Подготовка к олимпиадам учащихся 5, 6 классов

МБОУ «Горковская СОШ»
Элективный курс
«Математика – подготовка к олимпиадам
учащихся 5 – 6 классов».
Программу составила Рожкова Л.В.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Горковская средняя общеобразовательная школа»
Элективный курс
«Математика – подготовка к олимпиадам учащихся 5 – 6 классов».
Фамилия, Имя, Отчество
Рожкова Любовь Владимировна
Дата рождения
5 августа 1960 г.
Должность, место работы
Образование
Учитель математики, заместитель
директора по УР МБОУ « Горковская
средняя общеобразовательная школа»
Высшее
Педагогический стаж
31
Квалификационная категория
Первая
Год прохождения аттестации
2010
Преподаваемый предмет
Математика
Классы
9
Служебный адрес
с. Горки, ул. Школьная 8
Телефон
61 – 6 - 29
Домашний адрес
с. Горки, ул Октябрьская 5
Телефон
61 – 2 - 91
Электронный адрес
rojkova_lv@mail.ru
Сделать учебную работу
настолько интересной для
ребёнка и не превратить эту
работу в забаву – это одна
из важнейших и труднейших
задач дидактики.
К. Д. Ушинский
Пояснительная записка
В последние годы в России
стало проводиться много различных математических
олимпиад. Это традиционные для учащихся старших классов, для абитуриентов, заочные
для учащихся среднего и старшего звена, но для учащихся 5 – 6 – классов их значительно
меньше. Хотя именно в этом возрасте дети наиболее любознательны и желают
участвовать в различных соревнованиях.
Для того, чтобы учащиеся успешно участвовали в олимпиадах, различных конкурсах, им
необходимо иметь знания, выходящие за рамки школьной программы. Так как во всех
олимпиадах и конкурсах есть вопросы и задачи по программному материалу и большая
часть заданий не связана со школьной программой. Эти задания посвящены следующим
классическим темам: круги Эйлера, графы, принцип Дирихле и другие.
Данный элективный курс позволит учащимся 5-6 классов познакомиться с материалом,
выходящим за рамки школьной программы, приготовиться к участию в олимпиадах и
конкурсах, улучшить математическую подготовку. Особенность данного элективного
курса в том, что новый материал изучается при решении задач. Особое внимание
уделяется
овладению
учащимися
математическими
методами
поиска
решений,
логическим рассуждениям, построению и изучению математических моделей.
Материал
для
занятий
подобран
таким
образом,
чтобы
можно
было
проиллюстрировать применение математики на практике, показать связь математики с
другими областями знаний, познакомить с некоторыми историческими сведениям,
подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов. Сюжетное построение курса
имеет целый ряд позитивных особенностей. Учитель может менять
порядок тем,
рассматривать не все включенные в него вопросы, а отбирать материал по своему
усмотрению в соответствии с возможностями и интересами детей, а также временем,
отведенным на занятие. Важно, что курс является открытым: в случае необходимости
можно добавлять новые фрагменты, развивать предложенную тематику или заменять
какие-либо темы другими.
Программа рассчитана на 28 учебных часов.
Цель курса: развитие математических способностей, мышления, интеллекта.
Главные задачи:
-развить интерес школьников к изучению математики;
-познакомить учащихся с новыми методами решений задач;
-расширить кругозор учащихся.
Форма деятельности:
-групповая;
-парная;
-индивидуальная
Прогноз ожидаемого результата:
- улучшение успеваемости учащихся по математике;
- участие учащихся в олимпиадах и конкурсах различного уровня.
Критерии и механизм отслеживания результатов программы:
При прохождении курса учащимся необходимо выполнить 6 зачётных работ по 6 заданий
в каждой.
Выставляется:






6 баллов – при безупречном выполнении;
5 баллов – при одной ошибке;
4 балла – при двух ошибках;
3 балла – при трёх ошибках;
2 балла – при четырёх ошибках;
1 балл – при пяти ошибках.
Если ученик набрал не менее 18 баллов, курс считается им усвоенным на
удовлетворительном уровне, если набрано менее 18 баллов, то – на
неудовлетворительном.
Программа факультативного курса:
1. Занимательные задачи. Ребусы.
