиях.
4. Содержание и структура дисциплины
Следующая таблица (на альбомном развороте) может быть разбита на несколько таблиц
Стр. 4 из 18
N
раздела
Наименование
раздела
Аудиторная работа
Лекции
1
2
3
4
5
Введение
Форма
текущего
контроля
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
2 часа.
Содержание лекции 1: Значение алгебраической культуры в современном
образовании экономиста. Краткая история применения алгебраических
методов в экономике. Примеры использования в экономике алгебраических понятий и моделей.
Самостоятельная работа
Семинары
2 часа.
Тема семинара 1. Примеры
использования в экономике
алгебраических понятий и
моделей.
2 часа.
Тема семинара 2. Примеры
использования в экономике
алгебраических понятий и
моделей.
Элементы аналитиче- 2 часа.
2 часа.
ской геометрии
Содержание лекции 1: Векторы на прямой, плоскости и в трехмерном
Тема семинара 1. Элементы
пространстве. Скалярное произведение векторов. Уравнение прямой на
аналитической геометрии
плоскости. Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве.
2 часа.
Взаимное расположение прямых и плоскостей. Общий перпендикуляр к Тема семинара 2. Уравнение
скрещивающимся прямым.
прямой на плоскости.
Системы линейных
2 часа.
2 часа.
алгебраических урав- Содержание лекции 1: Системы линейных уравнений. Эквивалентные
Тема семинара 1. Системы
нений и матрицы
преобразования систем линейных уравнений. Матрицы. Матрица и рас- линейных алгебраических
ширенная матрица системы линейных уравнений. Умножение матриц.
уравнений и матрицы
Матричная запись систем линейных уравнений. Метод Гаусса-Жордана 2 часа.
решения систем линейных уравнений. Общее решение системы линейТема семинара 2. Метод
ных уравнений. Главные и свободные неизвестные.
Гаусса-Жордана решения
систем линейных уравнений.
Линейные простран- 2 часа.
2 часа.
ства
Содержание лекции 1: Аксиомы линейного пространства. Примеры лиТема семинара 1. Линейные
нейных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов.
пространства
Критерий линейной зависимости. Ранг и база набора векторов. Теорема о 2 часа.
рангах двух наборов. Эквивалентные определения базы. Теорема о поТема семинара 2. Базис и
полнении линейно независимого набора. Базис и размерность линейного размерность линейного пропространства.
странства.
Подпространства
2 часа.
2 часа.
линейных проСодержание лекции 1: Линейная оболочка и множество решений одноТема семинара 1. Подпространств
родной системы линейных алгебраических уравнений – два способа
странства линейных прозадания подпространства. Базис и размерность линейной оболочки. Базис странств
и размерность подпространства решений однородной системы. Сумма и 2 часа.
пересечение подпространств. Формула Грассмана.
Тема семинара 2. Базис и
размерность линейной оболочки.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Примеры использования в
экономике алгебраических
понятий и моделей.
Об, ДЗ, РС,
КР
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Элементы аналитической
Об, ДЗ, РС,
геометрии. Уравнение прямой КР
на плоскости.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Системы линейных алгебраических уравнений и матри- Об, ДЗ, РС,
цы. Метод Гаусса-Жордана
КР
решения систем линейных
уравнений.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Линейные пространства.
Об, ДЗ, РС,
Базис и размерность линейноКР
го пространства.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Подпространства линейных
пространств. Базис и размер- Об, ДЗ, РС,
ность линейной оболочки.
КР
Стр. 5 из 18
6
7
8
9
10
11
Алгебра матриц
2 часа.
Содержание лекции 1: Сложение матриц и умножение матрицы на число.
Линейное пространство матриц. Умножение матриц. Симметрические и
кососимметрические матрицы. Перестановочные матрицы. Обратная
матрица. Теорема существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Свойства обратных матриц. Вырожденные
и невырожденные матрицы. Транспонированная матрица. Решение матричных уравнений. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц.
Системы линейных
2 часа.
уравнений, структура Содержание лекции 1: Теорема Кронекера - Капелли для системы линеймножества решений
ных уравнений и для матричных уравнений. Понятие линейного многопроизвольной систе- образия. Теорема о структуре множества решений неоднородной системы линейных алгеб- мы линейных уравнений. Взаимное расположение линейных многообрараических уравнений зий.
2 часа.
Тема семинара 1. Алгебра
матриц
2 часа.
Тема семинара 2. Ранг матрицы.
2 часа.
Тема семинара 1. Системы
линейных уравнений
2 часа.
Тема семинара 2. Взаимное
расположение линейных
многообразий.
Определители
2 часа.
2 часа.
Содержание лекции 1: Определитель квадратной матрицы. Свойства
Тема семинара 1. Определиопределителей. Критерий вырожденности квадратной матрицы. Вычис- тели
ление элементов обратной матрицы с помощью определителей. Правило 2 часа.
Крамера решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей.
Тема семинара 2. Правило
Крамера решения систем
линейных уравнений с квадратной матрицей.
