Глава II. Исследование взаимосвязи показателей

Глава II. Исследование взаимосвязи показателей
чистой древесины
2.1. Предварительные замечания
В данной главе рассмотрены взаимосвязь плотности, твердости и модуля
упругости при изгибе с прочностными показателями для чистой бездефектной древесины. В качестве исходной базы взяты результаты изучения
физико-механических показателей образцов различных пород и различных
районов произрастаний, выполненные соответствующими профильными
исследовательскими институтами в Советском Союзе и США еще несколько десятилетий назад. Однако полное и масштабное исследование
взаимосвязи показателей по этим базам данных стало возможным лишь с
развитием современной компьютерной техники. Только появление такой
мощной системы как электронные таблицы Ехсеll позволило автору сравнительно быстро провести все необходимые расчеты практически по всем
известным показателям свойств древесины.
Во внимание приняты все три массива данных - для пород США и Канады, отечественных пород и тропических пород древесины при влажности
12 и более 30%. Особенность наших исследований в том, что они объединяют в одну статистическую совокупность показатели различных пород и
районов произрастаний, так как мы полагаем, что природа взаимосвязи показателей имеет один характер для всех древесных пород, произрастающих на нашей планете. Различие сделано только между хвойными
и лиственными породами. Как отдельная совокупность рассмотрены тропические породы. Доказательством правильности такого подхода является
высокая теснота корреляции между показателями самых различных пород.
Если какая-либо порода показывает более высокую плотность древесины,
то это означает и более высокие другие физико-механические показатели.
При этом неизбежное некоторое расхождение в уравнениях связи показателей различных пород находится, как правило, в рамках статистической
погрешности.
Доказательством правомерности совместного рассмотрения группы древесных пород являются и результаты исследования взаимосвязи модуля
упругости с пределом прочности при изгибе по пласта сосновых, еловых и
лиственичных пиломатериалов сечением 50 х 100 мм.. Согласно приложе1
ния к ГОСТ [52] уравнения связи имеют вид:
для ели из Архангельской области σизг = 5,20Е +6,06
для сосны из Красноярского края σизг = 5,34Е + 6,0455
для лиственницы из Красноярского края σизг = 5,44Е + 2,21.
Здесь модуль упругости Е выражен в ГПа, а предел прочности при изгибе σизг - в Мпа. Графически эти линейные уравнения связи показаны на
рис. 2.1.
Рис. 2.1.Уравнения связи между модулем упругости и пределом прочности при изгибе пиломатериалов из
древесины различных пород: 1 - ель из
Архангельской области, 2 - сосна из
Красноярского края, 3 - лиственница
из Красноярского края
Рисунок четко показывает, что практически нет разницы между уравнениями связи двух показателей пиломатериалов различных пород и районов
произрастания. Тем более нет такой разницы во взаимосвязи показателей
чистой древесины. В противном случае при объединении пород мы получали бы низкую тесноту корреляции показателей, однако мы имеем увеличение тесноты корреляции при объединении пород в одну статистическую
совокупность. Поэтому и в дальнейшем мы считаем вполне правомерным
для оценки тесноты корреляции использовать весь массив данных по древесным породам, произрастающим на всей нашей планете. Такой подход
позволяет увеличить диапазон рассматриваемых параметров и более четко
выявить особенности взаимосвязи показателей.
2.2. Методы расчета корреляции
Для характеристики связи двух величин можно использовать несколько
показателей. В большинстве случаев, особенно при отсутствии достаточных сведений о характере взаимосвязи между исследуемыми параметрами
Х и Y, задаются линейной взаимосвязью между ними. Степень соответствия фактических результатов этой математической модели оценивается
2
коэффициентом корреляции
R
 ( xy )
x 2 y 2
где х, у - отклонения отдельных вариант от их среднего арифметического.
Линейное уравнение связи определяется по формуле
Y  My  R
y
( X  Mx )
x
где σу, σx - стандартные отклонения величин Х и Y.
Эта формула может быть преобразована к виду Y = а + bХ, где
y
M
x x
y
x
В идеальном случае коэффициент корреляции равен 1, когда на графике
в координатах X - Y все экспериментальные точки располагаются на прямой линии. Фактически коэффициент корреляции всегда меньше единицы,
а на графике получается "рой" точек, примерно группирующихся около
прямой линии. Ширина этого "роя" определяется средней ошибкой уравнения связи:
m   1  R 2 MPa или
m  V 1  R 2 %
a  My  R
yx
y
b R
yx
y
где Vy - вариационный коэффициент оцениваемого показателя? %.
