Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Смоленский политехнический техникум»

Областное государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования
«Смоленский политехнический техникум»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ (ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ)
для специальности 13.02.11(140448) «Техническая эксплуатация и
обслуживание электрического и электромеханического
оборудования (по отраслям)»
Учебная дисциплина
«МАТЕМАТИКА»
Смоленск
2014 г.
Рассмотрено и одобрено
ЦМК общеобразовательных дисциплин
Председатель ЦМК
_________________ /Воронова Ю.А./
подпись
Протокол №______
«___»___________2014 г.
Составитель: Абрамова Галина Михайловна, преподаватель ОГБОУ СПО
«Смоленский политехнический техникум»
Рецензент: Полякова Людмила Петровна, преподаватель ОГБОУ СПО
«Смоленский политехнический техникум»
Методические указания для обучающихся (заочная форма обучения) являются
частью основной профессиональной образовательной программы ОГБОУ СПО
«Смоленский политехнический техникум» по специальности 13.02.11(140448)
«Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического
оборудования (по отраслям)» в соответствии с требованиями
федеральных
государственных образовательных стандартов третьего поколения (далее – ФГОС).
Методические указания для обучающихся (заочная форма обучения) включают в
себя тематический план и содержание учебной дисциплины, рекомендации для
самостоятельного изучения тем, методические указания по выполнению домашней
контрольной работы, задание для неё в 10 вариантах.
Методические указания для обучающихся (заочная форма обучения) могут быть
использованы преподавателями и обучающимися техникума.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Разделы пособия
Предисловие
Тематический план и содержание учебной дисциплины
Методические указания для самостоятельного изучения тем
Методические указания по выполнению домашней
контрольной работы
Задание для домашней контрольной работы
Вопросы для подготовки к экзамену/дифференцированному
зачёту
Литература
Страницы
4
6
9
14
23
26
28
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
УВАЖАЕМЫЕ ОБУЧАЮЩИЕСЯ!
Методические указания для обучающихся (заочная форма обучения) по
учебной дисциплине «Математика» созданы вам
в помощь
в период
самостоятельной внеаудиторной работы.
Приступая к выполнению самостоятельной внеаудиторной работы, вы
должны внимательно ознакомиться с тематическим планом и содержанием
учебной
дисциплины
руководствоваться
«Математика».
методическими
Далее
указаниями
для
вам
необходимо
самостоятельного
изучения тем и методическими указаниями по выполнению домашней
контрольной работы.
Задание для домашней контрольной работы содержит 10 вариантов,
включающих задачи, соответствующие указанным в ФГОС требованиям к
уровню вашей подготовки. Выполнять задание домашней контрольной
работы вы должны согласно методическим указаниям преподавателя.
Наличие положительной
оценки по домашней контрольной работе
необходимо для допуска к дифференцированному зачёту по учебной
дисциплине «Математика».
4
ВНИМАНИЕ!
В
результате
самостоятельного
изучения
тем,
выполнения заданий практических занятий по УД «Математика», домашней
контрольной работы вы освоите умения решать прикладные задачи в области
профессиональной деятельности, на основе знаний значение математики в
профессиональной
деятельности и при освоении профессиональной
образовательной программы; основные математические методы решения
прикладных задач в области профессиональной деятельности; основные
понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории
комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
основы
интегрального
и
дифференциального
исчисления,
формирования следующих профессиональных компетенций:
в
рамках
ОК 1 - 10
ПК 1.1 - 1.4 ПК 2.1 - 2.3 ПК 3.1
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и
нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального
и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в
профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с
коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды
(подчиненных), результат выполнения заданий.
5
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и
личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в
профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением
полученных профессиональных знаний (для юношей).
ПК 1.1. Выполнять наладку, регулировку и проверку электрического и
электромеханического оборудования.
ПК 1.2. Организовывать и выполнять техническое обслуживание и
ремонт электрического и электромеханического оборудования.
ПК 1.3. Осуществлять диагностику и технический контроль при
эксплуатации электрического и электромеханического оборудования.
ПК 1.4. Составлять отчётную документацию по техническому
обслуживанию
и
ремонту
электрического
и
электромеханического
оборудования.
ПК 2.1. Организовывать и выполнять работы по эксплуатации,
обслуживанию и ремонту бытовой техники.
ПК 2.2. Осуществлять диагностику и контроль технического состояния
бытовой техники.
ПК 2.3. Прогнозировать отказы, определять ресурсы, обнаруживать
дефекты электробытовой техники.
ПК
3.1.
Участвовать
в
планировании
работы
персонала
производственного подразделения.
Желаем вам успехов!
6
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И СОДЕРЖАНИЕ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
№
Наименование разделов и тем
Кол - во
часов
Введение.
1
1
Раздел 1. Метод математического
анализа для решения прикладных
задач в области профессиональной
деятельности
Тема 1.1Комплексные числа
Самостоятельное
изучение
2
Практическое занятие №1
«Действия над комплексными числами в
различных формах»
3
Роль математики в профессиональной
деятельности. Роль математики при
изучении общепрофессиональных и
специальных дисциплин. История
