PEO_LK32

3.1 Электромагнитные поля в ЭМУС и их основные уравнения
Изучение, моделирование и проектирование электротехнических
устройств (ЭТУ) основано на трёх фундаментальных теоретических
дисциплинах: электромагнетизм, термодинамика и механика. Действие
электрического или магнитного поля или их совокупности –
электромагнитного поля определяет работу электрических машин и
аппаратов, трансформаторов и других ЭТУ. По распределению этих полей в
перечисленных устройствах и их изменению во времени можно определить
интегральные показатели и характеристики устройства как в
установившихся, так и в переходных режимах. Например, при известной
индукции и напряжённости магнитного поля можно рассчитать магнитный
поток и электродвижущие силы (ЭДС) в электрогенераторах, вращающие
моменты в электродвигателях, силы притяжения или отталкивания в
контакторах, потери от собственных или наведённых токов и т. д.
Тепловые поля определяют температуру, скорость и степень нагрева,
режимы, условия и способы охлаждения ЭТУ, их элементов, а также других
устройств, работа которых обеспечивается ЭТУ или наоборот, которые
обеспечивают работу ЭТУ. Механические нагрузки и напряжения,
возникающие, некоторым образом распределяющиеся и изменяющиеся,
например, в быстро вращающемся роторе электрической машины вследствие
растягивающих
усилий,
вызываемых
центробежными
силами,
действующими на ротор, непосредственно влияют на механическую
стабильность и прочность конструкции ротора, а также на магнитные и
гистерезисные свойства активных материалов ротора. Последнее также
напрямую влияет на рабочие показатели и характеристики ЭТУ.
Все электромагнитные явления, которые имеют место в
электротехнических устройствах, в общем случае описываются уравнениями
Максвелла в частных производных. Если полностью пренебречь токами
смещения, что допустимо при обычно используемых на практике значений
скоростей и частот, то имеет место следующая общая модель
электромагнитных явлений на основе уравнений Максвелла [1]:
rot E = – d B / d t ,
(3.1)
rot H = J ,
(3.2)
div B = 0 ,
(3.3)
div D =  ,
(3.4)
B=H+Br,
(3.5)
D=E,
(3.6)
J=E,
(3.7)
где E и D – соответственно векторы напряжённости и индукции
электрического поля; H и B – векторы напряжённости и индукции
магнитного поля; J – плотность тока;  – объёмная плотность заряда; B r –
вектор индукции остаточной намагниченности; t – время;  и  –
соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости;  – удельная
электрическая проводимость. В зависимости от используемых материалов
величины , ,  могут быть либо скалярами, как в случае изотропных
материалов, либо тензорами, позволяющими учесть анизотропию, часто
встречающуюся в электрических машинах.
Уравнения (3.1), (3.2) отражают электромагнитную связь; (3.3), (3.4) –
непрерывность поля; (3.5), (3.6) – описывают свойства материалов; (3.7) –
закон Ома. В совокупности эти уравнения описывают все электромагнитные
явления. Однако в большинстве случаев уравнения нельзя решить
аналитически по целому ряду причин: сложность геометрических форм
электротехнических устройств, в том числе наиболее сложных из них –
электромеханических преобразователей энергии, и их элементов:
магнитопроводов, часто собранных из пластин, обмоток, имеющих лобовые
части, и других; невозможность аналитически описать свойства
проводниковых, полупроводниковых и магнитных материалов, их
зависимости от тепловых, механических и иных воздействий и т. п. С другой
стороны, для конкретных устройств можно пренебречь некоторыми
эффектами и тогда система уравнений принимает более простые формы.
Для улучшения понимания излагаемого материала в курсе лекций
рассматриваются наиболее простые и вместе с тем типичные для элементов
электротехнических устройств, в первую очередь электромеханических
преобразователей энергии, поля. Приводимые примеры относятся к
элементарным фрагментам полей магнитных систем электротехнических
устройств, которые на практике являются весьма сложными, и уравнения,
описывающие их, будут существенно сложнее, однако структура уравнений,
принципы их составления и методы решения будут аналогичными.
3.2 Методы анализа электромагнитных полей в ЭМУС
Методы анализа электромагнитных полей подразделяются на
экспериментальные, графические и математические [2].
Основные экспериментальные методы исследования полей следующие:
 методы непосредственного измерения потенциалов и значений
напряжённости поля;
 методы построения картины поля (см. § 2.7 [2]) в области реальных
полей посредством металлических стрелок, штырей и других видов зондов;
 методы моделирования одних полей другими с помощью
электролитических
(электрических)
ванн,
заполненных
жидкими
электролитами, и проводящих резиновых листов.
Экспериментальные
методы
позволяют
получить
реальное
распределение поля, которое необходимо не только для физического
моделирования и натурного макетирования ЭМУС и их элементов, но и для
объективной оценки точности математического моделирования поля в
ЭМУС, а, следовательно, и точности поверочных расчётов ЭМУС.
В курсе рассматриваются базовые экспериментальные методы: метод
моделирования с помощью электрических сеток и методы моделирования с
помощью электролитических (электрических) ванн и проводящих листов.
Графические методы могут применяться, в первую очередь, для
построения
картины
потенциальных
плоскопараллельных
и
плоскомеридианных полей с осевой симметрией и применяются тогда, когда
математические методы не могут быть использованы. Графические методы
сравнительно несложные в применении, но отличаются большой
трудоёмкостью. Две их основные группы составляют методы, базирующиеся:
 на свойствах линий равного потенциала и силовых линий;
 на решении уравнений Лапласа в конечных разностях.
В курсе рассматриваются два наиболее часто применяемых графических
метода: метод построения картины плоскопараллельного поля и метод
ожидаемых путей.
Математические методы анализа электромагнитных полей, в свою
очередь, подразделяются на аналитические и численные.
К основным аналитическим методам относятся:
 метод конформных преобразований;
 метод изображений;
 метод разделения переменных и др. [3].
При проектировании электромеханических устройств и систем (ЭМУС),
в первую очередь электромеханических преобразователей энергии,
аналитические методы использовать весьма трудно, а во многих случаях
невозможно из-за постоянно увеличивающейся геометрической сложности
объектов
проектирования,
нелинейности
характеристик
активных
материалов, используемых в них, и ряда других факторов.
Поэтому при проектировании ЭМУС в основном применяются
численные методы анализа электромагнитных полей, в которых важнейшее
значение имеет дискретизация, то есть воспроизведение области, в которой
рассчитывается электромагнитное поле, в виде набора элементарных частей
– элементов. Основные численные методы исследования полей следующие:
 метод конечных элементов;
 метод интегральных уравнений (вторичных источников);
 метод сеток;
 метод конечных разностей;
 методы интегрирования и др. [2, 3].
В курсе рассматриваются три основных численных метода,
применяемых для расчёта электромагнитных полей в ЭМУС, в первую
очередь в электромеханических преобразователях энергии: конечных
элементов, интегральных уравнений (вторичных источников) и сеток.
С помощью численных методов уравнения полей в частных
производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, решение
которых даёт аппроксимацию поля в дискретных точках на плоскости и в
пространстве. Метод конечных элементов в своей вариационной или
проекционной формулировке исходит из соответствующей физической
задачи, в методе конечных разностей применяется дискретизация уравнений
поля в частных производных, а методы интегрирования используют теорему
Грина для удовлетворения условий на границе [3].
Таким образом, численные методы расчёта электрических и магнитных
полей приводят к системе алгебраических уравнений, порядок которой
обычно совпадает с общим числом неизвестных, а оно, в свою очередь,
может быть достаточно велико (сотни, тысячи). Для реализации численных
методов осуществляется программирование решения задачи на ЭВМ. В
процессе программирования сначала формируется схема вычислительной
процедуры выбранного метода, в которую затем вводятся изменения,
необходимые для конкретной задачи. После этого составляется программа на
одном из алгоритмических языков и отлаживается на ЭВМ. Численные
методы являются приближёнными, поэтому основным их недостатком
является трудность оценки ошибок. Ошибки может вызывать как сам метод,
так и применение ЭВМ: ошибки округления, случайный сбой и др. Как
правило, алгоритмы и программы проверяются известными точными
методами или сравнением результатов расчётов и экспериментов.
3.3 Графические методы анализа электромагнитных полей
в ЭМУС
Метод построения картины плоскопараллельного поля.
Этот графический метод позволяет определить среднее значение
напряжённости поля в пределах клетки, ёмкость и проводимость, как
электрическую,
так
и
магнитную,
между
электродами.
Для
плоскомеридианного поля средние размеры клеток различны.
Рассматриваемый метод состоит в построении линий напряжённости
v = const и эквипотенциальных линий u = const, то есть в построении в
области плоскопараллельного поля между проводниками сетки по
эквипотенциалям и перпендикулярным им линиям вектора поля, с
последующим вычислением напряжённости в точках поля и ёмкости между
электродами. Построение проводится так, чтобы силовые линии – линии
напряжённости поля – были перпендикулярны эквипотенциалям и
поверхностям
проводников.
При
этом
приращение
потенциала
напряжённости от одной эквипотенциали к другой должно быть постоянным:
 u = const ;  v = const . Приращения выбираются такими, чтобы расстояния
между эквипотенциалями  n и линиями вектора поля  S в каждой ячейке
сетки были равны. В этом случае отношение  n /  S = 1 , то есть ячейки
являются почти квадратными, но в разных областях поля имеют различный
размер. Так для каждой ячейки обеспечивается примерно одинаковое
отношение средних линий ячейки вдоль силовой линии и эквипотенциали.
Выполнение этих условий возможно после нескольких построений.
Построение картины поля (рис. 3.4) начинается с участков, в пределах
которых поле можно считать однородным. В этой области пространство
между электродами делится на k равных частей. Первая эквипотенциальная
линия, проводимая около электрода, по форме близка к форме электрода –
поверхности электродов – эквипотенциали с потенциалами  1 и  2 .
Нормально к этим потенциалям проводятся две линии вектора поля так,
чтобы ячейки сетки были приблизительно квадратными. После этого
строится следующая эквипотенциаль и т. д. Построение квадратной сетки
можно осуществить только с нескольких попыток. Выражение для
напряжённости поля E = – grad  заменяется приближённым выражением
E
u
v
.

