МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению контрольных работ
по дисциплине «АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ»
для студентов заочной формы обучения
(заочное обучение в традиционной форме и
заочное обучение с применением дистанционных технологий – ДО).
СОДЕРЖАНИЕ
2. Общие требования к выполнению контрольной работы ............................................................. 2
3. Содержание (условие) контрольных заданий .................................................................................... 2
ВАРИАНТ 1 ......................................................................................................................................................................... 2
ВАРИАНТ 2 ......................................................................................................................................................................... 4
ВАРИАНТ 3 ......................................................................................................................................................................... 5
ВАРИАНТ 4 ......................................................................................................................................................................... 7
ВАРИАНТ 5 ......................................................................................................................................................................... 8
ВАРИАНТ 6 ......................................................................................................................................................................... 9
ВАРИАНТ 7 ....................................................................................................................................................................... 11
ВАРИАНТ 8 ....................................................................................................................................................................... 12
4. Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий ............................ 14
1. Введение
Общие организационно-методические указания по изучению дисциплины «Математика», методические рекомендации для преподавателей, а также методические
рекомендации по контролируемой самостоятельной работе студентов приведены в
рабочей учебной программе по дисциплине «Математика», одним из разделов которой является «Алгебра и геометрия».
Изучение основ алгебры и геометрии при заочной форме обучения проводится
параллельно с изучением основ математического анализа в рамках дисциплины
«Математика, часть 1» (40 ауд.часов, 360 часов самостоятельной работы) и предусматривает 16 часов установочных лекций (тьюториалов) и 130 часов самостоятельной работы студента. Основу методического сопровождения дисциплины составляет электронный учебник «Линейная алгебра и геометрия», содержащий помимо настоящих методических указаний:
 рабочую учебную программу по дисциплине,
 контент,
 практикум,
 компьютерный интеллектуальный тьютор,
 компьютерный тест закрытого типа,
 хрестоматию,
1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
 методические указания по изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения.
Заочная форма обучения предполагает, что в часы аудиторных занятий преподаватель прорабатывает в группе наиболее важные, основополагающие понятия и методы учебного курса. Глубина такой проработки и охват учебного материала существенно зависят от состава и уровня подготовки аудитории, мотивации и др. При
этом большая часть учебного материала дисциплины выносится на самостоятельное
изучение студентов с активным использованием комплекса средств методической
поддержки и контроля.
Изучение основ алгебры и геометрии завершается выполнением итогового компьютерного теста закрытого типа и решением письменной контрольной работы.
2. Общие требования к выполнению контрольной работы
Письменная контрольная работа по алгебре и геометрии содержит 10 контрольных заданий (задач). Преподаватель определяет продолжительность написания контрольной работы (в случае проведения контрольной работы в часы аудиторных занятий), возможность использования студентами каких-либо источников (книги,
конспекты, ЭУМК и т.д.), а также распределяет варианты контрольных работ между
студентами группы. Во всех случаях предполагается самостоятельное решение каждым студентом контрольных заданий своего варианта, подготовка и представление
преподавателю на проверку письменного решения. Письменное решение контрольной работы должно быть аккуратно оформлено (с использованием ручки черного \
синего цвета) и подписано студентом.
3. Содержание (условие) контрольных заданий
ВАРИАНТ 1
1.1
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a  1, 2, 3 ; b   2, 1, 0 .
2.1
Найдите длину медианы АМ в ∆ АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
A(1, 2) , B(2,4) , C (0, 2) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
3 2
A
 , B  1, 2  .
1 1
3.1
4.1
1
0
1
3
2
1
0
1
Найдите определитель:
0 1
1 2
0 3
2 4
5.1
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 2 x1  x2  x3  1

5 x2  x3  3 .

 x 3x  x  2
2
3
 1
6.1
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
 2 x1  x2  1
.

 x1 3 x2  
7.1
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p : 3x  2 y  6  0 .
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x 1 y  4 z
p:


2
1
2
8.1
9.1
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : 2 x  2 y  z  4  0 .
3
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
z1  1  i, z2  3  4i . Найдите z1  z2 , z2 ,
10.1
z1
.
z2
ВАРИАНТ 2
1.2
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a   2, 1, 3 ; b   1, 0, 1 .
2.2
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(2, 1) , B(1, 3) , C (3,5) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
 2 1
A
 , B   2, 1 .

