Открытые тексты районной олимпиады по математике 7

Задачи для олимпиады по математике 7 класса.
1. Поп, нанимая Балду на работу, обещал выдать ему в конце года новую
одежду и 10 монет серебром. По истечении 7 месяцев Балда не выдержал и
решил уйти. Тогда Поп отдал ему одежду и две одинаковые монеты. Во
сколько монет Поп оценил одежду?
2. Три ящика были наполнены орехами. Во втором было на 10% больше, чем
в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике,
если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем.
3 .Из 9 монет одна фальшивая (более лёгкая). Как определить её двумя
взвешиваниями на весах без гирь?
4. Имеются палочки длиной в 1см, 2см, 3см, и т.д. в 9см, всего 9 штук. Из
этих палочек требуется составить квадраты. Какова длина сторон
составленных квадратов? Для составления квадрата необязательно
использовать все палочки.
5. В футбольной, волейбольной и гимнастической секциях занимается 130
человек. Число спортсменов, занимающихся в футбольной и
волейбольной секциях, пропорционально числам 4 и 3.Сколько
спортсменов занимается в каждой секции?
6. На березе и осине сидели птицы. Когда 5 птиц перелетели с березы на
осину, а затем 12 птиц перелетели с осины на березу, то на березе стало в
2 раза больше, чем на осине. Сколько птиц было на каждом дереве в
начальный момент,если птиц всего было 48?
7.У трехзначного числа
зачеркнули среднюю цифру, поучившееся
двузначное число оказалось в 12 раз меньше исходного трехзначного. Найти
все такие числа.
8.На станцию привезли 310 тонн угля в вагонах, вместимостью по
20т,25т,30т. Сколько вагонов каждой вместимости было использовано, если
всего было использовано 12 вагонов? Все вагоны были полными и в
перевозке были заняты вагоны всех типов.
9.Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если
между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.
10.Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы
каждый был соединен ровно с пятнадцатью?
11.Если (33)х = (99)а , то чему равен х ?
12.Какое наименьшее число из этих 9 точек
. . .
придется удалить , чтобы не осталось
.
.
.
трех точек , лежащих на одной прямой.
. . .
13.В выражении 7. 6 + 24 : 3 – 2 расставьте скобки так , чтобы его значение
было наименьшим ?
14.Спросил некто у учителя :»Скажи, сколько у тебя в классе учеников,так
как я хочу отдать тебе в ученье своего сына».Учитель ответил:
« Если придет еще столькоже , сколько имею, и полстолько, и четвертая
часть, и твой сын, то будет у меня 100 человек». Спрашивается,сколько было
у учителя учеников ?.
15.Решить уравнение:
I x I + 1 = 3.
16. На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству
репок. Если в огород заходит Внучка, то она выдёргивает ровно 1/3 репок,
имеющихся к этому моменту. Если заходит Жучка, то она выдёргивает 1/7
репок, а если заходит Мышка, то она выдёргивает только 1/12 репок. К концу
недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором — 4. Заходила ли
Жучка во второй огород?
17.В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки
отмерить 9 к?
18 .На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его
длину увеличить на 20%, а ширину на 10%?
19. Найдите все корни уравнения.
х  1999 = 2000.
3
1
20. Девочки составляют нашего класса, их числа – отличники. Сколько
5
7
учащихся в нашем классе?
21. В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько
процентов числа всех участников секции составляют девочки?
22. Мастер переплетает в час 3 книги, а его ученик – 2 книги. Как
распределить между ними срочный заказ на переплетение 140 книг, чтобы
выполнить эту работу в кратчайший срок?
За сколько дней они выполнят заказ? Считайте, что продолжительность
рабочего дня – 7ч.
23. В хозяйстве есть куры и овцы. Всего 19 голов и 46 ног. Определить,
сколько кур и овец в хозяйстве.
24.В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежит 10 коричневых и
10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика
комода, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета?
25.В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17
увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что
в классе найдется хотя бы один ученик, который занимается английским
языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок.
26.Решите уравнение: х(х+1)(х+2)=(х+1)(х+2)(х+3)
27.На конференции 85 % делегатов знают английский язык и 75 %
испанский. Какая наименьшая часть делегатов знает оба языка ?
28.Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и
выстроили их в один ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины
получилась полоса ?
Задачи для олимпиады по математике 8 класс
1. В оранжерее было срезано 360 гвоздик, причем красных было на 80
штук больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наименьшее число одинаковых букетов можно составить из этого
количества цветов? Сколько и каких цветов будет в каждом букете?
2. Разложите на множители а3  а 2  4 .
3. Доказать, что произведение 3-х последовательных целых чисел,
сложенных со вторым из них равно кубу этого числа.
4. Какой цифрой оканчивается число 2255 ?
5. Товар в начале дорожал на 10%, а затем подешевел на 10%. Когда его
цена была ниже: до подорожания или после снижения?
6.Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.
7. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом
ящике лежали яблоки одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками
одного сорта?
8.Дан угол и точка М внутри него. Провести прямую через эту точку так ,
чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.
9. Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить50 см от шнурка,
длина которого 2/3 метра?
10. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В со средней скоростью 50 км/ч, а
обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость?
8  100 р
22 р 1  52 р  2
3 2  4х 2х  3
 5  3  2 
12. Решите систему неравенств : 

