АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Методы оптимальных решений
Б2.Б3.
СОГ УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«___»_______201__ г.
(под
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой математических
и естественнонаучных дисциплин
___________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «___»______201__ г.
Направление подготовки 38.03.01( 080100.62) Экономика
Профиль подготовки: финансы и кредит (оценка собственности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Форма обучения: очная
Курск – 201_
1
Составитель: Т.Ю.Ходаковская
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
математического цикла студентам по направлению подготовки 38.03.01 (080100.62)
Экономика.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 38.03.01 (080100.62) Экономика, утвержденного приказом Министерства
образования и науки Российской Федерации от "21" декабря 2009 г. № 747.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «___»_______201__ г.
и
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
6
6
16
16
39
40
40
42
42
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
способен
выполнять Знать: основные понятия и
ПК-3
необходимые для составления инструментарий математического
экономических разделов планов анализа, линейной алгебры;
расчеты, обосновывать их и Уметь: решать задачи, связанные
представлять результаты работы с операциями над множествами,
в соответствии с принятыми в дифференциальным
и
организации стандартами
интегральным исчислением;
Владеть:.
математическими
методами принятия решений, с
помощью которых в современных
условиях
формируются
и
анализируются
варианты
оптимальных решений
способен
выбрать Знать: основные математические
ПК-5
предназначенные
для
инструментальные средства для методы,
обработки
экономических определения оптимальных решений в
данных
в
соответствии
с экономических задачах;
поставленной
задачей, Уметь: применять математические
проанализировать
результаты методы и модели, предназначенные
расчетов
и
обосновать для анализа и выбора оптимальных
решений в экономических задачах
полученные выводы
Владеть: навыками применения
современных
математических
методов и математических моделей
для принятия оптимальных решений
в экономических задачах.
способен,
используя Знать: содержательную сторону
ПК-9
отечественные и зарубежные задач, возникающих в практике
источники информации,
менеджмента и маркетинга;
собрать необходимые данные , Уметь:
осуществлять
поиск
проанализировать
их
и информации
по
полученному
подготовить информационный заданию, сбор, анализ данных,
обзор и/или аналитический отчет необходимых
для
решения
поставленных экономических задач;
Владеть: современными методами
сбора, обработки и анализа
экономических и социальных
4
ПК-10
способен
использовать
для
решения
аналитических
и
исследовательских
задач
современные
технические
средства и информационные
технологии
ПК-14
Способен
преподавать
экономические дисциплины в
образовательных учреждениях
различного уровня, используя
существующие программы и
учебно-методические
материалы.
данных
Знать: основные математические
модели
и
возможности
их
применения
в
других
математических дисциплинах и
прикладных исследованиях;
Уметь:
анализировать
и
интерпретировать экономическую
информацию, содержащуюся в
отчетности предприятий различных
форм собственности, организаций,
ведомств и т.д. и использовать
полученные сведения для принятия
оптимальных решений;
Владеть:
методами
математического
анализа
и
линейной алгебры, их применением
к решению прикладных задач,
программными
продуктами,
используемыми для работы с
текстовой
и
числовой
информацией(MicrosoftOfficeWord,
MicrosoftOfficeExcel).
Знать: - правила речевого
этикета и ведения диалога
Уметь:
находить
организационно-управленческие
решения
в
нестандартных
ситуациях и готов нести за них
ответственность
Владеть: - основами речи,
базовыми навыками общения и
приемами убеждения
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части учебного цикла – Б.2 Математический цикл.
Освоение курса базируется на дисциплинах естественнонаучного цикла
Математический анализ
Линейная алгебра
Информатика
Содержание данной дисциплины является опорой для освоения таких дисциплин как:
1. Эконометрика
2.Экономичческая оценка земельных участков
3. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности.
5
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часа)
Вид работы
Трудоемкость, часов
4 семестр
Всего
144
144
55
55
19
19
36
36
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Самостоятельное изучение разделов
Самоподготовка (проработка и повторение
лекционного материала и материала учебников и
учебных пособий, подготовка к лабораторным и
практическим занятиям, коллоквиумам,
рубежному контролю и т.д.),
Подготовка и сдача экзамена
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
53
53
36
Экзамен
36
Экзамен
4 Содержание и структура дисциплины (модуля)
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для очной формы обучения
Количество часов
№
раздела
1
1
2
3
4
5
6
Наименование разделов
Всего
2
Общие вопросы оптимизации
Безусловная оптимизация
функций
Линейное программирование
Двойственные задачи линейного
программирования
Специальные задачи линейного
программирования
Условная оптимизация функций
3
8
11
6
Аудиторная
Внеработа
ауд.
работа
Л/
ПР/
СР
интер.ф. интер.ф
4
5
6
1
7
7
2
2/2
18
4
7/2
18
4
6/2
17
2/2
7/2
17
2/2
7/2
7
8
8
8
Многокритериальная
оптимизация.
экзамен
Итого:
7
19
4/2
7/2
36
144
19
36
8
53
4.2. Содержание разделов дисциплины
№
раздела
1
1
Наименование
раздела
Содержание раздела
2
Общие вопросы
оптимизации
3
Принципы и примеры моделирования
экономических задач оптимизации.
2
Безусловная
оптимизация
функций одной и
многих переменных
Классификация методов безусловной и
условной оптимизации.
Выпуклые множества и экстремальные
свойства выпуклых функций.
Основы численных методов решения
задач оптимизации. Алгоритмы методов
золотого сечения, деления интервала
пополам. Методы спуска.
3
Линейное
программирование
