Методические указания к выполнение внеаудиторной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН
Государственное автономное образовательное учреждение среднего
профессионального образования
Уфимский колледж предпринимательства, экологии и дизайна
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по организации и выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
обучающихся по учебной дисциплине «Математика»
Уфа 2014
1
Рассмотрено
На заседании ПЦК
общеобразовательных дисциплин
протокол №__________
______М.Г. Платонова
«___»___________2014г.
Утверждено
Зам. директора по УР
_____________Г.А. Алмаева
«__»__________________2014г.
Составитель:
Преподаватель ГАОУ СПО УКПЭД _______
Ю.Р.Исангулова
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
Самостоятельная работа является одним из видов учебной деятельности обучающихся,
способствует развитию самостоятельности, ответственности и организованности,
творческого подхода к решению проблем учебного и профессионального уровня.
Самостоятельная работа проводится с целью:
 систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и
практических умений обучающихся;
 углубления и расширения теоретических знаний;
 формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную
документацию и специальную литературу;
 развития познавательных способностей и активности обучающихся: творческой
инициативы, ответственности и организованности;
 формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию,
самосовершенствованию и самореализации;
 развития исследовательских умений.
2.Что включают в себя задания для самостоятельной работы?
1. Выполнение домашних заданий.
Это необходимо для закрепления изученного на уроке. Задания данного вида не
включены в настоящее методическое пособие, они даются на каждом занятии, должны
выполняться в отдельной тетради к каждому следующему занятию.
2. Решение вариативных задач.
Цель данной работы – систематизация и закрепление знаний и практических умений.
Подготовка к практической ил контрольной работе.
Вариативные задания приведены в десяти вариантах. Каждый студент определяет свой
вариант по последней цифре своего порядкового номера в журнале учебной группы.
Например, если номер студента по журналу - 12, то его вариант 2.
Задания должны быть получены на первых уроках изучения данной темы, выполнены и
сданы в срок, назначенный преподавателем.
Каждую самостоятельную работу следует выполнять на отдельном двойном листе. Перед
решением задачи, ее условие должно быть переписано. При формулировке условия задачи
указываются конкретные данные своего варианта.
Задачи располагаются в порядке номеров заданий, решение и пояснение к ним излагаются
подробно, аккуратно, без сокращения слов.
3. Заполнение таблицы.
Эта работа предусматривает более глубокое усвоение и систематизацию материала и
может использоваться в дальнейшем при подготовке к зачету, экзамену, так как содержит
необходимый теоретический материал, примеры и их решения.
Перед выполнением задания аккуратно перечертить таблицу на лист формата А4.
Задание одинаково для всех вариантов. Примеры и их решения должны быть
индивидуальными.
4. Подготовка презентаций и рефератов.
3
Подготовка презентаций и рефератов позволяет ориентироваться в потоке информации
является творческим заданием.
При написании реферата или изготовлении слайдов нельзя:
- дословно переписывать статьи из книг;
- заимствовать рефераты или презентации из интернета.
Объем реферата 5-10 машинописных страниц, презентации 5-7 слайдов.
При проверке преподавателем оцениваются:
- Знание представляемого материала, усвоение общих понятий, идей.
- Всесторонность раскрытия темы, логичность и последовательность изложения материала,
примеры, иллюстративный материал.
- Культура изложения и оформления материалов работы.
4
Тема 1. Развитие понятия о числе.
Задание: Заполнить таблицу «Комплексные числа».
При заполнении можно воспользоваться лекцией или учебником:
1.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.16-19
Задание одинаково для всех вариантов. Примеры и их решения должны быть
индивидуальными.
Задание
Определение
комплексного числа.
Теоретические сведения
Пример, решение
2
Сложение
комплексных чисел
( образец)
Суммой двух комплексных чисел
а+вi и c+di называется
комплексное число (а+с)+(с+d)i
т.е (а+вi ) +( c+di) = (а+с)+(с+d)i
(2+3i ) +(-5+i) =
(2+(-5))+(3+1)i =3+4i
3
Вычитание
комплексных чисел.
4
Модуль
комплексного числа.
5
Умножение
комплексных чисел.
6
Деление двух
комплексных чисел.
7
Тригонометрическая
форма комплексного
числа.
8
Квадратное
уравнение с
комплексным
неизвестным.
1
5
Тема 2. Корни, степени, логарифмы.
Задание1. Заполнить таблицу «Корни, степени и логарифмы».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:
1.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010,
2.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2010.
3.
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.
Задание одинаково для всех вариантов. Примеры и их решения должны быть
индивидуальными.
1
2
3
4
5
6
7
8
Понятия
Определение
степени.
