09-04-01a_Metricheskie_sootnoshenija_v_treugolnike

Тема 4. Метрические соотношения в треугольнике
В этой теме Вы узнаете теорему косинусов, теорему синусов для треугольника и новую
формулу для вычисления площади треугольника. Будет показано, как находить
неизвестные углы и стороны треугольника по его известным сторонам и углам.
§1. Теорема косинусов
1.1. При записи общих формул удобно использовать стандартные обозначения. Поэтому
длины сторон и величины углов треугольника ABC будем обозначать так, как на
рисунке 1:
AB  c AC  b BC  a
A    B    C   
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
a 2  b 2  c 2  2bc cos  
Доказательство. Введем прямоугольную систему координат. За начало системы
координат возьмем точку A . В ось абсцисс превратим прямую AB , выбирая единичный
отрезок и положительное направление таким образом, чтобы точка B имела координату,
равную c . Ось ординат проведем перпендикулярно прямой AB и выберем положительное
направление так, чтобы вершина C имела положительную ординату (рисунок 2).
Из определения синуса и косинуса угла следует, что ордината точки C равна
 AC  sin  , абсцисса точки C равна  AC  cos  . Следовательно, в построенной системе
координат точки B и C имеют координаты: B (c 0) , C (b cos   b sin  ) . Отсюда
a 2  (b cos   c)2  (b sin   0)2  b 2 cos 2   2bc cos   c 2  b 2 sin 2  
 b2 (sin 2   cos2  )  c2 2bc cos   b2  c 2  2bc cos  
что и требовалось доказать.
1.2. Теорема косинусов позволяет решать следующие типовые задачи:
а) по двум сторонам треугольника и косинусу угла между ними вычислить третью
сторону треугольника;
б) по трем сторонам треугольника вычислить косинус угла треугольника.
Пример 1. В треугольнике ABC с тупым углом при вершине B известны AB  2 см,
BC  3 см и sin ABC  2 32 . Найдем сторону AC .
Решение.
Пусть
ABC   .
Тогда
по
условию
sin   2 32 .
Из
основного
тригонометрического тождества получаем cos 2   1  sin 2   19 . Так как угол  тупой, то
отсюда cos    13 . После этого по теореме косинусов вычисляем:
AC 2  AB2  BC 2  2 AB  BC  cos   22  32  2  2  3    13   4+9+4=17.
Следовательно, AC  17 см.
Пример 2. В треугольнике ABC известны стороны: AB  13 см, BC  14 см, AC  15
см. Найдем cosACB .
Решение. Пусть ACB   . Запишем теорему косинусов для квадрата стороны,
лежащей против угла  :
AB2  AC 2  BC 2  2 AC  BC  сos 
Подставляя известные значения, получим
132  152  142  2 15 14  cos  
2 15 14  cos   152  132  142 
2 15 14  cos   2  28  142  14 18
Отсюда cos   214151814  53 .
1.3. Докажем, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов всех его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD – параллелограмм (рисунок 3). Обозначим стороны
AB  a , BC  b , а угол при вершине A обозначим через  . Тогда AD  b , CD  a , а угол
при вершине D равен 180   .
Применим теорему косинусов к треугольникам ABD и ACD , получим:
BD2  AB2  AD2  2 AB  AD  cos  
AC 2  AD2  CD2  2 AD  CD  cos(180   )
Складывая эти равенства и замечая, что cos(180   )   cos  , DC  AB , AD  BC ,
будем иметь:
AC 2  BD 2  AB 2  BC 2  CD 2  AD 2
или
 AC 2   BD 2  2(a 2  b2 ) .
1.4. Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим его стороны и углы как на рисунке 2 и
введем прямоугольную систему координат, как было сделано в пункте 1.1. Тогда вершина
C имеет координаты C (b cos    sin  ) .
Проведем в треугольнике ABC высоту CH (рисунок 4). Проекцией отрезка CH на
ось ординат является отрезок AM , который определяет ординату точки C . Отсюда
следует, что  CH  AM  b sin   b sin  .
SABC  12 AB  CH  12  bc  sin  .
Следовательно, площадь треугольника ABC можно вычислить по известной формуле:
1
S ABC   bc  sin  
2
Таким образом, площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на
синус угла между ними.
1.5.** Выразим в треугольнике ABC косинус угла A через стороны:
b2  c 2  a 2
cos  

2bc
Из основного тригонометрического тождества найдем квадрат синуса угла A :
2
 b 2  c 2  a 2  (2bc) 2  (b2  c 2  a 2 ) 2
sin   1  cos   1  

 
2bc
4b2c 2


(2bc  b 2  c 2  a 2 )  (2bc  b 2  c 2  a 2 ) (a 2  (b  c) 2 )((b  c) 2  a 2



4b2c 2
4b 2c 2
(a  b  c)(a  b  c)(b  c  a )(b  c  a )