n
S
Рис. 3.4 Электрическая схема
замещения элементарного объёма
среды
Рис. 3.5 Построение картины поля
между заряженными телами вращения
с общей осью вращения
С учётом того, что  u = (  1 –  2 ) / k , рассчитывается среднее
значение напряжённости поля в пределах соответствующей клетки:
E ср = (  1 –  2 ) / ( k  n ) .
В областях поля, в которых эквипотенциали расположены
напряжённость поля больше. Ёмкость на единицу длины
C0
τ
 1  2

гуще,
M
εà,
k
где М - число линий напряжённости v = const .
Построение картины поля между заряженными телами вращения с
общей осью вращения (рис. 3.5) проводится в одной из меридианных
плоскостей. При вращении картины поля вокруг оси заряженных тел каждая
линия напряжённости поля опишет поверхность вращения. Эти поверхности
строятся таким образом, чтобы поток между двумя соседними
поверхностями был постоянным:   E = const . В этом случае средние
размеры ячеек будут различны. Среднее значение напряжённости
электрического поля в ячейке
E ñð 
 E
U
,

n 2πRS
где  S – среднее расстояние между соседними поверхностями в пределах
ячейки, отсчитываемое в меридианной плоскости по направлению к
эквипотенциали; 2  R  S – площадь поперечного сечения канала,
проводящего поток; R – расстояние от центра отрезка  S до оси вращения.
Из выражения для E с р следует, что  n /  S = 2  R  U /   .
Метод ожидаемых путей – приближённый графический метод и не
имеет критериев оценки точности и достоверности. В соответствии с ним
поле разбивается на элементарные объёмные фигуры: кольца, усечённые
конусы, призмы и др. Общая ёмкость, проводимость определяются как
совокупность ёмкостей, проводимостей каждого элементарного объёма.
3.4 Экспериментальные методы анализа электромагнитных полей
в ЭМУС
Метод моделирования с помощью электрических сеток.
В соответствии с этим методом моделирования строится электрическая
модель поля из большого числа элементов эквивалентной электрической
цепи. Каждый элементарный объём поля приближённо заменяется
резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности. С помощью
конденсаторов и катушек индуктивности учитываются токи смещения и
ЭДС, индуцируемые переменным магнитным током. Метод может быть
применён и для моделирования переменных электромагнитных полей и
предполагает численное решение полевой задачи на ЭВМ.
Распределение потенциала в поле проводящей среды находится путём
моделирования этого поля с помощью электрических схем. Моделируемая
сплошная электропроводящая среда с электрической проводимостью 
делится на элементарные объёмы, например кубы, каждый из которых
представляется электрической схемой замещения. При моделировании
постоянного (потенциального) поля схема замещения состоит из резисторов,
которые располагаются по трём взаимно перпендикулярным координатным
осям прямоугольной системы координат с началом в центре куба (рис. 3.6).
В центре куба резисторы соединяются в один узел O , а свободные
концы 1–6 резисторов выводятся на грани куба и соединяются с резисторами
соседних кубов. Сопротивления резисторов вычисляются по выбранному
шагу сетки в направлении координатных осей  x ,  y и  z :