При этом можно считать, что в 95% случаев фактические результаты не
выходят за пределы ±2Мух (правило 5%-ного исключения).
Достоверность уравнения связи оценивали по критерию сравнения Стьюдента (t-критерий)
tR
n2
1  R2
который должен быть более tтабл, зависящего от объёма выборкиn n и принятой доверительной вероятности. Во всех последующих расчетах принимаем доверительную вероятность 0,95.
Помимо парных линейных уравнений рассмотрены и уравнения множественной регрессии, связывающие между собой три показателя - обычно
какой-либо предел прочности и два показателя, определяемые без разрушения образцов, например плотность и модуль упругости. Линейное уравнение связи при этом имеет вид
58
Y=а+bХ1+сХ2
где а, b, с - эмпирические коэффициенты, определяемые из системы
уравнений
 ( x )b   ( x x
 ( x x )b   ( x
2
1
1
1
2
2
2
2
)c   ( yx1 )
)c   ( yx 2 )
a  My  bMx1  cMx 2
В тех случаях, когда линейное уравнение связи дает значительную величину свободного члена "a" (например, более 10% от среднего арифметического Му), имеет смысл проверить применимость нелинейных уравнений
связи. Электронные таблицы ЕХСЕLL, в которых выполнены все расчеты
по взаимосвязи показателей, позволяют выполнить быстрый перебор вариантов различных уравнений связи двух рассматриваемых параметров.
Практика показала, что наиболее подходящими, то есть дающими
наибольший коэффициент корреляции, являются уравнения степенного
вида (Y= axb), хотя при показателе степени "b" мало отличающемся от 1
можно использовать и линейное уравнение связи (Y=аХ+b).
2.3. Результаты расчета корреляции между показателями
В таблице 2.1 обобщены результаты расчетов достоверности апроксимации между различными показателями чистой древесины. В отличие от коэффициента корреляции величина R2 наглядно показывает, насколько процентов один показатель зависит от другого. Например, для плотности и
твердости имеем R2 = 0,925. Это означает, что твердость древесины на
92,5% определяется плотностью древесины. Помимо указанных выше показателей, в расчеты корреляции вовлечены также и другие - удельная работа при изгибе и прочность при ударном изгибе, прочность при сжатии и
растяжении поперек волокон. Это сделано для более полного освещения
вопроса взаимосвязи показателей и может быть востребовано не только в
приложении к проблеме силовой сортировки пиломатериалов, но и для
других целей.
Рассмотрение таблицы позволяет отметить следующие факты:
1. Наиболее тесную взаимосвязь с показателями прочности имеет плотность древесины. Только в одном случае - для хвойных пород и предела
прочности при растяжении поперек волокон теснота корреляции меньше
0,5. В остальных случаях плотность показывает очень тесную взаимосвязь
(максимально до 0,893) с различными показателями прочности.
59
2.1. Достоверность взаимосвязи (R2) показателей (в числителе при влажности
12%, в знаменателе - 30%)
Показатели древесины
Относит.
Модуль упругости
плотность
Боковая твердость
1.Лиственные породы США и Канады
Модуль упругости
Боковая твердость
0,538/0,528
0,925 / 0,954
0,391/0,367
-
Прочность при изгибе
0,802/0,838
0,805/0,712
0,738/0.803
Удельная работа при изгибе
0,66 / 0,627
0,63/0,386
0,587/0,389
Прочность при ударном изгибе
0,724 / 0,704
0,556/0,319
0,713/0,683
Прочность при сжатии вдоль волокон
0,779/0,875
0,761 /0,68
0,74 / 0,736
Прочность при сжатии поперек волокон 0,828 / 0,875
0,388/0,427
0,861/0,908
Сопротивление скалыванию вдоль во- 0,797 / 0,843
локон
0,432 / 0,427
0,854 / 0,907
Прочность при растяжении поперек во- 0,654 / 0,687
0,385/0,179
локон
2. Хвойные породы США и Канады
Модуль упругости
0,435/0,371
Боковая твердость
0,807/0,737
0,265/0,386
Прочность при изгибе
0,790 / 0,782
0,731/0,445
Удельная работа при изгибе
0,613/0,614
0,615/0,202
0,692 / 0,759
Прочность при ударном изгибе
Прочность при сжатии вдоль волокон
0,614/0,769
0,606 / 0,730
0,648 / 0,652
0,862/0,717
0,655/0,163
0,636/0,385
0,677/0,651
0,685 / 0.722
Прочность при сжатии поперек волокон 0,466/0,615
0,293 / 0,247
0,767 / 0,620
Сопротивление скалыванию вдоль во- 0,587/0,576
локон
0,315/0,094
0,536/0,677
Прочность при растяжении поперек во- 0,466/0.182
0,349 / 0,045
локон
З.Тропические породы
Модуль упругости
0,788 / 0,647
Боковая твердость
0,944/0,851
0.698/0,521
Прочность при изгибе
0,890 / 0,780
0,827 / 0,687
Удельная работа при изгибе
0,647/0,547
0.656/0,368
Прочность при сжатии вдоль волокон
0,893 / 0,796
0,800/0,681
Сопротивление скалыванию вдоль во0,776 / 0,764
0,528 / 0,460
локон
0,496 / 0,202
0,891/0,884
0,667 / 0,728
0,904 / 0,857
0.842 / 0.904
60
2. Твердость древесины показывает хорошую взаимосвязь с пределами
прочности. Только для растяжения поперек волокон древесины хвойных
пород взаимосвязь можно считать неудовлетворительной.