Форма
текущего
контроля
4
Опрос
контрольная
работа,
защита
лабораторно
й работы
(ЛР)
Примеры задач, приводящих к задаче защита
оптимизации линейной функции при лабораторно
линейных ограничениях на переменные. й
работы
Общая
задача
линейного (ЛР)
программирования (ЛП). Каноническая
форма задачи ЛП. Приведение общей
задачи ЛП к каноническому виду.
Геометрическая
интерпретация
двумерной задачи ЛП и ее решение.
Понятие
опорного
решения.
Вырожденное, невырожденное опорное
решение. Базис опорного решения.
Теорема о существовании опорной
точки. Свойства задачи ЛП (терема о
связи опорного решения и крайней
точки, теорема о выпуклости решения
задача ЛП)
Алгоритм cимплекс-метода решения
задачи ЛП.
Нахождение начального базиса задачи
ЛП методом искусственного базиса.
7
4
5
6
7
Двойственные задачи
линейного
программирования
Двойственная задача ЛП: пример
постановки и экономический смысл.
Общие
правила
постановки
двойственной
задачи.
Свойства
двойственной
задачи
ЛП.
Экономический анализ решения ЗЛП и
анализ устойчивости.
Специальные задачи Транспортная задача: примеры,
линейного
приводящие к понятию транспортной
программирования
задачи; общая формулировка
транспортной задачи. Решение
транспортной задачи: алгоритмы
построения начального плана перевозокметод северо-западного угла, метод
минимальных цен; метод потенциалов
улучшения плана, критерии
оптимальности плана.
Целочисленное программирование.
Примеры задач целочисленного
программирования и методы их
решения. Метод Гомори.
Задача о назначениях. Венгерский
алгоритм.
Задача коммивояжера. Метод ветвей и
границ.
Условная
Постановка задачи условной
оптимизация
оптимизации функций. Геометрический
функций
способ решения двумерной задачи
условной оптимизации.
Метод множителей Лагранжа для задачи
с ограничениями типа равенств. Задача
потребительского выбора.
Многокритериальная Постановка задачи многокритериальной
оптимизация
оптимизации. Примеры
многокритериальных задач.
Формирование области допустимых
решений задачи многокритериальной
оптимизации. Решения, оптимальные по
Парето, по Слейтеру. Метод
последовательных уступок.
Сведение многокритериальной задачи к
однокритериальной: способы свёртки,
метод идеальной точки.
8
Рубежный
контроль
(контрольная
работа).
защита
лабораторно
й
работы
(ЛР)
контрольная
работа,
защита
лабораторно
й работы
(ЛР)
Защита
лабораторно
й
работы
(ЛР)
(контрольная
работа).
4.3 Лабораторные занятия
Таблица 6 - Лабораторные занятия, проводимые в 4 семестре
№
занятия
1
1-2
№
раздела
2
2
Тема
3
Решение задач безусловной оптимизации функций с
помощью стандартных пакетов прикладных программ.
Вопросы:
1. Алгоритмы методов золотого сечения, деления
интервала пополам.
2. Методы спуска.
Литература:
1. Грызина Н.Ю. Математические методы исследования
операций в экономике [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина
О.Н.—
Электрон.текстовые
данные.—
М.:
Евразийский открытый институт, 2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук А.В. Экономико-математические методы и
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Гетманчук А.В., Ермилов М.М.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Дашков и К, 2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.В.
Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.— ЭБС
9
Кол-во
часов
4
2
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
3-6
3
Геометрический способ решения задачи
линейного
программирования с двумя переменными.
Решение задачи линейного программирования симплекс
методом с помощью стандартных программных средств и
КОП кафедры.
Вопросы:
1. Теорема о существовании опорной точки. Свойства
задачи ЛП (терема о связи опорного решения и
крайней точки, теорема о выпуклости решения
задача ЛП)
2. Алгоритм cимплекс-метода решения задачи ЛП.
3. Нахождение начального базиса задачи ЛП методом
искусственного базиса.
Литература:
1. Грызина
Н.Ю.
Математические
методы
исследования операций в экономике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Евразийский открытый институт,
2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук
А.В.
Экономико-математические
методы и модели [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Дашков и К,
2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые
данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.—
ЭБС
10
7
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
7-9
4
Построение двойственной задачи, нахождение решения
двойственной
задачи
(с
помощью
стандартных
программных средств и КОП кафедры). Экономический
анализ результатов решения.
Вопросы:
1. Общие правила постановки двойственной задачи.
2. Свойства двойственной задачи ЛП.
3. Экономический анализ решения ЗЛП и анализ
устойчивости.
Литература:
1. Грызина
Н.Ю.
Математические
методы
исследования операций в экономике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Евразийский открытый институт,
2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук
А.В.
Экономико-математические
методы и модели [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Дашков и К,
2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые
данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.—
ЭБС
11
6
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
1-4
5
Транспортная задача: построение моделей, сведение к
закрытому типу. Нахождение начального плана
различными методами и решение методом потенциалов.
Задачи целочисленного программирования. Метод
Гомори. Метод ветвей и границ.
Решение указанных задач с помощью стандартных
программных средств и КОП кафедры.
Вопросы:
1. Целочисленное программирование.
2. Примеры задач целочисленного программирования
и методы их решения. Метод Гомори.
3. Задача о назначениях. Венгерский алгоритм.
4. Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ.
Литература:
1. Грызина
Н.Ю.
Математические
методы
исследования операций в экономике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Евразийский открытый институт,
2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук
А.В.
Экономико-математические