Теоретические сведения
Пример, решение
Свойства степени с
действительным
показателем.
Определение
арифметического
корня.
Свойства
арифметического
корня.
Определение
логарифма.
Основное
логарифмическое
тождество.
Условие
существования
логарифма.
Свойства
логарифмов.
Задание 2. Написать реферат или разработать презентацию, тема которых соответствует
вашему варианту:
1. История происхождения и развития понятия корня.
2. История происхождения и развития понятия степени.
3. История происхождения и развития логарифмов.
4. Логарифмическая линейка.
5. Десятичные логарифмы.
6. Число е.
7. Рене Декарт.
8. Джон Непер.
9. Корни и степени в природе и технике.
6
10. Логарифмы в природе и технике.
Тема 3: Прямые и плоскости в пространстве.
1
2
3
4
5
6
7
Задание1. Заполнить таблицу «Прямые и плоскости в пространстве».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:
1.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010,
2.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2009.
Закончить предложения или ответить на
чертежи
вопросы:
Аксиомы стереометрии:
1)
2)
3)
Существует 3 случая расположения
___,
прямых в пространстве:
Две прямые в пространстве
параллельны, если…
Две прямые пересекаются, если…
Две прямые скрещиваются, если…
Признак скрещивающихся прямых:
Существует 3 случая расположения
прямой и плоскости:
8
9
10
Прямая и плоскость пересекаются,, если..
Прямая и плоскость параллельны, если…
Прямая лежит в плоскости, если…
11
Признак параллельности прямой и
плоскости:
Существует 2 случая расположения
двух плоскостей:
12
13
14
Плоскости пересекаются, если…
Плоскости параллельны, если…
15
Признак параллельности двух
плоскостей:
Свойства параллельных плоскостей:
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1)
2)
Две прямые в пространстве
перпендикулярны, если…
Прямая и плоскость перпендикулярны,
если…
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости:
Признак перпендикулярности двух
плоскостей:
Две плоскости перпендикулярны, если…
Сформулируйте понятия:
1) Перпендикуляр – это…
2) Наклонная – это…
3) Проекция – это…
Теорема о трех перпендикулярах:
Угол между прямой и плоскостью это…
Двугранный угол – это…
7
Задание 2. Изготовить макет параллельных или перпендикулярных прямых в пространстве, или
подготовить презентацию по теме «Параллельность и перпендикулярность в моей профессии».
Тема 4. Элементы комбинаторики.
Задание1. Заполнить таблицу «Размещения, перестановки, сочетания».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебником:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010
Размещения
1
Перестановки
Сочетания
Определение
Формула для
вычисления
2
3 Условие собственной
практической задачи
4
Решение задачи
Тема 5. Координаты и векторы.
Задание1. Заполнить таблицу «Координаты и векторы».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010,
2. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2010.
3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.
1
2
3
4
5
6
Понятия
Понятие вектора
Теоретические сведения, формулы
Правила действий над
векторами
Компланарные
векторы
Координаты точки и
координаты вектора в
пространстве.
Скалярное
произведение
векторов.
Угол между
векторами
8
Пример, решение
Задание 2. Написать реферат или разработать презентацию по теме: «Координаты и
векторы вокруг нас»
Тема 6. Основы тригонометрии.
Задание 1. Заполнить таблицу «Координаты и векторы».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010,
2. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2010.
3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.
1
2
3
4
5
6
7
Понятия
Основное
тригонометрическое
тождество
Зависимость между
синусом, косинусом,
тангенсом и
котангенсом.
Знаки
тригонометрических
функций
Формулы двойного
угла
Формулы сложения
Формулы
преобразования
суммы и разности в
произведение.
Теоретические сведения, формулы
Пример, решение
Формулы приведения.
Тема 6. Функции их свойства.
Задание 1. Заполнить таблицу «Функции их свойства».
При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф.
образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010,
2. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. - Атанасян Л.С. 2009г.
3. Математика, Богомолов Н.В., Самойленко П.И., 2010.
Понятия
1
Логарифмическая
функция
2
Тригонометрическая
функция
График функции.
9
Свойства
3
4
5
6
Обратные
тригонометрические
функции
Числовые функции
Степенные функции
Показательные
функции
Задание 2. Написать реферат на темы:
1. Возникновение и понятие функции в древнем мире
2. Возникновение и понятие функции в древнем Египте
3. Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне
4. Возникновение и понятие функции в Древней Греции
5. Графическое изображение зависимостей, история возникновения
6. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом
или разработать презентацию по темам:
1. Основные понятия о функциях
2. Способы задания функций
2. Ответьте на контрольные вопросы (письменно):
3. 1.Сформулируйте определение функции.