возникновения, развития и становления
математики как основополагающей
дисциплины, необходимой для изучения
профессиональных дисциплин. Цели, задачи
дисциплины «Математика».
Определение комплексных чисел. Мнимая
единица. Изображение комплексных чисел
на плоскости. Модуль и аргумент
комплексных чисел. Алгебраическая,
тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа, переход от одной
формы к другой. Действия над
комплексными числами в различных
формах.
1
Тема 1.2 Дифференциальное и
интегральное исчисление
Самостоятельное
изучение
Практическое занятие №2
«Вычисление пределов функций с
использованием первого и второго
замечательных пределов».
Практическое занятие №3
«Вычисление производной сложной
функции».
Практическое занятие №4 «Решение
прикладных задач».
Краткое содержание учебного материала
Функции одной действительной
переменной. Пределы. Непрерывность
функций. Производная, геометрический
смысл. Исследование функций. Функции
нескольких переменных. Частные
производные. Неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование. Замена
переменной. Определенный интеграл.
Вычисление определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного
интеграла. Приложение интеграла к
решению прикладных задач.
Самостоятельное
изучение
Самостоятельное
изучение
1
7
4
5
Практическое занятие
№5«Интегрирование простейших
функций. Вычисление простейших
определенных интегралов».
Самостоятельное
изучение
Практическое занятие № 6
«Приложения неопределенных и
определенных интегралов»
Тема 1.3 Обыкновенные
дифференциальные уравнения
Самостоятельное
изучение
Самостоятельное
изучение
Практическое занятие №7 «Решение
дифференциальных уравненений с
разделяющимися переменными,
однородных дифференциальных
уравнений первого порядка».
Практическое занятие №8 «Решение
линейных дифференциальных уравнений
первого порядка, линейных однородных
уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами».
1
Практическое занятие №9
«Решение прикладных задач ».
1
Тема1.4 Дифференциальные
уравнения в частных производных
1
Самостоятельное
изучение
Самостоятельное
изучение
6
Тема 1.5 Ряды
Практическое занятие №10
«Определение сходимости числовых и
функциональных рядов»
1
Практическое занятие №11
«Разложение элементарных функций в
ряд Маклорена и в ряд Фурье».
1
Тема 2.1 Вероятность. Теоремы
сложения вероятностей
Практическое занятие №12
«Решение простейших задач на
определение вероятности с
использованием теоремы сложения
вероятностей».
Тема 2.2 Случайная величина, ее
Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными. Общие и
частные решения. Однородные
дифференциальные уравнения первого
порядка. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка. Линейные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Самостоятельное
изучение
Простейшие дифференциальные уравнения
в частных производных. Дифференциальные
уравнения линейные относительно частных
производных.
Числовые ряды. Сходимость и расходимость
числовых рядов. Признак сходимости
Даламбера.
Знакопеременные
ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Функциональные ряды. Степенные ряды.
Разложение элементарных функций в ряд
Маклорена. Ряд Фурье. Разложение функций
в ряд Фурье.
Понятие события и вероятности события.
Достоверные и невозможные события.
Классическое определение вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Теорема
умножения вероятностей.
1
Самостоя-
Случайная величина. Дискретная и
8
функция распределения.
Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины
Практическое занятие№13
«По заданному условию построить закон
распределения дискретной случайной
величины. Нахождение математического
ожидания, дисперсии и среднего
квадратичного отклонения дискретной
случайной величины, заданной законом
распределения.».
Тема 2.3 Математическая статистика.
тельное
изучение
непрерывная случайные величины. Закон
распределения случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия и
среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины.
1
Самостоятельное
изучение
Тема 3.1 Системы линейных
алгебраических уравнений
2
Практическое занятие №14
«Решение систем линейных
алгебраических уравнений по формулам
Крамера»
Практическое занятие №15
«Решение систем линейных
алгебраических уравнений на ЭВМ».
1
Задачи математической статистики.
Статистическое распределение.
Гистограмма и полигон.. Характеристики
положения и рассеяния статистического
распределения.
Общие понятия систем линейных
алгебраических уравнений. Матричный
метод. Формулы Крамера.
1
9
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ТЕМ
Тема 1.1 Комплексные числа
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:
- использовать учебную литературу:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с. 229 – 242.
2.Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.490-507с.
- изучить предложенную таблицу
Дано
Тригонометрическая
Показательная
форма
форма
i
z  r e 1
1
1
i
z  r e 2
2
2
z  r (cos   i sin  )
1 1
1
1
z  r (cos   i sin  )
2
2
2
2
Произведение
i  (   )
z  z  z  r  r (cos(   )  i sin(   ))
1
2
1 2 1 2
1
2
1
2z  z  z  r  r  e
чисел
1
Частное чисел
z
z 1 
z
2
Возведение в
степень
Извлечение
корня
1
2
r
z
r
i  (   )
1  (cos(   )  i sin(   )) z  1  1  e
1
2
1
2
1
2
r
z
r
2
2
2
k
k
z  r  (cos   k  i sin   k )
1
1
1
1
  2k
nz
2
2
n
2  r2  (cos
n
,
где k = 0,1,…,n-1
z
1
k
k i  1  k
 r e
1
  2k
  2k
 i sin 2
n
)
nz
2
 nr e
2
i 2
n
,
где k = 0,1,…,n-1
- ответить на вопросы для самоконтроля:
1.Что называется комплексным числом?
2.Как записываются комплексные числа в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах?
3.Какими формулами пользуются для перехода от одной формы
комплексного числа к другой ?
4. Как умножают, делят, возводят в степень, извлекают корни из
комплексных чисел, записанных в алгебраической, тригонометрической и
показательной формах?
10