Переход к новому
2 часа.
2 часа.
базису
Содержание лекции 1: Матрица перехода к новому базису в конечномер- Тема семинара 1. Переход к
ном линейном пространстве. Изменение координат вектора при переходе новому базису
к новому базису.
2 часа.
Тема семинара 2. Изменение
координат вектора при переходе к новому базису.
Линейные операторы 2 часа.
2 часа.
(основы теории)
Содержание лекции 1: Понятие линейного оператора. Примеры линейТема семинара 1. Преобразоных операторов. Матрица линейного оператора. Преобразование матри- вание матрицы линейного
цы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные
оператора при переходе к
векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристиче- новому базису
ский многочлен линейного оператора и его свойства.
2 часа.
2 часа.
Содержание лекции 2: Линейная независимость собственных векторов с Тема семинара 2. Приведепопарно различными собственными значениями. Теорема о соотношении ние матрицы линейного
алгебраической кратности и геометрической кратности корня характери- оператора к диагональному
стического многочлена. Приведение матрицы линейного оператора к
виду.
диагональному виду.
Евклидовы простран- 2 часа.
2 часа.
ства
Содержание лекции 1: Скалярное произведение. Неравенство Коши Тема семинара 1. Евклидовы
Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между
пространства
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Алгебра матриц. Ранг матрицы.
Об, ДЗ, РС,
КР
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Системы линейных уравнеОб, ДЗ, РС,
ний. Взаимное расположение
КР
линейных многообразий.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Определители. Правило
Крамера решения систем
Об, ДЗ, РС,
линейных уравнений с квадКР
ратной матрицей.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Переход к новому базису.
Об, ДЗ, РС,
Изменение координат вектора
КР
при переходе к новому базису.
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Преобразование матрицы
линейного оператора при
переходе к новому базису.
Приведение матрицы линейОб, ДЗ, РС,
ного оператора к диагональКР
ному виду.
8 часов.
Об, ДЗ, РС,
Тема самостоятельной. работы
КР
1. Евклидовы пространства.
Стр. 6 из 18
12
13
14
векторами. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Ортогональное
дополнение к подпространству и его свойства. Ортогональная проекция
вектора на подпространство.
2 часа.
Содержание лекции 2: Несовместные системы линейных уравнений и
метод наименьших квадратов приближенного решения систем линейных
уравнений. Псевдорешения. Использование метода наименьших квадратов для обработки данных в экономике.
Комплексные числа и 2 часа.
многочлены
Содержание лекции 1: Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными
числами. Возведение в степень и извлечение корня.
2 часа.
Содержание лекции 2: Многочлены. Лемма о делимости двух многочленов. Теорема Безу. Теорема Виета. Основная теорема высшей алгебры.
Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.
Использование метода
наименьших квадратов для
обработки данных в экономике
2 часа.
Тема семинара 2. Использование метода наименьших
квадратов для обработки
данных в экономике
2 часа.
Тема семинара 1. Действия
над комплексными числами.
Об, ДЗ, РС,
КР
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Действия над комплексными числами. Разложение многочлена на линейные и квадОб, ДЗ, РС,
2 часа.
КР
Тема семинара 2. Разложение ратичные множители с действительными коэффициентамногочлена на линейные и
ми.
квадратичные множители с
дей-ствительными коэффициентами.
Билинейные и квад2 часа.
2 часа.
8 часов.
ратичные формы в
Содержание лекции 1: Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Тема семинара 1. Преобразо- Тема самостоятельной. работы
линейных простран- Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы
вание матрицы билинейной 1. Преобразование матрицы
ствах
билинейной формы при переходе к новому базису.
формы при переходе к ново- билинейной формы при перему базису.
ходе к новому базису. КритеОб, ДЗ, РС,
рий главных миноров.
2 часа.
2 часа.
КР
Содержание лекции 2: Квадратичная форма. Канонический вид квадраТема семинара 2. Критерий
тичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду главных миноров.
методом Лагранжа выделения полных квадратов. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определенности
квадратичных форм. Критерий главных миноров.
Линейные операторы, 2 часа.
2 часа.
8 часов.
собственные векторы Содержание лекции 1: Линейные операторы и их матрицы. Преобразова- Тема семинара 1. Линейные Тема самостоятельной. работы
и инвариантные под- ние матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Инва- операторы и их матрицы.
1. Линейные операторы и их
пространства
риантные подпространства и собственные векторы. Характеристический
матрицы. Разложение промногочлен. Минимальный многочлен. Алгебраическая и геометрическая
странства в сумму одномеркратность корней характеристического многочлена.
ных и двумерных инвариантных подпространств. Приве2 часа.
