Задание по выбору в 5

В 5 класс
1. Можно ли покрыть шахматную доску 10x10 прямоугольными плитками размером 1x4?
2.
На
плоскости
расположено
11
шестеренок,
Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
соединенных
по
цепочке.
3. В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят
правду. Один из них сказал: “Здесь нет ни одного честного человека”, второй: “Здесь не более
одного честного человека”, третий: “Здесь не более двух честных людей” и так далее. Последний,
двенадцатый: “Здесь не более одиннадцати честных людей”. Сколько в комнате честных людей?
4. Семиклассник Вася Иванов переставил цифры в некотором числе, после чего полученное число
сложил с исходным. В ответе у него получилось число 99…99 (99 раз). Учитель математики Иван
Васильевич сказал, что ответ неверен. Вася очень обиделся на своего учителя – ведь Иван
Васильевич не видел Васиного решения! Кто прав: Вася или его учитель?
В 6 класс
1. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468
кг, на семи трехтонках?
2. Найти все числа вида: 56 x3 y (х и у – некоторые цифры), делящиеся на 36.
3. Можно ли выписать числа 1, 2, 3, ..., 9 по кругу так, чтобы сумма никаких двух соседних не
делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?
4. Имеется 13 городов. Можно ли их соединить дорогами так, чтобы из каждого города выходило
ровно 5 дорог?
В 7 класс
1. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А
в В?
2. Вдоль шоссе стоит 8 домов. Где надо построить магазин, чтобы сумма расстояний от домов до
магазина была наименьшей?
3. Найти число, сумма цифр которого равна разности между 328 и самим числом.
4. 50 боксеров участвуют в соревнованиях по олимпийской системе (проигравший выбывает).
Сколько нужно боев, чтобы определить победителя?
В 8 класс
1. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в
автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек,
то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?
2. Даны десять точек, расположенные в виде "равностороннего треугольника" (см. рис.). Зачеркните
некоторые из данных точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего
треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество
точек.
*
*
*
* *
*
*
*
* *
3. Даны два равнобедренных треугольника, в каждом из которых есть сторона, длина которой 6 см и
угол, градусная мера которого 100o. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? Обоснуйте
ответ.
Задание по математике, для поступающих в 9 и 10 класс на
физико-математическое отделение.
1. Найти суммы: а) (4 балла) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 2005 – 2006;
б) (6 баллов)
1
1 2
1

2 3
 ... 
1
2005  2006
.
2. (10 баллов) Построить на плоскости 0xy множество точек, координаты x и y которых
удовлетворяют уравнению: x y  xy  x  y .
3
3
2
2
3. (10 баллов) Дан треугольник со сторонами 5, 12 и 13. В каком отношении делит его площадь
окружность с центром в вершине наибольшего угла, касающаяся противоположной стороны
треугольника?
4. (10 баллов) Решить уравнение: (х2 + 2х)(х + 1)2 = 12.
5. На сколько частей делят пространство продолженные плоскости граней:
а) (4 балла) куба;
б) (6 баллов) правильной четырехугольной пирамиды?
6. (10 баллов) Доказать, что если a  b  c  0 , то
ab  bc  ca  0 .
Время выполнения работы – 40 минут.
Постарайтесь набрать наибольшую сумму баллов. Желаем успеха!