методы и модели [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Дашков и К,
2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые
данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.—
ЭБС
12
7
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
5
6
Метод
множителей
Лагранжа.
Решение
задачи
потребительского выбора методом множителей Лагранжа.
Вопросы:
1. Метод множителей Лагранжа для задачи с
ограничениями типа равенств.
2. Задача потребительского выбора.
Литература:
1. Грызина
Н.Ю.
Математические
методы
исследования операций в экономике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Евразийский открытый институт,
2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук
А.В.
Экономико-математические
методы и модели [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Дашков и К,
2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые
данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.—
ЭБС
13
7
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
6-9
7
Задачи многокритериальной оптимизации
Сведение
многокритериальной
задачи
к
однокритериальной: способы свёртки, метод идеальной
точки.
Вопросы:
1. Формирование области допустимых решений
задачи многокритериальной оптимизации.
2. Решения, оптимальные по Парето, по Слейтеру.
3. Метод последовательных уступок.
4. Сведение многокритериальной задачи к
однокритериальной: способы свёртки, метод
идеальной точки.
Литература:
1. Грызина
Н.Ю.
Математические
методы
исследования операций в экономике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н.— Электрон.текстовые
данные.— М.: Евразийский открытый институт,
2009.— 196 c.— ЭБС
2. Гетманчук
А.В.
Экономико-математические
методы и модели [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Дашков и К,
2013.— 188 c.— ЭБС
3. Экономико-математические методы и прикладные
модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/
В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые
данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 304 c.—
ЭБС
Итого:
14
7
ПК-3,
ПК-5,
ПК-9,
ПК-10,
ПК-14
36
4.4 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
Таблица 8- Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
раздела
1
1
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кол-во часов
2
3
7
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
Выпуклые множества и экстремальные свойства выпуклых
функций.
Метод равномерного поиска минимума функции.
тод
2
7
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
ра
3
4
5
6
7
Нахождение начального базиса задачи ЛП методом
искусственного базиса.
7
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
Экономический анализ решения ЗЛП и анализ устойчивости.
равномерного поиска.
8
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
Примеры задач о назначениях открытого типа.
8
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
Задача потребительского выбора.
8
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
Многокритериальная оптимизация: метод последовательных
уступок.
Итого:
15
8
ПК-3, ПК-5,
ПК-9,
ПК-10, ПК-14
53
4.5 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять
не менее 30 процентов от всего объема аудиторных занятий.
Семестр
Вид занятия
(ЛК, ПР, ЛР)
Л
4
ПР
Используемые интерактивные
образовательные технологии
Активная
лекция
с
использованием
мультимедийного оборудования.
Темы лекций: «Алгоритм симплекс-метода»,
«Двойственные задачи ЛП», «Транспортная
задача
ЛП»,
«Целочисленное
программирование. Метод Гомори».
Технология компьютерного обучения.
Технология проблемного обучения.
Технология компьютерного обучения.
Темы ЛР: «Симплекс-метод», «Двойственные
задачи ЛП», «Транспортная задача ЛП».
Итого:
Количество
часов
6
12
18
5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине
Помимо рекомендованной основной и дополнительной литературы, в процессе
самостоятельной работы студенты могут пользоваться следующими методическими
материалами:
1. Крипак Е.М., Майстренко К.И., Реннер А.Г. «Экономико-математические методы и
модели». Электронное учебно-методическое пособие,- ЦДО 2001 г.
2.Покровский, В. В. Математические методы в бизнесе и менеджменте [Электронный
ресурс] : учебное пособие / В. В. Покровский. - 3-е изд. (эл.). - М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2012. - 110 с.
6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
6.1 Контрольные вопросы для экзамена по дисциплине:
1.Общие вопросы теории оптимизации. Классификация оптимальных методов решения
задач. ПК-3
2.Классификация методов условной и безусловной оптимизации. ПК-5
3.Выпуклые множества и экстремальные свойства выпуклых функций. ПК-9, ПК-10
4.Постановки задач безусловной оптимизации. ПК-5, ПК-14
5.Линейное программирование. Общая постановка задач линейного программирования.
ПК-5,ПК-9, ПК-10
16
6.Геометрическая интерпретация двумерной задачи линейного программирования. ПК-3,
ПК-9
7.Свойства задач линейного программирования. ПК-5
8.Симплекс-метод решения задач линейного программирования. ПК-3, ПК-9
9.Метод искусственного базиса. ПК-3, ПК-9
10.Двойственная задача ЛП в общей форме. ПК-5
11.Основные теоремы теории двойственности. ПК-9, ПК-10
12.Экономическая интерпретация двойственных задач. ПК-3, ПК-10, ПК-14
13.Закрытая и открытая модели транспортной задачи. ПК-5, ПК-9
14.Метод построения первоначального плана – метод северо-западного угла.ПК-10
15.Метод построения первоначального плана – метод наилучших цен. ПК-9
16.Решение транспортной задачи методом потенциалов.ПК-5, ПК-10
17.Примеры задач целочисленного программирования. ПК-3
18.Венгерский алгоритм. Решение задачи о назначениях. ПК-5, ПК-14
19.Метод ветвей и границ. Решение задачи коммивояжера. ПК-5, ПК-9
20.Метод Гомори решения задач ЦП. ПК-3, ПК-9.
21.Постановка задачи нелинейного программирования. Геометрический способ решения
двумерной задачи. ПК-9, ПК-10.
22.Классическая задача нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа.
ПК-5, ПК-10
23. Применение метода множителей Лагранжа для решения задачи потребительского
выбора. ПК-5, ПК-10, ПК-14
