контрольная работа по теории вероятностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Контрольная работа по теории
вероятностей
для студентов заочного отделения
физико-математического факультета
Воронеж 2006
1
УДК 519.2 (076)
Составитель:
кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко
Контрольная работа по теории вероятностей для студентов заочного
отделения физико-математического факультета / сост.: Гордиенко Н.А. –
Воронежский госпедуниверситет, 2006. – 11 с.
Контрольная работа по теории вероятностей состоит из пяти заданий по
следующим разделам курса: классическое определение вероятности,
применение комбинаторики к вычислению вероятностей, условная
вероятность,
схема
Бернулли,
Законы
распределения,
функции
распределения и числовые характеристики дискретных случайных величин.
Предназначена для студентов 4 курса специальности «Математика–
информатика» заочного отделения физико-математического факультета
Воронежского госпедуниверситета.
© Гордиенко Н.А., составление, 2006
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ 4 КУРСА
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «МАТЕМАТИКА» (ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ)
Задание 1. Классическое определение вероятности
1.
Найдите вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до
27 является делителем числа 60.
2.
Куб с окрашенными гранями распилили на 125 кубиков меньшего
размера. Определите вероятность того, что случайно выбранный кубик имеет
ровно две окрашенные грани.
3.
Определите вероятность того, что случайно выбранное целое число от
1 до 17 при возведении в квадрат дает число, оканчивающееся единицей.
4.
Длины пяти отрезков равны соответственно 1, 3, 4, 5, 6 единицам.
Найдите вероятность того, что из трех случайно выбранных из них отрезков
можно построить треугольник.
5.
Найдите вероятность того, что случайно выбранное целое число от 1 до
50 не делится ни на 2, ни на 3.
6.
Случайным образом выбирается один из дней года. Определите
вероятность того, что число и номер месяца записываются с помощью только
одной цифры.
7.
Определите вероятность того, что случайно выбранное целое число от
1 до 100 является простым.
8.
Найдите вероятность того, что кость, извлеченная наудачу из полного
набора домино, имеет сумму очков, равную четырем.
9.
Найдите вероятность того, что сумма цифр случайно выбранного
целого числа от 12 до 66 равна 7.
10. Найдите вероятность того, что у случайно выбранного целого числа от
100 до 500 третья цифра равна сумме двух первых.
11. Один из дней года выбирается случайным образом. Найдите
вероятность того, что номер месяца делится на число.
12. Определите вероятность того, что случайно выбранное целое число от
30 до 60 имеет по крайней мере два простых делителя.
13. Определите вероятность того, что случайно выбранное целое число от
1 до 1000 является полным квадратом.
14. Длины отрезков равны 2, 6, 8, 11, 12 единицам. Найдите вероятность
того, что из трех случайно выбранных из них отрезков можно построить
треугольник.
15. Найдите вероятность того, что сумма очков случайно выбранной кости
домино равна шести.
3
Задание 2. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей
16. Определите вероятность того, что четырехзначный номер случайно
встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр.
17. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу извлекаются три карты.
Определите вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
18. Из полного набора шахматных фигур случайно извлекаются три
фигуры. Найдите вероятность того, что это будут две ладьи и пешка.
19. Из 50 экзаменационных вопросов студент подготовил 40. Определите
вероятность того, что из предложенных ему четырех вопросов он знает по
крайней мере три.
20. Найдите вероятность того, что случайно выбранное четырехзначное
число составлено только из четных цифр.
21. Из коробки, содержащей 12 белых и 12 черных шашек, случайно
выпали 4 шашки. Найдите вероятность того, что среди них поровну белых и
черных шашек.
22. Найдите вероятность того, что случайно выбранное целое число от 1 до
400 не содержит в своей записи цифру 3.
23. Найдите вероятность того, что трехзначный номер случайно
встретившейся автомашины содержит две одинаковые цифры.
24. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекаются три карты.
Найдите вероятность того, что все они одной масти.
25. Студент подготовил 40 из 50 экзаменационных вопросов и 20 из 25
задач. Найдите вероятность того, что он ответит на билет, содержащий два
вопроса и задачу.
26. Найдите вероятность того, что случайно выбранное пятизначное число
не содержит одинаковых цифр.
27. Из шахматного набора случайно выбраны три фигуры. Найдите
вероятность того, что все они одного цвета.
28. По городу курсируют автобусы пяти различных цветов, причем
количество автобусов каждого цвета одинаково. Какова вероятность того,
что три случайно встретившихся автобуса будут разных цветов.
