ПОДГОТОВКА-К-ЕГЭ-ПО

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ
Разберем решение нескольких задач из раздела В.
B4
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА
……
Запишите слово, которое стоит на 210-м месте от начала списка.
Решение
Заменим буквы А, О, У на 0, 1, 2 (для них порядок очевиден – по возрастанию)
Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:
1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00010
...
Полученная запись есть числа, записанные в троичной системе счисления в порядке
возрастания. Тогда на 210 месте будет стоять десятичное число 209 (т. к. первое число 0).
Переведём число 209 в троичную систему (деля и снося остаток справа налево):
209 / 3 = 69 (2)
69 / 3 = 23 (0)
23 / 3 = 7 (2)
7 / 3 = 2 (1)
2 / 3 = 0(2)
В троичной системе число 209 запишется как 21202. Произведём обратную замену и
получим УОУАУ.
Ответ: УОУАУ
B10
У Кати есть доступ в интернет по высокоскоростному одностороннему радиоканалу,
обеспечивающему скорость получения информации 220 бит в секунду. У Сергея нет
скоростного доступа в Интернет, но есть возможность получать информацию от Кати по
телефонному каналу со средней скоростью 2 13 бит в секунду. Сергей договорился с
Катей, что она скачает для него данные объемом 9 Мбайт по высокоскроростному каналу
и ретранслирует их Сергею по низкоскоростному каналу. Компьютер Кати может начать
ретрансляцию данных не раньше, чем им будут получены первые 1024 Кбайт этих
данных.
Каков минимально возможный промужеток времени (в секундах) с момента начала
скачивания Катей данных до полного их получения Сергеем?
В ответе укажите число, слово "секунд" или букву "с" добавлять не нужно.
Решение
Нам известно, что компьютер Кати может начать ретрансляцию данных не раньше,
чем им будут получены первые 1024 Кбайт этих данных. Следовательно, узнаем,
сколько на это потребуется времени:
1024 Кбайт=210 * 210 * 23=223бит
223бит / 220бит/с=23с=8с
После того, как Катя получила 1024 Кбайт данных она начинает их ретрансляцию
Сергею. Сергею, чтобы их получить потребуется времени:
9 Мбайт=9 * 210 * 210 * 23=9 * 223бит
9 * 223бит / 213бит/с=9 * 210с=9216с
А теперь определим промежуток времени с момента начала скачивания Катей данных
до полного их получения Сергеем:
8с+9216с=9224с
Ответ: 9224.
B10
Скорость передачи данных через ADSL─соединение равна 128000 бит/c. Через данное
соединение передают файл размером 625 Кбайт. Определите время передачи файла в
секундах.
Решение
Время t вычисляется по формуле t = Q / q, где Q — объем файла, q — cкорость передачи
данных.
t = 625 * 210 байт / (2 7 * 1000) бит/c = 625 * 210+3 бит / (125 * 2 7+3) бит/c = 5 * 23 с = 40 с.
Ответ: 40.
B10
Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 128000 бит/с. Передача
текстового файла через это соединение заняла 1 минуту. Определите, сколько символов
содержал переданный текст, если известно, что он был представлен в 16-битной
кодировке Unicode.
Решение
Объём информации вычисляется по формуле Q = q * t, где t — время передачи q —
cкорость передачи данных. Поэтому
Q = 128000 бит/c * 60 c.
Каждый символ в данной кодировке кодируется 16-ю битами. Следовательно, количество
символов определится так:
N = 128000 бит/c * 60 c : 16 = 8000 * 60 = 480 000.
О т в е т : 480000
B11
Маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, которое определяет, какая
часть IP-адреса компьютера относится к адресу сети, а какая часть IP-адреса определяет
адрес компьютера в подсети. В маске подсети старшие биты, отведенные в IP-адресе
компьютера для адреса сети, имеют значение 1; младшие биты, отведенные в IP-адресе
компьютера для адреса компьютера в подсети, имеют значение 0.
Если маска подсети 255.255.255.224 и IP-адрес компьютера в сети 162.198.0.157, то
порядковый номер компьютера в сети равен_____
Решение
1. Так как первые три октета (октет - число маски, содержит 8 бит) все равны 255, то в
двоичном виде они записываются как 24 единицы, а значит, первые три октета
определяют адрес сети.