по
вопросам,
оставшимся
нерешенными,
обратиться
за
консультацией к преподавателю.
Тема 1.2 Дифференциальное и интегральное исчисление
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:
- использовать учебную литературу:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.92-104.,188-277.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.275-359.
3. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.

ответить на вопросы для самоконтроля:
Какие замечательные пределы вам известны?
Какие свойства пределов вы можете назвать?
Какие функции называют бесконечно малыми, бесконечно большими?
Какая связь между ними?
Как раскрывают неопределенности?
В чём заключается физический и геометрический смысл производной?
Перечислите правила дифференцирования.
Как выяснить монотонность функции?
Как найти экстремумы функции?
Перечислите основные формулы интегрирования.
Какие методы интегрирования вы знаете?
Каковы основные свойства интеграла?
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема 1.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.243-256.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.362-387.
3.Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.160-163
11

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. Что является решением дифференциального уравнения?
2.В чем состоит задача Коши?
3.Объясните
геометрический
смысл
общего
решения
дифференциального уравнения.
4.Объясните геометрический смысл частного решения.

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема1.4 Дифференциальные уравнения в частных производных
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.181-194.

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. Назовите методы решения простейших дифференциальных уравнений с
частными производными.
2. Назовите методы решения дифференциальных уравнений первого порядка
линейных относительно частных производных.
по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема 1.5 Ряды
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.391-433.
2.Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.199-288.