2 часа.
Содержание лекции 2: Свойства собственных векторов. Разложение
Тема семинара 2. Разложение дение матрицы линейного
Об, ДЗ, РС,
пространства в сумму одномерных и двумерных инвариантных подпро- пространства в сумму одно- оператора к диагональному
КР
виду невырожденным линейстранств.
мерных и двумерных инваным преобразованием
риантных подпространств.
2 часа.
2 часа.
Содержание лекции 3: Приведение матрицы линейного оператора к диа- Тема семинара 3. Приведегональному виду невырожденным линейным преобразованием. Свойства ние матрицы линейного
идемпотентных матриц. Функции от линейного оператора.
оператора к диагональному
виду невырожденным ли-
Стр. 7 из 18
нейным преобразованием.
15
16
17
18
19
Жорданова нормальная форма матрицы
2 часа.
Содержание лекции 1: Корневой вектор, корневое подпространство.
Нильпотентный оператор. Циклическое подпространство. Жорданов
базис.
Некоторые специаль- 2 часа.
ные виды линейных
Содержание лекции 1: Симметрические линейные операторы и их свойоператоров
ства. Эрмитовы линейные операторы и их свойства. Ортогональные
линейные операторы и их свойства.
2 часа.
Содержание лекции 2: Приведение матрицы симметрического линейного
оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Полярное разложение линейного оператора.
2 часа.
8 часов.
Тема семинара 1. Жорданова Тема самостоятельной. работы
нормаль-ная форма матрицы 1. Жорданова нормальная
форма матрицы
2 часа.
8 часов.
Тема семинара 1. Виды лиТема самостоятельной. работы
нейных операторов
1. Виды линейных операторов.
Приведение матрицы симметрического линейного операто2 часа.
ра к диагональному виду орТема семинара 2. Приведение матрицы симметрическо- тогональным преобразованием
го линейного оператора к
диагональному виду ортогональным преобразованием
Приведение квадра2 часа.
2 часа.
8 часов.
тичной формы к
Содержание лекции 1: Преобразование матрицы квадратичной формы
Тема семинара 1. Преобразо- Тема самостоятельной. работы
главным осям
при переходе к новому базису. Приведение квадратичной формы к кано- вание матрицы квадратичной 1. Преобразование матрицы
ническому виду ортогональным преобразованием (приведение к главным формы при переходе к ново- квадратичной формы при
осям). Приведение к каноническому виду пары квадратичных форм.
му базису
переходе к новому базису
Матрицы с неотрица- 2 часа.
2 часа.
6 часов.
тельными элементами Содержание лекции 1: Свойства матриц с неотрицательными элемента- Тема семинара 1. Матрицы с Тема самостоятельной. работы
ми. Теорема Перрона-Фробениуса и её применение в экономике. Стоха- неотрица-тельными элемен- 1. Матрицы с неотрицательстические матрицы. Понятие о цепи Маркова.
тами
ными элементами
Системы линейных
2 часа.
2 часа.
6 часов.
неравенств
Содержание лекции 1: Понятие выпуклого множества. Свойства выпук- Тема семинара 1. Системы
Тема самостоятельной. работы
лых множеств. Системы линейных неравенств и выпуклые множества.
линейных неравенств.
1. Системы линейных нераВыпуклые и многогранные конусы, крайние точки выпуклых многогранвенств
ных множеств. Структура множества решений системы линейных неравенств. Теорема Минковского-Вейля.
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Стр. 8 из 18
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 252 часа, из них – аудиторная работа 122
часа, самостоятельная работа 130 часов, в том числе контактные часы 16 часов.
Вид работы
Общая трудоёмкость, акад. часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. часов
Семинары, акад. часов
Лабораторные работы, акад. часов
Самостоятельная работа, акад. часов
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с
оценкой, экзамен)
1
108
54
18
36
54
зачет
2
144
68
34
34
76
экз
Семестры
3
4
5
6
7
8
Всего
252
122
52
70
130
4.2. Содержание разделов дисциплины (аббревиатуры форм контроля указаны выше)
№ раздела
Наименование
раздела
Всего
Количество часов
Аудиторная работа
Лекции Семинары
Лаб.
работы
Самостоятельная работа
Форма
текущего
контроля
1
Введение
12
2
4
-
6
2
Элементы аналитической геометрии
Системы линейных
алгебраических уравнений и матрицы
Линейные пространства
Подпространства
линейных пространств
Алгебра матриц
12
2
4
-
6
12
2
4
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
12
2
4
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
12
2
4
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
12
2
4
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
Системы линейных
уравнений, структура
множества решений
произвольной системы линейных алгебраических уравнений
Определители
12
2
4
-
6
12
2
4
-
6
Переход к новому
базису
Линейные операторы
(основы теории)
Евклидовы пространства
Комплексные числа и
многочлены
Билинейные и квадратичные формы в
линейных пространствах
Линейные операторы,
собственные векторы
и инвариантные подпространства
12
2
4
-
6
16
4
4
-
8
16
4
4
-
8
16
4
4
-
8
16
4
4
-
8
20
6
6
-
8
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Стр. 9 из 18
15
16
17
18
19
Жорданова нормальная форма матрицы
Некоторые специальные виды линейных