2. Запишем число 224 в двоичном виде.
3. Запишем последний октет IP-адреса компьютера в сети:
4. Сопоставим последний октет маски и адреса компьютера в сети:
11100000
11011101
Жирным выделена нужная нам часть, овтечающая (по условию) за адрес компьютера в
подсети. Переведем её в десятичную систему счисления:
.
О т в е т : 29
B11
В терминологии сетей TCP/IP маской подсети называется 32-разрядное двоичное число,
определяющее, какие именно разряды IP-адреса компьютера являются общими для всей
подсети – в этих разрядах маски стоит 1. Обычно маски записываются в виде четверки
десятичных чисел - по тем же правилам, что и IP-адреса. Для некоторой подсети
используется маска 255.255.254.0. Сколько различных адресов компьютеров теоретически
допускает эта маска, если два адреса (адрес сети и широковещательный) не используют?
Решение
1. Так как первые два октета (октет - число маски, содержит 8 бит)оба равны 255, то в
двоичном виде они записываются как 16 единиц, а значит, первые два октета определяют
адрес сети.
2. Запишем число 254 в двоичном виде.
В конце этого числа стоит 1 ноль, еще 8 нолей мы получаем из последнего октета маски.
Итого у нас есть 9 двоичных разрядов для того, чтобы записать адрес компьютера.
3.
но, так как два адреса не используются, получаем
О т в е т : 510
B11
В терминологии сетей TCP/IP маской сети называют двоичное число, которое
показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая – к адресу
узла в этой сети. Адрес сети получается в результате применения поразрядной
конъюнкции к заданному адресу сети и его маске. По заданным IP-адресу сети и маске
определите адрес сети:
IP-адрес: 145.92.137.88 Маска: 255.255.240.0
При записи ответа выберите из приведенных в таблице чисел 4 фрагмента четыре
элемента IP-адреса и запишите в нужном порядке соответствующие им буквы без точек.
A B
C
D
E
F G H
0 145 255 137 128 240 88 92
Пример. Пусть искомый адрес сети 192.168.128.0 и дана таблица
A
B
C D E F G H
128 168 255 8 127 0 17 192
В этом случае правильный ответ будет HBAF.
Решение
1. Запишем числа маски сети в двоичной системе счисления.
2. Адрес сети получается в результате поразрядной конъюнкции чисел маски и чисел
адреса узла (в двоичном коде). Так как конъюнкция 0 с чем-либо всегда равна 0, то на тех
местах, где числа маски равны 0, в адресе узла стоит 0. Аналогично, там, где числа маски
равны 255, стоит само число, так как конъюнкция 1 с любым числом всегда равна этому
числу.
3. Рассмотрим конъюнкцию числа 224 с числом 142.
Результатом конъюнкции является число
.
4. Сопоставим варианты ответа получившимся числам: 145, 92, 128, 0.
О т в е т : BHEA
B13
У исполнителя Калькулятор две команды:
1. умножь на 2
2. умножь на 3.
Первая из них умножает число на экране на 2, вторая — утраивает его. Сколько
различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит
ровно 3 команды?
Решение
С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа:
2*2=4
2 * 3 = 6.
С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6:
4*2=8
4 * 3 = 12
6 * 2 = 12
6 * 3 = 18
Видим, что два результата совпадают, поэтому получилось 3 числа, а не 4.
С помощью трёх команд получаются следующие числа.
12 * 2 = 24
12 * 3 = 36
8 * 2 = 16
8 * 3 = 24
18 * 2 = 36
18 * 3 = 54
Числа 36 и 24 встречаются дважды, поэтому всего получаем 4 различных числа.
Это решение можно записать в виде дерева:
2
2*2=4
2 * 3 = 6.
4*2=8
4 * 3 = 12
6 * 2 = 12
6 * 3 = 18
8*2=
8*3=
12 * 2 =
12 * 3 =
8*2=
8*3=
18 * 2 =
18 * 3 =
16
24
24
36
16
24
36
54
Ответ: 4.
B13
У исполнителя Калькулятор две команды:
1. прибавь 2
2. прибавь 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая — на 3. Сколько различных чисел
можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?