3. Модуль упругости при изгибе уступает плотности и твердости древесины как для лиственных, так и хвойных пород во взаимосвязи с показателями прочности. Хорошая взаимосвязь наблюдается только для пределов
прочности при изгибе и сжатии вдоль волокон.
4. Очень тесная взаимосвязь наблюдается между твердостью и плотностью древесины - до 0,954. Это позволяет считать статическую боковую
твердость наиболее предпочтительным показателем для оценки прочности
чистой древесины, поскольку ее определение технически выполняется более просто.
5. Лиственные породы в целом показывают более высокие коэффициенты корреляции, чем хвойные. Это может быть связано с более широким
диапазоном величин, характеризующих лиственные породы
6. Влажность древесины не отражается на взаимосвязи показателей.
Только для удельной работы при изгибе и ударной вязкости высокая влажность (более 30%) снижает взаимосвязь с модулем упругости при изгибе.
2.4 Уравнения связи между показателями свойств древесины
Ниже рассмотрены зависимости прочности древесины при статическом
изгибе, сжатии и при скалывании вдоль волокон, как наиболее значимые
для расчета строительных конструкций от трех показателей, определение
которых не требует разрушения древесины - плотности, твердости и модуля упругости. Наиболее тесную корреляцию дают уравнения степенного
вида типа Y= aXb.
2.4.1. Плотность и прочность чистой древесины
Для дальнейшей работы следует решить вопрос о том, можно ли объединять массивы данных, например, тропические, лиственные и хвойные
породы. Для этой цели рассмотрены уравнения связи базисной плотности с
прочностью при сжатии вдоль волокон (при влажности 12%) для четырех
вариантов и получены следующие результаты:
а) для хвойных пород
σсж = 0,054ρбаз1,105 ± 5,34 МПа (± 13,1%)
61
при R2 = 0,862;
б) для лиственных пород σсж = 0,136 ρбаз0,992 ± 4,33 МПа (+ 13,6%)
при R2 = 0,800;
в) для тропических пород σсж = 0,050 ρбаз1,10 ±5,16 МПа (+10,2%)
при R2 = 0.893;
г) для всех пород
σсж. = 0,147 ρбаз0,92 9 ± 4,92 МПа (±10,9%)
при R2 = 0,819.
Можно видеть, что уравнение для всех пород дает большую погрешность, чем уравнение связи только для тропических пород. Это означает,
что объединение групп пород в одну статистическую совокупность приводит к потере точности оценки прочности. Тем не менее, оказалось возможным объединить вместе лиственные и тропические породы, так как среди
тропических практически нет хвойных. Уравнение связи для совокупности
лиственных и тропических пород дает ошибку уравнения связи (Мух ) примерно на 3% меньше по сравнению с уравнением связи только для лиственных пород. В связи с этим, в дальнейшем рассматривали эти группы
пород совместно, как единую статистическую совокупность.
На рис.2.2 и 2.3 показаны диаграммы связи прочности при скалывании,
сжатии и изгибе с плотностью чистой древесины хвойных и лиственных
пород. При этом данные для отечественных пород рассмотрены отдельно,
так как они получены для образцов меньшего размера и по методике, отличающейся от методики испытания, принятой в США и Канаде (см. гл. I).
Уравнения связи и их ошибки даны в табл.2.2, 2.3
Рис. 2.2. Взаимосвязь плотности древесины с пределами прочности при
изгибе (1), сжатии (2) и скалывании (3) для чистой древесины.