операторов
Приведение квадратичной формы к
главным осям
Матрицы с неотрицательными элементами
Системы линейных
неравенств
12
2
2
-
8
Об, ДЗ, РС,
КР
16
4
4
-
8
Об, ДЗ, РС,
КР
12
2
2
-
8
Об, ДЗ, РС,
КР
10
2
2
-
6
10
2
2
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
4.2.1. Лекции
№ раздела
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Наименование
раздела
Введение
Содержание раздела
Значение алгебраической культуры в современном образовании экономиста. Краткая история применения алгебраических методов в экономике. Примеры использования в экономике алгебраических понятий и моделей.
Элементы аналити- Векторы на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Скалярное произведение
ческой геометрии
векторов. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой и плоскости в трехмерном
пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Общий перпендикуляр к
скрещивающимся прямым.
Системы линейных Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнеалгебраических
ний. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Умножение
уравнений и матри- матриц. Матричная запись систем линейных уравнений. Метод Гаусса-Жордана решения
цы
систем линейных уравнений. Общее решение системы линейных уравнений. Главные и
свободные неизвестные.
Линейные проАксиомы линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость
странства
и независимость векторов. Критерий линейной зависимости. Ранг и база набора векторов.
Теорема о рангах двух наборов. Эквивалентные определения базы. Теорема о пополнении
линейно независимого набора. Базис и размерность линейного пространства.
Подпространства
Линейная оболочка и множество решений однородной системы линейных алгебраических
линейных проуравнений – два способа задания подпространства. Базис и размерность линейной оболочстранств
ки. Базис и размерность подпространства решений однородной системы. Сумма и пересечение подпространств. Формула Грассмана.
Алгебра матриц
Сложение матриц и умножение матрицы на число. Линейное пространство матриц. Умножение матриц. Симметрические и кососимметрические матрицы. Перестановочные матрицы. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы. Нахождение обратной
матрицы методом Гаусса. Свойства обратных матриц. Вырожденные и невырожденные
матрицы. Транспонированная матрица. Решение матричных уравнений. Ранг матрицы.
Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц.
Системы линейных Теорема Кронекера - Капелли для системы линейных уравнений и для матричных уравнеуравнений, структу- ний. Понятие линейного многообразия. Теорема о структуре множества решений неоднора множества реше- родной системы линейных уравнений. Взаимное расположение линейных многообразий.
ний произвольной
системы линейных
алгебраических
уравнений
Определители
Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Критерий вырожденности
квадратной матрицы. Вычисление элементов обратной матрицы с помощью определителей.
Правило Крамера решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей.
Переход к новому
Матрица перехода к новому базису в конечномерном линейном пространстве. Изменение
базису
координат вектора при переходе к новому базису.
Линейные операто- Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Матрица линейного операры (основы теории) тора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора и его свойства. Линейная независимость собственных векторов
с попарно различными собственными значениями. Теорема о соотношении алгебраической
кратности и геометрической кратности корня характеристического многочлена. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Евклидовы проСкалярное произведение. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника.
странства
Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение к подпространству и его свойства. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов приближенного решения систем линейных уравнений. Псевдорешения. Использование метода
наименьших квадратов для обработки данных в экономике.
Комплексные числа Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
Стр. 10 из 18
и многочлены
13
14
15
16
17
18
19
Действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня. Многочлены. Лемма о делимости двух многочленов. Теорема Безу. Теорема Виета. Основная
теорема высшей алгебры. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители
с действительными коэффициентами.
Билинейные и квад- Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной
ратичные формы в формы. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Квадлинейных простран- ратичная форма. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной форствах
мы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов. Закон инерции
квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных
форм. Критерий главных миноров.
Линейные операто- Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при
ры, собственные