24.Постановка задачи многокритериальной оптимизации. ПК-5, ПК-9
25.Примеры многокритериальных задач. ПК-3, ПК-9
26.Решения, оптимальные по Парето, по Слейтеру. ПК-5, ПК-10
27.Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной: способ свёртки. ПК-3,
ПК-10
28. Линейная свёртка. ПК-5, ПК-10
29. Максиминная свёртка. ПК-5, ПК-10
30. Метод идеальной точки. ПК-3, ПК-, ПК-14
6.2 Примерный вариант тестовых заданий по темам
Тема1. Безусловная оптимизация
8.1 Функция f(x) = x12 – 2 x22 - 2 x1x2 +x1
1) имеет точку глобального максимума;
2) имеет точку глобального минимума;
3) не имеет точек экстремума;
8.2 Функция f(x) = -x12 – 4 x22+2 x1x2 +x1
1) имеет точку глобального максимума;
2) имеет точку глобального минимума;
3) не имеет точек экстремума;
8.3 Функция f с положительно определенной матрицей Гессе является:
17
1) вогнутой функцией и имеет точку максимума;
2) выпуклой функцией и имеет точку минимума;
3) вогнутой функцией и имеет точку минимума.
8.4 Функция f(x) с отрицательно определенной матрицей Гессе является:
1) вогнутой функцией и имеет точку максимума;
2) выпуклой функцией и имеет точку максимума;
3) вогнутой функцией и имеет точку минимума
Тема2 Общая теория линейного программирования
1.1 Для производства двух видов изделий (A, B) предприятие использует два вида сырья:
металл и пластмассу. Запасы сырья, технологические коэффициенты (расход каждого
вида сырья на производство единицы каждого изделия) представлены следующими
данными.
А
В
запас
металл
5
1
30
пластмасса
4
2
15
цена продукции
6
8
Указать математическую модель задачи планирования производства, обеспечивающую
максимальный доход, учитывая что х1 - количество металла, х2 - количество пластмассы.
1)F`=6х1+8х2min
F`=30х1+15х2
min
5xl+x2>=30
5xl+4x2<=30
4xl+2x2>=15
xl+2x2<=15
x1>=0 x2>=0
6х1+8х2<=45
x1>=0 x2>=0
3) F`=6х1+8х2 max
4) F`=30х1+15х2 max
5xl+x2<=30
5xl+4x2>=30
4xl+2x2<=15
xl+2x2>=15
x1>=0 x2>=0
6х1+8х2<=45
x1>=0 x2>=0
1.2 Диета основана на трех видах продуктов A, B, C. В таблице дано содержание
количества каждого вида питательных веществ (P1, P2, P3) в одной единице каждого
вида продукта (в относительных единицах), ежесуточная потребность организма в
каждом виде питательных веществ (P), стоимость 1 единицы продукта. Найти
наименьшие затраты на составление диеты, удовлетворяющие минимальные
потребности организма в трех видах питательных веществ.
А
В
С
P
Р1
0,24
0,17
0,21
33
Р2
0,33
0,7
0,1
54
18
Р3
0,5
0,6
0,2
Стоимость.1 кг.продукта
9
6
7
40
х1 - количество продукта вида А, х2 - количество продукта вида В, х3 – количество
продукта вида С.
1) F`=9х1+6х2+7х3min
2) F`=33х1+54х2+40x3 max
0,24xl+0,33x2+0,5х3>=33
0,24xl+0,33x2+0,5х3<=9
0,17xl+0,7x2+0,6х3>=54
0,17xl+0,7x2+0,1х3<=6
0,21xl+0,1x2+0,2х3>=40
0,21x1+0,1х2+0,2х2<=7
x1>=0 x2>=0 х3>=0
x1>=0 x2>=0 х3>=0
3) F`=9х1+6х2+7х3min
4) F`=33х1+54х2=40x3 max
0,24xl+0,17x2+0,21х3>=33
0,24xl+0,33x2+0,5х2>=9
0,33xl+0,7x2+0,1х3>=54
0,17xl+0,7x2+0,1x2>=6
0,5xl+0,6x2+0,2х3>=40
0,21x1+0,1х2+0,2x3>=7
x1>=0 x2>=0 х3>=0
x1>=0 x2>=0 х3>=0
Тема 3 Геометрическая интерпретация решения двумерной задачи ЛП.
Каноническая форма задачи ЛП.
2. 1 Математическая модель задачи линейного программирования имеет вид
F= 31х1-46х2 max
21xl+37x2>=97
llxl+43x2>=153
xl>=0 x2>=0
Каноническую форму данной задачи представляет модель в варианте №
1. F`=31х1-46х2-0х3-0х4 min
2. F`=31х1-46х2+0х3+0х4 min
21xl+37x2+x3=97
21xl+37x2+x3=97
llxl+43x2-x4=153
llxl+43x2+x4=153
x1>=0 x2>=0 x4>=0
x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0
3. F`=31х1-46х2+0х3+0х4 max
4. F`=31х1-46х2 min
21xl+37x2-x3=97
21xl+37x2-x3=97
llxl+43x2-x4=153
llxl+43x2-x4=153
x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0
x1>=0 x2>=0
2.2 Математическая модель задачи линейного программирования имеет вид
F=50x1+40x2 max
2x1+5x2<=20
8x1+5x2<=40
5x1+6x2<=30
x1>=0 x2>=0
19
На каком из рисунков представлена геометрическая интерпретация решения задачи?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
Тема 4 Теория симплекс-метода
3. 1 Результат решения ЗЛП симплекс-методом представлен таблицей
Базис С баз Опорн С1 С2
решен. 3 2
А1 А2
А1
А4
А2
/\j
3
0
2
F=
5
4
2
19
1
0
0
0
0
0
1
0
С3
0
А3
С4
0
А4
С5
0
А5
1\3
2
4
9
0
1
0
0
4\3
-1
1
6
Укажите опорное решение ЗЛП и максимальное значение целевой функции:
1. x = (5,4,2,0,0), Fmax = 9
2. x = (5,2,0,4,0), Fmax = 19
3. x = (0,0,9,0,6), Fmax = 6
3.2Укажите какая из нижеуказанных таблиц является начальной симплекс-таблицей
решения задачи линейного программирования:
20
35x1-8x2 max
x1+10x2<=5
9x1+8x2<=25
153x1+9x2<=14
x1>=0 x2>=0
1 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5 2 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 35 -8 0 0 0
решен. 35 -8 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А5
/\ j
0
0
0
F=
5
25
14
0
1
9
15
-35
10
8
9
8
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
А3
А4
А5
/\ j
5
25
14
F=
0
0
0
0
1
9
15
-35
10
8
9
8
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
3 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 0 35 -8 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А5
/\ j
0
0
0
F=
5
25
14
0
0 1 10
0 9 8
-1 15 9
0 -35 8
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1. 1
2.2
2.3
3.3 Для ниже приведенной симплекс-таблицы при решении ЗЛП на максимум справедлив
вывод №
Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 17 20 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А1
/\ j
0
0
17
F=
2
10
5
0 10 1
0 1 0
1 1 0
0 -3 0
0 8
1 15
0 2
0 34
Лучший опорный план будет получен, если из базиса:
1. вывести вектор А2, а ввести вектор А4
2. вывести вектор А1, а ввести вектор А5
3. вывести вектор А3, а ввести вектор А2
Тема 5Теория двойственности. Формальная постановка двойственнойзадачи.
Основные теоремы теории двойственности
4.1 Задача линейного программирования описывается моделью
F=2xl-14x2+3x3max
21
3х1+2х2+х3<=5
х1+х2-х3<=3
2х1-4х2+5х3<=3
x1>=0, x2>=0, x3>=0
Укажите модель задачи, двойственной данной.
1. F*=5yl+3y2+3y3 min
2. F*=5y l+3y2+3y3 max
3y1+y2+2y3>=2
3y1+y2+2y3>=2
2y1+y2-4y3>= -14
2y1+y2-4y3>= -14