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. В чем разница между сходящимся рядом и расходящимся?
2. Как формулируется необходимый признак сходимости числовых рядов?
3. Как формулируется признак Даламбера?
4. Как формулируется признак Лейбница?
12
5. Какой ряд называется условно сходящимся?
6. Как найти радиус сходимости степенного ряда?
7. Какова связь между радиусом сходимости степенного ряда и
его
интервалом сходимости?

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема 2.1 Вероятность. Теоремы сложения вероятностей
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.257-267.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.448-474.
3.Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.286-300.

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. Как находить вероятность суммы, произведения событий?
2. Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события,
случайного события?
3. Какие события называют несовместными, независимыми?
4. Как определяется произведение событий? Какие теоремы умножения
вероятностей вы знаете?
5. Как определяются противоположные события? Как вычислить
вероятности противоположных событий?

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема 2.2 Случайная величина, ее функция распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.477-488.
2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.309-336.
13

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. В чем заключается вероятностный смысл математического ожидания?
Каковы свойства математического ожидания?
2. В чем заключается вероятностный смысл дисперсии? Каковы свойства
дисперсии?
3. В чем заключается его вероятностный смысл? Каковы свойства среднего
квадратичного отклонения?

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться за
консультацией к преподавателю.
Тема 2.3 Математическая статистика.
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.340 - 354.

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. В чем суть матричного метода решения систем уравнений?
2. Что собой представляют формулы Крамера?
3. Как вычисляют определители второго и третьего порядка?

по вопросам, оставшимся нерешенными, обратиться
за
консультацией к преподавателю.
Тема 3.1 Системы линейных алгебраических уравнений
Чтобы самостоятельно изучить данную тему, необходимо:

использовать учебную литературу:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.25-55.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.79-117.

ответить на вопросы для самоконтроля:
1. В чем суть матричного метода решения систем уравнений?
14
2. Что собой представляют формулы Крамера?
3. Как вычисляют определители второго и третьего порядка?

по
вопросам,
оставшимся
нерешенными,
обратиться
за
консультацией к преподавателю.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание для домашней контрольной работы представлено в 10
вариантах. Каждый вариант задания состоит из 5 задач. Обучающийся
должен выполнить все задачи своего варианта. Номер варианта выбирается
по личному шифру обучающегося (согласно номеру в списке журнала для
учебных занятий). Если в контрольной работе 10 вариантов, то номеру
варианта соответствует последняя цифра шифра, цифра «0» соответствует
10-му варианту. Работы, не соответствующие своему варианту, не
засчитываются и возвращаются обучающемуся без проверки.
К выполнению домашней контрольной работы можно приступать
только тогда, когда соответствующая тема изучена согласно методическим
указаниям, приведённым в данном пособии.
Домашняя контрольная работа оформляется в отдельной тетради или
на
листах
А4.
На
титульном
листе
указывается
наименование
образовательной организации; вид работы; название учебной дисциплины;
номер варианта; Ф.И.О. обучающегося; номер его учебной группы; Ф.И.О.
преподавателя, проверяющего работу; год выполнения.
Образец оформления
Областное государственное бюджетное
образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Смоленский политехнический техникум»
Домашняя контрольная работы
по учебной дисциплине
«Математика»
Вариант №2
15
Выполнил: студент
группы 1-11- ЭЗ
Бобылев М.В.
Проверил: преподаватель
Абрамова Г.М.
2014 г.
Методические указания по выполнению 1 задачи каждого
варианта
Литература:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с. 229 – 242.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.490-507с.
Основные формулы:
Комплексным числом называется число вида a + bi, где a и b –
действительные числа, а число i, определяемое равенством
i 2  1 ,
называется мнимой единицей:
1.
Два комплексных числа a1  b1i и a2  b2i называются равными,
если a1  a2 ; b1  b2
2.
Суммой двух комплексных чисел a1  b1i и a2  b2i называется
комплексное число (a1  a2 )  (b1  b2 )i
3.
Произведением двух комплексных чисел a1  b1i и a2  b2i
называется комплексное число (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1 )i
Комплексные числа z  a  bi и z  a  di называются сопряженными.
Произведение сопряженных комплексных чисел zz  a 2  b 2 – число
действительное и неотрицательное.
Комплексное число z  a  bi можно изображать точкой плоскости с
координатами a; b ; а также вектором OM с началом в точке
в точке M (a; b) (cмотри рисунок).
O (0;0)
и концом
y
M ( a; b )
z  a  bi
b
0
a
x
Число r  a 2  b 2 называется модулем комплексного числа.
r  z  a2  b2
Угол φ между положительным направлением оси Ох и вектором ОМ ,
16
называется аргументом комплексного числа. Для числа z  0 (a  0, b  0)
аргумент не определен.
Из определения тригонометрических функций следует, что если φ - аргумент
комплексного числа a  b i , то имеют место равенства cos   a , sin   b ,
r
r
b
tg 
a
Комплексное число можно записывать в различных формах:
z  a  bi - алгебраическая форма комплексного числа;
z  (cos   i sin ) - тригонометрическая форма комплексного числа;
i
z  r e - показательная форма комплексного числа.
Образец решения типовой задачи:
Решить квадратные уравнения:
2
2
1. x  9  0 , x  9 ,
2
2. x  6 x  10  0
D  36  40  4
x   9
,
x 9
D   4  2i
1
x1 
, x  3i . Ответ:  3i .
 6  2i
 3  i x  3  i
2
2
Представить в тригонометрической и показательной форме числа:
1)
z  3  3 3i
  arctg
0
Найдем
то
  

