Лекция №17 17.1 Вычисление геометрических характеристик поперечных сечений стержней. Из курса высшей математики известно, что площадь фигуры ограниченной функцией y(z) на отрезке [ z0 , z1 ] определяется по формуле (17.1) . Рис. 17.1 Плоская фигура, ограниченная кривой f(z) Геометрические характеристики: статические моменты S z , S y , осевые и центробежный моменты инерции J z , J y , J zy предложено также вычислять с помощью одинарных интегралов: (17.2) Такой подход дает единый способ для вычисления геометрических характеристик и требует лишь умения вычисления интегралов. Координаты центра тяжести фигуры, осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей, главные центральные моменты инерции и радиусы инерции определяются с помощью известных алгебраических формул. Пример 17.1 Вычислим центробежный момент инерции прямоугольного треугольника (рис 17.2) Рис. 17.2 z b В данном примере f ( z ) h (1 ) . Вычисляем интеграл ( z0 0, z1 b) Центробежный момент инерции относительно центральных осей (17.3) = Пример.17.2 Определить центр тяжести четверти круга (рис.17.3). Уравнение дуги окружности y r 2 z 2 , ( z0 0, z1 r ). Рис. 17.3 К определению центра тяжести четверти круга 1r 1r 1 r3 r3 S 4r 4r 3 yc z , S z y ( z ) 2 dz (r 2 z 2 )dz (r 3 ) , yc , yc . (17.4) A 3 20 20 2 3 3 3r 2 Для координаты zc имеем: zc z1 r , S y zy ( z )dz z ( r 2 z 2 )dz , A z0 0 Sy 1 3 r2 2 4r 1r 1 1 r3 S y ( r 2 z 2 )d ( z 2 ) (r 2 t ) 2 dt (r 2 t ) 2 0r , zc . 3 20 2 0 3 3 (17.5) Для вычисления геометрических характеристик поперечных сечений удобно использовать систему инженерных расчетов Mathcad . Ниже представлен код программы, реализующий вычисление интегралов (17.2) ORIGIN 1 Name "Òðåóãîëüíèê" 2 1.5 2 ( 1 z ) 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 z f ( z) 1 z h b z0 0 z1 b z 1 2 f ( z) d z z1 z1 z T f ( z) d z T 0 T z f ( z) d z 1 2 1 3 1 1 z 2 z 0 0 P z1 z1 3 2 f ( z) d z f ( z) z d z z1 z z0 2 T 0 T z f ( z) d z T 2 2 2 3 2 1 3 2 z 0 T T T 1 3 T 1 2 T T T 2 T 3 1 3 2 4 1 2 1 3 2 1 1 T T 1 1 1 1 T T T 2 T T T T T T 2 2 3 1 1 1 4 3 2 3 3 1 3 2 1 1 4 2 A T1 1 Sz T1 2 Sy T1 3 Jz T2 1 Jy T2 2 Jzy T2 3 S Name zc T3 1 y c T3 2 Jz T Jy c T Jzy c T 4 1 4 2 4 3 c 2 2 b h A b h Sz b h Sy 2 6 6 3 3 2 2 b h b h J b h Jy Jzy z 12 12 24 P b h yc "Òðåóãîëüíèê" zc 3 3 3 3 2 2 b h b h b h Jzc Jy c Jzy c 36 36 72 P substitute b A 9 Sz J 54 J y z 6 zc 1 yc Jzc 18 Jyc 3 h 27 27 Jzy 2 2 2 "Òðåóãîëüíèê" 9 9 Jzy c 2 2 18 Sy 9 Name "Òðàïåöèÿ" f ( z) z z1 y0 z z0 y1 z0 z1 z1 z0 Òðàïåöèÿ 2 1.5 1 2 z 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 z z P 1 1 A z0 z1 y0 y1 simplify Sy 1 3 P P 2 1 P 2 2 P 2 3 P 3 1 P 4 1 simplify Jz simplify Jy simplify Jzy zc P 1 2 2 Sz 6 z0 z1 2 y0 z0 y0 z1 y1 z0 2 y1 z1 6 z0 z1 y02 y12 y0 y1 12 z0 z1 3 y0 z02 y0 z12 y1 z02 3 y1 z12 2 y0 z0 z1 2 y1 z0 z1 12 z0 z1 3 y02 z0 y02 z1 y12 z0 3 y12 z1 2 y0 y1 z0 2 y0 y1 z1 2 y0 z0 y0 z1 y1 z0 2 y1 z1 simplify Jzc z0 z1 y02 y0 y1 y12 3 y0 3 y1 24 2 P 3 2 yc 2 y 0 y 0 y 1 y 1 3 y 0 3 y 1 z0 z1 y04 2 y03 y1 2 y0 y13 y14 36 y0 y 1 P 4 2 P 4 3 z0 z13 y02 4 y0 y1 y12 36 y 0 y 1 simplify Jy c simplify Jzy c z0 z12 y03 3 y02 y1 3 y0 y12 y13 72 y0 y 1 7 2 A 3 Sz Sy 2 6 3 5 5 11 J Jy Jzy z 4 12 24 P substitute z0 0 y 0 2 z1 1 y 1 1 7 zc 4 yc "Òðàïåöèÿ" 9 9 37 13 13 Jzc 108 Jy c 108 Jzy c 216 17.2 Расчет статически неопределимых балок Покажем, как можно использовать систему компьютерной алгебры Maple для определения усилий и перемещений в однопролетной статически неопределимой балке (рис.17.4), (пример.11.2; лекция №11). Рис.17.4 Статически неопределимая балка Программный код Maple имеет вид: > > > > > > > > > > > > > > > > > Рис 17.5 Эпюры M , Q, V , . EJ EJ