Основная цель: заинтересовать учащихся интересными математическими задачами,
показать приёмы решения ребусов.
2. Круги Эйлера.
Основная цель: введение понятия множество, нахождение пересечения двух или
нескольких множеств.
3. Графы.
Основная цель: решение задач с применением теории графов (графическим способом,
табличный способ).
4. Принцип Дирихле.
Основная цель: воспитание у учащихся умение ставить в однозначное соответствие
элементы одного множества к элементам другого множества.
5. Комбинаторика.
Основная цель: научить делать правильный выбор путём перебора всех возможных
вариантов, просчитывать количество имеющихся вариантов.
6. Математические ребусы. Шифровки.
Основная цель: развитие наблюдательности, интуиции,
заложенный в упражнение смысл, увидеть закономерность.
способности
увидеть
Учебно – тематический план (с 1 октября по 30 марта)
№
Тематика занятий
п/п
Количество часов
Теория,
практика.
Зачётное
занятие
1.
Занимательные задачи. Ребусы
3
2.
Круги Эйлера.
4
1
3.
Графы.
4
1
4.
Принцип Дирихле.
4
1
5.
Комбинаторика.
4
1
6.
Математические ребусы. Шифровки.
4
1
23
5
ИТОГО
28
Литература.
1.Фарков А.В. Математические олимпиады – М.Экзамен, 2009.
2. Вологодина Н.В. Математика. Игры со всего света - Ростов н/Д.Феникс, 2007.
3. Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по математике - Ростов н/Д.Феникс, 2009.
4. Перельман Я.И. Весёлые задачки и головоломки – М.Астрель, 2010.
5. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике –
М.Просвещение, 1984.
График сдачи зачётных работ
№
Зачётные работы по следующим темам:
Сроки выполнения
1.
Занимательные задачи. Ребусы
До 30 октября
2.
Круги Эйлера.
До 30 ноября
3.
Графы.
До 30 декабря
4.
Принцип Дирихле.
До 30 января
5.
Комбинаторика.
До 28 февраля
6.
Математические ребусы. Шифровки.
До 28 марта
Дорогие друзья!
Вам предлагается курс подготовки к математическим олимпиадам. Решая
задачи, рассматривая предложенный теоретический и практический материал
вы узнаете,
как устанавливать закономерности, решать занимательные и
логические задачи. Эти знания и умения пригодятся вам при подготовке к
различным
конкурсам,
олимпиадам
и
более
успешному
усвоению
математики.
Курс разбит на темы.
Для того, чтобы усвоить эту тему
вам, необходимо рассмотреть
предложенные задачи с подсказками, решением и решить задачи из раздела
«Задачи для самостоятельного решения».
Решённые задачи необходимо отправить на проверку.
Зачётного занятия по этой теме нет, но похожие задачи будут включены в
следующие зачётные задания.
Желаю удачи!
Тема №1 «Занимательные задачи. Ребусы».
1. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди,
одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?
(Если сразу не догадался, нарисуй. Ответ есть в тексте задачи.)
2. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры в обоих
примерах.
АБ В
+ В В
А А Б
АБВ
* ВВ
АБВ
АБ В
АГ АВ
( В предложенных ребусах используй цифры, которые по значению меньше6)
3. Охотник добывал куропаток и песцов. Когда пересчитал, то оказалось,
что у них 37 голов и 100 ног. Сколько было добыто куропаток и
сколько песцов?
(Решая эту задачу, ты должен помнить, что у куропаток по 2 ноги, а у песцов по 4.)
4. На складе рыбозавода имеются ящики с солью по 24кг, 23кг, 17кг,
16кг. Как рабочему взять 100кг соли, не распечатывая ящиков.
5. Разделите эту фигуру на четыре равные по форме части так, чтобы
сумма цифр в каждой части равнялась 50.
5
15
12
8
10
14
11
9
13
3
3
4
2
18
16
7
19
8
17
6
(Найди сумму всех чисел находящихся в данной фигуре, подели её на 4 и ты узнаешь
какая сумма будет в каждой части).
6. Используя четыре раза цифру 4, скобки, знаки действий, представьте
все числа от 0 до 10.
(Например: 44 – 44=0 или (4 + 4) –(4 + 4) = 0 придумай свой пример для нуля. Можно
использовать не только действия сложения и вычитания, но и остальные действия.)