29. Найдите вероятность того, что три случайно выбранные шашки будут
одного цвета.
30. Из группы, содержащей 6 юношей и 9 девушек, выбрали 5 человек.
Найдите вероятность того, что юношей выбрано больше, чем девушек.
4
Задание 3. Условная вероятность
31. Из полного набора домино выбрана одна кость. Найдите вероятность
того, что вторую кость, случайно выбранную из оставшихся, можно
приставить к первой.
32. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее
наугад. Определите вероятность того, что ему придется звонить не более чем
в три места.
33. Ученик забыл последнюю цифру даты Куликовской битвы и называет
ее наугад. Определите вероятность того, что до правильного ответа ему
придется отвечать не более пяти раз.
34. В экзаменационные билеты включено 2 теоретических вопроса и 1
задача. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи.
Студент подготовил 50 теоретических вопросов и может решить 22 задачи.
Найдите вероятность того, что, вытянув наудачу один билет, студент ответит
на все вопросы и решит задачу.
35. Буквы слова «задача» написаны на одинаковых карточках. Наудачу по
одной извлекаются 4 карточки (без возвращения). Найдите вероятность того,
что при этом получится слово «дача».
36. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то
студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9.
Найдите вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен.
37. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Если стрелок
попадает в цель при первом выстреле, то ему предоставляется право стрелять
во вторую цель. Вероятность поражения обеих целей этим стрелком равна
0,6. найдите вероятность поражения стрелком второй цели.
38. Студен знает ответы на 15 билетов из 20. В каком случае он имеет
большую вероятность сдать экзамен: если он идет отвечать первым или если
– вторым?
39. Имеются 2 одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3
белых шара, а вторая – 2 черных и 1 белый шар. Наугад выбирается урна,
наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что выбранный шар –
белый?
40.
Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 6 черных и 4 белых
шара, во второй – только белые, в третьей – только черные. Наугад
выбирается урна, наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что
выбранный шар – черный?
41. На карточках написаны буквы, образующие слово «комбинаторика»,
но две карточки из этого набора утеряны. Наудачу извлекается одна
карточка. Какова вероятность того, что на ней окажется гласная буква?
42. Имеются 2 одинаковые урны, первая из которых содержит 3 черных и 7
белых шаров, а вторая – 4 черных и 6 белых. Наугад выбирается урна, наугад
извлекается шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того,
что выбранный шар – из первой урны?
5
43. В одной студенческой группе обучается 24 студента, во второй – 36
студентов, в третьей – 40 студентов. По теории вероятностей получили
отличные отметки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и
4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим
по теории вероятностей оценку «отлично». Какова вероятность того, что он
учится в первой группе?
44. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из
25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 студентов – на 25
вопросов, 5 студентов – на 20 вопросов и двое – на 15 вопросов. Вызванный
наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Какова вероятность
того, что этот студент подготовил только половину вопросов?
45. Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных
шаров, во второй – 7 белых и 3 черных, в третьей – только черные. Наугад
выбирается урна, наугад извлекается шар. Выбранный шар оказался черным.
Какова вероятность того, что вынут шар из первой урны?
6
Задание 4. Схема Бернулли
46. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек
равна 0,3. Какова вероятность того, что при 6 бросках 3 кольца окажутся на
колышке, если считать броски независимыми?
47. У игрока 5 шариков, которые он бросает до первого попадания или до
полного израсходывания всех шариков. Найдите вероятность того, что не все
шарики будут израсходованы, если вероятность попадания при одном броске
равна 0,1.
48. Вероятность наличия опечатки на странице книги равна 0,0025. Какова
вероятность того, что из 400 страниц опечатки имеются только на пяти
страницах?
49. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игрального кубика
тройка выпадет от двух до четырех раз?
50. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность
нормальной работы каждого двигателя в полете равна
р. Найдите
вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном
двигателе.
51. Из полного шахматного набора 9 раз извлекается фигура, которая затем
возвращается. Какова вероятность того, что при этом конь появится ровно
три раза?
52. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что
вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ
трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются
независимо друг от друга?
53. Вероятность того, что на некотором предприятии расход
электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность
того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии
не будет?
54. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,8. Какова вероятность
поражения цели при пяти выстрелах?
55. В горном районе создано n автоматических сейсмических станций.
Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью р.
Какова вероятность того, что в течение года хотя бы одна станция потребует
ремонта?
56. Вероятность появления события А хотя бы один раз при пяти
независимых испытаниях равна 0,99757. Какова постоянная вероятность
появления этого события при одном испытании?