4b 2 c 2
Отсюда следует, что
1
a b c b c a a c b a b c
( SABC ) 2  (  bc  sin  ) 2 




2
2
2
2
2
Если обозначить полупериметр a 2bc треугольника через p , то полученное равенство
запишется в виде:
( SABC ) 2  p( p  a)( p  b)( p  c)
2
2
В результате получаем формулу Герона для площади треугольника:
S  p( p  a)( p  b)( p  c) 
Задачи и упражнения
1. В треугольнике ABC стороны AB  7 см, BC  5 см, AC  6 см. Найдите длину
медианы BM .
2. В треугольнике ABC стороны AB  9 см, BC  6 см, AC  7 см. Точки M и N
расположены соответственно на сторонах AB и BC так, что BM  MA  CN  NB  1 2 .
Найдите MN .
3. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC  6 см, боковая сторона
AB  8 см. Найдите длину медианы CK .
4.* В остроугольном треугольнике ABC известны стороны AB  7 , BC  9 и
cos 2 ACB  23 . Найдите длину медианы CM .
5.* В прямоугольнике ABCD стороны AB  6 , BC  8 . Точка O в плоскости
прямоугольника расположены так, что AO  CO  13 . Найдите BO и DO .
6.** Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB  3 . На гипотенузе во
внешнюю сторону построен квадрат с центром O . Найдите площадь треугольника ABC ,
если известно, что OC  3 .
7. Найдите площадь треугольника со сторонами 6 см, 7 см, 8 см.
8.** Найдите площадь треугольника со сторонами 21 , 22 , 23 .
9. Стороны треугольника связаны соотношением (a  b  c)(a  b  c)  bc . Найдите
угол  .
10.* Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
11. Углы треугольника связаны соотношением cos   cos b  sin  . Докажите, что
треугольник прямоугольный.
12. В треугольнике ABC известны стороны: AB  13 см, BC  14 см и AC  15 см.
Найдите cosBAC и cosABC .
§2. Теорема синусов
2.1. Рассмотрим окружность радиуса R с центром O и хорду AB этой окружности
(рисунок 1).
Обозначим центральный угол AOB , который меньше развернутого, через 2 . Из
треугольника AOB по теореме косинусов получаем:
AB 2  AO 2  OB 2  2 AO  OB cos AOB 
 2R 2  2R 2 cos 2  2 R 2 (1  cos 2 ) 
 2R 2 (cos2   sin 2   (cos2  sin 2  )) 
 4 R 2 sin 2   (2 R  sin  )2 
Так как длина отрезка неотрицательна, то из равенства AB 2  (2 R  sin  )2 следует
равенство
AB  2R  sin  
Заметим, что если центральный угол AOB , который больше развернутого, обозначить
через 2  , то тогда   180   , а поэтому sin   sin(180   )  sin  .
Следовательно, если для хорды AB рассмотреть центральный угол, как на рисунке 2,
то и в этом случае выполняется равенство
AB  2 R  sin  
Таким образом, получаем формулу, которая позволяет по радиусу окружности и
центральному углу вычислять длину хорды окружности, определяемой этим центральным
углом.
2.2. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a , b , c и углами  ,  ,  . Пусть
радиус окружности, описанной около этого треугольника равен R (рисунок 3).
По теореме об измерении угла, вписанного в окружность, центральный угол BOC ,
опирающийся на дугу BC окружности, в два раза больше угла BAC , то есть BOC  2 .
Из предыдущего пункта следует, что
a  BC  2R  sin 
Аналогично получаются равенства:
b  2 R  sin  
c  2 R  sin  
Таким образом, по углу треугольника и радиусу описанной около него окружности
можно вычислить длину стороны, противолежащей этому углу.
Пример 1. Пусть треугольник ABC вписан в окружность радиуса 3 см и известно, что
ABC  30 . Тогда
AC  2R  sin   2  3  sin 30  3(см)
2.3. Возьмем из предыдущего пункта равенства:
a  2 R  sin  
b  2 R  sin  
c  2 R  sin  
Тогда:
a
2R 

sin 
b
2R 

sin 
c
2R 

sin 
В результате получаем следующую теорему.
Теорема синусов. Во всяком треугольнике стороны a , b , c пропорциональны
синусам противолежащих углов  ,  ,  :
a
b
c