4. 2.Что называется областью определения функции?
5. 3. Что называется областью изменения функции?
6. 4.Какими способами может быть задана функция?
7. 5.Как находится область определения функции?
8. 6.Какие функции называются четными и как они исследуются на
четность?
9. 7.Какие функции называются нечетными и как они исследуются на
нечетность?
10.8.Приведите примеры функций, которые не являются ни четными, ни
нечетными.
11.9.Какие функции называются возрастающими? Приведите примеры.
12.10. Какие функции называются убывающими? Приведите примеры.
13.11. Какие функции называются обратными?
10
14.12.Как расположены графики прямой и обратной функции?
Тема 7«Уравнения и неравенства
ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы,
прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:
1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И.
Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.
2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для
техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.
3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е
изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.
Теоретические сведения по теме: «Уравнения и неравенства»».
Задание II.
Ответьте на контрольные вопросы (письменно):
1.
Дайте определение уравнения с одной переменной.
2.
Как записывается в общем виде линейное уравнение?
3.
Какие уравнения называются равносильными?
4.
Что называется корнем уравнения?
5.
Сформулируйте теоремы, на основании которых решаются линейные
уравнения.
6.
Какой вид имеют линейные уравнения, имеющие одно решение, не
имеющие решения и имеющие бесконечное множество решений?
7.
Какие уравнения называются дробно-рациональными?
8.
Дайте определение модуля действительного числа.
9.
Перечислите основные свойства модуля действительного числа.
10.
Что называется системой двух уравнений с одной переменной?
11.
Что называется совокупностью двух уравнений с одной переменной?
12. Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля?
11
13. Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля?
14. 16.Что называется неравенством?
15. 17.Какие выражения называются алгебраическими, и какие числовыми
неравенствами?
16. 18.Что называется решением неравенства?
17.
Какие неравенства называются равносильными?
18.
Перечислите основные свойства неравенств.
19.
решении неравенств.
Задание III.
3.1 Решить квадратные уравнения двумя способами:
• По дискриминанту
• По теореме Виетта
3.2Решить систему линейных уравнений двумя способами:
• Способом алгебраического сложения
• Способом подстановки
Цель: Проверить уровень сформированности навыка решения квадратных
уравнений и систем линейных уравнений.
Вариант 1
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  x  12  0
2
2) x  1x  6  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
2 x  3 y  11
1)
5x  y  2
3 x  5 y  12
2)
2 x  4 y  20
Вариант 2
Задание 3.1.
12
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  x  42  0
2
2) x  3x  2  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
7 x  3 y  15
1)
5 x  6 y  27
4 x  3 y  1
2)
3 x  4 y  18
Вариант 3
Задание3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  8 x  15  0
2
2) x  x  2  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
21x  9 y  3
1)
4 x  5 y  17
2 x  4 y  14
2)
4 x  3 y  27
Вариант 4
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  8 x  15  0
2
2) x  9 x  8  0
Задание 3.2.
2
13
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2x  3y  8
1)
7 x  5 y  5
3 x  5 y  14
2)
2 x  4 y  20
3) Вариант 5
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  3 x  4  0
2
2) x  x  2  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
2x  3y  7
3 x  y  16
2 x  3 y  13
2) 5 x  3 y  7
1)
Вариант 6
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  x  2  0
2
2) x  4 x  32  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
x y 4
1)
x y 2
14
15 x  3 y  21
2)
2 x  3 y  4
Вариант 7
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  6 x  8  0
2
2) x  4 x  3  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
2 x  5 y  15
1)
4 x  3 y  5
3 x  4 y  18
2)
2 x  5 y  19
Вариант 8
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  8 x  15  0
2
2) x  9 x  8  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
2x  3y  8
1)
7 x  5 y  5
3 x  5 y  14
2)
2 x  4 y  20
Вариант 9
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
15
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  4 x  3  0
2
2) x  12 x  8  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
15 x  23 y  10
1)
9 x  12 y  6
8 x  2 y  11
2)
6 x  4 y  11
Вариант 10
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  3 x  18  0
2
2) x  8 x  15  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2
2 x  4 y  14
1)
4 x  3 y  27
5x  2 y  7
2)
3 x  4 y  25
Вариант 11
Задание 3.1.
Решить квадратные уравнения двумя способами:
1) По дискриминанту
2) По теореме Виетта
1) x  8 x  15  0
2
2) x  6 x  8  0
Задание 3.2.
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
2
16
1) Способом алгебраического сложения
2) Способом подстановки
2 x  4 y  14
1)
4 x  3 y  27
5x  2 y  7
2)
3 x  4 y  25
Тема 8: Многогранники
Цель : Закрепить теоретические знания по теме, приобрести практические
навыки построения и нахождение, сечений многогранников.
ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы,
прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:
1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И.
Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.
2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для
техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.
Теоретические сведения по теме: «Многогранники»».
Прямоугольный параллелепипед.
Свойства:
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой
прямоугольники.
2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются
прямыми.
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его измерений.
Следствие: Диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
Прямоугольный
параллелепипед, у
которого все три
измерения равны,
называется кубом.
17
Задание II.
Ответьте на контрольные вопросы (письменно):
1.Что называется многогранником?
2.Что называется гранями, ребрами и вершинами многогранника?
3.Какой многогранник называется призмой?
4.Что называется диагональю, высотой и диагональным сечением призмы?
5.Какая призма называется прямой?
6.Какая призма называется правильной?
Параллелепипед.
1.Какая фигура называется параллелепипедом?
2.Какая фигура называется кубом?
3.Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что эта фигура является
частным случаем призмы?
4.Сформулируйте свойства противолежащих граней параллелепипеда.
5.Сформулируйте свойства диагонали параллелепипеда.
Пирамида.
1.Что называется пирамидой? Ее вершиной? Основанием? Высотой?
2.Что называется диагональным сечением пирамиды?
3.Какая пирамида называется правильной?
4.Сформулируйте теорему о свойстве параллельных сечений пирамиды.
5.Что называется усеченной пирамидой?
6.Что называется правильной усеченной пирамидой?
ЗаданиеIII.
30 вариантов по 5заданий
Вариант 1.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h.
Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=3, a=10,
h=15.
2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из
диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота
основания равна 7см.
3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10
см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S
боковой поверхности пирамиды.
4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани,
проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.
а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,
вписанной в её основание.
б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.
5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основанием 6 см
и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её
высоту.
Вариант 2.
18
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h.
Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=4, a=12,
h=8.
2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и
меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20
см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
4)Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120.
Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите
площадь основания пирамиды.
5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны
друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите
площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно
боковому ребру.
Вариант 3.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h.
Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=6, a=23,
h=5.
2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого
АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно к плоскости основания и
равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер
перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не
проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под
углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см.Найти а)высоту пирамиды;
б)Площадь боковой поверхности пирамиды.
4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в
котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что
DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.
5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см.
Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45.
Найдите боковое ребро параллелепипеда.
Вариант 4.
1) 1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота
равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=5,
a=0,4, h=10.
2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8
см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а
две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите
площадь поверхности пирамиды
19
3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у
которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA
перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол в 60 с
плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое
ребро равно 12 см.
5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием
25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер
призмы.
Вариант 5.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна
h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=3, a=10,
h=15.
2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из
диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота
основания равна 7см.
3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10
см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S
боковой поверхности пирамиды.
4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани,
проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.
а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,
вписанной в её основание.
б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.
5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основанием 6 см
и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её
высоту.
Вариант 6.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна
h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=4, a=12,
h=8.
2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и
меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20
см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
4)Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120.
Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите
площадь основания пирамиды.
20
5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны
друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите
площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно
боковому ребру.
Вариант 7.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h.
Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=6, a=23,
h=5.
2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого
АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно к плоскости основания и
равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер
перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не
проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под
углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см. а)высоту пирамиды;
б)Площадь боковой поверхности пирамиды.
4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в
котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что
DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.
5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см.
Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45.
Найдите боковое ребро параллелепипеда.
Вариант 8.
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна
h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=5, a=0,4,
h=10.
2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8
см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а
две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите
площадь поверхности пирамиды
3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у
которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA
перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол в 60 с
плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое
ребро равно 12 см.
5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием
25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер
призмы.
Вариант 9.
21
1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна
h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=3, a=10,
h=15.
2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из
диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота
основания равна 7см.
3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10
см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S
боковой поверхности пирамиды.
4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани,
проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.
а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,
вписанной в её основание.
б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.
5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основанием 6 см
и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её
высоту.
Вариант 10.
1)В правильном n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна
h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если n=4, a=12,
h=8.
2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и
меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20
см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
4)Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120.
Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите
площадь основания пирамиды.
5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны
друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите
площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно
боковому ребру.
площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно
боковому ребру.
22
ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов Н.В. Математика.–М., Дрофа, 2009
2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М., Дрофа, 2009
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начало анализа. –М., Просвещение, 2009
4. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.
5. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2010
6. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. Математика для техникумов, М., Высшая школа,
2009.
7. Валуцэ И.И., Дилигул Т.Д. Математика для техникумов, М., Высшая школа, 2009.
23