3

. Решение: a  3 ,
3 3

 arctg 3 
3
3
2
3
.
b3 3

. Поскольку
z  6  (соs
Поэтому,
2
z  6e 3
. Значит,
2
r z 
 z 
2
2
 i  sin
)
3
3 –
(3)
2
 (3 3 )
2
 36  6
, т. к. a    0 и
.
b  0,
тригонометрическая форма
i
комплексного числа,
– показательная форма комплексного числа.
Методические указания по выполнению 2 задачи каждого
варианта
Литература:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая
школа, 2003 –с.92-104.,188-277.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.275-359.
3. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.
Основные формулы:
17
Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов:
lim f 1 ( x)
lim f 2 ( x)
x

a
x
Если существуют
и a
, то
lim ( f 1 ( x)  f 2 ( x))  lim f 1 ( x)  lim f 2 ( x)
x
xa
xa
а)  a
,
lim ( f 1 ( x) f 2 ( x))  lim f 1 ( x) lim f 2 ( x)
x
xa
xa
б)  a
lim f 1 ( x)
x
 a
lim
lim f 2 ( x)  0
lim f 2 ( x)
x  a f 2 ( x)
x

a
x
в)
, если  a
.
f 1 ( x)
Первый замечательный предел:
sin x
1
lim
xa x
Второй замечательный предел:
1 x
(
1

)  lim (1   )1 2  e
lim
x
x
x0
Образец решения типовой задачи:
Найдите пределы:
1.
lim
x3
x2  5 x2  6
3 x 2  9x ;
2x  3
lim
3. x   5x  1
x
lim
2. x  0 5  x  5  x ;
Решение 1.
Пределы числителя и знаменателя при х → 3 равны нулю. Разложим
квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2  , где х1 и х2 – корни трехчлена. Разложив на
множители и знаменатель, сократим дробь на x  3 . Получим
x  3x  2 
x  2  3  2  1
x2  5 x2  6
 lim
lim
lim
33 9
x  3 3 x2  9x
x  3 3xx  3
x  3 3x
Решение 2.
Пределы числителя и знаменателя при х → 0 равны нулю. Умножив
числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель
5  x  5  x и затем, сократив дробь на х, получим:
18


x
x 5 x  5 x
 lim

lim
5

x

5

x
5

x

5

x
5

x

5

x
x0
x0
x 5 x  5 x
5 x  5 x
5 5
 lim
 lim

 5

2
x

2

2
x0
x0





Решение 3.
При х → ∞ числитель и знаменатель – величины бесконечно большие.
Разделим числитель и знаменатель на х (на наивысшую степень аргумента в
знаменателе).
2x  3
2  3/ x 2  0 2
 lim