переходе к новому базису. Инвариантные подпространства и собственные векторы. Хараквекторы и инваритеристический многочлен. Минимальный многочлен. Алгебраическая и геометрическая
антные подпрократность корней характеристического многочлена. Свойства собственных векторов. Разстранства
ложение пространства в сумму одномерных и двумерных инвариантных подпространств.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду невырожденным линейным преобразованием. Свойства идемпотентных матриц. Функции от линейного оператора.
Жорданова норКорневой вектор, корневое подпространство. Нильпотентный оператор. Циклическое подмальная форма
пространство. Жорданов базис.
матрицы
Некоторые специСимметрические линейные операторы и их свойства. Эрмитовы линейные операторы и их
альные виды линей- свойства. Ортогональные линейные операторы и их свойства. Приведение матрицы симных операторов
метрического линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Полярное разложение линейного оператора.
Приведение квадра- Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Приведение
тичной формы к
квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием (приведение
главным осям
к главным осям). Приведение к каноническому виду пары квадратичных форм.
Матрицы с неотри- Свойства матриц с неотрицательными элементами. Теорема Перрона-Фробениуса и её
цательными элемен- применение в экономике. Стохастические матрицы. Понятие о цепи Маркова.
тами
Системы линейных Понятие выпуклого множества. Свойства выпуклых множеств. Системы линейных неранеравенств
венств и выпуклые множества. Выпуклые и многогранные конусы, крайние точки выпуклых многогранных множеств. Структура множества решений системы линейных неравенств. Теорема Минковского-Вейля.
4.2.2. Семинары (практические занятия)
№ раздела
1
№ занятия
Тема
Кол-во часов
1
Примеры использования в экономике алгебраических понятий и моделей.
Примеры использования в экономике алгебраических понятий и моделей.
Элементы аналитической геометрии
Уравнение прямой на плоскости.
Системы линейных алгебраических уравнений и матрицы
Метод Гаусса-Жордана решения систем линейных уравнений.
Линейные пространства
Базис и размерность линейного пространства.
Подпространства линейных пространств
Базис и размерность линейной оболочки.
Алгебра матриц
Ранг матрицы.
Системы линейных уравнений
Взаимное расположение линейных многообразий.
Определители
Правило Крамера решения систем линейных уравнений с квадратной
матрицей.
Переход к новому базису
Изменение координат вектора при переходе к новому базису.
Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Евклидовы пространства
Использование метода наименьших квадратов для обработки данных
в экономике
2
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Стр. 11 из 18
12
1
2
13
1
14
2
1
2
3
15
16
1
1
2
17
1
18
19
1
1
Действия над комплексными числами.
Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители с
действительными коэффициентами.
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому
базису.
Критерий главных миноров.
Линейные операторы и их матрицы.
Разложение пространства в сумму одномерных и двумерных инвариантных подпространств.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
невырожденным линейным преобразованием.
Жорданова нормаль-ная форма матрицы
Виды линейных операторов
Приведение матрицы симметрического линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием
Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису
Матрицы с неотрицательными элементами
Системы линейных неравенств.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4.2.3. Лабораторные работы
НЕТ
4.2.4. Самостоятельное изучение разделов дисциплин
№ раздела
Все
№ вопроса
-
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Самостоятельная проработка лекций и семинаров по записям
Колво
часов
130
4.2.5. Курсовая работа (перечислить несколько возможных тем)
В рамках дисциплины не предполагаются
5. Образовательные технологии
Занятия проводятся в форме лекций, семинаров, письменных контрольных и экзаменационных работ. Контактные часы со студентами включают разбор домашних заданий, контрольных работ, собеседования, консультации.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
В начале каждого семестра студенты получают список теоретических вопросов и обширный
набор образцов практических и теоретических заданий, пополняемый в течение семестра
Эти материалы служат основой для самостоятельной работы и подготовки к практическим и
теоретическим письменным работам.
Первый семестр
1. Найдите ранг набора векторов:
a1  (1, 0,  1, 2) , a 2  (3, 1, 0, 1) , a3  (4, 1,  1, 3) , a4  (2, 1, 1,  1) .
2. Найдите координаты вектора x  (5, 7) в базисе f1  (1, 2) , f 2  (1, 1) .
3 а. Найдите все значения параметра p , при которых векторы
a1  (1, 2, 1) , a 2  ( 2, 0, 2) , a3  (0, p, 1) линейно зависимы.
Стр. 12 из 18
3 б. Найдите все значения параметра p , при которых вектор b  (2, p, 3)
выражается линейно через векторы a1  (1, 2,  3) , a 2  (1,  2, 1) , a3  (1, 0,  1) .
4. Вычислите ранг матрицы для всех значений параметра p :
 2
 1