57. Известно, что 5% радиоламп, изготовляемых заводом, являются
нестандартными. Из большой партии (независимо друг от друга)
производится случайная выборка радиоламп. Сколько ламп нужно взять,
чтобы с вероятностью не менее 0,9 была извлечена хотя бы одна
нестандартная лампа?
7
58. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. сколько
нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее
0,99 в мишени была бы хотя бы одна пробоина?
59. При высаживании непикированной рассады помидоров только 80%
растений приживаются. Найдите вероятность того, что из 10 посаженных
кустов помидоров приживется не менее 9.
60. Контрольная работа состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос
приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того,
что при простом угадывании правильный ответ будет дан не менее чем на 3
вопроса?
8
Задание 5. Законы распределения, функции распределения и числовые
характеристики дискретных случайных величин
Для двух независимых случайных величин х и у с законами
распределения, заданными соответствующими таблицами, выполните
следующее:
1) заполните пустые места в таблицах;
2) постройте закон распределения случайной величины
z ,
являющейся линейной комбинацией случайных величин х и у ;
3) постройте график функции распределения F(z)
4) найдите M[z] и D[z] (двумя способами: а) используя таблицу
закона распределения случайной величины z ; б) используя
свойства математического ожидания и дисперсии случайной
величины).
61.
х
pi
1
2
15
2
2
5
3
1
2
1
9
1
2
1
2
у
qi
0
1
6
1
1
4
2
1
12
3
z=2x+y.
62.
х
pi
0
1
6
у
qi
3
1
2
1
2
5
2
1
5
3
z=3x−y.
63.
х
pi
0
1
3
у
qi
1
1
4
2
3
8
3
4
1
4
z=2x−2y.
64.
х
pi
0
1
8
1
1
4
2
у
qi
3
3
8
z=x+2y.
9
1
1
6
2
3
1
3
4
1
4
65.
х
pi
1
1
6
2
1
6
3
1
3
10
2
1
1
8
2
3
8
2
1
3
3
2
3
1
10
у
qi
4
1
3
0
1
5
1
2
5
2
z=2x−y.
66.
х
pi
0
1
5
у
qi
1
2
9
2
3
4
9
4
2
9
z=x−y.
67.
х
pi
0
3
1
4
у
qi
2
2
5
3
4
2
5
0
1
1
3
2
1
9
3
1
3
у
qi
0
1
3
1
1
2
2
z=3x+y.
68.
х
pi
1
1
4
у
qi
z=x−2y.
69.
х
pi
1
1
5
4
2
5
z=2x+y.
8
70.
х
pi
1
2
7
2
3
4
7
2
3
3
10
1
3
8
2
1
1
10
2
3
10
1
1
6
2
у
qi
0
1
3
1
2
1
3
3
1
6
z=3x−y.
71.
х
pi
1
1
10
4
2
5
у
qi
0
1
2
7
2
4
7
1
1
12
2
1
6
3
4
5
12
у
qi
1
2
1
3
3
4
9
z=x+3y.
72.
х
pi
0
1
4
у
qi
z=2x−y.
73.
х
pi
0
1
5
3
z=x−3y.
74.
х
pi
0
1
3
у
qi
z=3x+y.
9
1
1
5
2
1
5
3
4
1
5
75.
х
pi
1
2
7
2
3
7
3
у
qi
4
1
7
z=x−2y.
10
0
2
9
1
1
9
2
Таблица для выбора заданий контрольной работы
Контрольная работа состоит из пяти заданий, которые подбираются
индивидуально из имеющихся 75 задач следующим образом. Выписываются
три первые буквы фамилии, первая буква имени и первая буква отчества.
Номера пяти заданий контрольной работы определяются по этим буквам с
помощью следующей таблицы.
Буква
алфавита
1
2
З
1
16
31
46
61
И
2
17
32
47
62
К
3
18
33
48
63
Л
4
19
34
49
64
Ы
М
5
20
35
50
65
Э
Н
6
21
36
51
66
Ю
О
7
22
37
52
67
Я
П
8
23
38
53
68
А
Р
9
24
39
54
69
Б
С
10
25
40
55
70
В
Т
11
26
41
56
71
Г
У
12
27
42
57
72
Д
Ф
13
28
43
58
73
Х
14
29
44
59
74
Ц
15
30
45
60
75
Ч
Ш
Й
Щ
Ъ
Е
Ж
Ь
Ё
Номера заданий
3
4
11
5