62
2.2. Уравнения связи плотности с пределами прочности для чистой древесины
Породы
Предел прочности, Уравнение свяМПа
зи
Лиственные при изгибе
Y=0,0598Х1,172
и тропиче- при сжатии
Y=0,1365X0,932
ские
Y=0,006Х1,213
при скалывании
Хвойные
при изгибе
Y=0,0716Х1,153
Y=0,0545Х1,105
при сжатии
Y=0,ОЗХ0,931
при скалывании
R2
0,807
0,800
0,832
0,790
0,862
0,587
Вариац.
коэфф.,Vy, %
29,5
Ошибка.
26,7
27,2
19,0
17,6
11,92
11,13
8,69
8.53
17,9
11,5
myx: %
12,95
Рис.2.3. Взаимосвязь плотности древесины с ее пределами прочности при
изгибе (1), сжатии (2) и скалывании (3) вдоль волокон для отечественных
пород
2.3. Уравнения связи плотности с пределами прочности для древесины отечественных пород
Породы
Предел прочно- Уравнение свясти, МПа
зи
Лиственные при изгибе
СССР
при сжатии
Хвойные
СССР
при скалывании
при изгибе
при сжатии
при скалывании
Y=0,325X0,879
0,737
Y=0,445Х
1,244
Y=0,0002Х
Y=0,271Х°-92"
Y=0,309Х°'812
Y=0,0131Х1'022
R2
Вариац.
коэфф.,Vy %
Ошибка,
тyx, %
0,641
0,678
0,670
22,7
13,6
18,7
10,6
30,9
18,7
17,8
10,
2
8,1
0,701
0,762
0,665
16,7
21,0
12,2
Из таблиц и диаграмм видно, что плотность древесины является надежным показателем ее прочности и может использоваться для оценки вероятных пределов прочности чистой древесины при изгибе, сжатии и скалывании вдоль волокон. Зависимости близки к линейным - показатель степени сравнительно мало отличается от единицы. Наилучшим критерием взаимосвязи следует считать относительную ошибку уравнения связи в %%,
определяемую по формуле на с. 58.
63
Хвойные породы дают более низкую ошибку уравнения связи плотности
с прочностью (на уровне 8 - 12%), чем лиственные. Это связано с меньшим
разбросом величин (сравнительно малым коэффициентом вариации) для
хвойных пород по сравнению с лиственными и тропическими. Следует обратить внимание на различие в уравнениях связи для отечественных пород
и пород, произрастающих в США и Канаде. Оно проистекает из-за разницы в объёме образцов, то есть обусловлено масштабным фактором (см.
гл.Ш).
2.4.2. Твердость и прочность чистой древесины
Аналогичные результаты выполнены и в отношении твердости древесины, как показателя, способного информировать потребителя о пределах
прочности чистой древесины
Рис.2.4. Взаимосвязь боковой твердости древесины с ее пределами прочности при изгибе (1), сжатии (2) и скалывании (3) вдоль волокон для зарубежных пород.
2.4. Взаимосвязь твердости с пределами прочности чистой древесины .
Породы
Предел прочности, МПа
Хвойные
при изгибе
США и Кана- при сжатии
ды
при скалывании
Лиственные и при изгибе
тропические при сжатии
при скалывании
Уравнение связи
Y=39,62Х0,692
Y=25.18Х0,560
Y=4,92Х0,55
Y=41,18X0,521
Y=23,16Х0,474
Y=4,98Х0,520
R2
0,772
0,690
0,540
0,836
0,826
0,827
Вариац. ко- Ошибка, тух,
эфф., Vу,%
%
19,0
9,07
17,6
9,80
17,9
12,14
29,5
11,9
26,7
11,1
27,2
11,3
64
2.5. Взаимосвязь твердости древесины с ее пределами прочности для отечественных пород
Породы
Хвойные
СССР
Лиственные
СССР
150 т
Предел прочности, МПа
Уравнение связи
при изгибе
Y=15,08Х0,497
при сжатии
Y=8,89Х0,489
при скалывании
Y=0,799Х
при изгибе
при сжатии
Y=15,76Х0,449
Y=12,61Х0,354
при скалывании
Y=0,7220,655
0,648
R2
Вариац. ко- Ошибка, тyx,
эфф., Vy, %
%
0,501
0,537
0,593
18,7
13,21
16,7
11,36
21,0
13,40
0,616
0,631
0,718
22,7
18,7
14,06
11,36
30,9
16,41
Хвойные породы СССР
Рис.2.5. Взаимосвязь торцовой твердости с пределами прочности древесины при изгибе (1), сжатии (2) и скалывании (3) вдоль волокон для отечественных пород.