3
1 1
0
p 0  2

0 2  2
5. Найдите размерность (или базис, в зависимости от варианта) подпространства
L  L { a1 (1, 0, 1, 2), a2 (2, 1, 0, 1), a3 (1, 1,  1,  1) } .
 2
6. Пусть C  A  B , где B    3

 5
1  3
0
1 и A (3  3) . Представьте первый столбец

2
4
матрицы C в виде линейной комбинации столбцов матрицы А.
7. Найдите
 2 1 1
 0 4 1
 1 2 1


1
 ax  ay  1
 5 x  ay  1
8. Найдите все значения параметра a , при которых система 
а) имеет бесконечно много решений; б) не имеет решений.
9. Найдите размерность и базис подпространства решений однородной СЛАУ:
 2 x1  x2  x3  x4  0

 2 x3  x4  0 .
 x1
 x  x  x  2x  0
3
4
 1 2
10. Решите матричное уравнение:
2 p  5 1
X  
.

 1 2   3 0
Линейная алгебра, 1 курс, 1 семестр. Работа 1.
Образец
11. Какие из следующих множеств являются подпространствами в соответствующем пространстве? Ответ обосновать.
а) { x ( x1, x2 ) | | x1 |  | x2 | }
б) { x ( x1, x2 ) | x  t  (1, 2), t  R }
в) { x ( x1, x2 ) | 2 x1  x2  2 }
x12  x22  x32  0 }
д) { x ( x1, x2 , x3 ) | x1  x3 , x2  1 } .
г) { x ( x1, x2 , x3 ) |
Стр. 13 из 18
12. Решите СЛАУ методом Гаусса-Жордана. Укажите главные и свободные переменные.
 x1  2 x2  4 x3  x4  1

 2 x1  4 x2  10 x3  x4  5 .
 3x  6 x  10 x  6 x  0
2
3
4
 1
13. В пространстве V  L {1, x, ..., x n } найдите базис и размерность подпространства
L  { f ( x) : f (k ) ( x)  0 } , k  1, ..., n  1 .
13’. В пространстве V  L {1, x  1, ..., ( x  1) n } найдите базис и размерность подпространства L  { f ( x) : f (k ) ( x)  0 } , k  1, ..., n  1 .
14. Найдите общий вид матриц 2  2 , перестановочных с матрицей A  
1 1 ,


 1 1
а также найдите базис и размерность подпространства таких матриц.
15. Множество L  E8 состоит из всех векторов, у которых координаты с четными номерами равны между собой и координаты с нечетными номерами также равны между собой. Покажите, что L является линейным подпространством в пространстве E8 .
Найдите базис и размерность L .
16. Определение (в каждом варианте свое) по темам «Линейные пространства»
и «Матрицы» с соответствующими примерами.
 2 x1  x2  x3  1
.
x

2
x

x

5
2
3
 1
17. Задайте линейное многообразие параметрически: 
18. Найдите все значения параметра  , при которых прямые скрещиваются:
p1  L{a1 (1, 2,1)}  c1 ( 0, 3,2 ) ,
p2  L{a2 (1, 0, 3 )}  c2 (  , 8,1) .
 x1  3x2
 2 x4  0