x
1

 2 y 2 z 



1
y
R y =R3 =R4=

 2 x 2 z 

1
z
R z =R5 =R6 =
.
 2 x 2 y 

R x = R1 = R 2 =
При  x =  y =  z = a все сопротивления равны R = 1 / ( 4  a ).
(3.19)
Рис. 3.6 Электрическая схема замещения элементарного объёма среды
Сопротивления резисторов на поверхности электрической сетки в два
раза больше сопротивлений резисторов внутри сетки: R x =  x /
/ ( 2   y  z ) = 1 / ( 2  a ) , а сопротивление на ребре куба сетки на
границе поля вдоль линий тока в четыре раза больше: R x = ( 1 /  )  x /
/ (  y  z ) = 1 / (  a ) . Источники исходного поля моделируются
источниками тока I 0 ( напряжения U ) путём присоединения их к общему
узлу O или к внешним точкам сетки. При этом
I0=4J(x,y,z)x,y,z,
(3.20)
где J ( x , y , z ) – заданное распределение плотности тока источников. При
 x =  y =  z = a ток I 0 = 4 J ( x , y , z ) a 3 . В этом случае для каждой
ячейки справедливо уравнение
1+2+3+5+6–60=(J/)a2,
(3.21)
которое моделирует конечноразностное уравнение Пуассона.
Распределение потенциалов в электрической сетке описывается
уравнением с точностью до частных производных четвёртого порядка от  в
проводящей среде, умноженных на a 2 / 4 !
Метод
моделирования
с
помощью
электролитических
(электрических) ванн.
Этот метод моделирования применяется для экспериментального
исследования двумерных и трёхмерных равномерных и неравномерных
полей (потенциальных полей), описываемых уравнением Лапласа.
Экспериментальное моделирование одного потенциального поля другим
основано на аналогии уравнений и подобии картин электростатического,
электрического и магнитного полей. Электростатическое поле и магнитное
поле постоянного магнитного потока заменяются электрическим полем тока
низкой частоты с целью исключения явления поляризации, а также более
лёгкого воспроизведения поля.
При моделировании полей необходимо соблюдать геометрическую
конфигурацию и заданное расположение электродов (полюсов), а также
граничные условия. Двумерные поля исследуются с помощью металлических
листов или листов из проводящей бумаги. Трёхмерные поля моделируются с
помощью наклонных ванн, заполненных слабо проводящей жидкостью. Во
всех случаях эквипотенциальные линии исследуются с помощью зонда.
В ванну, заполненную электролитом, например, слабо подсоленной
водой, погружаются металлические электроды. Форма ванны и электродов,
взаимное расположение электродов должны соответствовать граничным
условиям моделируемого поля. К электродам подводится небольшое
переменное напряжение частотой в несколько Герц. Это позволяет
уменьшить явление электролитической поляризации и нагрев электролита,
снизить искажения поля. Искажающее влияние стенок и дна ванны
уменьшается за счёт выполнения ванны из полупроводящих материалов.
Кроме того, размеры ванны должны быть значительно больше расстояния
между электродами и их линейных размеров.
Измерение потенциалов точек поля осуществляется с помощью зонда
(штыря). При моделировании плоскопараллельных полей электроды
погружаются на всю глубину электролита. В плоскомеридианном поле
электроды, представляющие собой тела вращения, погружаются в электролит
на такую глубину, чтобы ось симметрии поля находилась на поверхности
электролита. При исследовании трёхмерного поля электроды погружаются в
электролит полностью, а эквипотенциальные линии снимаются в нескольких
параллельных плоскостях.
Неравномерные поля моделируются в ванне со ступенчатым дном,
которое обеспечивает получение слоёв электролита разной толщины.
Эквипотенциальные линии снимаются так, чтобы по всему полю приращение
потенциала между потенциалями Δ  было одинаковым. По снятым
эквипотенциалям строятся силовые линии. В результате получается полная
картина моделируемого поля.
Линии вектора поля должны быть перпендикулярны линиям равного
потенциала. Ячейки, образованные эквипотенциалями и линиями вектора
поля, должны по возможности иметь форму криволинейных квадратов
(квадраты на разных участках поля неодинаковы). Если между
эквипотенциалями имеется n интервалов, то приращение потенциала Δ  =
= U / n, а напряжённость поля в квадрате при расстоянии между
эквипотенциалями a = E = Δ / a = U / (n a) . Ёмкость между электродами
C = ε a m / n ( m – число интервалов между силовыми линиями). На
основании аналогии между полями (см. § 2.9 [2]) осуществляется переход к
моделируемому полю ( C = ε a m / n , G = γ m / n , Gм = μ a m / n ) .
Метод, в частности, позволяет прямо измерить сопротивление между
электродами модели R , а по его значению рассчитать для соответствующих
полей ёмкость между электродами C и магнитную проводимость G м :
C=
1 аl
1 аl
; Gм=
,;
R l'
Rм l'
(3.22)
где l / l  – отношение линейных размеров оригинала и модели;  – удельная
проводимость электролита;  а ,  а – диэлектрическая и магнитная
проницаемости сред моделируемых полей.
Метод моделирования с помощью проводящих листов.
Метод применяется только для моделирования плоскопараллельных
полей, описываемых уравнением Лапласа, – потенциальных полей. Его суть
состоит в следующем. На проводящем листе располагаются электроды,
удельная электрическая проводимость которых должна быть значительно
больше удельной электрической проводимости листа. В качестве материала
проводящего листа целесообразно использовать проводящую бумагу.
Материал электродов – металл, их форма, размеры и расположение на листе
должны быть подобны форме, размерам и расположению электродов
моделируемого
устройства.
С
помощью
зонда
снимаются
эквипотенциальные линии, затем строятся линии вектора поля, подобно
тому, как это делается при использовании метода моделирования с помощью
электролитической ванны.
3.5 Математические методы моделирования
электромагнитных полей. Общая характеристика
Экспериментальные методы моделирования электромагнитных полей
достоверны, наглядны, но требуют сложного физического моделирования
конкретных полей и натурного макетирования конкретных ЭМУС и их
элементов, значительных материальных и трудовых затрат. Поэтому всё
большее распространение получают математические методы расчёта
электромагнитных полей, которые практически невозможны без применения
современных компьютеров. Расчёты электромагнитных полей с помощью
компьютерной техники состоят из следующих основных этапов:
1) ввод в компьютерную программу структуры магнитной системы
рассчитываемого устройства, то есть структуры всей области, в которой
нельзя пренебречь электромагнитным полем, создаваемым устройством;
2) выбор метода расчёта электромагнитного поля;
3) разбиение магнитной системы на элементарные участки – элементы в
соответствии с выбранным методом;
4) выполнение расчётов.
Ввод в компьютерную программу структуры магнитной системы
рассчитываемого устройства состоит в задании геометрической формы и
размеров всех элементов магнитной системы, а также свойств и
характеристик материалов, из которых эти элементы изготовлены. Должно
быть обеспечено по возможности наиболее точное воспроизведение
магнитной системы в модели. Ряд программ расчёта электромагнитных
полей, например Quick Field, Elcut, Ansys, могут использовать чертежи
устройства в электронном виде, выполненные с помощью систем
автоматизированного конструирования, например AutoCAD.
На рис. 3.7 показан пример поэтапного приближённого воспроизведения
простейшей магнитной цепи в компьютерной программе, предназначенной
для анализа вихревых токов в трёхмерной проводящей среде, на рис. 3.8 –
пример приближённого воспроизведения в указанной программе магнитной
системы электродвигателя с электромагнитным возбуждением [3].
На рис. 3.9 приведён пример задания магнитной системы контактора
интегральным методом для компьютерных программных средств,
использующих методы интегральных уравнений на границе сред для
моделирования линейных или сводимых к линейным задач электростатики и
магнитостатики с применением трёхмерных магнитодинамических моделей.
В указанных моделях анализ сильных пульсаций внешних источников и
внешнего распределения индуцированных токов сводится к анализу решения
уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями Неймана [3].
Рис. 3.7 Построение простейшей магнитной цепи с помощью программных средств
Рис. 3.8 Пример задания магнитной
системы электродвигателя
с электромагнитным возбуждением
Рис. 3.9 Пример задания магнитной
системы контактора интегральным
методом
Математические
модели
представляют
собой
совокупность
математических объектов: чисел, символов, множеств, уравнений и т. д. и
связей между ними, описывающих физические, химические и другие
процессы, происходящие в проектируемом объекте. При построении
моделей-аналогов используется свойство изоморфизма, то есть одинаковости
математического описания процессов различной физической природы.
Например, взаимосвязи напряжения, индуктивности и скорости изменения
тока во времени для электрической цепи; теплового потока, теплоёмкости и
скорости изменения температуры во времени для тепловой системы;
приложенной силы, массы тела и его ускорения для механической системы
описываются одинаковыми математическими соотношениями. Используя
свойство изоморфизма, можно с помощью одних объектов, в первую очередь
электрических цепей, исследовать процессы в объектах другой физической
природы: тепловых, механических, гидравлических и пр.
Для решения практических задач исследования и разработки многих
ЭТУ и ЭМУС достаточно проводить их моделирование как систем с
сосредоточенными параметрами. Поэтому целесообразно более подробно
рассмотреть особенности построения математических моделей на
макроуровне.
Математические
модели
систем
формируются
с
использованием математических моделей их элементов. Уравнения моделей
элементов называются компонентными. Взаимосвязи элементов в системе
задаются с помощью топологических уравнений.
Моделируемую техническую систему удобно представлять в виде
совокупности физически однородных подсистем: электрических, тепловых,
механических, гидравлических и др. Как правило, для описания состояния
каждой такой подсистемы достаточно использовать фазовые переменные
типов потенциала и потока. При этом компонентные уравнения связывают
разнородные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу, а
топологические уравнения – однотипные фазовые переменные, относящиеся
к разным элементам системы. В физически однородных подсистемах
различаются элементы ёмкостного, индуктивного и резистивного типов,
которым соответствуют следующие простейшие математические модели:
i C
di
du
; u  Ri.
; uL
dt
dt
где C , L , R – параметры элементов.
Элементы подсистем в зависимости от числа однотипных фазовых
переменных, входящих в модели элементов, разделяются на двухполюсники,
характеризующиеся парой переменных типов u и i , взаимосвязь между
которыми может быть как линейной, так и нелинейной, и многополюсники,
представляющие собой объединение взаимосвязанных двухполюсников.
Наименования фазовых переменных и параметров простых элементов
для различных физически однородных подсистем, характеризующие
аналогию между ними, приведены в табл. 3.3.
Т а б л и ц а 3.3
Соотношения аналогии фазовых переменных и параметров элементов
Фазовые переменные
Параметры элементов
типа
типа
Подсистема
C
L
R
потенциала u
потока i
Электрическое Электрический Электрическая Электрическая Электрическое
Электрическая
напряжение
ток
ёмкость
индуктивность сопротивление
МагнитоМагнитный
Магнитное
Магнитная
движущая