 2 R
sin  sin  sin 
где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Теорема синусов позволяет:
а) по радиусу описанной окружности и углу вычислить противолежащую этому углу
сторону треугольника;
б) по радиусу описанной окружности и стороне вычислить синус противолежащего
этой стороне угла треугольника;
в) по стороне и противолежащему углу вычислить радиус окружности, описанной
около треугольника;
г) по стороне и двум углам треугольника вычислить оставшиеся стороны
треугольника.
Разберем, как по стороне и двум углам треугольника найти длины оставшихся сторон.
Пример 2. В треугольнике ABC сторона AB  10 см, A  45 , C  60 . Найдем
AC и BC .
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180 , то
B  180  A  C  180  45  60  75 
Известно, что sin A  sin 45  22 ,
sin C  sin 60 
3
2
. Вычислим
sin B  sin(30  45 ) 
2 ( 3 1)
4
.
Запишем теорему синусов:
AB
BC
AC



sin C sin A sin B
Так как AB  10 см, то
AB  sin B 10  2( 3  1)  2 5 2( 3  1)
AC 


(см)
sin C
4 3
3
AB  sin A 10  2  2 10 2


(см)
sin C
2 3
3
2.4.* Рассмотрим, как с помощью теоремы синусов получить свойство биссектрисы
угла треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рисунок 4).
Докажем, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Применим теорему синусов к треугольнику ACD :
AD
AC
(1)

sin  sin 
Затем применим теорему синусов к треугольнику BCD :
BD
BC


sin  sin(180   )
Так как sin(180   )  sin  , то
BD
BC
(2)

sin  sin 
Делением правых и левых частей равенств (1) и (2), получаем равенство:
AD AC


BD BC
Отсюда по основному свойству пропорции получаем равенство
AD BD


AC BC
что и требовалось доказать.
2.5.** Рассмотрим применение теоремы косинусов и теоремы синусов при решении
задач на доказательство.
На сторонах произвольного треугольника ABC вне него построены три
равносторонних треугольника и их центры A1 , B1 , C1 соединены отрезками. Доказать, что
BC 
полученный таким образом треугольник A1B1C1 равносторонний.
Решение. Пусть a , b , c — стороны треугольника ABC и  ,  ,  –противолежащие
им углы. Вычислим сторону B1C1 треугольника A1B1C1 (рисунок 5), обозначив ее через x .
Отрезок AB1 есть радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника,
построенного на стороне b данного треугольника. По теореме синусов
b  2 AB1 sin 60  AB1  3
Таким образом, AB1  b3 .
Аналогично получаем, что AC1 
c
3
.
Применим теорему косинусов к треугольнику AB1C1 :
( B1C1 ) 2  ( AB1 ) 2  ( AC1 ) 2  2( AB1 )( AC1 )  cos B1 AC1
или
2
2
 b   c  2
x 
 
   bc  cos(  60 )
 3  3 3
Отсюда
3x 2  b2  c 2  2bc cos(  60 )
По формуле сложения для косинуса
1
3
cos(  60 )   cos  
 sin  
2
2
Поэтому
2bc  cos(  60 )  bc  cos   3  bc  sin  
Произведение BC  sin  есть удвоенная площадь данного треугольника. Обозначая
площадь треугольника ABC через S , будем иметь
2bc  cos(  60 )  bc  cos   2 3  S 
Следовательно,
3x 2  b2  c 2  bc  cos   2 3  S 
Применяя теорему косинуса к данному треугольнику ABC , получим
a 2  b2  c 2  2bc  cos  
откуда
a 2  b 2  c 2
bc  cos  

2
Подставляя это выражение в формулу
3x 2  b 2  c 2  2bc  cos   2 3  S 
найдем
1
x 2   (a 2  b 2  c 2  4 3  S )
6
Вычисление квадрата стороны
можно провести аналогичными
y  AC
1 1
рассуждениями, в которых вместо буквы b будет использоваться буква a , вместо буквы
a будет использоваться буква c , а вместо буквы c будет использоваться буква b .
Следовательно, ответ будет отличаться только перестановкой местами букв a , b , c , а
значит y 2  x 2 .
Аналогично для квадрата стороны z  A1 B1 получается равенство z 2  y 2 .
Следовательно, B1C1  AC
1 1  A1 B1 , то есть треугольник A1 B1C1 — равносторонний.
2.6.** Рассмотрим еще одну задачу, известную как теорему Морлея. Эта задача
поразительна тем, что внешне она как бы связана с трисекцией угла.
Проведем из каждой вершин произвольного треугольника по два луча, делящие угол
при этой вершине на три равные угла. Рассмотрим точки M , N , K пересечения лучей,
как на рисунке 5. Полученный треугольник MNK всегда равносторонний.
Для доказательства обозначим радиус описанной около треугольника ABC
окружности через R , A  3 , B  3 , C  3 . Тогда из равенства 3  3  3  180
следует, что       60 , а из теоремы синусов для треугольника ABC получаем
BC  2R  sin3 , AC  2 R  sin 3 , AB  2 R  sin 3 .
Выразим через R ,  ,  ,  квадрат отрезка MN . Для этого сначала рассмотрим
треугольник AMB . Так как MAB   , MBA   , то AMB  180     , а поэтому
sin AMB  sin(   ) . Запишем теорему синусов для треугольника AMB :
2
AM
AB
MB