19. Найдите размерность и базис подпространства L :  x1
 x3  3x4  0 в E 4 .
 2 x  3x  2 x  4 x  0
2
3
4
 1
19’. Найдите размерность и базис линейной оболочки:
L  L{a1 ( 2,1, 3), a2 ( 1, 0,1), a3 (1,1, 0)} .
20. Задайте линейное многообразие H  L {a1 (1; 2; 2), a2 (3;1;  1)}  c (3; 3; 0) с помощью
СЛАУ.
21. Найдите размерность аффинной оболочки множества точек: H  aff ( M i ) , где
M 1  (1, 0, 2,1), M 2  ( 0,1,1, 2 ), M 3  (1, 2, 0, 3 ), M 4  ( 2, 0, 3, 0 ) .
i
22. Найдите размерность суммы и пересечения подпространств:
 x1  x2  x3  x4  0,
 x1  x2  x3  x4  0,
L1 : 
L2 : 
 2 x3  x4  0.
 x1
 x1  2 x2  2 x3  x4  0.
Стр. 14 из 18
23. Найдите все значения параметра Р, при которых точка M  ( 2, P ) содержится в выпуклой оболочке точек A1  (1,1), A2  ( 3, 5 ), A3  ( 6,1) .
24. Представьте в параметрическом виде пересечение H 1  H 2 , задайте с помощью СЛАУ
сумму H1  H 2 , а также найдите размерности H1  H 2 и H1  H 2 .
H1  L { a1(1, 2, 0, 1), a2 (0, 0, 1, 1) }  c1(1, 0, 0, 2)
 x3
1
 x1

H 2 :  2 x1
 x4  0

x2
2

25. Пусть А – матрица 3  3 , A  D и a1 , a 2 , a3 - строки матрицы А.
 a1  a3 


Найдите A1 , где A1   3a 2  a1  .
a a 
2 
 3
26. Пусть А – квадратная матрица с целочисленными элементами, и ее обратная матрица
также имеет целочисленные элементы. Чему равен определитель матрицы А? Ответ
обоснуйте.
 3 4 5 


27. Дано:  2 3 1  . Найдите элемент b21 матрицы A 1
 3 5 1 


28. Решите систему Ax  b , используя правило Крамера, где А – матрица из предыдущей задачи, b  (6, 1,  2)T .
29. Вычислите определитель матрицы А порядка n, где A  {aij : aij  3i  j} .
30. Приведите с полным обоснованием пример двумерного линейного многообразия
в E 4 , которое проходит через точку M (3, 1, 3, 0) и скрещивается с линейным многообразием H  L{a1 (1, 0,1, 1), a 2 (1, 2, 0, 1)}  c(0, 2, 1, 1) .
31. Докажите, что гиперплоскость в n-мерном пространстве не может скрещиваться
ни с каким линейным многообразием.
32. В пространстве R 2 в некотором исходном базисе заданы координаты двух новых базисов { fi } и { g i } : f1(1, 1), f 2 (1,0) и g1(1, 3), g2 (1,1) .
а) Найдите матрицу перехода T f  g .
б) Заданы координаты вектора x  (3, 7) в базисе { fi } .
Найдите его координаты в базисе { g i } .
33. Найдите собственные векторы и собственные значения для ЛО с матрицей
 2 0 0


A   1 3 1
  1 1 3


Существует ли базис из собственных векторов данного линейного оператора?
Если возможно, напишите матрицу перехода к базису, в котором матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид.
2
34. Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе имеет вид A   0
1

1 1
3 0
p 2 
а) Найдите все значения параметра p, при которых в E3 существует базис
Стр. 15 из 18
из собственных векторов этого линейного оператора.
б) Найдите эти базисы для каждого значения параметра p.
35. Дополните векторы до ортогонального базиса соответствующего пространства:
а) a1  (2,1, 3 ) в E 3 ;
б) a1  (3, 0,1, 2), a2  (1, 2,1,2) в E4 .
36. Найдите ортогональный базис и размерность L , если
3x1  x2  x3  0