lim
5
x

1
5

1
/
x
5

0
5
x
x
.
Методические указания по выполнению 3
задачи каждого
варианта
Литература:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.92-104.,188-277.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.275-359.
3. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.
Основные формулы:
Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Найдите область определения функции.
Исследуйте функцию на четность или нечетность, на периодичность.
Найдите промежутки знакопостоянства; выясните поведение функции на
концах промежутка знакопостоянства.
Найдите промежутки монотонности функции, ее экстремумы.
Найдите промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.
Постройте
график
функции,
используя
полученные
результаты
исследования.
Образец решения типовой задачи:
Построить график функции: y  x e ;
D(y)=R
Функция не является четной и нечетной, не периодична.
у = 0 при х = 0. Два промежутка знакопостоянства (-∞;0) и (+∞;0). Для
x (-∞;0) y<0, для x  (+∞;0) y>0. Рассмотрим поведение функции на концах
x
промежутков:
lim x e x  
x  
19
z
1
  lim
0
lim x e x   lim
x  
z   e z
z   e z
(по правилу Лопиталя).
Найдем производную данной функции:
y'  ( x e x )  x' e x  x( e x )'  e x  x e x  e x ( 1  x )
y′=0 при х = - 1, эта точка делит область определения функции на два
промежутка (-∞;-1) и (-1;+∞)
-1
Исследуемая функция в промежутке xЄ(-∞;-1) убывает, а для xЄ(-1;+∞) возрастает точка х = - 1 – точка минимума
Найдем вторую производную функции:
y min (1)   1
e.
y' '  (e x (1  x))'  e x (1  x)  e x y' '  0  e x (2  x)  0 при х=-2
2
для х  (;2), y' ' ( x)  0 , следовательно, график функции на этом интервале
выпуклый вверх.
Для х  (2;), y' ' ( x)  0 следовательно, график функции на данном интервале
выпуклый вниз.
По полученным данным строим график функции:
y
х
(-2;-2/е²)
(-1;-1/е)
Методические указания по выполнению 4 задачи каждого варианта
Литература:
20
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.92-104.,188-277.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.275-359.
3. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.
Основные формулы:
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
b
b f ( x)dx  Fxdx |  F (b)  F (a)
a
a
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой
y=f(x), двумя прямыми х = а и х = b и отрезком a≤x≤b на оси абсцисс,
вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:
1.
b
S   f ( x)dx
a
S
2.
S
aABb