Решение
Для сложения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок
команд в программе не имеет значения.
Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество возможных
программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел.
Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 10-n команд 2. n изменяется от 0 до 10.
Всего 11 программ, следовательно, 11 чисел.
Ответ: 11.
B15
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4,
y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) /\ (x2 → x3) /\ (x3 → x4) = 1
(¬y1 \/ y2) /\ (¬y2 \/ y3) /\ (¬y3 \/ y4) = 1
(y1 → x1) /\ (y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4,
y1, y2 y3, y4, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решение
Преобразуем систему уравнений к виду:
(x1 → x2) /\ (x2 → x3) /\ (x3 → x4) = 1 (1)
(y1 → y2) /\ (y2 → y3) /\ (y3 → y4) = 1 (2)
(y1 → x1) /\ (y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1 (3)
Розовым выделено уравнение, которое было преобразовано. ¬y1 \/ y2=y1 → y2.
Аналогично и для остальных частей данного уравнения.
Решим уравнение (1).
1 способ
Уравнение (1) содержит импликации (→), связанные конъюнкцией (/\). Соответственно,
чтобы уравнение было истинно, все входящие импликации должны быть истинны:
x1 → x2=1,
x2 → x3=1,
x3 → x4=1.
Таблица истинности для импликации на примере x1 → x2:
x1 x2 x1→x2
0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
1
Розовым выделена комбинация, когда импликация ложна. Видно, что в ней идут подряд
"1" и "0". Выпишем комбинации для x1x2x3x4, в которых не встречается подряд "1" и "0",
чтобы импликации x1 → x2, x2 → x3, x3 → x4 не были равны 0-ю.
x1
0
0
0
0
x2
0
0
0
1
x3
0
0
1
1
x4
0
1
1
1
1
1
1
1
Получили 5 комбинаций.
2 способ
Решим методом от противного. Рассмотрим случаи, когда уравнение (x1 → x2) /\ (x2 →
x3) /\ (x3 → x4)=0.
Импликация ложна, когда посылка истинна, а следствие ложно. Таблица истинности
приведена выше:
Исходя из этого определим случаи, когда импликация ложна.
Если x1 → x2=0:
x1
1
1
1
1
x2
0
0
0
0
x3
0
0
1
1
x4
0
1
0
1
x1=1, x2=0,
x3 и x4 - 0 или 1, поэтому они дают 22=4 комбинации.
Если x2 → x3=0:
x1
0
0
1
1
x2
1
1
1
1
x3
0
0
0
0
x4
0
1
0
1
x2=1, x3=0,
x1 и x4 - 0 или 1, поэтому они дают 4 комбинации.
Если x3 → x4=0:
x1
0
0
1
1
x2
0
1
0
1
x3
1
1
1
1
x4
0
0
0
0
x3=1, x4=0,
x1 и x2 - 0 или 1, поэтому они дают 4 комбинации.
Получили 4*3=12 комбинаций.
Также нужно учеть повторные комбинации. В данном случае повторная комбинация одна:
1010. В таблицах выше такая комбинация выделена синей рамкой. Она встретилась 2 раза,
поэтому общее число комбинаций с учетом повторов:
12−1=11.
Мы решали уравнение методом от противного. Теперь перейдем к исходному уравнению.
Общее число комбинаций при 4-х переменных: 24=16. 16-11=5 комбинаций.
Перейдем к уравнению (2):
(y1 → y2) /\ (y2 → y3) /\ (y3 → y4) = 1.
Это уравнение содержит переменные y1, y2, y3, y4, которые не связаны с уравнением (1).
Уравнения (1) и (2) независимы друг от друга. Но вид уравнения (2) аналогичен виду
уравнения (1), которое мы решили выше. Поэтому получаем 5 комбинаций.
y1
0
0
0
0
1
y2
0
0
0
1
1
y3
0
0
1
1
1
y4
0
1
1
1
1
Добавим к системе уравнение (3):
(y1 → x1) /\ (y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1
Выпишем рядом решения уравнений (1) и (2)
y1 y2 y3 y4
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
x1 x2 x3 x4
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
Будем решать систему уравнений методом от противного. Уравнение (3) равно 0-ю.
y1 → x1=0:
y1=1, x1=0
y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Получили 4 комбинации.
y2 → x2=0:
y2=1, x2=0. Строку 1111 (y1y2y3y4) не берем во избежания повторов.
y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Получили 3 комбинации.
y3 → x3=0
y3=1, x3=0. Строки 1111, 0111 (y1y2y3y4) не берем во избежания повторов.
y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Получили 2-е комбинации.
y4 → x4=0
y4=1, x4=0. Строки 1111, 0111, 0011 (y1y2y3y4) не берем во избежания повторов.
y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Получили 1-у комбинацию.