7. Крестьянин купил корову, козу, овцу и свинью, заплатив 1325 рублей.
Коза, свинья и овца вместе стоят 425 рублей, корова, свинья и овца
стоят вместе 1225 рублей, а коза свинья стоят вместе 275 рублей.
Найдите цену каждого животного.
(Обозначь каждое животное буквой. Составь четыре выражения. Вычитая одно
равенство из другого получишь результат.)
8. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число
стало наибольшим.
9. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание
будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в
порт.
(Полдень - 12.00)
10. Для того, чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно
уплатить за работу 5 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку
нужно разрезать на 10 частей?
(Ответь в начале на вопрос: сколько нужно сделать разрезов, чтобы получить 10
частей. Если трудно представить, нарисуй.)
Решение и ответы необходимо отправить на проверку.
Тема №2 “Круги Эйлера»
Задача №1
В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 в
биологическом кружке, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов
увлекается математикой?
Решение.
Изобразим данные величины кругами на рисунке. Начертим большой круг –
это класс (рис.1).В нём круг поменьше и поместим в него всех математиков.
Обозначим его буквой М (рис.2). В круг справа поместим всех биологов.
Обозначим его буквой Б (рис 3). Так как часть биологов увлекается
математикой, то круги пересекутся. В этой общей части окажутся
математики-биологи, число которых мы ищем (рис 4). Остаётся отметить на
рисунке тех ребят, которые нигде не занимаются (рис 5).
Начнём считать: всего учащихся 35, из них 10 учащихся не посещают
кружки, следовательно кружки посещают 35 – 10 = 25 учащихся. Внутри
круга с буквой М находятся 20 человек, следовательно вне данного круга
находятся 25 – 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок.
Остальные биологи 11 – 5 = 6 человек, находятся в части кругов МБ. Таким
образом, 6 биологов увлекаются математикой.
Задача решена.
Проверь себя. Ответь на вопросы:
А) Сколько ребят занимается только в математическом кружке? Как это
показано на рисунке?
Б) Сколько ребят посещают только один кружок и как это показано на
рисунке?
Историческая справка:
Рисунки, подобные приведённому в решении, называются «кругами Эйлера».
Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер
за свою долгую жизнь (он родился в 1707 году и умер в 1783 году) написал
более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал
тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши
размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют
прямоугольники и другие фигуры.
Реши задачи с помощью «кругов Эйлера».
Задача №2
В классе 20 человек. Из них 12 посещают спортивные секции, 7 человек –
музыкальную школу и трое не увлекаются ни музыкой, ни спортом. Сколько
спортсменов класса увлекаются музыкой?
Нарисуй круги Эйлера.
Выдели ту часть рисунка, в которой находятся:
1) те, кто не посещают спортивную секцию и музыкальную школу;
2) спортсмены – музыканты;
3) «чистые» музыканты;
4) те, кто посещает спортивную секцию.
Задача №3
Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкий, ни
французский, 75 знали французский, 83 – немецкий. Сколько туристов знали
оба языка?
Задача №4
В классе 23 ученика. Из них спортом занимаются 15 человек. Из 8
увлекающихся танцами трое посещают спортивную секцию. Сколько в
классе равнодушных к спорту и танцам?
Задача №5
В классе 25 человек. Из 10 занимающихся в драмкружке четверо увлекаются
спортом; 6 ребят не посещают ни драмкружок, ни спортивную секцию.
Сколько в классе спортсменов, не посещающих драмкружок?
Задача №6
Инспектор группы по изучению спроса населения
следующие данные:
представил в отдел
Число опрошенных – 100 человек;
Из них: пьют чай – 71;
пьют кофе – 78;
пьют кофе и чай – 48.
Ответ заблокировали. Почему?
Задача № 7*
В классе 30 учеников. 15 учеников посещают литературный кружок, 11 –
биологический. Из них 4 ученика участвуют в работе обоих кружков. 5
учащихся занимаются в литературном и математическом кружках, а 3 – в
биологическом и
математическом. Только 1 ученик посещает все три
кружка. Остальные учащиеся занимаются только в математическом кружке.
Сколько всего учащихся занимаются в математическом кружке?
