Сравнение различных подходов при решении задачи С5

Сравнение различных подходов при решении задачи С5
Предлагаемые при итоговой аттестации учащихся задания группы
С5 интересны для учителей и выпускников не только с точки зрения
достижения результата на экзамене, но и как средство сравнения
возможностей реализуемой учителем образовательной программы для
разных групп учащихся. Рассмотрим задание С5, предлагавшееся в 2013 для
выпускников 11 класса, решение одним способом аналога,
которого приведено в книге С.А. Шестакова «ЕГЭ 2014. Математика Задача
С5 Задачи с параметром» издательства МЦНМО на стр. 156 -157.
С5. Найдите все значения а, при каждом из которых
уравнение
имеет единственный корень.
Данное задание можно решать с помощью приемов, доступных выпускникам
9 классов.
Рисунок 1
Способ 1. Использование графической интерпретации. Перепишем
уравнение в виде
. Пусть
Построим графики y = f(x) и
семейство графиков y = g(x).
f(x) задает
полуокружность, g(x) – семейство прямых, для которых параметр а влияет
как на изменение углового коэффициента, так и на свободный член. Можно
заметить, что с ростом а угловой коэффициент монотонно убывает, а
свободный член монотонно возрастает. При а = 0 (I) горизонтальная прямая
касается полуокружности, уравнение имеет единственное решение. При a > 0
(II) угловой коэффициент прямой отрицательный, ордината точки
пересечения с осью Oy больше 1, общих точек с полуокружностью нет. При
убывании а в области отрицательных значений прямые сначала имеют две
общих точки с полуокружностью, пока прямая не займет положение (III). Для
определения соответствующего значения, а имеем уравнение 0 = 3а + 3а +
1, а = – 1/6. При дальнейшем уменьшении а прямая имеет с
полуокружностью одну точку, пока не станет проходить через точку (– 1; 0),
соответствующее этому значение а находим из уравнения 0 = а + 3а + 1, а = –
1/4. При меньших а общих точек у прямой и полуокружности нет.
Следовательно, единственное решение у уравнения будет в случае а = 0 или
для а из
[– 1/4; – 1/6).
Ответ:
.
Способ 2. Более интересной будет графическая иллюстрация, если заметить,
что задаваемое семейство прямых представляет собой пучок прямых. Все
прямые, кроме вертикальной, проходящие через точку (х0;у0) могут быть
заданы в виде y – y0 = a (x – x0), где
Для задания прямых используем преобразование y – 1 = a (x – 3), откуда
получаем общую точку всех прямых (3; 1). Решение задачи может
сопровождаться рисунком, приведенным ниже, где обозначение граничных
положений такое же, как и в способе 1. Однако, на экзамене выпускник
самостоятельно не придет к понятию пучка прямых, если соответствующая
конструкция не будет отработана с учащимися при подготовке к экзамену.
Ответ в задаче получается аналогичными способу 1 расчетами.
Рисунок 2
Способ 3. Для данной задачи возможно получить вполне корректное
решение, если даже не увидеть уравнения полуокружности, а привести
исходное уравнение к виду, позволяющему проанализировать взаимное
положение графика функции
и семейства прямых g(x)
= a(3 – x). Область определения f(x) – отрезок [–3;–1], причем на [–3;–2] f(x)
возрастает, на [–2;–1] – убывает. Множество значений функции f(x) – отрезок
[–1;0]. Пучок прямых, задаваемый g(x), проходит через точку (3;0). Наличие
общих точек анализируется похожим образом на способ 2, не используя
явного вида графика f(x).
Способ 4. Равносильный переход с последующим исследованием
расположения корней квадратного трехчлена.
Большая часть работ выпускников, авторы которых идут по аналитическому
пути решения задачи, содержит только первый маленький шаг на пути к
верному решению.
Исследовав последнее квадратное относительно х уравнение, они делают
ошибочный вывод, что наличие единственного корня данного уравнения
обеспечивает выполнение условий исходной задачи.