 2 х  27  4 х

 2

11.Упростите выражение
13. Турист. Находящийся в спортивном лагере, должен успеть к поезду на
железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15
км/ч, то опоздает на 30 мин., а если на мопеде со скоростью40 км/ч, то
приедет за 2 ч до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до
станции?
14. Выяснить, лежат ли на одной прямой точки: А(12;3), В (14;7), С(-5;-28).
15. Прямые 4х-5у=-3, х+5у=-7, х=3, попарно пересекаясь, образуют
треугольник. Вычислите координаты вершин этого треугольника.
16. Подряд записывают числа натурального ряда, не разделяя их запятыми:
1234567891011121314151617181920… .
Какая цифра окажется на 1999-м месте?
17. Постройте график функции у =
3х2
х2
+ 1.
18. Разложите на множители а 3 + а 2 + 4.
19. Треугольник поворачивают вокруг центра квадрата О. Докажите, что
разность площадей закрашенных частей при этом не изменяется.
20. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал
содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?
21. Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк – за 3дня, а собака – за 6 дней. За
сколько дней они вместе съедят овцу?
22. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1 – 2 - 4 – 8 - 16 = 19 стало
верным.
23. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 –
y2 = 69.
24. Постройте график функции:
y=
x2  x
x

2
x 1 x 1
25. У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е
и С, а также длины отрезков АС и ВЕ. Докажите, что АD = ВD.
B
A
C
E
D
Олимпиада в 9 классе
1. Вычислить а  в  с если а  в  с  0, а 2  в 2  с 2  1
4
4
4
2. Построить график функции
3.
/х/+/у/=4
Найти значение выражения
1
1
1
1


 ...
1 2
2 3
3 4
99  100
4. При каких а все решения уравнения отрицательные
а 1
2х  7
?