3
1


3.2
4.2
2
1
1
3
1
0
0
2
Найдите определитель:
1 2
3 0
0 1
2 0
5.2
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 2 x1  x2  x3  1

5 x2  x3  3 .

 x 3x  x  2
2
3
 1
6.2
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
4
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
 2 x1

 x1
 x2
 1
 x2
 2
.
7.2
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p : 2x  3 y  4  0 .
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x  2 y 1 z
p:


1
2
2
8.2
9.2
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 :  x  2 y  2 z  3  0 .
10.2
z1  i, z2  1  i . Найдите z1  z2 , z2 ,
z1
.
z2
ВАРИАНТ 3
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) : a   3, 1, 2  ; b   6, 2, 4 .
2.3
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой, тупой?
A(3,0) , B(1,3) , C (1,5) .
1.3
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
1 2 
A
 , B   1, 3 .
 1 3 
3.3
5
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
4.3
1
0
2
0
3
2
0
2
Найдите определитель:
0 1
1 0
4 0
0 1
5.3
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 x3  2
 x1

x2
 x3  0 .

 x  x 2 x  1
2
3
 1
6.3
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
 x1 2 x2  1
.

 x2
 
 2 x1
7.3
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p: x  y  2  0.
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x 3 y z
p:
 
2
1 2
8.3
9.3
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : 3x  y  4 z  6  0 .
10.3
z1  3  4i, z2  i . Найдите z1  z2 , z2 ,
6
z1
.
z2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
ВАРИАНТ 4
1.4
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a   4, 0, 1 ; b   1, 2, 3 .
2.4
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(4, 2) , B(3,0) , C (1, 2) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
 1 1 
A
 , B  1, 2  .
 3 2 
3.4
4.4
1
0
2
0
0
4
0
1
Найдите определитель:
2 3
1 0
0 2
2 3
5.4
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 x3  2
 x1

x2  x3  0 .

x
 x3  1
 1
6.4
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
4
 x1  x2
.

2 x1 3 x2  2
7.4
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
7
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
p :  x  2y  3  0 .
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x 1 y  2 z 1
p:


2
1
2
8.4
9.4
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : x  3 y  4 z  1  0 .
z1  1  i, z2  1  2i . Найдите z1  z2 , z2 ,
10.4
z1
.
z2
ВАРИАНТ 5
1.5
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a   3, 2, 1 ; b   0, 1, 2  .
2.5
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(1,1) , B(1,3) , C (5,5) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
3 1
A
 , B   1, 1 .
5 2
3.5
4.5
1
4
0
2
0
0
3
1
Найдите определитель:
1 3
2 1
1 0
1 0
8
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
5.5
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 x3  2
 2 x1  x2

 1.
 x1
 3x 2 x 2 x  0
2
3
 1
6.5
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
 x1 3 x2  2
.

 x2
 
3 x1
7.5
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p :  2x  y  3  0 .
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x  2 y  3 z 1
p:


1
2
2
8.5
9.5
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : x  2 y  2 z  5  0 .
10.5
z1  2i, z2  2  i . Найдите z1  z2 , z2 ,
z1
.
z2
ВАРИАНТ 6
1.6
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a  1, 2, 1 ; b   4, 2, 2 .
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
2.6
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(3,4) , B(2,5) , C (0, 1) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
 2 7 
A
 , B   1, 2  .

1
4


3.6
4.6
1
3
2
0
2
0
1
1
Найдите определитель:
1 0
0 2
3 0
4 2
5.6
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 2 x1  x2 3x3  1

 x1  x2  x3  1 .
 x 5 x 3x  1
2
3
 1
6.6
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
 x1  x2  3
.

2
x

4
x


 1
2
7.6
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p :  2x  3 y  4  0 .
8.6
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
x 1 y  3 z 1


3
0
4
p:
9.6
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : 3x  2 y  2 z  3  0 .
10.6
z1  4  3i, z2  2i . Найдите z1  z2 , z2 ,
z1
.
z2
ВАРИАНТ 7
1.7
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(2a  b ) :
a   2, 1, 2  ; b   3, 0, 1 .
2.7
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(5, 4) , B(3,6) , C (1,2) .
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  E ) :
 1 0
A
 , B   1, 2  .
 4 2 
3.7
4.7
3
4
0
1
Найдите определитель:
1 3 1
0 2 2
2 1 0
2 0 4
5.7
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
2 x1  x2 3x3  5

2 x2  x3  4 .

x
 1  x2  x3  3
11
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
6.7
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
2 x1  x2  1
.

 x2  3
 x1
7.7
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p :  x  3y  7  0 .
8.7
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x y  3 z 1
p:


