СКАЧАТЬ WORD-файл (статья)

Экспресс-метод решения квадратных уравнений
Общий алгоритм решения квадратных уравнений (через дискриминант)
общеизвестен. Немало времени уходит на решение таких уравнений, когда
как они часто являются лишь одним из этапов в решении более серьезных
задач (например, большинство текстовых задач, некоторые геометрические
задачи, тригонометрические уравнения в конечном итоге сводятся к
решению квадратных уравнений). Потребность в быстром решении
квадратных уравнений обусловлена тем, что экзамен по математике сдается
в 9 классе в форме ГИА, в 11 классе – в форме ЕГЭ.
Анализ учебной литературы и Интернет-источников показал, что
самыми популярными способами решения квадратных уравнений «в уме»
являются теорема, обратная теореме Виета и использование свойств
коэффициентов (метод коэффициентов).
А возможны ли другие способы решения уравнений?
Решая квадратные уравнения с использованием общего алгоритма
(через дискриминант), можно заметить в некоторых уравнениях некие
совпадения. Запишем несколько таких уравнений и запишем их корни:
1) 2 х 2  7 х  3  0 ;
х
1
или х  3
2
2) 4 х 2  63х  16  0 ;
х
1
или х  16
4
3) 7 х 2  13х  2  0 ;
х
1
или х  2
7
4) 5 х 2  31х  6  0 ;
х
1
или х  6
5
5)  7 х 2  83х  12  0 ;
х
1
или х  12
7
х
6) 10 х 2  111х  11  0 ;
х
7) 12 х 2  61х  5  0 ;
8)
х
13х 2  64 х  5  0 ;
х
1
или х  5
12
1
или х  5
13
х
9)  15 х 2  164 х  11  0 ;
10) 9 х 2  91х  10  0 ;
1
или х  11
10
1
или х  11
15
1
или х  10 .
9
В примерах можно заметить некоторые интересные особенности. В
первых пяти уравнениях коэффициенты связаны условием ас+1=b и корни,
1
а
видимо, находятся по формуле х   ; х  с .
С шестого по десятый в уравнениях можно заметить, что ас+1=-b и, по
1
а
всей видимости, корни находятся по формуле х  ; х  с .
Попытаемся вывести наше предположение.
Рассмотрим уравнение ах 2 +bx+c=0, a  0 .
Умножим обе части уравнения а и выполним замену ах=у.
(ах) 2  b(ах)  ас  0
у 2  bу  ас  0
Применим метод коэффициентов.
1)если 1+b+ас=0 или ас+1=  b , то у=1 или у=
значит
у
а
1
а
х=  ; х=
ac
 ac ;
1
у ас

 с;
а
а
2
2) если 1+ас=b, то у=  1 или у=
у
а
Значит х= 
1
а
у
а
или х= 
 ас
 ас .
1
 ас
 с .
а
Получили:
1) если в уравнении ах 2 +bx+c=0, a  0 выполняется условие ас+1=-b,
то х=
1
или х=с;
а
2) если в уравнении ах 2 +bx+c=0, a  0 выполняется условие ас+1=b,
то х= 
1
или х=  с .
а
Преимущества этого способа перед общим алгоритмом решения
уравнений очевидны. Например, в девятом уравнении дискриминантом
является достаточно большое число и на нахождение корней уравнения ушло
немало времени. А если воспользоваться выведенным правилом, то можно
быстро сосчитать значения корней. В самом деле, в уравнении
 15 х 2  164 х  11  0 , а= -15, в=164, с=11;
D= в 2  4ас = 164 2  4(15)  11  27556  166 2 ;
х
х
 164  166
1
b D
=

2a
2  (15)
15
 b  D  164  166

 11; а теперь найдем корни по новому правилу: ас+1=2a
2  (15)
в, (  15 11  1  164 ), тогда х=
1
1
или х=с; х   или х  11 .
а
15
3