поток
сопротивление
сила
Тепловой
Тепловое
Тепловая
Температура
Теплоёмкость

поток
сопротивление
Механическая
Механическое
поступаСкорость
Сила
Масса
Гибкость
сопротивление
тельная
Механическая
Угловая
Вращающий
Момент
Вращательная Вращательное
вращательная
скорость
момент
инерции
гибкость
сопротивление
ГидравГидравлическаяГидравлическаяГидравлическое
Давление
Расход
лическая
ёмкость
индуктивность сопротивление
ПневмаПневмаПневмаПневмаДавление
Расход
тическая
тическая
тическое
тическая
ёмкость
индуктивность сопротивление
Наглядным способом графического отображения моделей систем с
сосредоточенными параметрами является их представление в виде
эквивалентных схем. Для электрических, магнитных, электронных, тепловых,
механических, гидравлических и пневматических подсистем при известных
связях функциональных элементов построение эквивалентной схемы состоит
в замене этих элементов соответствующими двух- или многополюсниками и
добавлении ветвей, учитывающих неидеальность элементов.
3.6 Характеристика основных математических методов
моделирования электромагнитных полей
Метод интегральных уравнений (метод вторичных источников).
Метод позволяет исследовать электрические и магнитные поля в
неоднородной среде путём сведения расчётной задачи к расчёту поля в
однородной среде. Влияние на поле неоднородностей (диэлектрических,
проводящих и магнитных тел) учитывается введением в поле (в
эквивалентную однородную среду) вместо неоднородностей добавочных
(вторичных) источников. В качестве вторичных источников рассматриваются
связанные заряды (заряды поляризации), токи намагниченности, наведённые
вихревые токи и др. Эти источники вводятся распределёнными на границах
(по бывшим поверхностям) или в объёме (по объёмам) неоднородностей и,
таким образом, учитывают влияние неоднородностей на характер поля.
Вид вторичных источников и интегральных уравнений, описывающих
распределение их плотностей при аналитическом расчёте, предложены
Г. А. Гринбергом [5]. В этой работе вводятся расчётные заряды (токи) σ˝, ρ˝,
(η˝), равные сумме заданных σ, ρ, (η) и связанных зарядов, т. е. σ˝ = σ + σ', ρ˝
= ρ + ρ', (η˝ = η + η'). Последующее обобщение метода интегральных
уравнений проведено в [6]. Получены интегральные уравнения для
численных расчётов как статических, так и квазистационарных (от вихревых
токов) полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. При
этом вместо заданных зарядов и токов рассматриваются плотности
фиктивных зарядов и токов (в том числе и фиктивных магнитных зарядов).
При расчёте поля методом интегральных уравнений сначала
определяется распределение вторичных источников на границе
неоднородных сред, а затем находятся искомые векторы и скаляры поля.
Наличие нескольких различных областей в рассматриваемом пространстве
(когда область многосвязная) приводит к системе интегральных уравнений.
Таким образом, первоначально определяются интегральные уравнения,
которые должны соответствовать распределению вторичных источников, а
затем по уравнениям поля с учётом заданных и вторичных источников
решается задача анализа поля. При скачкообразных или непрерывных
изменениях параметров ε r, μ r , γ и т. д. интегральные уравнения
представляют собой систему двух интегральных уравнений относительно
функций σ и ρ. В уравнение относительно σ входят коэффициенты
λ  ε r1 ε r 2 ε r1  ε r 2 ,
λ μ μ r1 μ r 2 μ r1  μ r 2
и т. д.
Интегральные уравнения, описывающие распределения вторичных
источников, решаются с помощью ЭВМ.
Метод зеркальных изображений аналогичен методу интегральных
уравнений, только при его применении дополнительные источники вводятся
внутрь каждой из неоднородных сред, тогда как в рассмотренном методе
дополнительные источники размещаются на границах неоднородных сред.
Метод сеток.
Метод основан на решении уравнений Лапласа и Пуассона в конечных
разностях и относится к численным способам решения уравнений в частных
производных  2  ρ ε r  2 Α  μ μ J и Лапласа 2  0 Α  0 .
0

r
0



Дифференциальное уравнение при этом приближённо заменяется
разностным уравнением для рассматриваемой точки исследуемого поля. В
результате получается в общем случае приближённое алгебраическое
уравнение связи потенциалов указанной точки и соседних точек (рис. 3.10):
(3.23)
 a   b   c   d  4  k    a2  ε r ε 0  ;
 a  b  c  d 4 k  0.
Рис. 3.10 Графическое пояснение связи
потенциалов рассматриваемой точки
и соседних точек
(3.24)
Рис. 3.11 Графическое пояснение для
случая полярной сетки
Уравнения связи решаются численным подбором (см. § 9.1 [2]). Для
этого на область исследуемого поля между граничными поверхностями
наносится квадратная или полярная координатная сетка, для узлов которой
рассчитываются значения потенциалов с подстановкой для каждого узла  k
значений потенциалов соседних узлов  a ,  b ,  c и  d . Уравнения
(3.23), (3.24) справедливы и для прямоугольной сетки с квадратичными
ячейками равного размера и для полярной сетки (рис. 3.11), если радиусы
узлов ячеек выбраны в геометрической прогрессии со знаменателем β = 1 +
+ α ( 1 + α / 2 ). Погрешность при замене уравнений Пуассона и Лапласа
уравнениями (3.23), (3.24) уменьшается с уменьшением шага сетки.
Для расчёта значений потенциалов для узлов сетки на сетку наносится
предполагаемая картина поля с заданием значений потенциалов в узлах и по
уравнению связи, полученному из уравнения Лапласа, находятся потенциалы
узлов сетки. При первом подсчёте предполагаемые и рассчитанные значения
потенциалов могут не совпадать, образуя остаток. Поэтому снова задаются
потенциалы в узлах и опять вычисляются их значения. Расчёты проводятся
до тех пор, пока значения потенциалов не совпадут или остаток во всех узлах
не будет превышать некоторого, заранее заданного значения, например .
Метод предполагает использование ЭВМ. Он применим в случае
граничных поверхностей произвольной формы для двумерных, трёхмерных с
осевой симметрией и других, более сложных, полей. Метод позволяет найти
распределение скалярного потенциала электрических и магнитных полей, а
также
распределение
векторного
потенциала
магнитного
поля.
Распределение потенциала методом сеток находится следующим образом.
1) В области поля между граничными поверхностями наносится сетка в
соответствующей системе координат и буквами обозначаются её узлы.
2) На сетке приближённо проводятся эквипотенциальные и силовые
линии (см. § 13.1 [2]), а затем, с ориентацией на картину поля, задаются
значения потенциалов каждого узла сетки.
3) При последовательном задании значений потенциалов для каждого
узла составляются уравнения связи (3.23) или, если ρ = 0, уравнения (3.24).
При первоначально принятых значениях потенциалов узлов уравнение связи
не равно нулю, а равно некоторому числу – остатку, который фиксируется,
например, записывается около соответствующего узла.
4) Изменяются потенциалы узлов так, чтобы остаток в уравнениях связи
для всех узлов не превышал некоторого, заранее заданного значения . Для
этого самый большой остаток можно уменьшить, например, на 1/4 и, снова
задаваясь значениями потенциалов узлов, вычислить все остатки. Расчёт
повторяется до тех пор, пока остатки не станут равными или меньшими .
Поскольку для расчётов применяется ЭВМ, то система уравнений для
узлов записывается в матричной форме.
Метод конечных разностей позволяет получать удовлетворительные
решения для многочисленных задач, в частности широко используется при
рассмотрении тепловых явлений, но при его применении важное место
отводится составлению алгоритма и проведению пробного эксперимента.
Интегральные методы недостаточно освоены для задач электротехники, их
практическое применение всегда очень сложное и относится к прерогативе
специалистов по прикладной и вычислительной математике.
Поэтому для решения большинства задач в электротехнике, а также
теплотехнике, механике деформируемого тела и других областях науки и
техники, требующих решения задач в частных производных, используется
метод конечных элементов. Это обусловлено тем, что, кроме того, что он
исходит из соответствующей физической задачи, этот метод обладает
большой гибкостью и подходит для описания устройств со сложной
геометрией. В связи с этим, а также с ограниченностью объёма курса, в курсе
детально рассматривается только метод конечных элементов.
3.7 Метод конечных элементов. Неавтоматизированная
и автоматизированная дискретизация магнитной системы
Метод конечных элементов основывается на исследовании глобальной
функции,
представляющей
рассматриваемое
явление,
например,
электромагнитное поле, тепловое поле, деформацию тела, во всех точках
анализируемой области. Эта область должна быть предварительно разбита на
конечное число смежных подобластей, называемых конечными элементами.
Совокупность элементов, которые воспроизводят область, называется
ансамблем
или
геометрической
дискретизацией,
или
просто
дискретизацией. Элементы имеют общие узловые точки, в совокупности они
описывают форму области. Внутри каждого элемента искомая функция
аппроксимируется, чаще всего полиномом. Число коэффициентов
аппроксимирующего полинома соответствует числу узлов рассматриваемого
элемента. Полиномы должны быть такими, чтобы сохранилась
непрерывность искомой величины вдоль границ элемента. Коэффициенты
полинома выражаются через неизвестные значения искомой функции в узлах
элемента и в аппроксимирующие полиномы элемента вместо коэффициентов
вводятся (подставляются) полученные соотношения для коэффициентов
(значения искомой функции в узлах элемента) и коэффициенты формы
элемента. В результате этого составляется уравнение искомой функции в
зависимости от узловых значений функции и функции формы элемента [3].
Искомая глобальная функция строится по частям для каждого из этих
элементов. Полученная функция должна полностью удовлетворять
соответствующим уравнениям в частных производных, дополненным
граничными условиями и свойствами непрерывности, вытекающими из
анализируемого явления, причём как в отдельном элементе, так и во всей
области. В соответствии с рассматриваемыми уравнениями, как правило,
можно доказать, что если размеры каждого элемента стремятся к нулю
(число элементов стремится к бесконечности), то уравнения в частных
производных будут выполняться во всех точках области.
Конечные элементы, используемые для дискретизации рассматриваемой
области, обычно группируются по топологическим семействам: сегменты,
треугольники, четырёхугольники, тетраэдры, параллелепипеды, призмы и
т. п. Тип конечных элементов одновременно указывает их форму, например
сегмент, и тип интерполяции, например, для треугольника – три узла с
линейной интерполяцией и шесть узлов с параболической интерполяцией. На
рис. 4.1 показаны несколько конечных элементов (линейных, поверхностных
и объёмных) с номерами их кодов и локальной нумерацией узлов.