b
a
f ( x)dx
S
3.
S
f(x)=0 =>x=c
S  s1  s 2  ac f ( x)dx  cb f ( x)dx
S1
1
4.
21
f 1( x)  f 2 ( x)  x1  a,
x2  b
S  ab f 1 ( x)dx  ab f 2 ( x)dx
S
5.
y=f(x)=>x=  (y)
b
S    ( y)dy
c
S
Образец решения типовой задачи:
Пример.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x²-2x+3 , осями
координат и прямой х = 2.
Построим данные линии:
y=-x²-2x+3
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох:
y=-x²-2x+3
-x²-2x+3=0
x²+2x-3, x1=1, x2=-3
22
x3
S  1 (-x²   x  )dx   2 (-x²   x  )dx  (
 x 2  3x) |1 
0
1
0
3
 (
5
7 5 7 12
x3
 x 2  3 x) | 2      
 4кв.ед.
1 3
3
3 3 3 3
Методические указания по выполнению 5 задачи каждого варианта
Литература:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,
2003 –с.92-104.,188-277.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
с.275-359.
3. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.
Основные формулы:
Основные понятия комбинаторики
Размещения
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его
упорядоченное подмножество, содержащее по m элементов, называется
размещением из n элементов по m (0≤m≤n).
m
Число размещений из n элементов по m элементов в каждом обозначают A n
m
и вычисляют по формуле A n  n(n  1)(n  2)  ...  (n  m  1) или формулу можно
Am
n 
n!
(n  m)!
записать в другом виде:
Считаем, что 0! 1.
Перестановки
Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n
элементов (частный случай размещения).
Число перестановок из n элементов данного множества обозначают Pn и
вычисляют по формуле Pn=123...n=n! .
Сочетания
Подмножество из m элементов, составленное на множестве из n элементов,
называется сочетанием из n элементов по m элементов. Число подмножеств
по m элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов,
n!
Cm
n  (n  m)! m!
m
обозначают C n и вычисляют по формуле
Случайные события. Вероятность события
23
Случайное событие – событие, связанное с данным испытанием, которое при
осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти.
События обозначаются большими латинскими буквами (A, B…)
Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате
опыта оно непременно произойдет, и невозможным, если оно заведомо не
произойдет.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему
событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы
одно из них.
Числовая мера степени объективной возможности события – это вероятность
события. Вероятность события А обозначается Р(А).
Пусть из систем n несовместных равновозможных исходов испытания m
исходов благоприятствуют событию А, тогда вероятностью события А
называют отношение m числа исходов, благоприятных событию А, к числу
всех исходов данного испытания: Р(А) = m/n. Эта формула носит название
классического определения вероятности.
Если В – достоверное событие, то m = n и Р(В) = 1.
Если С – невозможное событие, то m = 0 и Р(С) = 0.
Если А – случайное событие, то m≤n и Р(А) ≤1 .
Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах:
0≤P(A) ≤1
Образец решения типовой задачи:
Задача.
В партии из 24 деталей 5 бракованных. Из партии выбирают наугад 6
деталей. Найдите вероятность того, что среди этих 6 деталей 2 окажутся
бракованными (событие В).
Решение
Число
равновозможных
24  23  22  21  20  19
n  C6
 134596
24
1 2  3  4  5  6
независимых
исходов
равно:
Подсчитаем число m-исходов, благоприятных событию В. Среди 6 взятых
наугад деталей 2 бракованных и 4 стандартных. Две бракованные можно
2
4
выбрать из 5: C 5 способами, а 4 стандартных – из 19: C19 способами.
Каждая комбинация бракованных может сочетаться с каждой комбинацией
стандартных деталей, поэтому:
P( B) 
Следовательно:
4
C 52  C19
C 624

2  C 4  3876  10  38760
m  C5
19
38760
 0.3
134596
.
24
ЗАДАНИЕ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача № 1.
Решить квадратное уравнение, изобразить его решения на
плоскости:
1. x 2 + 2х + 5 = 0
2. x 2 – 6х + 18 = 0
3. x 2 – 4х + 5 = 0
4. x 2 – 10х + 41 = 0
5. x 2 - 2х + 10 = 0
6. 2 x 2 – 2х + 5 = 0
7. x 2 – 4х + 13 = 0
8. x 2 + 4х + 13 = 0
9. x 2 + 2х + 17 = 0
10. x 2 – 6х + 13 = 0
Задача № 2. Найдите пределы функций:
1.
x 2  10 x  24
а) lim
, б)
2
x