Всего комбинаций: 4+3+2+1=10.
Мы решали систему уравнений методом от противного. Теперь перейдем к исходной
системе.
Общее число комбинаций: 5*5=25. Уравнения (1) и (2) дают по 5 независимых
комбинаций.
25-10=15 комбинаций.
Ответ: 15
B15
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1,x2, ... x9,
x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) =1
((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) =1
...
((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) =1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, ... x9, x10, при
которых выполнена данная система
Решение:
Проведем замену:
(x1 ≡ x2)=y1
(x3 ≡ x4)=y2
(x5 ≡ x6)=y3
(x7 ≡ x8)=y4
(x9 ≡ x10)=y5
Перепишем систему уравнений с учетом замены:
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=1
(y2Vy3)Λ(¬y2V¬y3)=1
....
(y4Vy5)Λ(¬y4V¬y5)=1
Решим первое уравнение (y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=1.Преобразуем логическое выражение
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2):
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=(y1Λ¬y1)V(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1)V(y2Λ¬y2)=0V(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1)V0
=(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1).
Отобразим логическое выражение (y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1) с помощью диаграммы ЭйлераВенна:
Видно по рисунку,что это инверсия эквиваленции: ¬(y1≡y2) или ¬(y1↔y2).
Перепишем уравнение: ¬(y1≡y2)=1. Отсюда (y1≡y2)=0. Такое уравнение имеет 2
решения:y1=1,y2=0 или y1=0,y2=1.
Рассмотрим 2-ое уравнение. С учетом преобразований оно становится таким:¬(y2≡y3)=1.
Решим систему из двух уравнений:
¬(y1≡y2)=1
¬(y2≡y3)=1
Перепишем систему в одно уравнение:¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3)=1.
Преобразуем ¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3):
¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3)=¬( (y1≡y2)V(y2≡y3) )-выносим отрицание за скобки.
Уравнение примет вид:¬( (y1≡y2)V(y2≡y3) )=1. Отсюда (y1≡y2)V(y2≡y3)=0.
Логическое выражение выполняется, только когда (y1≡y2)=0 и (y2≡y3)=0.
Пусть y2=0.
y1≡0=0-выполняется при y1=1.
0≡y3=0-выполняется при y3=1.
Получаем одно решение:y2=0,y1=1,y3=1.
Пусть y2=1.
y1≡1=0-выполняется при y1=0.
0≡y3=0-выполняется при y3=0.
Получаем одно решение:y2=1,y1=0,y3=0.
Общее число решений при двух уравнениях системы:1+1=2 решения.
Таким образом,при добавлении одного уравнения к самому первому уравнению не
меняется число решений, остается равным двум. Следовательно, добавление остальных
уравнений не изменит общее количество решений. Остается два решения.
Теперь перейдем к поиску количества решений, используя обратную подстановку для y.
y1=(x1 ≡ x2)-для каждого из значений y1 есть два решения. Например,если y=0,то
x1=0,x2=1 или x1=1,x2=0.
y2=(x3 ≡ x4)-для каждого из значений y2 есть два решения.
Аналогично и для остальных:y3,y4,y5. Пары решений
(x1,x2),(x3,x4),(x5,x6),(x7,x8),(x9,x10) - не зависят друг от друга, поэтому комбинаций
решений равно 25=32.(основание равно 2,т.к. каждая пара дает два решения, а степень
равна 5,т.к. у нас есть 5 пар).
В данном случае мы не учли, что и y1,y2,y3,y4,y5 дают нам в два раза больше решений.
Общее количество решений:32*2=64 решения.
Ответ: 64
Использованные источники:
http://infoegehelp.ru/
http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm
http://inf.reshuege.ru/?redir=1
http://ege.yandex.ru/informatics/