Линии 








Поверхности 














Объёмные 

элементы 








Элементы
первого порядка
Элементы
второго порядка





сегмент
11
32
треугольник
42
четырёхугольник
43
Тетраэдр
53
Призма
12
22
13
23
63
Гексаэдр
33
Рис. 4.1 Некоторые типы конечных элементов
Коды и нумерация узлов появляются при разбиении на конечные
элементы. Перечень узлов содержит метрическую информацию в одной из
систем координат: плоскостных или пространственных прямоугольных,
полярных, сферических и др. Перечень конечных элементов с
использованием кодов содержит в себе топологическую информацию: о
разбиении области конечными плоскостными или объёмными элементами и
о разбиении границ конечными граничными элементами. Сведения об
областях и границах служат для присвоения подобластям физических
характеристик, относящихся к участкам и границам. Расположение узлов
даёт картину, подобную случаю периодических граничных условий.
После проведения сквозной нумерации узлов и элементов и записи
интерполяционного уравнения для каждого элемента согласно сквозной
нумерации всех элементов области получается система уравнений для всей
области. Каждое уравнение элемента содержит неизвестное значение
искомой функции в узлах элемента и коэффициенты формы элемента. Затем
находятся уравнения для узловых значений функции с помощью выбранного
метода. Например, узловые значения функции определяются методом
минимизации интегральной величины с помощью некоторого функционала
методом взвешенных невязок, например методом Галеркина или наименьших
квадратов и др. Функционал представляет собой определённый интеграл
b
 F ( x ) d x , который принимает числовое значение при подстановке каждой
a
конкретной функции F ( х ) в подынтегральное выражение; при этом надо
найти такую функцию F ( х ), чтобы при произвольном бесконечно малом её
изменении интеграл имел постоянное значение. В методе Галеркина
отправной точкой служит само дифференциальное уравнение.
Внутри каждого элемента функция, моделирующая рассматриваемое
явление, представляется интерполирующим полиномом, в зависимости от
неизвестных физических величин в каждой вершине или узле этого элемента.
Основой метода является нахождение распределения узловых
физических величин, удовлетворяющих уравнениям в частных производных
для рассматриваемого явления, дополненных граничными условиями.
Некоторые применения метода конечных элементов требуют
проведения расчётов методом краевых интегралов [3], зависящим от
конечных элементов соседней области. Для конечного элемента границы,
расположенного на перегородке, имеются два конечных элемента соседних
областей: для линейного элемента в двумерной задаче – один справа, другой
слева; для поверхностного элемента в трёхмерной задаче – один сверху,
другой снизу. Для элемента границы, расположенного на краю области,
имеется только один элемент соседней области.
Вся эта информация необходима для решения задачи методом конечных
элементов и выражается в соответствующей форме при дискретизации,
осуществляемой в зависимости от степени автоматизации одним из четырёх
способов: вручную, с помощью ЭВМ, автоматически, адаптивно.
Дискретизация
методом
конечных
элементов
вручную
непроизводительна и используется практически только при объяснении
процесса дискретизации, например в учебном процессе.
Дискретизация методом конечных элементов с помощью ЭВМ
благодаря возможностям ЭВМ в вычислительном, символьном, графическом
и диалоговом плане существенно производительнее дискретизации вручную.
Основные способы разбиения области поля с помощью ЭВМ следующие:
– непосредственное введение конечных элементов;
– введение блоков с их последующим автоматическим делением на
конечные элементы;
– введение описания геометрии объекта, деление объекта на блоки с
последующим автоматическим делением блоков на конечные элементы [3].
Непосредственное введение конечных элементов состоит в связанном
введении координат всех узлов, объединение которых образует элементы, с
помощью клавиатуры (точные координаты) или введении изображения
(аппроксимированных координат и вершин элементов). Постоянный
графический контроль процесса дискретизации позволяет избежать ошибки
оператора. Этот метод очень прост в использовании и доступен при
обучении. С точки зрения педагогики его важное преимущество состоит в
том, что он не скрывает структуру данных конечных элементов. Его
основной недостаток – необходимость манипулировать слишком большим
объёмом информации, особенно в случае трёхмерного поля.
Введение данных блоками соответствует предварительному делению
объекта на подобъекты, предназначенные для разбиения последних на
конечные элементы. Описание геометрии этих блоков вводится посредством
взаимодействия человека с ЭВМ, подобного взаимодействию при
непосредственном введении конечных элементов. Однако при этом число
блоков во много раз меньше числа конечных элементов, поэтому описание и
введение существенно упрощаются. Как правило, эти блоки топологически
очень просты, имеют такую же форму, как и конечные элементы:
треугольники и четырёхугольники в двумерных задачах; тетраэдры, призмы
и гексаэдры в трёхмерных, и могут быть прямолинейными или
криволинейными. Необходимо также уточнить деление сторон блоков. Этой
информации достаточно для проведения разбиения до конечных элементов с
использованием процедуры, определённой заранее. Метод описания блоками
с последующим разбиением на конечные элементы очень часто используется
для двух- или трёхмерной дискретизации в соответствующих программах
дискретизации. Один из часто используемых вариантов дискретизации
блоками состоит в объединении фрагментов с заданными параметрами
определённой сеткой и записью в памяти ЭВМ.
При дискретизации вручную и с помощью ЭВМ описание геометрии и
локализация областей и границ ведётся на уровне элементов или
суперэлементов. Дальнейшее развитие метода с ориентацией на более
«естественное» разбиение основано на уже существующем геометрическом
описании, определяющем взаимодействие суперэлементов, полученных
методом разбиения блока. В этом случае метрическая и топологическая
информация приводят к глобальной модели, которая сначала поблочно
преобразуется в модель, а затем разбивается на элементы. Такая стратегия
эффективна для реализации двух- или трёхмерной геометрической модели и
составления сети методом блоков. На рис. 4.2 на примере электромагнита
показана работа программы создания сетей конечных элементов для решения
скалярных и векторных задач при расчёте эквипотенциальных сечений,
магнитных потоков, электромагнитных сил [3].
3.8 Автоматическая и адаптивная дискретизация
при применении метода конечных элементов
Автоматическая дискретизация методом конечных элементов.
Создание сети конечных элементов достаточно трудоёмкая и
однообразная задача, поэтому ведутся поиски максимальной разгрузки
пользователя, в частности за счёт автоматического составления сети.
Эффективная дискретизация должна удовлетворять следующим условиям:
– плотность расположения элементов должна быть больше в тех частях
области, которые представляют наибольший интерес для исследования;
– элементы должны достаточно равномерно охватывать все
направления, например, если элементы треугольной формы, то они должны
быть максимально близки к равносторонним треугольникам.
Плотность расположения элементов определяется пользователем на
основе его опыта или результатов предварительных исследований. При этом
пользователь также проводит разбиение границ области: сторон двумерной
области, граней – трёхмерной. Соответствующая программа автоматически
генерирует сеть внутри области с соблюдением выбранной плотности.
Основными способами генерирования сети являются следующие.
Фронтальное распространение сети: начальный фронт граничной
дискретизации задаётся пользователем; элементы строятся регулярно,
послойно, опираясь на фронт; каждый новый слой элементов продвигает
фронт внутрь области; разбиение заканчивается с исчерпанием области.
Глобальное распространение сети: с каждым начальным узлом,
задаваемым пользователем, связывается заданная плотность расположения
элементов с учётом требований для окрестности этого узла, например,
средняя длина стороны, выходящей из узла. Таким образом, дискретизация,
Рис. 4.2 Пример разбиения электромагнита на конечные элементы
использующая простые элементы: треугольники в двумерном случае и
тетраэдры в трёхмерном, опирающиеся на все начальные узлы, завершается.
Эта первая дискретизация, разумеется, очень грубая, так как она не обладает
внутренним узлом, и её надо уточнить последовательными итерациями таким
образом, чтобы не было слишком больших элементов, то есть элементов,
обладающих поверхностью в двумерном или объёмом в трёхмерном
пространстве, значение которых превосходит произведение весов,
приданных их вершинам. Когда такой элемент выявляется, в его центре масс
создаётся новый узел с весом, равным средне весовому значению в вершинах
элемента; этот узел позволяет уточнить сеть в процессе её создания.
В ходе итерационного процесса возникает проблема создания по
имеющейся совокупности узлов эффективной дискретизации, опирающейся
на эти узлы. Эту задачу можно решить разбиением объекта на треугольники
– триангуляцией, или на тетраэдры – тетраэдризацией. При триангуляции и
тетраэдризации устраняется наличие узлов треугольников или тетраэдров,
находящихся внутри окружности, описанной около какого-либо другого
треугольника, или внутри сферы, описанной около какого-либо другого
тетраэдра. Такая дискретизация проводится методом итераций: строится
первый элемент, затем проводится новая дискретизация с добавлением
нового узла и т. д. Основное достоинство этого глобального приближения –
оно одинаково хорошо действует и в двумерном и в трёхмерном случаях [3].
Применение этого подхода иллюстрируется рис. 4.2 (верхний рисунок),
где показано разбиение на тетраэдры магнитной системы электромагнитного
контактора методом глобального автоматического разбиения.
Адаптивная дискретизация методом конечных элементов.
Рассмотренные методы автоматического создания сети конечных
элементов используют два вида информации: геометрическое описание
области и требуемую плотность элементов.
На рис. 4.3, 4.4 показано разбиение магнитных систем
электродвигателей на конечные элементы, иллюстрирующее последующее
упрощение работы пользователя и определения плотности расположения
элементов – автоматизацию и выполнение этих действий по программе, что
связано с резким увеличением объёма работ по программному обеспечению.
Один из наиболее эффективных возможных алгоритмов следующий:
– программа, на основе исходного, грубого, расположения сети,
определяет некоторое начальное решение;
– по полученному решению выделяются зоны, в которых ошибка,
связанная с расположением сети, максимальна;
– в этих зонах уточняется расположение сети;
– находится решение, соответствующее новому расположению сети;
– такой итерационный процесс продолжается до тех пор, пока ошибка,
связанная с расположением сети не станет приемлемой или не будет
достигнуто максимальное число конечных элементов; при этом выбор сети и
решение задачи тесно связаны между собой; оптимальный выбор сети
зависит одновременно от геометрии объекта и физической задачи; одна и та
же задача, в которой источник перемещается или изменяет своё значение,
например ток в обмотке устройства, приводит к новому расположению сети.
Рис. 4.3 Разбиение магнитной системы электродвигателя на конечные элементы
Рис. 4.4 Разбиение магнитной системы электродвигателя на конечные элементы
На рис. 4.3 при построении каждый элемент аффинно преобразуется с
масштабом 0,9 и центром, совпадающим с его центром масс. Это позволяет
выделить отверстия, например, пространство между элементами 13, 30, 31 и
32, и несовпадения, например, между элементами 34 и 42 с элементом 35.
3.9 Последовательность расчёта поля методом конечных элементов
1) Разбиение области на конечные элементы. Область, занятая
исследуемым полем, разбивается на ряд конечных элементов, которые имеют
общие узлы. При этом используются элементы различных типов в
зависимости от постановки задачи (рис. 4.1). Наиболее простыми являются
одномерные, двумерные (треугольники и четырёхугольники) и трёхмерные
(тетраэдры и параллелепипеды) элементы. Из двумерных элементов
простейшим является треугольник, поскольку между двумя узлами искомая
функция изменяется линейно вдоль каждой из его сторон. При
моделировании криволинейных границ поля добавляются узлы в середину
сторон элементов. Толщина элементов для трёхмерных полей может быть
постоянной или зависеть от координат. Размеры элемента и его ориентация
выбираются исходя из условия задачи. На рис. 4.5 приведён пример
разбиения двумерной области на линейные треугольные конечные элементы.
2) Получение уравнений для элементов. Искомую функцию для
каждого элемента аппроксимируют полиномом, например степенным.
Аппроксимирующие
функции
должны
удовлетворять
условиям
непрерывности на общих границах (сторонах) элементов и постоянства
производных. Для треугольного элемента этот процесс поясняется рис. 4.6.
Рис. 4.5 Разбиение двумерной области
на линейные треугольные элементы
Рис. 4.6 К получению полинома
для треугольного элемента
Затем аппроксимируется искомая функция  внутри треугольного
элемента (имеющего три узла) полиномом с тремя коэффициентами:
α1α 2 xα 3 y
(4.1)
Выражения для коэффициентов α записываются с использованием
неизвестных значений Φ функции  в узлах:
 = Φ i при x = X i , y = Y i ;
 = Φ j при x = X j, y = Y j ;
(4.2)
 = Φ k при x = X k, y = Y k .
При подстановке (4.2) в уравнение (4.1) получается система уравнений
Φi=α1+α2Xi+α3Yi;
Φj=α1+α2Xj+α3Yj;
Φk=α1+α2Xk+α3Yk.
Её решение даёт коэффициенты α1, α2, α3 , подставляемые в полином (4.1):
 = N i Φ i + N j Φ j + N k Φ k,
где N i , N j , N k – интерполяционные функции или функции формы,
зависящие от координат X i , Y i и т. д.
Затем записывается система уравнений в матричной форме для
некоторого элемента n :
j  N