1
1
2
9.7
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3) и B(0,1,2) , и перпендикулярной плоскости  1 : 7 y  2 z  6  0 .
10.7
z1  2  5i, z2  3  4i . Найдите z1  z2 , z2 ,
z1
.
z2
ВАРИАНТ 8
1.8
Найдите cos и sin угла между векторами a и b , а также длину вектора
(a  b ) :
a  1, 3, 2  ; b   2, 1, 0 .
2.8
Найдите длину медианы АМ в ∆АВС, посчитайте площадь этого треугольника. Угол  при вершине В этого треугольника: острый, прямой,
тупой?
A(2, 1) , B(1,3) , C (3,1) .
3.8
Найдите матрицу A1 , обратную к матрице A , и B( A1  2 E ) :
12
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
 3 1 
A
 , B  1, 1 .
 4 2 
4.8
1
3
2
0
2
0
1
1
Найдите определитель:
1 0
0 2
3 0
4 2
5.8
Решите систему линейных алгебраических уравнений:
 2
3x1 3x2

  x 2 x2  x3  4 .
x
 1  x2 3x3  5
6.8
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений при различных
значениях вещественного параметра  . Решите, если это возможно, данную
систему методом Крамера при   2 .
 x1 2 x2  2
.

 x1 2 x2  
7.8
Напишите общее уравнение прямой p1 на плоскости, параллельной
прямой p и проходящей через точку M (2, 1) . Задайте прямую p1 с помощью
уравнения с угловым коэффициентом и с помощью уравнения в отрезках.
p :  4x  y  1  0 .
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точку
M 0 (1, 2,3) и перпендикулярной прямой p . Найдите расстояние от точки
M (2,0, 1) до плоскости  .
x2 y z 5
p:
 
1
2
2
8.8
Напишите общее уравнение плоскости  , проходящей через точки
A(1, 2,3)
B(0,1,2) ,
и
и
перпендикулярной
плоскости
 1 :  4x  2 y  2z  7  0 .
9.8
13
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
10.8
z1  3  2i, z2  1  i . Найдите z1  z2 , z2 ,
z1
.
z2
4. Методические рекомендации по выполнению
контрольных заданий
В задании 1 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 1 и 4 (линейные операции с векторами, скалярное произведение векторов, длина вектора). В случае затруднений с решением задания 1 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующих тем, а также обратить внимание на пример 4.3.1, типовую задачу 4.1 и задания практикума 4.1 – 4.6.
В задании 2 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 1 и 4 (теорема о делении отрезка в заданном отношении, скалярное и
векторное произведение векторов). В случае затруднений с решением задания 2
студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующих тем, а также обратить внимание на пример 4.5.1, типовую задачу 4.1 и задания практикума
4.7, 4.10.
В задании 3 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 2 (операции с матрицами, построение обратной матрицы). В случае затруднений с решением задания 3 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на пример 2.3.1, типовую
задачу 2.1, 2.3 и задания практикума 2.31 – 2.35.
В задании 4 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 2 (поиск определителя). В случае затруднений с решением задания 4
студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а
также обратить внимание на свойство 2.2.7, пример 2.2.2, задания практикума 2.19,
2.20.
В задании 5 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 3 (решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса). В случае затруднений с решением задания 5 студенту рекомендуется повторить
учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры
3.2.1 – 3.2.4, типовую задачу 3.1 и задания практикума 3.1 – 3.8.
В задании 6 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 3 (решение систем линейных алгебраических уравнений). В случае затруднений с решением задания 6 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на пример 3.5.1, типовые
задачи 3.1, 3.2 и задания практикума 3.9 – 3.14, 3.21 – 3.23.
В задании 7 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 5 (различные типы уравнений прямой на плоскости, взаимное располо14
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
жение прямых). В случае затруднений с решением задания 7 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 5.1.1, 5.1.2, типовую задачу 5.2 и задание практикума 5.55.
В задании 8 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 5 (прямая и плоскость в трехмерном пространстве, взаимное расположение прямых и плоскостей, расстояние от точки до плоскости). В случае затруднений с решением задания 8 студенту рекомендуется повторить учебный материал
соответствующей темы, а также обратить внимание на типовую задачу 5.3.
В задании 9 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 4 и 5 (плоскость в трехмерном пространстве, взаимное расположение
плоскостей, векторное произведение векторов). В случае затруднений с решением
задания 9 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующих
тем, а также обратить внимание на пример 4.5.1, задания практикума 5.30 – 5.32,
5.36, 5.44.
В задании 10 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 6 (комплексные числа). В случае затруднений с решением задания 10
студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а
также обратить внимание на пример 6.3.1, типовую задачу 6.2.
15