а) L : 2 x1  5 x2  3x3  0 . в E3 ;
.x  6 x  4 x  0
2
3
 1
б) L  L { a1(1, 2,3), a2 ( 2,0, 1)} .
37. Найдите ортогональную проекцию g и ортогональную составляющую h вектора a
относительно ЛП L :
а) a  (3, 1, 1, 4),
L  L{b(1, 1, 0, 1} ; б) a  (5, 1,  1)
 x1  x2  x3  0
.
L:
2
x

x

4
x

0
1
2
3

Второй семестр
1. Вычислите
(1  2i) 2
.
1 i
2. Применив формулу Муавра, вычислите и запишите в алгебраической форме
число ( 3  3  i ) 35 .
3. Запишите в тригонометрической форме все комплексные корни 7 1  i . Укажите корни с наибольшей и наименьшей действительной частью.
4. Найдите все значения параметра Р, при которых точка M  ( 2, P ) содержится в выA  (1,1), A2  ( 3, 5 ), A3  ( 6,1)
пуклой оболочке точек 1
.
5. Изобразите на координатной плоскости геометрическое место точек z  x  yi , удовлетворяющих условию
2 | z  3  2i |  | z  5  3i | .
6. Укажите наименьшую степень n многочлена Pn ( x)  x n  an 1 x n 1    a1 x  a0
с действительными коэффициентами, имеющего корни 1+i, i и 2, каждый кратности 2.
Вычислите a n 1 и a 0 . Напишите разложение этого многочлена в произведение сомножителей первой степени и разложение в произведение сомножителей первой и второй степени с действительными коэффициентами.
7. Найдите сумму квадратов корней и сумму обратных величин к корням многочленов:
а) 3x 3  2 x 2  1 ;
б) x 4  x 2  x  1.
8. Докажите, что множество многочленов р(х) степени не выше 5, таких, что p(1)  3 и
p(1)  3 , образует линейное многообразие в пространстве всех многочленов степени не
выше 4. Задайте это ЛМ в параметрической форме и укажите его размерность.
9. Докажите, что множество многочленов степени не выше 4, производная которых равна
4 x3  6 x  3 , образует многообразие в пространстве многочленов степени
не выше 4. Задайте это многообразие параметрически. Укажите его размерность.
 3 1 1
 4 3  1 0
 X 

.
0
1
2
3
2

1
2



 

10. Найдите общий вид решения матричного уравнения 
Докажите, что множество решений образует линейное многообразие в пространстве матСтр. 16 из 18
риц соответствующего размера, найдите размерность этого многообразия, задайте его в
параметрическом виде H  L  c , указав при этом базис подпространства L .
14. Найдите объем параллелепипеда, натянутого на векторы
a1  (2, 1,0, 2), a2  (1,3, 2, 1), a3  (3, 1, 2,5) .
15. Найдите расстояние от вектора a до линейного подпространства с использованием опре-
Gk 1(a1, a2 ,K ak , a)
, если
Gk (a1, a2 ,K ak )
a =(1; 0; 0; -1), L  L{a1  (1;0;1;2)} .
делителя Грама (  (a , L)) 2 
16. Найдите все значения параметра р, при которых квадратичная форма
Q( x)  px12  px22  x32  4 x1x2  4 x1x3 положительно определена.
17. Приведите квадратичную форму к каноническому виду используя метод Лагранжа последовательного выделения полных квадратов: Q( x)  x12  2 x22  2 x32  2 x1x3  4 x2 x3 .
18. Методом наименьших квадратов решите системы линейных уравнений.







x1  x2  2
x1  x3  1
x2  x3  1
x1  x2  x3  1
19. В эмпирической формуле y  a1x1  a2 x2  b найдите коэффициенты a1, a2 , b
по результатам наблюдений:
x 1 x2 y
1
1
0
1
-1
1
-1
0
3
0
2
1
20. Квадратичную форму Q( x) приведите к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите выражение новых координат через старые.
Q( x)  x22  4 x32  2 x1x2  2 x1x3  x2 x3 .
21. Одновременно приведите к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием координат следующую пару квадратичных форм, а также найдите матрицу перехода к этому каноническому базису:
Q1  9 x12  5 x22  4 x1x2 , Q2  6 x12  x22  x1x2 .
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.: Изд-во МЦНМО, 2013.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2010.
3. Кострикин И.А., Сенченко Д.В., Слепак Б.Э., Черемных Ю.Н. Линейная алгебра. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1990.
4. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. СПб.: Лань, 2011.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. – М.: МЦНМО, 2009.
Интернет-ресурсы
На факультетском сайте вывешиваются дополнительные методические материалы.
Стр. 17 из 18
8. Материально-техническое обеспечение
Для лекций необходимы:
 аудитория с меловой доской, проектором и качественным микрофоном;
 доступ студентов и преподавателей курса к образовательному порталу экономического факультета МГУ;
 наличие обязательной литературы в достаточном количестве в библиотеке экономического факультета МГУ.
Стр. 18 из 18