Φi 


 Φ    N (ni ) , N (nj ) , N (kn)   Φ j  .
Φ 
 k
3) Формирование уравнений для всей области. Аппроксимирующие
полиномы каждого элемента и узловые значения выражаются в общей для
всей области системе координат (при общей нумерации узлов и элементов).
Сквозная нумерация узлов и элементов проводится в одном направлении:
против или по часовой стрелке. На рис. 4.5 нумерация узлов против часовой
стрелки. Произвольно выбирается и отмечается точкой первый узел каждого
элемента. Номера узлов каждого элемента i , j , k заменяются номерами,
полученные при общей нумерации всех элементов и обходе каждого
элемента против часовой стрелки, начиная с первого узла (табл. 4.1).
Новые значения индексов подставляются в интерполяционные
уравнения каждого элемента. Тогда
(1)
(1)
 (1)  N (1)
1 Φ1 N 2 Φ 2  N 3 Φ 3;
(2)
(2)
 (2)  N (2)
3 Φ 3  N 4 Φ 4  N 1 Φ1;
(3)
(3)
 (3)  N (3)
4 Φ 4  N 5 Φ 5  N 1 Φ 1.
Интерполяционные функции N изменят свои значения, поскольку в
интерполяционные уравнения вместо i , j и k подставляются
соответствующие числовые значения, полученные при общей нумерации.
Т а б л и ц а 4.1
Замена номеров узлов каждого элемента i, j, k
Номер элемента
1
2
3
i
1
3
4
j
2
4
5
k
3
1
1
4) Решение интерполяционных уравнений. Уравнения  = [ N ] [ Ф ]
решаются относительно узловых значений искомой функции. Наиболее
эффективным методом решения является метод Галеркина, с помощью
которого получается приближённое решение исходного дифференциального
уравнения. При этом должно выполняться условие ортогональности разности
между приблизительным и точным решениями функций, используемых при
аппроксимации. Применение метода Галеркина в сочетании с методом
конечных элементов позволяет получить уравнение для одного l элемента:
l
(l )  T
L    d x  0,
  N

0
где [ N ( l ) ] T– транспонированная матрица;  – искомая величина,
аппроксимируемая соотношением  = [ N i , N j , N k , . . . ] [ Ф ]; L (  ) –
дифференциальное уравнение, определяющее  ; l – длина одномерной
области, в которой ищется решение. Для нескольких конечных элементов, на
которые разбита область поля, имеет место соотношение
n l
(l )  T L  d x  0 .
   N
 


1 0
3.10 Местная (симплексная) система координат
Местная (симплексная) система координат. Введение этой системы
для каждого элемента упрощает вычисление интеграла, в частности методом
конечных элементов. Конечный элемент при этом задаётся как симплекс –
наиболее простая геометрическая фигура с n + 1 вершинами. Знание
координат вершин этой фигуры достаточно для однозначного определения
симплекса. В табл. 4.2 даны варианты симплексов в n-мерном пространстве.
Т а б л и ц а 4.2
Варианты симплексов в n-мерном пространстве
Симплекс
в n-мерном пространстве
Одномерный симплекс
Двумерный симплекс
Трёхмерный симплекс
Наиболее простая геометрическая фигура с n+1 вершинами.
Знание координат её вершин достаточно для однозначного
определения симплекса.
В одномерном пространстве отрезок прямой линии заданной
длины, размером которого является его длина.
В двумерном пространстве треугольник, размером которого
считают его площадь.
В трёхмерном пространстве – тетраэдр, размером которого
считают его объём.
При
расчёте
электромагнитных
и
тепловых
полей
в
электромеханических преобразователях и системах, в частности входящих в
состав электрооборудования летательных аппаратов (ЭЛА) наиболее часто
применяют двумерные симплексы для решения двумерных или
плоскопараллельных задач и трёхмерные симплексы для решения
трёхмерных задач. Для решения многих двумерных задач целесообразно
делить область на треугольные элементы (симплексы). В этом случае
непрерывность искомой функции на границах двух смежных треугольников
гарантируется лишь равенством значений функций в совпадающих вершинах
треугольников. Кроме того, алгебраические выражения аппроксимирующих
функций не зависят от расположения треугольников относительно общей
системы координат. Целесообразно более подробно рассмотреть двумерный
симплекс как более простой и, вместе с тем, достаточно часто применяемый
при расчёте электромагнитных и тепловых полей в электромеханических
преобразователях и системах, в частности входящих в состав ЭЛА.
1) Определение местных координат для треугольных элементов
(симплексов), для чего внутри текущего элемента ставится точка Р ; её
соединение с вершинами даёт три треугольника – подсимплекса (рис. 4.7).
Рис. 4.7 Графическое пояснение определения местных координат
2) Определение местных (симплексных) координат
Местоположение точки Р определяется тремя координатами:
1
 1
 1
L 1  S P 3 1 S 
1 2 3 ; L 2  S P 1 2 S 1 2 3 ; L 3  S P 2 3 S 1 2 3,
точки
P.
где S
– площадь треугольного элемента – симплекса; S
S P 2 3 – площади каждого подсимплекса.
3) Составление уравнения связи координат:
1 2 3
P 3 1
,S
P 1 2
,
L1+L2+L3=1,
где L 1 , L 2 , L 3 – координаты вершин x 1 y 1 , x 2 y 2 , x 3 y 3 треугольного
элемента (симплекса), которые образуют единичный базисный вектор:
x 1 y 1  ( 1, 0, 0 ) 

x 2 y 2  ( 0, 1, 0 )  .
x 3 y 3  ( 0, 0, 1 ) 
4) Нахождение
с L-координатами:
связи
координат
произвольной
xL 1 x 1 L2 x 2 L3 x 3 ;
x1
y  L 1 y 1  L 2 y 2  L 3 y 3 ; или [ A ]   y 1

 1
1 L1  L 2  L 3
x2
y2
1
точки
x 3
y 3 .

1 
5) Составление формулы интегрирования по площади симплекса:
m n t
 L1 L 2 L 3dSе 
S
m ! n !t !
det  A  .
 m  n  t  2
6) Вычисление интегралов:
 Φ1d S е 
S
1
det  A
6