х  6 ( х  2) 2  х  22
5.
Сократить дробь
а 2  ( 2  1)а  2
2  (1  3 2 )а  3а 2
6.Разложите на множители многочлен:
х 2 у - х 2 - ху +х 3
7.Известно, что парабола проходит через точку В(-1; ¼) и ее вершина
находится в начале координат. Запишите уравнение параболы и определите,
в каких точках она пересекает прямую у= - 16.
8.
Решите уравнение:
(2х 2 - х+1) + 2х (2х – 1) =1
9.Найти все значения m, при которых решением неравенства х 2 - mх + ( 3 –
m)  0 является любое число.
10.Решить систему неравенств:
2х 2 + 5х -7  0
3х  4
1
2х  6
11.Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических
действий и запятой.
12. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух
городов. Они встретились в полдень, и первая достигла чужого города в 4
часа пополудни, а вторая – в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из своих
городов.
13. Цена доллара в рублях увеличилась за некоторый промежуток
времени на 25 % . На сколько процентов за это время уменьшилась цена
в долларах?
14. В коробке лежат 1999 белых и 2000 черных шаров. Они тщательно
перемешены. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из коробки не
глядя, чтобы среди них обязательно нашлись 340 шаров одного цвета?
15. Постройте график функции у = х  1  х  1 .
16. Внутри равностороннего треугольника движется точка. Докажите, что
сума расстояний от этой точки до сторон треугольника не изменяется.
17. Какой цифрой оканчивается число 22 55 ?
18. Цена доллара в рублях увеличилась на 25%. На сколько процентов при
этом уменьшится цена рубля?
19.Настя, Лена, Вита и Маша купили лотерейный билет за 20 рублей. При
этом Настя заплатила 4 рубля 10 копеек, Лена 1 рубль 80 копеек, Вита – 2
рубля 20 копеек, а оставшуюся сумму внесла Маша. При этом девочки
договорились, что выигрыш
делят
между собой пропорционально
внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 2000 рублей. Какая сумма из
выигрыша причитается Маше ?
20.Вычислите: (5 · 103 + 9 · 102 +7 · 10 +2)(5 · 102 + 9 · 10 +7) – 597 · 5970.
21.При каких значениях а уравнение (а2 – 25)х=а2 – 25 имеет бесконечно
много корней?
22.В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся
найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же
день.
23.В январе товар стоил 30 000 рублей. В марте цену на товар подняли на 4%,
а в июле снизили на 4%. Сколько стоил товар в июле?
Задачи для олимпиады по математике 10 класс
1. Доказать, что следующее число является целым: 3  2 2  3  2 2 .
2. Дан угол в 29 0 . Построить с помощью циркуля угол в 60 .
3. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
х 2  y 2  105
4. Какой цифрой оканчивается число 43 33 - 17 17
5. Докажите, что (х-3) (х-4) (х-7) (х-8) + 15 > 5
6. ДИАГОНАЛИ ВЫПУКЛОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ДЕЛИТ ЕГО НА 4
ТРЕУГОЛЬНИКА. ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ДВУХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ РОВНО
ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ ДВУХ ДРУГИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
7. Решите уравнение:
(x²-x-1)2-x³=5
8. Найдите значение выражения:
(1+ √a)∙(1+4√a)∙(1+8√a)∙(1+16√a)∙(1+32√a)∙(1-32√a) , при а=2003.
9. Вычислите:
1/20 + 1/32 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132 .
10. Постройте график функции:
y = √x2 + x .
11. Найдите значение выражения:
(1+ a )(1+ 4 a ) (1+ 8 a )(1+ 16 a )(1+ 32 a )(1- 32 a )
при а=2003.
12.Найдите действительные решения уравнения
( x + 2)4 + x4 = 82.
13.Постройте график функции y = 2  sin 4 x  cos 2x  2  cos 4 x  cos 2x .
14. Сколько цифр содержит число 45 * 513?
15.Известно, что x +1/x = 5. найдите x2 +1/x2.
Задания для районной математической олимпиады.
11класс
1 Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел
3 – 2х и 1 – х меньше 1.
2 Для каждого значения а найдите число корней уравнения
‫׀‬х + 2‫׀‬+ 1 = а – 0,5х
3. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, у
которых одна из боковых граней является квадратом, а периметр нижнего
основания равен 12 см.
Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите
этот объем.
4.Найти все значения а, при которых число х=2 не является решением
неравенства -2 ≤ ‫׀‬х + 3а‫ – ׀‬х2
5.Решите уравнение
1 –cos6x =tg3x
6..Четверо ребят: Алеша, Боря, Ваня и Гриша соревновались в беге,
причем все они заняли разные места. После соревнования каждого из них
спросили, какое место он занял. Алеша ответил: «Я не был ни первым, ни
последним». Боря ответил: « Я не был последним». Ваня ответил: « Я был
первым». Гриша ответил: «Я был последним». При этом три из них сказали
правду, а один солгал. Кто сказал правду? Кто был первым?
7.Найти два числа, если их сумма, произведение и частное от деления равны
между собой.
8. Решить в натуральных числах уравнение: x+
1
1
у
Z
=
10
7
9. На елочном базаре продавались елки длиной в один метр по цене 1000
рублей. И елки длиной в полтора метра по цене 1500 рублей. Всего было
продано 50 елок на сумму 55000 рублей. Сколько было продано метровых
елок?
10. Решить уравнение:
х
2

2


 4х  1  4 х2  4х  1  1  х
11. Построить график функции: у 
3х  7
х2
12. Решить уравнение: cos x cos  3 х  =1
13. По прямой движутся две материальные точки по законам:
х1 t  
t 3 3t 2

 2t
3
2
и х2 t  
3t 2
 6t .
2
В какой промежуток времени скорость первой точки меньше скорости
второй точки?
14. Ученику прислали задание из 20 задач. За каждую верно решенную
задачу ему ставили 8 баллов, за каждую неверно решенную задачу минус 5
баллов. За задачу, которую он не брался решать 0 баллов. Ученик в сумме
получил 13 баллов. Сколько задач он брался решать?
15. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного
параллелепипеда, одна из сторон которого должна быть сделана из стекла, а
остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а
площадь 80 м 2 . Известно, что 1 кв.м. стеклянной стены стоит 75 руб., а
обычной 50 руб. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая
стоимость всех стен была наименьшей? Какова эта наименьшая стоимость?
16. Найти корни уравнения 2sinx+1=0, принадлежащие отрезку 0;2 П  .
17. Найдите значение выражения 4 ( х 2  8 х  16) 2  х 2  12 х  36 при х= 17 .
 х 3  у 3  65 

 ху( х  у)  20
2 х  2  3 у  1  20
19. Решите систему уравнений 

2 х  у  3

18.Решите систему уравнений 
20. Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции
у=
х 1
, имеющие угловой коэффициент -1 , пересекает ось абсцисс.
х3
21. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ым и получили 600 г
15%-ного раствора. Сколько граммов 10% -ного раствора было взято?
22.Решите уравнение (х-1)(х+1)(х+2)х=24
23.При каких значениях параметра а система уравнений имеет бесконечно
много решений?
2х + ау = а+2
(а+1)х + 2ау = 2а +4
24. Постройте график функции y = 4 sin 4 x  2 cos 2x  3  4 cos 4 x  2 cos 2x  3 .
25. Сколько диагоналей в правильном семиугольнике?