В действительности исходное уравнение равносильно системе, в которую
входит условие не отрицательности выражения, приравниваемого к
радикалу.
Уравнение (1) приводится к
виду
Рисунок 3
При, а = 0 уравнение имеет единственный корень х = –2. При a = –5/12
корень уравнения (1)
x = –21/13 не удовлетворяет неравенству (2). Учтем, что уравнение (1) имеет
2 корня при а < 0. Для х из неравенства (2) получаем x > 3 + 1/a . Поскольку
дискриминант квадратного трехчлена уравнения (1) не представляет собой
квадрат простого выражения, достаточно проблематично через
иррациональные неравенства получить значения параметра а. Задание
существенно упростится, если использовать метод составления системы
необходимых и достаточных условий, соответствующей нужному
расположению корней квадратного трехчлена. Ветви соответствующей
параболы направлены вверх, меньший корень должен лежать слева от
значения 3 + 1/a, а больший – справа. Уравнение (1) можно представить в
виде f(x) = 0, тогда требуемые значения параметра а будут определяться из
условия f(3 + 1/a) < 0 или же x2 = 3 +1/а. Эти условия являются и
необходимыми, и
достаточными.
приведения к общему знаменателю и упрощения
После
получаем
При а = – 1/4 получаем, что 3 + 1/а =
–1 – больший корень уравнения, при а = –1/6 получаем, что 3 + 1/а = –3 –
меньший корень уравнения, что нас не устраивает. Объединяя найденные
значения а, имеем
Ответ:
Способ 5. Иррациональные неравенства.
К сожалению, если исследованию расположения корней квадратного
трехчлена, почти не уделялось времени, то нам остается метод «тупо в лоб».
Уравнение (1) приводится к виду
Как показано выше, из граничных значений имеем а = 0. При D1 > 0
получаем
При а < 0 из (2)
и
Система условий
приводит нас
к равносильному при D1 > 0 (с необходимостью учета строгого и нестрогого
неравенств системы) неравенству
Учитывая замечания к способу 4, получаем
Ответ:
Способ 6. Применение элементов высшей математики: f(x) = a.
В старшей школе много времени уделяется элементам математического
анализа, особенно в классах с углубленным изучением математики.
Возможностью хоть как-то использовать приобретенные навыки в этой
области можно воспользоваться и для решения задач группы С. Исходное
уравнение определено при
На [– 3;– 1]
перепишем уравнение в
виде
при x = – 2.
Пусть
D(f) = [– 3;– 1]. f(x) = 0
Определим множество значений функции. f(–3) = –1/6, f(–2) = 0, f(–1) = –1/4.
Единственная точка экстремума на D(f) оказалась точкой максимума. Е (f) =
[–1/4;0]. Построим эскиз графика функции y = f(x).
Как видно из представленного эскиза, уравнение f(x) = a имеет единственное
решение для
.
Ответ:
Рисунок 4.
Способ 7. Применение элементов высшей математики: f(x) = g(x).
Если мы смогли преобразовать исходное уравнение к виду, когда одна из его
частей не зависит от параметра, то исследование числа корней уравнения f(x)
= a сводится к определению числа точек пересечения графика f(x) с
горизонтальными прямыми. Правда, формулы для f(x) громоздки. Однако,
некоторый выигрыш в формулах для задания функций, сполна
компенсируется поиском условий качания их графиков.
Исходное уравнение определено при
На [– 3;– 1]
перепишем уравнение в виде
Построив эскизы
графиков левой и правой частей уравнения, можно определить условие
единственности корня исходного уравнения. В способе 7 (в отличие от
способа 6) существует определенная проблема: условие касания графиков
при а = 0 следует обосновывать.
Рисунок 5.
Абсциссу точки касания графиков f(x) и g(x) найдем из условия равенства
при этом аргументе значений функций и их производных.
Получаем x0 = –2, а = 0. В качестве рекомендации, можно посоветовать
ученикам стараться сводить использование графиков функций таким
образом, чтобы с одной стороны появлялся график функции без параметра, а
с другой стороны было выражение, зависящее только от параметра.