1
Sе,
3
где m = 1, n = 0, t = 0;
 Φ1Φ 2 dS e =
S
Sе
.
12
При Ф 1 = L 1 ; Ф 2 = L 2 ; m = 1 , n = 1 , t = 0.
x
y
3.11 Подход к составлению схемы эквивалентной магнитной цепи
Подход к составлению схемы эквивалентной магнитной цепи.
Составление схемы эквивалентной магнитной цепи удобно пояснить на
примере двухмерного магнитного поля в локальном объёме электрической
машины (рис. 4.12) [7]. Это поле возбуждено периодической системой токов
i чередующегося направления в пазах верхнего сердечника. Силовые линии
магнитного поля (показаны сплошными) разбивают область поля на ряд
трубок магнитного потока Т1 , Т2 , . . . , Т12 . Средние линии трубок поля в
области паза, занятой током i , показаны пунктирными, эквипотенциальные
линии Э1 , Э2 , . . . , Э16 – штрихпунктирными.
Для составления схемы эквивалентной магнитной цепи область
магнитного поля разбивается на отдельные подобласти, состоящие из
нескольких участков трубок магнитного потока, заключённых между двумя
эквипотенциальными поверхностями. Каждой подобласти соответствует
ветвь эквивалентной магнитной цепи, показанной на рис. 4.13. Например,
подобласти, состоящей из участков трубок Т1–Т6 между эквипотенциалями
Э1 и Э16, соответствует ветвь В1. Эта ветвь имеет магнитное сопротивление
R B 1 = i B 1 / Ф B 1 , где Ф В 1 = Ф Т 1 + Ф Т 2 + Ф Т 3 + … + Ф Т 6 , i B 1 =
= u B 1 =  Э 1 –  Э 16 ;  Э 1 ,  Э 16 – магнитные потенциалы на линиях Э1 и
Э16 , соответствующих узлам цепи с теми же индексами.
Обычно в отдельную ветвь объединяются участки трубок магнитного
потока, полностью или почти полностью размещающиеся в одной и той же
среде. Например, ветви В7 и В15 лежат в ферромагнитной среде, ветви В4 ,
В9 почти целиком находятся в ферромагнитной среде, ветви В1 , В19 – в
немагнитной среде. В контуры эквивалентной магнитной цепи введены МДС,
равные токам, охваченным средними силовыми линиями магнитных потоков
ветвей контура. Например, в контур, образованный ветвью В22 (трубкой
Т12), введена МДС i 1 , равная току, охваченному средней силовой линией
магнитного потока ветви; в контур, образованный ветвями В22 , В21 и В7 , –
МДС i 2 , равная току, охваченному средними силовыми линиями магнитных
потоков этих ветвей; в контур, образованный ветвями В21 , В8 , В20 , В6 , –
МДС i 3 , равная току, охваченному средними силовыми линиями магнитных
потоков этих контуров, и т. д. Полная МДС в контурах, охватывающих весь
ток паза i , равна сумме частичных МДС i = i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6 .
Рис. 4.12 Разбиение области магнитного поля на
ряд подобластей, соответствующих отдельным
ветвям В1–В22 эквивалентной магнитной цепи
Рис. 4.13 Схема магнитной
цепи, эквивалентной
магнитному полю на рис. 4.12
Составленная схема магнитной цепи эквивалентна рассматриваемому
магнитному полю в отношении магнитных потоков Ф B S , сопротивлений и
напряжений или МДС u B S = i B S ветвей. Другими словами, в результате
расчёта этой цепи при МДС в контурах, определённых указанным образом,
потоки Ф В S и магнитные напряжения или МДС u B S = i B S ветвей не будут
отличаться от тех же величин для подобластей поля, ограниченных
соответствующими магнитными и эквипотенциальными поверхностями.
Эквивалентные магнитные цепи для любых двухмерных или
трёхмерных магнитных полей в нелинейных системах независимо от их
сложности составляются аналогичным образом. Точность расчёта с помощью
схемы магнитной цепи непосредственно зависит от полноты
воспроизведения интегральных величин магнитного поля, то есть от
достоверности определения магнитных сопротивлений ветвей магнитной
цепи, соответствующих элементам магнитного поля, и МДС (токов),
охваченных контурами магнитной цепи.
3.12 Примеры расчёта электромагнитных полей численными методами
Пример использования метода сеток.
Найти распределение потенциала в поле плоского конденсатора, одна из
обкладок которого деформирована. Остаток не должен превышать 5.
Р е ш е н и е.
1) Изображение прямоугольной сетки в области между обкладками
конденсатора с обозначением её узлов буквами и эквипотенциалей при
потенциалах обкладок  0 = 0 и  n = 60 (рис. 4.8).
Рис. 4.8 Прямоугольная сетка в области
между обкладками конденсатора
Рис. 4.9 Графическое пояснение
получения остатков, не превышающих 5
2) Нахождение остатков в уравнениях связи (3.24) для каждого узла, для
чего произвольно устанавливаются начальные значения потенциалов в узлах
с ориентацией на эквипотенциали. Например, для узла d :
 h   0   e   c  4  d  45  0  30  30  4  24  9 ;
3) Получение остатков, не превышающих 5, изменением значений
потенциалов узлов с вычислением каждый раз остатков. Для узла d (рис. 4.9):
 h   0   e   c  4  d  45  0  28  28  4  24  5 .
Пример расчёта поля методом конечных элементов.
Решить методом конечных элементов, привлекая метод Галеркина,
уравнение d 2  / d x 2 = –  ( x ) / (  1  2 ) = M x электростатического
поля между заряженными пластинами, расстояние между которыми d ,  = 0
при х = 0 и ( d  / d x ) x = 0 = 0 при x = 0. Функция ρ ( х ) известна.
Р е ш е н и е.
1) Разбиение исследуемой области поля на элементы: область поля для
простоты разбивается на три элемента (рис. 4.10).
2) Составление уравнений элементов.
 = α 1+ α 2 x ,
Аппроксимация  внутри каждого элемента полиномом с двумя
коэффициентами (элементы имеют по два узла). Условия для узлов элемента:
 = Ф i при x = X i ;  = Ф j при x = X j ,
где i , j – индексы, указывающие номера узлов.
Рис. 4.10 Разбиение области поля
на три элемента
Рис. 4.11 Пояснение составления
уравнения для  внутри одного элемента
Составляется система уравнений для определения узловых значений Фi
и Фj каждого узла на основании аппроксимирующего полинома:
Ф i = α 1 + α2 X i ; Ф j = α 1 + α2 X j ,
2) Составление уравнения для  внутри одного элемента при
расположении начала координат вне элемента. После решения предыдущих
уравнений относительно α1 и α2 и подстановки найденных значений в
аппроксимирующий полином (рис. 4.11)
X j  x


Φ
l
i
x  X i  Φ
l
j,
3) Составление уравнения для  при расположении начала координат в
i-м узле элемента (упрощает последующие вычисления):
S
 S
x = X i  S ;   1   Φ i  Φ j .
l
l

Уравнения для  с интерполяционными функциями N для каждого узла
 = N i Ф i + N j Ф j,
где N i = ( 1 + S / l ) ; N j = S / l .
4) Составление уравнения для  в матричной форме для всей области
Φ i 
   N i N j  
 
Φ
j


 N   Φ .
4) Решение интерполяционного уравнения [  ] = [ N ] [ Ф ] методом
Галеркина для одного элемента длиной l :
T
2
l
 N l    d   M  d x = 0 ,

 
  d x 2


0


где [ N ( l ) ] T – транспонированная матрица элемента l .
При x = 0 d  / d x = 0 и  = 0 .
После преобразования интеграла, записанного по методу Галеркина,
путём интегрирования его по частям (для снижения порядка производной):
l 
d  N  T
d   l  
 N l   d  X j 
*




N
M
d
x

0
,

X

 d x i


d
x
d
x
l
 N  l   T  d 1  x l    1  1 ; * – функция М = – ρ (x) / ε ε
r




dx x l 
l  1 


l  M i 


аппроксимируется линейной моделью M   N 
.

 M j 


5) Составление уравнения для элемента:
где
d
dx
1

l
 1 1  Φ i  l

 1 1  


 Φ j  6
0
2 1  M i 
0



1 2 
0  .

  M j 
 
6) Составление системы уравнений относительно узловых функций.
После суммирования матриц в общих узлах элементов получается:
 


 1 1
  Φ1 
2 1
  M1  0

 Φ 


 
1  1 2 1
l 1 4 1   M 2  0 
2

.

 

=
1 2 1  Φ  6  1 4 1   M  0 
l 

  3

  3  

1
1
1
2

 Φ 

  M  0
 4
 4
7) Решение первого уравнения относительно Ф
Ф 1 = 0 (по условию,  = 0 при x = 0):
2
с учётом того, что
   1
 1 1
  Φ1   M1 
 1 2 1
 Φ   M1 

  2   2 ,

1 2 1  Φ   M1 

  3  3

1
1

 Φ   M1 
 4  4
откуда Φ 1Φ 2 M 11; Φ 2  M11 .
8) Решение второго уравнения относительно Ф
относительно Ф 4 и n-го – относительно Фn+1 :
3
, третьего –
Φ n1 2 Φ n Φ n1M 1n , n2 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.,
1975.
2. Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля: Справочн.
пособие для электротехн. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1989. – 271 с.: ил.
3. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с
франц. – М.: Мир, 1998. – 208 с., ил.
4. Корячко В. П., Курейчик В. М., Норенков И. П. Теоретические
основы САПР. М.: Энергоатомиздат, 1987.
5. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений. М., 1972.
6. Татур Т. А. Электромагнитное поле в реальных средах. Киев, 1976.
7. Универсальный метод расчёта электромагнитных процессов в
электрических машинах. Иванов-Смоленский А. В, Абрамкин Ю. В.,
Власов А. И., Кузнецов В. А.: под ред. А. В. Иванова-Смоленского. М.:
Энергоатомиздат, 1986.