9
x

20
x4
2.
x 3  27
а) lim
,
x

3
x  3
3.
x3
а) lim
,
x  3 x2  9
4.
а)
5.
x 2  2x  3
а) lim
,
2

9
x
x 3
6.
а)
x3  1 ,
lim
x 1 x 1
4x 2  9
,
lim

3

3
2
x
x
2
4x 3  5
lim
x   3 x3  2
б) lim
3x
x x 2
 4x 4  2x 3  1
б) lim
4
x   6x  3x
б)
2 x3  x
lim
x   x 2  4 x3
5
б) lim x 5 2 x
x   3x  2
б)
x 3  3x 2
lim
3
x   4x  x  5
25
а)
7.
lim
x0
8. а) lim
3x 2  x ,
x
5 x
x  5 3  2x  1
а)
lim
x3
x 2  2 x  15 ,
x2  9
4x3  x 2
lim
x   x3  3 x 2  1
2x
x   x3  1
,
б) lim
1  1  x2
а) lim
,
x2
x0
9.
10.
б)
б)
б)
lim
x
5x 4  x 3  2 x
x4
3 x2  x  1
lim
x   3 x2  x  1
Задача № 3. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1
1. y  x 3  x 2  1
6. y   x 3  x
6
2. y  x 3  3 x 2
7. y   x 4  8 x 2  9
8. y  x  x
3. y  x 3  2 x 2  x
4. y  x 4  2 x 2  5
9. y  x ln x
5. y  x 3  2 x 2  4 x
10. y  ( x  1 ) e x
Задача № 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями,
используя определенный интеграл. Сделайте чертеж.
1. y=x² и y³=x
6. x-y-5=0, 2x-3y-6=0, y=0;
2. y=x²-x, y=0, x=0, x=2
7. y=x²+1, x=0,x=2,y=0
3. y=x²-4x, y=0, x=0, x=5
8. y=5x-x²+6, y=0
4. y=x²+2, y=2x+2
9. y=6x-x²-5, y=0
5. x+2y+1=0, x+y-5=0, y=0
10. y=-x²+4x, y=0
Задача № 5
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает,
26
равна p1 для первого сигнализатора и p2 для второго. Найти вероятность
того, что при аварии:
а) сработает хотя бы один;
б) сработает только один;
Значение параметров p1 и p2 для вариантов следующие:
Первый вариант p1 = 0,95, p2 = 0,9. Второй вариант p1 = 0,9, p2 = 0,85.
Третий вариант p1 = 0,95, p2 = 0,85. Четвертый вариант p1 = 0,85, p2 = 0,8.
Пятый вариант p1 = 0,9, p2 = 0,8. Шестой вариант p1 = 0,75, p2 = 0,85.
Седьмой вариант p1 = 0,9, p2 = 0,75. Восьмой вариант p1 = 0,95, p2 = 0,75.
Девятый вариант p1 = 0,7, p2 = 0,75. Десятый вариант p1 = 0,95, p2 = 0,7.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОМУ ЗАЧЁТУ
1. Определение
комплексного
числа,
геометрическое
изображение
комплексного числа, модуль и аргумент.
2. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными
числами в алгебраической форме.
3. Тригонометрическая
форма
комплексного
числа.
Действия
над
комплексными числами в тригонометрической форме.
4. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными
числами в показательной форме.
5. Понятие предела функции в точке. Непрерывность функции. Основные
теоремы о пределах.
6. Понятие производной функции в точке, ее геометрический и физический
смысл.
27
7. Использование производной для исследования функции на монотонность,
экстремумы, выпуклость графика, точки перегиба.
8. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
9. Непосредственное
интегрирование
и
замена
переменной
в
неопределенном интеграле.
10.Определенный
интеграл,
его
вычисление.
Геометрический
смысл
определенного интеграла.
11.Понятие
функции
нескольких
переменных.
Частные
производные
функции нескольких переменных.
12.Понятие дифференциального уравнения, порядок дифференциального
уравнения,
дифференциальные
уравнения
с
разделяющимися
переменными. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
13.Понятие
однородного,
однородного
линейного
дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
14.Понятие
простейшего
дифференциального
уравнения
в
частных
производных дифференциального уравнения линейного относительно
частных производных.
15.Понятие числового ряда, сходимость и расходимость числовых рядов.
Признаки сходимости, признак Даламбера.
16.Понятие знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимость
рядов.
17.Понятие
функционального
ряда,
степенного
ряда.
Разложение
элементарных функций в ряд Маклорена.
18.Элементы и множества, задания множеств. Операции над множествами.
19.Понятия события и вероятности события. Классическое определение
вероятности.
20.Понятие случайной величины, закон ее распределения.
21.Математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсия
случайной величины.
22. Матрицы. Определение и свойства матриц.
28
23.Определители. Определение и свойства определителей.
24.Общие понятия систем линейных алгебраических уравнений.
25.Матричный метод решения систем уравнений.
29
ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. – М.,Высшая
школа. 2008, - 495с.
2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука,
1980.
3. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. –
552с.- (Серия профессиональное образование)
3. Математика. Под редакцией Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Ростов-на-Дону «Феникс», 2011.-380 с. (среднее профессиональное
образование)
4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учебное пособие – 5-е
издание стер. – Ростов Н/Д: Феникс 2011. – с.47-158.
5. Федеральные государственные образовательные стандарты среднего
профессионального образования (ФГОС СПО).
30