y1-y2+5y3>=3
y1-y2+5y3>=3
yl>=0 y2>=0 y3>=0
yl>=0 y2>=0 y3>=0
3. F*=2y1-14y2+3y3  min
4. F*=1y1-14y2+3y3 max
3y1+y2+2y3>=5
3y1+y2+2y3>=5
2y1+y2-4y3>=3
2y1+y2-4y3>=3
y-y2-4y3>=3
y-y2-4y3>=3
yl>=0 y2>=0 y3>=0
yl>=0 y2>=0 y3>=0
4.2 Исходная ЗЛП имеет все ограничения вида “<=”. Заключительная симплекс таблица
задачи линейного программирования имеет вид:
Базис
А2
А5
А3
/\ j
С баз
112
0
96
F max=
Опорн
решен.
С1
80
А1
656
640
128
85760
19
23
-6
1472
С2 С3 С4 С5 С6
112 96 0
0
0
А2 А3 А4 А5 А6
1
0
0
0
0 5
0 1\2
1 -2
0 368
0 -1\2
1 -5\2
0
2
0 136
Укажите двойственные оценки ресурсов и минимальную стоимость ресурсов при
оптимальном плане производства
1) y = (656,640,128), f = 1472
2) y = (19,23,-6), f = 1472
3) y = (368,0,136), f = 85760
4) y = (1472,0,0), f = 85760
4. 3 Укажите вариант правильно сформулированного утверждения
Для прямой задачи при решении на минимум целевая функция ограничена снизу.
Для двойственной задачи:
1) допустимая область не выпукла;
2) задача имеет единственное решение;
3) целевая функция ограничена сверху;
4) допустимая область пуста.
Тема 6 Экономическая интерпретация решения прямой и двойственной задач
5.1 Результат решения задачи планирования производства продукции с целью получения
максимального дохода представлен симплекс-таблицей (количество видов продукции = 3,
количество видов используемого сырья =3):
22
Базис
А2
A5
A3
/\ j
С баз
5
0
4
F max=
Опорн С1 С2 С3 С4 С5 С6
решен. 1 5 4 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5 А6
8
4
32
168
4
12
3
31
1
0
0
0
0 20 0 -2
0 1 1 -10
1 -1 0 15
0 96 0 50.
Укажите, на сколько увеличится прибыль при увеличении запасов первого вида сырья на
1 ед., и как изменится оптимальный план выпуска продукции.
5.2 Результат решения задачи планирования производства продукции с целью получения
максимального дохода представлен симплекс-таблицей (количество видов продукции = 4,
количество видов используемого сырья =3):
базис
св
В
А5
А6
А1
0
0
8
1800
500
250
f=2000
8
А1
0
0
1
0
4
А2
-5/2
-6
7/4
10
2
А3
-3/2
-3
9/4
16
1
А4
-4
-5
5/2
19
0
А5
1
0
0
0
0
А6
0
1
0
0
0
А7
-1/2
-1
1/4
2
Укажите, на сколько увеличится прибыль при увеличении запасов третьего вида сырья на
1 ед., и как изменится оптимальный план выпуска продукции.
1.Увеличение прибыли происходит на 16. Данное увеличение прибыли произойдет за
счет увеличения выпуска изделий первого вида на 9/4 ед., при этом остатки сырья
первого вида уменьшатся на 3/2 ед., а остатки сырья второго вида уменьшатся на 3 ед.
2. Увеличение прибыли происходит на 2. Данное увеличение прибыли произойдет за счет
увеличения выпуска изделий первого вида на 1/4 ед., при этом остатки сырья первого
вида уменьшатся на 1/2 ед., а остатки сырья второго вида уменьшатся на 1 ед.
3. Увеличение прибыли не происходит, так как данный вид сырья не является
дефицитным.
Тема 7 Специальные задачи ЛП. Транспортная задача
6.1 Данные для транспортной задачи приведены в таблице:
Поставщики
А1
А2
Потребители
В1 В2
В3
В4
1
2
3
4
2
3
1
5
23
Запасы
B5
5
4
300
100
А3
2
2
1
3
5
150
Потребность
10 150 200 100 90 550
Какой из приведенных начальных планов построен по методу северо-западного угла?
1 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1
2\150 3\150 4
5
300
А2
2\10
3
1
5 4\90 100
А3
2
2 1\50 3\100 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
2 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3\140 4 5
300
А2
2
3 1\60 5\40 4
100
А3
2
2
1 3\60 5\90 150
Потребность
10
150 200 100 90
550
3 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3\50 4 5\90 300
А2
2
3 1\50 5\50 4
100
А3
2
2 1\100 3\50 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
4 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3 4\50 5\90 300
А2
2
3 1\100 5 4
100
А3
2
2 1\100 3\50 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
1. 1
2. 2
3. 3
6.2 Исходные данные транспортной задачи представлены в таблице:
Пункты отправ
А1
А2
А3
Потребность
Пункт назначения
В1
В2
В3
6
1
7
3
4
2
3
1
5
500 100
200
Запасы
В4
1
1
5
100
250
400
800
900\1450
Какая из приведенных моделей является математической моделью
при определении оптимального плана перевозок?
В5- фиктивный пункт назначения с потребностью а=550 и фиктивными
ценами за перевоз 1 ед. груза с 15=с25=с35=0
1. F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34+0x35 max
xll+x12+xl3+xl4+x15<=250
x21+x22+x23+x24+x25<=400
x31+x32+x33+x34+x35<=800
x11+x21+x31<=500
xl2+x22+x32<=100
xl3+x23+x33<=200
x14+x24+x34<=100
xl5+x25+x35<=550
2. F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34+0x35min
24
xll+x12+xl3+xl4+x15=250
x21+x22+,x23+x24+x25=400
x31+x32+x33+x34+x35=800
x11+x21+x31=500
xl2+x22+x23=100
х13+х23+х33=200
x14+x24+x34=100
xl5+x25+x35=550
3.F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34 max
xll+x12+xl3+xl4+x15=250
x21+x22+x23+x24+x25=400
x31+x32+x33+x34+x35=800
x11+x21+x31=500
xl2+x22+x23=100
х13+х23+х33=200
x14+x24+x34=100
xl5+x25+x35=550
xl2+x22+x32=100
4.F=6xl l+xl2+7xl3+xl4+3x21+4x22+2x23+x24+3x31+x32+5x33+5x34 min
xll+xl2+xl3+xl4=250
x21+x22+x23+x24=400
x31+x32+x33+x34=800
xll+x21+x31=500
x12+x22+x32=100
xl3+x23+x33=200
xl4+x24+x34=100
Тема 8 Задачи целочисленного ЛП. Задача о назначениях, задача коммивояжера
7.1 Пусть имеется n единиц оборудования различных типов, которые требуются
распределить между n предприятиями, имеющими различный уровень технической
оснащенности. Обозначим Cij – стоимость назначения i-го типа оборудования нaj-ое
предприятие. Задача состоит в таком распределении оборудования (по одному на
предприятие), которое дает минимальную суммарную стоимость назначений. Пусть
xij= 1,если i-й тип оборудования назначается на j-ое предприятие,
0 - в противном случае.
Какая из приведенных ниже моделей является моделью оптимального назначения
оборудования?
25
n n
1. F    CijXij  min
i 1 j 1
n
 Xij  1
j  1,n
i 1
n n
2. F    CijXij  max
i 1 j 1
n
 Xij  1,
j  1,n
i 1
n
 Xij  1, i  1, n
j 1
n n
3. F    CijXij  min
i 1 j 1
n
 Xij  1,
j  1,n
i 1
n
 Xij  1, i  1, n
j 1
7.2 Матрица стоимостей назначения задачи о назначениях имеет следующий вид:
5