Изобрази с помощью кругов Эйлера условие задачи (рис 6). Теперь легко
найти, что число учащихся, посещающих только математический кружок,
равно 8. Следовательно, математический кружок посещают всего 15
учеников.
Задача №8*
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в
волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем – 4,
баскетболом и волейболом – 3, волейболом и хоккеем – 5. Трое не
увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом. Сколько ребят
увлекается тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из
этих видов спорта?
Задача № 9*
Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенную газету об
успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал
следующие сведения: из 40 учащихся класса не имеет «троек» по русскому
языку – 25 человек, по математике – 28, по физике – 31, по математике и
физике – 22, по математике и русскому языку – 16, по физике и русскому
языку – 16, 12 человек учатся без «троек» по всем предметам. Редактор,
прочитав заметку и подумав, сказал: «Ты ошибся в счёте, данные явно
неверные».
Объясни, почему эти сведения не могут быть верными.
Зачёт №1
Задание 1. В классе 32 ученика. Из них 18 школьников занимаются в
математическом кружке, 13 – в химическом, а 7 детей не посещают эти
кружки. Сколько химиков увлекаются математикой?
Задание 2.
В комнате собралось 17 человек. Десять из них знают английский язык, 13 –
немецкий и французский, 2 человека владеют сразу тремя языками:
немецким, французским и английским. Нет ли ошибки в этих данных?
Задание 3*.
Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий – 30,
французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский –
10, немецкий и французский – 5. Все три языка изучают 3 студента. Сколько
студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни
одного языка?
Задание 4.
В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый
спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?
Задание 5.
В одном доме живут 23 ученика одной и той же школы. В этой школе 22
класса. Доказать, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в
одном и том же классе.
Задание 6.
Можно ли в записи
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 30
вместо * поставить (в любом порядке) знаки «+» и «-» так, чтобы получилось
верное равенство?
(Задания * не являются обязательными для учащихся 5 класса).
Тема №3 «Графы»
Познакомимся
с основными понятиями теории графов. Прежде всего
стоит сказать о том, что графы, о которых пойдёт речь, к аристократам
былых времён никакого отношения не имеют. Наши «графы» имеют корнем
греческое слово «графо», что значит «пишут». Тот же корень в словах
«график», биография», «голография».
Понятие графа проще всего выяснить на примере.
Задача №1
Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес.
При встрече они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков
поехало за город, если всего было 10 рукопожатий?
Будем решать эту задачу графически.
Вначале отметим на бумаге две точки А и В и соединим их отрезком.
Точками
будем
изображать
мальчиков,
отрезок
будет
обозначать
рукопожатие. Добавим ещё одну точку С и соединим её с точками А и В
двумя отрезками. Всего получится три отрезка (рис 1).
Отметим следующую точку Д и соединим её отрезками с тремя точками А, В
и С. Теперь получится уже шесть отрезков (рис 2).
Наконец, отметим пятую точку Е и соединим её со всеми точками,
отмеченными ранее. Получим 10 отрезков (рис 3).
Значит, на вокзале встретились 5 мальчиков.
Фигура, которая получилась на рисунке 3, состоит из точек и линий,
соединяющих эти точки. Такую фигуру принято называть графом. Линии
графа называют рёбрами, а точки – вершинами. Вершины графа иногда для
удобства обозначают не точками, а кружочками или другими фигурами.
В графе необязательно, чтобы каждая вершина была соединена со всеми
остальными; если в графе ни одна часть не является замкнутой линией, то
такой граф называется деревом. В некоторых графах на линиях указывают
направления в виде стрелочек. Подобные графы помогают решать
следующие задачи:
Задача №2
Из города А в город Б ведут 3 дороги, а из города Б в город В – 5 дорог.
Сколько всего различных маршрутов поездки из города А в горд В через
город Б существует.
Построим граф (рис.4):
Видим, что из города А до города В
можно выехать по следующим
маршрутам:
1 и 4, 1 и 5, 1 и 6, 1 и 7, 1 и 8;
2 и 4, ….
Таким образом, для того, чтобы найти количество маршрутов достаточно
3 * 5 = 15
Ответ. Существует 15 маршрутов.
Задача №3.
Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом полученную сумму
умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и, наконец, полученную
разность разделить на 19, то получится 23. найдите задуманное число.