sin  sin(  beta) sin 
Отсюда
AB  sin  2 R  sin 3 sin 
AM 


sin(   )
sin(ha   )
Преобразуем полученное выражение для отрезка AM , для чего воспользуемся формулой
sin 3x  sin x(1  2 cos 2 x) и тем, что sin 3  sin 3(   ) .
2 R  sin 3(   )sin 
AM 
 2 R  sin  (1 
sin(   )
2cos 2(   ))  2R  sin  (1  2cos(120  2 )) 
 2R  sin  (1  2cos120 cos 2  2sin120 sin 2 ) 
 2 R  sin  (1  cos 2  3 sin 2 ) 
 2 R  sin  (2sin 2   2 3 sin  cos  ) 
 8R  sin  sin  (sin  cos 60  cos  sin 60 ) 
8R  sin  sin  sin(  60 )
Следовательно,
AM  8R  sin  sin  sin(  60 )
Аналогично выражается отрезок AN из треугольника ANC , только при этом вместо
буквы  нужно использовать букву  , а вместо буквы  — букву  . Следовательно,
AN  8R  sin  sin  sin(  60 )
Выразим теперь квадрат отрезка MN из треугольника AMN по теореме косинусов:
MN 2  AM 2  AN 2  2 AM  AN  cos NAM 
 (4sin  sin  )2 ((2 R  sin(   60 )) 2 
(2R  sin(  60 ))2  2  (2 R  sin(   60 ))  (2R  sin(  60 ))  cos  
Обратим внимание на выражение в скобках после множителя (4sin  sin  ) 2 . Так как
      60 , то существует треугольник EFG с углами  ,   60 ,   60 , который
вписан в окружность радиуса R (рисунок 6). Стороны этого треугольника равны:
Поэтому
GE  2R  sin(  60 ) ,
EF  2R  sin(  60 ) .
GF  2R  sin  ,
2
2
2
GF  GE  EF  2GE  EF  cos  , то есть
(2R  sin  )2  (2R  sin(   60 ))2 
(2R  sin(  60 ))2  2  (2 R  sin(   60 )  (2R  sin(  60 ))  cos  
Возвращаясь к MN 2 , получаем:
MN 2  (4sin  sin  )2  (2 R sin  )2 
 (8R  sin  sin  sin  )2 
Задачи и упражнения
1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, если у него одна сторона
равна 1 см, а противолежащий этой стороне угол равен 30 .
2. Найдите стороны треугольника ABC , если:
а) AB  2 см, A  15 , B  30 ;
б) AC  3 см, A  45 , B  60 ;
в) BC  5 см, A  105 , B  15 .
3.* Найдите стороны треугольника ABC , если известно, что AB  1 , cos A   13 ,
cos B  34 .
4.** Найдите стороны треугольника ABC , если известно, что AB  1 ,
tgB  13 .
tgA 
1
2
,
5.* В треугольнике ABC AB  BC и ABC  30 . Из точки A проведен диаметр
описанной около треугольника ABC окружности. Найдите, в каком отношении этот
диаметр делится стороной BC .
6. Пусть ha — высота треугольника, опущенная на сторону a , прилежащие к стороне
a углы  и  , а радиус описанной около треугольника окружности R . Докажите, что
ha  2R  sin  sin  .
7. Выразите через углы треугольника и радиус описанной около него окружности
расстояния от вершин до точки пересечения высот.
8. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60 . Окружность, проходящая через
вершины A , B и D , пересекает сторону CD в середине. Найдите площадь
параллелограмма.
9.* С помощью теоремы синусов докажите формулу S  abc
4 R , где a , b , c — стороны
треугольника, S — его площадь и R — радиус описанной окружности.
10. Докажите, что биссектриса угла треугольника проходит между медианой и
высотой, проведенными из той же вершины.
11.* Около прямоугольного треугольника ABC с катетами AC  4 , BC  3 описана
окружность. Точки E , F — середины меньших дуг AC и BC этой окружности, точки
M и K — точки пересечения отрезка EF с катетами. Найдите длину отрезка MK .
12.* В треугольнике ABC известны углы A  45 и C  75 . На отрезке AB , как на
диаметре, построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и F .
Найдите площадь треугольника ABC , если DE  1 .
13.** На сторонах параллелограмма во внешнюю сторону построены квадраты.
Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.
14. Величины двух углов треугольника относятся как 1:2, а длины противолежащих
сторон, как 1  3 . Найдите углы треугольника.
15.** Докажите, что углы  ,  и  любого треугольника связаны соотношением
sin 2   sin 2   sin 2   2sin   sin   cos  