3
9

6
4 6 1

9 4 5
2 4 7

7 3 7 
Какое из доступных решений задачи о назначениях является оптимальным, и какова
стоимость оптимального назначения?
1.
2.
3.
0

1
0

0
1 0 0 0

0 0 0 1
0 1 0 0

0 0 1   0
Стоимость =18
0 0 1 1

0 0 0 0
1 0 0 0

0 1 0   0
Стоимость =9
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
Стоимость =25
8.3 Матрица расстояний задачи коммивояжера задана следующим образом:
 3 7 8 


 3  2 10 
7 2  6 


8
10
6



26
Какова оценка исходного множества всех маршрутов?
1) 15 2) 13 3) 18
Тема 9 Общая теория нелинейного программирования. Классическая задача на
условный экстремум. Решение задачи потребительского выбора, задач оптимизации
производства.
9.1 Дана задача нелинейного программирования.
F=x12+x22+x3min
x1+x2+x3=4
2x1-3x2=12
Какая из построенных функций Лагранжа является правильной?
1. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 –y1(x1+x2+x3-4)+y2(2x1-3x2-12)
2. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 +y1(x1+x2+x3+4)+y2(2x1-3x2+12)
3. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 +y1(x1+x2+x3-4)+y2(2x1-3x2-12)
9.2 Математическая модель задачи потребительского выбора имеет вид
25
F= x1
* x23 5  max
3x1+6x2=200
Какая из приведенных ниже систем позволяет определить оптимальный
потребительский набор товаров, в соответствии с методом множителей Лагранжа?
3 5
* x23 5  3 =200
1) 2 x1
3 5
2) 2 x1
5
3 x 2 5 * x 2 5  6 =200
2
5 1
3x1  6 x2  200  0
3)
5
* x23 5  3 =0
3 x 2 5 * x 2 5  6 =0
2
5 1
3x1  6 x2  200  0
2 x 3 5 * x 3 5  3 =0
2
5 1
3 x 3 5 * x 2 5  6 =0
2
5 1
3x1  6 x2  200  0
9.3 Функция Лагранжа для решения задачи:
минимизировать функцию f(x) = х14 + х22 при ограничениях
х1 5,
х1*x2 8 имеет вид:
1) L(x,)= x14 + x22+ 1(5 - x1 ) + 2( x1x2-8)
2) L(x,)= x14 + x22+ 1(5 - x1 ) - 2(8 - x1x2)
3) L(x,)= x14 + x22+1(5 - x1 ) + 2(8 - x1x2)
27
9.4 Функция Лагранжа для решения задачи:
минимизировать функцию f(x) = x12 + x22 + x32 при ограничениях:
x1 + x2 + x3 3, x1x2x3 3 имеет вид:
1) L(x,)= x12 + x22 + x32 - 1(3 - x1 - x2 - x3 ) - 2 x1x2x3
2) L(x,)= x12 + x22 + x32 - 1( x1 + x2 + x3 ) - 2( x1x2x3-3)
3) L(x,)= x12 + x22 + x32 + 1(3 - x1 - x2 - x3 ) + 2(3 - x1x2x3)
Тема 10. Многокритериальная оптимизация
10.1На каком рисунке изображено Парето-оптимальное множество решений для задачи
многокритериальной оптимизации
x1  max
x 2  min
( x1  1) 2  ( x 2  3) 2  4
X2
X2
B
A
A
X1
B
X1
б)
а)
X2
B
X2
A
B
X1
A
в)
X1
г)
10.2 Математическая модель задачи имеет вид:
f ( x, y)  ( f1 ( x, y)  2x  y, f 2 ( x, y)  2x  3 y)  max ,
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0} .
28
Составлена задача:
f ( x, y)  0,7  (2x  y)  0,3  (2x  3y)  max
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0}
Каким методом приведена задача многокритериальной оптимизации к
однокритериальной?
1) методом идеальной точки
2) методом линейной свертки
3) методом максиминной свертки.
10.3 Математическая модель задачи имеет вид:
f ( x, y)  ( f1 ( x, y)  2x  y, f 2 ( x, y)  2x  3 y)  max ,
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0} .
Составлена задача:
f ( x , y )  ( 2 x  y  f1max ) 2  ( 2 x  3 y  f 2max ) 2  min
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0}
Каким методом приведена задача многокритериальной оптимизации к
однокритериальной?
1) методом идеальной точки
2) методом линейной свертки
3) методом максиминной свертки.
6.3. Темы рефератов/ учебных проектов
1.
Анализ проблем. Построение дерева (графа) проблем.
2.
Целевой анализ. Построение дерева целей.
3.
Применение метода анализа иерархий для решения задач выбора.
4.
Применение метода «Дельфи» для решения управленческих задач.
5.
Применение метода когнитивного моделирования для построения
прогнозных
сценариев развития ситуации.
6.
Разработка управленческого решения методом мозгового штурма.
7.
Использование сценарного подхода при принятии управленческого
решения.
8.
Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального
решения.
29
9.
Использование метода потенциалов для оптимизации транспортных
перевозок
однородного продукта.
10.
Разработка решения о назначении сотрудников для выполнения работ
венгерским методом.
11.
Решение
задачи
оптимального
распределения
ресурсов
между
предприятиями отрасли методом динамического программирования.
12.
Применение метода количественного анализа эффективности работы
системы массового обслуживания.
13.
Оценка вариантов работы системы массового обслуживания при различных
условиях ее функционирования.
14.
Определение оптимальной структуры СМО при различных вариантах
обслуживания клиентов.
15.
Применение метода дерева решений для достижения целей организации
16.
Методы принятия коллективных решений.
17.
Методы контроля выполнения решений.
18.
Оценка эффективности управленческих решений.
19.
Принятие решений в сфере управления запасами и поставками сырья и
материалов на предприятии.
20.
Оптимизация процесса управления запасами готовой продукции на
предприятии…
21.
Оптимизация управления финансовыми ресурсами на примере бюджета
муниципального образования (региона, государства).
22.
Разработка оптимальной производственной программы на предприятии…
23.
Распределение подвижного состава пассажирского автопредприятия,
оптимизирующее транспортные пассажирские перевозки в городе… (регионе…).
24.
Разработка оптимального пассажирского маршрута (грузового маршрута) в
городе (регионе…).
25.
Распределение обязанностей между сотрудниками организационного
подразделения администрации… района (города) при выполнении мероприятий,
связанных с подготовкой проведения… (подготовкой проекта закона,
постановления, распоряжения…).
26.
Разработка оптимального плана мероприятий (последовательности
операций) в условиях ограничения использования материальных и трудовых
ресурсов.
27.
Оптимальное управление инвестиционным портфелем компании в условиях
риска.
28.
Оптимальное управления бюджетными расходами муниципального
образования (региона) в условиях риска (полной неопределенности).
29.
Разработка оптимальной стратегии ведения боевых действий…
30.
Разработка оптимальной стратегии поведения фирмы… на рынке в условиях
жесткой конкуренции (олигополии, монополии).
31.
Разработка оптимальной стратегии поведения политической партии… при
проведении выборов (в представительном органе власти…)
30
32.
Оптимизация процесса проведения выборов в… регионе (муниципальном
округе).
33.
Разработка оптимальных критериев управления персоналом организации на
стадии отбора (продвижения по службе, увольнения).
34.
Разработка оптимальной стратегии управления карьерным ростом.
6.4. Задачи и задания по курсу
Задача по использованию сырья
Виды сырья
Запасы сырья
S1
S2
S3
S4
b1
b2
b3
b4
Виды продукции
П1
a11
a21
a31
a41
П2
a12
a22
a32
a42
Стоимость 1 ед. продукции
С1
С2
a ij – количество единиц сырья вида Si, расходуемого на производство одной единицы
продукции вида Пj i  1,4, j  1,2 .
x1ед  П1 , х2 ед  П2
F ( x)  c1 x1  c2 x2  max
при условиях
a11 x1  a12 x 2  b1 
a 21 x1  a 22 x 2  b2 

a 31 x1  a 32 x 2  b3 
a 41 x1  a 42 x 2  b4 
x1  0, x2  0
Задача о диете
Кол-во единиц питательных веществ, содержащихся в
Питательные
единице продукции вида
вещества
В1
В2
Вn
…
Количество
питательного
вещества в
диете
N1
a11
a12
…
a1n
b1
N2
a21
a22
….
a2n
b2
…
…
…
…
…
…
Nn
am1
am2
…
amn
bm
Стоимость
единицы
С1
С2
….
cn
31
продукта
a ij - количество единицы питательного вещества вида N i , содержащегося в одной
единице продукта вида В j .
x1ед  B1 ;
x 2 ед  B2 ;

x n ед  Bn
F x   c1 x1    cn xn  min
при ограничениях
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 , 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 , 