Начертим граф по условию задачи (рис. 5)
Теперь сразу видно, что задачу следует решать с конца. Заменяя данное
действие на ему обратное.
Продолжи решение самостоятельно.
Рассмотрим следующую задачу:
Задача №4.
Встретились трое подруг: Белова, Краснова, Чернова. На одной из них было
надето чёрное платье, на другой – красное, а на третьей – белое. Девочка в
белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет
наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Эту задачу можно решить с помощью графа или с помощью таблицы
истинности.
белое
красное
чёрное
Белова
Краснова
Чернова
Условие, что девочка в белом платье не может быть Черновой,
отмечается в таблице знаком «-». Второе условие, что фамилии каждой
девочки не соответствуют цвету платья даёт возможность заполнить
ещё три клеточки знаком «-».
белое
Белова
красное
-
Краснова
Чернова
чёрное
-
-
Теперь из таблицы видно, что Краснова одета в белое платье: поставим в
соответствующую клетку знак «+». Отсюда следует, что Краснова не
одета в чёрное платье. Таблица приняла следующий вид:
белое
Белова
-
Краснова
+
Чернова
-
красное
чёрное
-
-
Из таблицы ясно видно, что на Беловой чёрное платье, а следовательно,
Чернова в красном платье.
Задача №5*.
Три подруги вышли в белом, зелёном и синем платьях. Их туфли были
одного из этих же цветов. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель
совпадают. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в
зелёных туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
Решим эту задачу с помощью графов:
Введём обозначения: Аня - А, Валя – В, Наташа – Н; туфли – Тб , Тз, Тс ;
платья – Пб, Пз, Пс. Граф,
изображённый на рисунке 6, содержит все
заданные в условии элементы и отношения между ними. Таким образом,
задача сводится к нахождению трёх «сплошных» треугольников.
Так как Наташа была в зелёных туфлях, а у Вали не были белыми, остаётся
единственная возможность: туфли у Вали синие. На рисунке 7 соединим
сплошным отрезком точки В и Тс, отсюда следует, что у Ани туфли были
белыми. Соединим соответствующие точки сплошным отрезком.
У Ани цвета платья и туфель совпадали. Получаем: у Ани белое платье.
Один сплошной треугольник мы получили. Далее цвета платье и туфель у
Вали и Наташи не совпадали. Следовательно, у Вали зелёное платье, а у
Наташи синее. Получили ещё два сплошных треугольника.
Ответ: Аня в белом платье и белых туфлях; Валя в зелёном платье и синих
туфлях; Наташа в синем платье и зелёных туфлях.
Задача №6*
В велогонках приняли участие пять школьников. После гонок четыре
болельщика заявили, что:
 Серёжа занял 2 место, а Коля – 3;
 Надя заняла 3 место, а Толя – 5;
 Толя занял 1 место, а Надя – 2;
 Серёжа занял 2 место, а Ваня -4.
Зная, что одно из показаний каждого болельщика ложное, найдите
правильное распределение мест.
Высказывания первого болельщика обозначьте сплошными линиями,
второго – пунктирными, третьего – штриховыми, четвёртого – штрихпунктирными. Задача имеет 2 решения.
Зачёт № 2
Задача № 1
В палатке имеется три сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо. Наташа и
Данила решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов
такой покупки?
Задача № 2
Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив
по дороге Нижний Новгород. В справочном бюро они получили следующие
сведения: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на
теплоходе или на поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на теплоходе,
самолёте, поезде или автобусе. Сколькими различными способами могут
ребята осуществить своё путешествие?
Задача № 3
Четыре брата Юра, Петя, Вова и Коля учатся в 1, 2, 3, 4 классах. Петя –
отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учиться в 4
классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них, в каком классе
учиться?
Задача № 4
При составлении расписания уроков на понедельник трое преподавателей
высказали пожелания, чтобы их уроки были:
 по математике – 1-й или 2-й;
 по истории – 1-й или 3-й;
 по литературе – 2-й или 3-й.
Сколькими способами и как при составлении расписания можно
удовлетворить пожелания всех преподавателей?
Задача № 5
Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревнованиях,
причём никакие два мальчика не делили между собой какие – нибудь места.