a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm .
Общая задача линейного программирования.
Каноническая (основная)
форма
Уравнения
n
a
j 1
ij
x j  bi ,i  1, m
Все переменные
x j  0, j  1, n
Стандартная
(симметрическая) форма
1) ограничения
Неравенства
n
a
j 1
ij
Общая форма
Уравнения неравенства
 
n
 
a i j x j  bi ,i  1, m

j 1
 
 
x j  ( 0)bi ,i  1, m
2) условия неотрицательности
Все переменные
Часть переменных
x j  0, j  1, n
x j  0, j  1, s s  n
n
max или min F(x)
3) цель задачи (
 (max F(x))
 (min F(x))
F ( x )   ci j x j
j 1
)
ьфч или ьшт А(ч)
Задание 1
На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука
потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны
32
соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к
каждому из хлебозаводов задаются матрицей:
Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является
минимальной.
Задание 2
В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот
бензин ежедневно получают четыре заправочных станции в количествах, равных
соответственно 180, 110,60 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к
заправочным станциям задаются матрицей:
Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок
является минимальной.
Задание 3
Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница,
ячмень и просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С
учетом наличия семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует соответственно
засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков
различна и задается матрицей:
Определить, сколько гектаров каждой культуры на каждом из участков следует засеять
так, чтобы общий сбор зерна был максимальным.
Задание 4
Мясокомбинат имеет в своем составе четыре завода, на каждом из которых может
изготовляться три вида колбасных изделий. Мощности каждого из заводов соответственно
равны 320, 280, 270 и 350 т/сут. Ежедневные потребности в колбасных изделиях каждого
вида также известны и соответвенно равны 450,370 и 400 т. Зная себестоимость 1 т
каждого вида колбасных изделий на каждом заводе, которая определяется матрицей
,
33
найти такое распределение выпуска колбасных изделий между заводами, при котором
себестоимость изготовляемой продукции является минимальной.
Задание 5
Для строительства четырех дорог используется гравий из трех карьеров. Запасы
гравия в каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 усл. ед. Потребности в
гравии для строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 60 и 70 усл. ед.
Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. гравия из каждого карьера к каждой из
строящихся дорог, которые задаются матрицей
Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из
строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.
Задание 6
Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую
однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта
продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно
равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой
единицы продукции, задаются матрицей
Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие
затраты являются минимальными.
Задание 7
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые
ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации
одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в
следующей таблице :
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на одноОбщее
изделие
количество
стол
шкаф
ресурсов
3
Древесина (м ):
0,2
0,1
40
I вида
0,1
0,3
60
II вида
1,2
1,5
371,4
Трудоемкость
(человеко-часов)
Прибыль от
60
80
реализации одного
34
изделия (руб.)
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их
реализации была максимальной.
Задание 8
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать
заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист
фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых
заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина
отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки
Количество заготовок (шт.) при раскрое по
способу
1
2
I
2
6
II
5
4
III
2
3
2
Величина отходов (см )
12
16
Определить, частоту использования способов раскроя фанеры так, чтобы было
получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Задание 9
На ткацкой фабрике для изготовления трех артикулов ткани используются ткацкие
станки двух типов, пряжа и красители. В таблице указаны производительность станков
каждого типа, нормы расхода пряжи и красителей, прибыль от реализации 1 м ткани
данного артикула, а также общий фонд рабочего времени станков каждого типа,
имеющиеся в распоряжении фабрики запасы пряжи и красителей и ограничения на
возможный выпуск тканей данного артикула.
Ресурсы
Нормы затрат на 1 м ткани
Общее
артикула
количество
ресурсов
Производительность 0,02
0
0,04
200
станков (станко0,04
0,03
0,01
500
часов):
1,0
1,5
2,0
15000
I типа
0,03
0,02
0,025
450
II типа
Пряжа (кг)
Красители (кг)
Прибыль от
5
8
8
реализации
1 м ткани (руб.)
Выпуск ткани (м):
1000
2000
2500
минимальный
2000
9000
4000
35
максимальный
Составить такой план изготовления тканей, согласно которому будет произведено
возможное количество тканей каждого артикула , а прибыль от реализации максимальна.
Задание 10
Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо
потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей.
Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых
продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в следующей таблице:
Содержание (г) питательных веществ в 1 кг
продуктов
Питательные
вещества
мясо рыба молоко масло сыр крупа картофель
Белки
180 190
30
10
260
130
21
Жиры
20
3
40
865
310
30
2
Углеводы
0
0
50
6
20
650
200
Минеральные
соли
9
10
7
12
60
20
10
Цена 1 кг продуктов (руб).
18
10
2,8
34
29
5
1
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы
потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей
стоимости потребляемых продуктов.
Задание 11
Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа
технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на
изготовление одного изделия каждого вида приведены в таблице. В ней же указаны общий
фонд рабочего времени каждой из групп технологического оборудования, объемы
имеющихся запасов сырья каждого вида, прибыль от реализации изделия каждого вида и
ограничения на возможный выпуск каждого из изделий.
Ресурсы
Нормы затрат на
Общее количество ресурсов
одно изделие вида
1
2
3
4
Производительность
оборудования
(нормо-часов):
I типа
2
0
4
200
II типа
4
3
1
500
Сырье(кг):
15
10
20
1495
1-го вида
2-го вида
30
20
25
4500
36
Прибыль от
10
15
20
реализации одного
изделия (руб.)
Выпуск (шт.):
минимальный
10
20
25
максимальный
20
40
100
Составить такой план производства продукции, согласно которому будет
изготовлено необходимое количество изделий каждого вида, а прибыль от реализации
изготовляемой продукции максимальна.
Задание 12
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А,В, и С использует
три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода
сырья каждого вида на производство 1 т карамели данного вида приведены в таблице.
В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть
использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного
вида.
Вид сырья
Нормы расхода сырья (т) на 1 т
карамели
А
0,5
0,2
0,3
120
В
0,3
0,6
0,1
112
Общее
количество
сырья (т)
С
0,6
0,2
0,2
126
Сахарный песок
8
Патока
6
Фруктовое пюре
3
Прибыль от
реализации 1 т
продукции (руб.)
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее
реализации.
Задача о рюкзаке
Контейнер оборудован m отсеками вместимостью
видов продукции
для перевозки n
. Виды продукции характеризуются свойством неделимости,
т.е. их можно брать в количестве 0, 1, 2, ... единиц. Пусть
перевозки единицы j-ой продукции. Обозначим через
- расход i-го отсека для
полезность единицы j-ой
продукции. Требуется найти план