На вопрос, какие места заняли ребята, трое ответили:
 Коля – ни первое, ни четвёртое;
 Боря – второе;
 Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Задача № 6*
Три учительницы – Ирина Васильевна, Дарья Михайловна и Софья
Петровна – преподают различные предметы (химию, биологию, физику) в
школах Мужей, Шурышкар и Салехарда.
Известно:
 Ирина Васильевна работает не в Мужах, а Дарья Михайловна не в
Шурышкарах;
 та, которая живёт в Мужах, преподаёт не физику;
 работающая в Шурышкарах, преподаёт химию;
 Дарья Михайловна преподаёт не биологию.
Какой предмет и в каком населённом пункте преподаёт каждая
учительница?
Тема № 4 «Принцип Дирихле»
Принцип Дирихле широко известен в такой, несколько несерьёзной
формулировке: «нельзя посадить пять зайцев в четыре клетки так, чтобы в
каждой клетке было не более одного зайца».
Доказательство очевидно: если в каждую клетку посадить по одному зайцу,
то их будет четыре, следовательно пятый будет в одной из клеток вторым.
(Данный принцип решения задач назван по имени известного немецкого
математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805 – 0859), который
применял подобный приём рассуждения в своих математических работах).
Решая подобные задачи, мы в самом начале будем выбирать, что или кто у
нас будут «зайцами» и затем постараемся рассадить их по «клеткам».
Задача №1
В одном доме живут 23 ученика одной и той же школы. В этой школе 22
класса. Доказать, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в
одном и том же классе.
Решение.
Здесь «клетки» - это классы, «зайцы» - ученики. То есть, учеников надо
рассадить по классам.
Допустим, что все ученики учатся в разных классах, тогда их всего 22.
Следовательно, 23 ученик учится с кем-то из 22-х в одном классе.
Что и требовалось доказать.
Задача №2
Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество
монет в каждом кармане было различным?
Решение.
Здесь «клетки» - это карманы, «зайцы» - монеты.
Пусть в 1 кармане 0 монет, во втором – 1, в третьем – 2, ….., в десятом
кармане – 9 монет. Сложим все монеты: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
45 монет. Если мы из какого - нибудь кармана вытащим одну монету, то в
двух карманах будет одинаковое количество монет, что противоречит
условию задачи.
Ответ. Разложить 44 монеты в 10 карманов предложенным способом нельзя.
Задача №3*
В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные
– меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок
поровну.
Решение.
Здесь «клетки» - это число сделанных ошибок, «зайцы» - ученики.
В клетку 0 посадим всех, кто не сделал ни одной ошибки,
В 1 клетку – кто допустил по одной ошибке,
В 2 клетку – кто допустил по 2 ошибки, и т.д.
В 13 клетку попадает только Саша Иванов который допустил 13 ошибок. Все
остальные находятся в предыдущих клетках: их 29 человек.
Предположим, что в каждой клетке не более двух человек, тогда их будет
13 * 2 = 26, что противоречит нашему решению. Мы только что посчитали,
что учащихся, допустивших ошибки (без Саши) 29. Следовательно, наше
предположение неверно, по крайней мере трое учеников сделали одинаковое
количество ошибок. Что и требовалось доказать.
Задача № 4
Можно ли увезти из каменоломни пятьдесят камней, веса которых равны
370кг, 372кг, …., 468кг на семи трёхтонках.
Решение.
Здесь «клетки» - это машины, «кролики» - это камни.
Так как камней – 50, то на одной машине будет обязательно 8 камней. Пусть
на неё погрузили самые лёгкие камни, тогда получим:
370 + 372 + 374 + 376 + 378 + 380 + 382 + 384 = 3016, что больше, чем 3
тонны. Следовательно данные 50 камней вывезти на семи трёхтонках нельзя.
Зачёт № 3
Задание 1.
На 8 Марта было куплено 9 роз. Можно ли разделить цветы между двумя
матерями двумя дочерями поровну?
Задание 2*.
В классе 30 учеников. В диктанте Витя сделал 12 ошибок, а остальные не
больше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну,
считая и ноль ошибок.
Задание 3.
79 лошадей разместили в 13 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне
будет обязательно нечётное число лошадей?
Задание 4.
В классе 30 учеников. Найдётся ли месяц, в котором отмечают свои дни
рождения не меньше, чем 3 ученика этого класса?
Задание 5.
В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдётся ли класс, в котором меньше 35
учеников?
Задание 6.
Четыре
человека
обменялись
рукопожатиями.
Сколько
рукопожатий?
(Учащимся 5 класса достаточно сделать 3 любые задачи).
Желаю удачи!
Тема № 5 «Комбинаторика»
всего
было
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке, но первые
комбинаторные исследования принадлежат итальянским учёным Дж.
Кардано (1051-1576), Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и
французским учёным Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665).
Умения решать комбинаторные задачи помогает составлять различные
шифры секретным службам (перестановки букв, цифр или слов и т.д.). На
комбинаторике основывается не только теория различных игр (рулетка,
шахматы, шашки и т.д.), но и современные системы наведения и слежения.
Комбинаторными методами оценивается устойчивость к взлому сейфов и
других кодовых устройств.
В
повседневной
жизни
нам
тоже
нередко
приходиться
решать
комбинаторные задачи. Например, возникает проблема, которая имеет не
одно, а несколько вариантов решения. Что бы сделать правильный выбор,
очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить
перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.
Давайте рассмотрим несколько примеров решения подобных задач:
Задача №1
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение: Так как в условии задачи не сказано, что цифры не повторяются,
следовательно, цифры могут повторяться. Составим все возможные варианты
двузначных чисел: в начале на 1 место поставим единицу, на второе место 1,
затем 4 и наконец 7; на 1 место 4….
11, 14, 17;
41, 44, 47;
71, 74, 77.
Получилось 9 различных двузначных чисел.
Можно рассуждать по другому:
Первую цифру можно выбрать тремя способами, вторую цифру тоже тремя
способами (так как цифры можно повторять), получим 3 × 3 = 9 (способов)
Этот способ можно применять, если нас просят привести только количество
решений, а не сами варианты решений.
Задача № 2
В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы «А» и «У». Сколько
различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит
этого племени. Приведите все варианты, полученных слов.
Решение:
Удобнее выписывать слова в алфавитном порядке
ААА, ААУ, АУА, АУУ; УАА, УАУ, УУА, УУУ. Получилось 8 слов, и
каждое из них состоит из 3 букв.
Задача №3
Сколько существует различных трёхзначных чисел, в записи которых
участвуют лишь цифры 1, 2, 3 и 4 (цифры не повторяются).
Решение:
Первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую цифру – 3 способами
(так как после выбора первой цифры их стало на одну меньше), третью
цифру – 2 способами (цифр стало на 2 меньше).
4 × 3× 2 = 24 способа.
Задача № 4
В 5 классе
15 человек. Требуется выбрать командира, вожатого для
первоклассников, ответственного за санитарное состояние класса. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение.
Командира можно выбрать 15 способами, вожатого – 14, а санитара – 13. В
данном случае после каждого выбора, учащихся становилось на 1 меньше.
15 × 14 × 13 = 2730 способов.
В случае если необходимо привести все возможные решения используют
следующий приём: строят дерево возможных вариантов (открытый граф
см. тему «Графы»)
Задача №4
Сколько существует различных комбинаций, в записи которых участвуют
лишь цифры 1, 2 и 3.
Решение:
1
1
1 2 3
2
2
3
1
1 2 3 1 2 3
2
3
3
1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Нетрудно посчитать, что таких комбинаций будет 27. При необходимости их
можно выписать:
111, 112, 113, 121, 122, 123, и т.д.
Зачёт № 4
Задача №1
Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
Задача №2
Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча в
баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто
за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять
очередь друг за другом?
Задача №3
А) Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры
3, 5, 7 и 9?
Б) Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры
3, 5, 7 и 9 (можно использовать данные цифры только один раз)?
Задача № 4
Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных
шифров можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4 и 5?
Задача № 5
Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своей три юбки и
четыре блузки. У чьей куклы больше разных нарядов?
Задача № 6
Девять
школьников,
сдавая
экзамены
по
математике,
русскому
и
английскому языку, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что
по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые
отметки?
(Учащимся 5 класса достаточно сделать 3 любые задачи).
Тема № 6 «Математические ребусы».
Математические ребусы встречаются очень часто в различных конкурсах,
математических боях, олимпиадах, предлагаемых учащимся 5-6-х классов.