перевозки, при котором максимизируется
общая полезность рейса. Модель задачи примет вид:
37
при ограничениях на вместимости отсеков
условии неотрицательности
условии целочисленности
- целые
.
Когда для перевозки имеется один отсек и каждый вид продукции может быть взят или
нет, то модель задачи принимает вид:
.
Задача о назначении
Имеет n исполнителей, которые могут выполнять n различных работ. Известна
полезность
, связанная с выполнением i-м исполнителем j-й работы
.
Необходимо назначить исполнителей на работы так, чтобы добиться максимальной
полезности, при условии, что каждый исполнитель может быть назначен только на одну
работу и за каждой работой должен быть закреплен только один исполнитель.
Математическая модель задачи примет вид:
Каждый исполнитель назначается только на одну работу:
На каждую работу назначается только один исполнитель:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Задача коммивояжера
38
Коммивояжер должен посетить один, и только один, раз каждый из n городов и
вернуться в исходный пункт. Его маршрут должен минимизировать суммарную длину
пройденного пути.
Математическая модель задачи:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Добавляется условие прохождение маршрута через все города, т.е. так называемое
условие цикличности. Иначе, маршрут должен представлять собой замкнутую ломаную,
без пересечений в городах-точках.
Найти экстремум функции градиентным методом:
5
f ( x1, x2 )  x12  x2 2  x1x2  7  min , x(0)  (3;1) .
2
2. Решить задачу о рациональном распределении ресурсов методом динамического
программирования:
Номер
варианта
1
2
3
4
5
Предприятие 1
C1
R1
0
0
2
5
3
7
4
8
-
Предприятие 2
C2
R2
0
0
2
6
4
8
-
Предприятие 3
C3
R3
0
0
2
5
3
6
4
7
5
9
Общая сумма капитальных вложений 8 млн. у.е.
7 Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
4. Грызина Н.Ю. Математические методы исследования операций в экономике
[Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина
О.Н.— Электрон.текстовые данные.— М.: Евразийский открытый институт, 2009.— 196
c.— ЭБС
39
5. Гетманчук А.В. Экономико-математические методы и модели [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Гетманчук А.В., Ермилов М.М.— Электрон.текстовые данные.— М.:
Дашков и К, 2013.— 188 c.— ЭБС
6. Экономико-математические методы и прикладные модели [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ В.В. Федосеев [и др.].— Электрон.текстовые данные.— М.: ЮНИТИДАНА, 2012.— 304 c.— ЭБС
7.2 Дополнительная литература
1. Методы оптимизации в задачах и упражнениях [Текст] : учеб. пособие / О. В.
Васильев, А. В. Аргучинцев . - М. : Физматлит, 1999. - 208 с
2. Исследование операций в задачах и упражнениях: Учебн. пособие для вузов / В.
В.Морозов,А. Г. Сухарев, В. В. Федоров . - М. : Высш. школа, 1986. - 288с.
3. Экономика и оптимизация [Текст] / Канторович [и др.] ; отв. ред. В. Л. Макаров. - М. :
Наука, 1990. - 248 с
4. Шапкин, А.С. Математические методы и модели исследования операций: Учеб. / А.С.
Шапкин, Н.П. Мазаева . - М. : Дашков и Ко , 2004. - 400 с.
5. Ильченко, А. Н. Практикум по экономико-математическим методам [Текст] :
учеб.пособие для вузов / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. - М. :
Финансы и статистика : ИНФРА-М, 2009. - 288 с.
6. Методы оптимизации в примерах и задачах [Текст] : учеб.пособие / А. В. Пантелеев, Т.
А. Летова. - М. :Высш. шк., 2002, 2005. - 544 с.
7. Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе
[Текст] : учеб.пособие для вузов / С. И. Шелобаев. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
1. Образовательные
ресурсы
для
экономистов
http://economist.rudn.ru/freeecon/edu.html
2. Электронная Библиотека Московского государственного университета экономики,
статистики и информатики (МЭСИ)http://www.ibc.mesi.ru/
3. Библиотека Санкт-Петербургского Государственного Университета Экономики и
Финансов http://www.finec.ru/rus/parts/sbio-site/
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Методические рекомендации по подготовки рефератов
Целью реферативной работы является приобретение навыков работы с
литературой, обобщения литературных источников и практического материала по теме,
способности грамотно излагать вопросы по теме, делать выводы. Реферат должен иметь
следующие разделы: введение, основную часть, выводы, а также пронумерованный
список использованной литературы (не менее 2-х источников) с указанием автора,
названия, места издания, издательства, года издания.
40
Во введении следует отразить место рассматриваемого вопроса в естественно научной проблематике, его теоретическое и прикладное значение.
Основная часть должна излагаться в соответствии с планом, четко и
последовательно, желательно своими словами. В тексте должны быть и необходимо
делать ссылки на использованную литературу. При дословном воспроизведении
материала каждая цитата должна иметь ссылку на соответствующую позицию в списке
использованной литературы.
Выводы должны содержать краткое обобщение рассмотренного материала,
выделение наиболее достоверных и обоснованных положений и утверждений, а также
наиболее проблемных, разработанных на уровне гипотез, важность рассмотренной
проблемы с точки зрения практического приложения, мировоззрения, этики т.п.
Реферат должен быть аккуратно напечатан или написан на бумаге стандартного
(А.4) формата, на одной стороне листа. Страницы должны быть пронумерованы, начиная
со 2-й (титульный лист, включается в общую нумерацию, но номер на нем не
проставляется). Номер страницы проставляются в правом верхнем углу без точки в конце.
Текст реферата следует печатать (писать), соблюдая следующие размеры полей: левой –
не менее 30 мм, правое – не менее 10 мм. Верхнее и нижнее – не менее 20 мм. Примерный
объем реферата составляет 20-25 страниц машинописного текста.
Для наглядности изложения желательно сопровождать текст рисунками. В
последнем случае на рисунки в тексте должны быть соответствующие ссылки, например
«см. рисунок 5» или «график…приведем на рисунке 2».
Тема реферата может быть выбрана из предложенного списка, либо носить
свободный характер. Работа над рефератом позволит лучше подготовиться к экзамену, т.к.
темы из предложенного списка во многом совпадают с вопросами, выносимыми на
экзамен. Кроме того, в рабочей программе курса можно найти краткое содержание и
список рекомендованной литературы. При выборе свободной темы все это придется
выполнять самостоятельно.
Методические рекомендации по подготовки научных проектов.
Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами
по 2-3 человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в
MicrosoftPowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды
презентации рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только
основные положения доклада.
Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в
журнале. Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей:
- титульный лист (1 слайд);
- теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов);
- заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения автора (1
слайд).
Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на
вопросы преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных
проектов являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и
конструктивность работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы).
41
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
В процессе лекционных и семинарских занятий используется следующее программное обеспечение:
- программы, обеспечивающие доступ в сеть Интернет (например, «Google chrome»);
- программы, демонстрации видео материалов (например, проигрыватель « Windows
Media Player»);
- программы для демонстрации и создания презентаций (например, «Microsoft
PowerPoint»).
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
.
42