Очень часто предлагаемые задания имеют не одно решение. Один из
способов решения математических ребусов – это подбор, второй – поиск
закономерностей и выстраивание необходимых логических цепочек, выбор
оптимального решения.
Рассмотрим несколько заданий:
Задание №1
Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором
цифры заменены буквами, причём разные
цифры заменены разными
буквами, одинаковые – одинаковыми. Равенство записано по обычным
математическим правилам, следовательно,
первая цифра не может быть
нулём. ЧАЙ : АЙ = 5
Рассуждение 1:
Преобразуем выражение ЧАЙ = АЙ × 5, значит
Ч ×100 + АЙ = АЙ ×5, вычтем из обеих частей АЙ
Ч × 100 = АЙ × 5 – АЙ, получим
Ч × 100 = АЙ × 4, поделим обе части на 4
Ч × 25 = АЙ
Так как АЙ двузначное число, то Ч может быть только 1, 2 или 3.
Пусть Ч = 1, тогда АЙ = 25 и решение будет: 125 : 25 = 5;
Если Ч = 2, тогда АЙ = 50 и решение: 250 : 50 = 5;
Если Ч = 3, тогда АЙ = 75 и решение: 375 : 75 = 5.
Рассуждение 2:
Так как частное двух чисел равно 5, следовательно, делимое и делитель
оканчиваются 5 или 0.
Пусть Й = 5. Остаётся подобрать числовое значение для А. Это можно
сделать простым подбором. Продолжи рассуждение самостоятельно.
Задание №2
Решить числовой ребус:
МУХА
+
МУХА
СЛОН
Здесь все гласные буквы соответствуют цифрам одной чётности, а согласные
– другой.
Рассуждение:
Предположим, что гласные буквы -
соответствуют чётным цифрам, тогда
запись (А + А =Н) будет означать что при сложении двух чётных чисел
получиться нечётное число. Следовательно,
соответствовать нечётным
цифрам.
все гласные буквы будут
Таким образом: У, А и О могут
принимать значения 1,3,5, 7, 9 , а М, Х, С и Л могут иметь значения: 2,4,6,8 и
0. Не надо забывать, что М и С нулю не равны и М может принимать только
два значения 2 или 4.
Далее остаётся
проанализировать следующие случаи: М = 2 и М = 4. Для
этого вам потребуется немного усидчивости и свободного времени.
В результате вы должны получить: 2309 + 2309 = 4618.
Задание №3
Вместо звёздочек расставьте пропущенные цифры:
785
×
***
***
1***
***____
*****
Рассуждение: Здесь нетрудно заметить, что во втором множителе на месте
единиц и сотен находятся единицы, а на месте десятков цифра два. В
результате проверки убедитесь, что умножить надо было на 121.
Перемножьте эти числа, получите результат.
Задание №4
В записи 1 * 2 * 3* 4 * 5 расставьте знаки действий и скобки таким образом,
чтобы в результате получилось 100.
Рассуждение: Легко увидеть, что 4×5 = 20, осталось получить число 5 из
оставшихся трёх цифр. Это можно сделать следующим образом: 1×2 + 3.
Окончательно будем иметь следующую запись: (1×2 + 3) × 4×5 = 100.
Попробуйте найти своё решение.
Прежде чем решать любой математический ребус необходимо внимательно
посмотреть на задание, увидеть закономерности, вспомнить свойства чисел и
лишь потом, приступать к решению.
Зачёт № 5
Задание 1
Напишите по порядку 9 цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
А) не меняя расположение цифр, вставьте знаки плюс и минус так, чтобы
получилось ровно 100.
Б) знаки плюс и минус можно ставить только четыре раза, получить надо
тоже 100.
В) ставить знаки можно только три раза.
Задание 2
Мишу спросили: «Три, три, три – что будет?» Он ответил «дыра». Это
записали так: три + три + три = дыра. Какие цифры зашифрованы в этой
записи, если одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные –
разные цифры и если известно, что (ы + ы) : ы = ы?
Задание 3
Расшифруйте следующий ребус: КАКАК × КО = КОКОКО.
Задание 4
Догадайся, какие цифры надо поставить вместо звёздочек?
**5
4*
3**
*2**
1****
Желаю удачи!