Оценка прочности по твердости возможна уже с большей погрешностью, чем по плотности чистой древесины - ошибка уравнений связи возрастает до 10-16%. Показатель степени в уравнениях связи близок к 0,5, то
есть прочность примерно пропорциональна величине T , где Т - замеренная твердость материала. При этом следует учесть, что в практике США и
Канады твердость измеряется в кН, а в нашей практике -в МПа как отношение нагрузки к площади проекции отпечатка шарика.
В целом же можно считать, что твердость является вполне информативным показателем и может использоваться для оценки вероятной прочности
чистой древесины.
2.4.3. Модуль упругости при изгибе и прочность чистой древесины
В этом разделе рассмотрена взаимосвязь третьего оценочного показателя
– модуля упругости при изгибе с пределами прочности чистой древесины
различных пород. Именно модуль упругости при изгибе стал основой для
оценки прочности пиломатериалов, причем не только при изгибе, но и при
65
других видах нагружения. Поэтому особенно интересно проследить его
взаимосвязи с пределами прочности чистой древесины.
2.6. Взаимосвязь модуля упругости при изгибе с прочностью чистой древесины
зарубежных пород
Породы
Предел прочности,
МПа
Хвойные США и при изгибе
Канады
при сжатии
при скалывании
Лиственные
и при изгибе
тропические
при сжатии
при скалывании
Уравнение связи
Y= 10,84Х0,81
Y= 7,63Х0,724
Y= 2,53Х0,49
Y= 6,39Х1,086
Y= 4,50Х0,962
У= 1.64Х0,777
R2
0,750
0,700
0,316
0,803
0,788
0,418
Вариац. коэфф.,
Vy, %
Ошибка,
тyx, %
19,0
17,6
17,9
29,5
26,7
27,2
9,50
9,64
14,8
13,1
12,3
20.7
Рис.2.6. Диаграммы взаимосвязи модуля упругости с пределами прочности
древесины зарубежных пород.
2.7. Взаимосвязь модуля упругости с пределами прочности чистой древесины отечественных пород.
Породы
Предел прочности, Уравнение свяВариац. ко- Ошибка
R2
МПа
зи
эфф.,Vy, %
myx, %
"*№•,
Хвойные
при изгибе
Y=10,48Х0,85
0,647
18,7
11,11
%
СССР
при сжатии
Y=9,61Х0,663
0,578
16,7
10,85
Лиственные
СССР
при скалывании
при изгибе
при сжатии
при скалывании
Y=1,37Х0,688
Y=25,21Х0,569
Y=23,67Х0,34
Y=6.74Х0,179
0,461
0,378
0,211
0,018
21,0
22,7
18,7
30,9
15,42
17,9
16,6
30,6
66
Рис. 2.7. Диаграммы взаимосвязи модуля упругости при изгибе с пределами
прочности при изгибе (1), сжатии (2) и скалывании (3) вдоль волокон для
древесины отечественных пород.
Можно видеть, что модуль упругости можно использовать для оценки
вероятной прочности чистой древесины при изгибе и сжатии вдоль волокон (ошибка уравнения связи 10-11%) и нельзя использовать для оценки
прочности при скалывании вдоль волокон. Следует отметить тот факт, что
для лиственных пород СССР взаимосвязь прочности с модулем упругости
очень низка, хотя для зарубежных пород она достаточно существенна (R2
== 0.8). Причина может заключаться только в методических факторах,
главным образом в том, что по нашим стандартам модуль упругости определяется отдельно от предела прочности при изгибе.
2.6. Взаимосвязь оценочных показателей между собой
Для того, чтобы выбрать наиболее представительный показатель для
оценки вероятной прочности чистой древесины, представляет интерес проследить их взаимную корреляцию. При изучении взаимосвязи твердости с
плотностью оказалось возможным рассматривать вместе все породы лиственные и хвойные и, одновременно сравнить уравнения связи для древесных пород, произрастающих в разных полушариях нашей планеты
(рис.2.8).
Рис.2.8. Взаимосвязь твердости древесины с ее плотностью
Дело в том, что из множества показателей древесины только плотность и
твердость определяются по совершенно одинаковым методикам в нашей
стране и по стандартам А8ТМ, хотя и в этом случае приходится пересчитывать наши показатели твердости из МПА в кН (10 МПа соответствуют 1
кН, так как площадь проекции отпечатка шарика составляет 100 мм2).
Как видим из диаграмм, средние значения показателей близки друг к
другу, но между уравнения связи существует некоторая разница. Для того,
67
чтобы оценить ее величину составили следующую таблицу (табл.2.9), где
уравнение (1) характеризует породы США и Канады, а уравнение (2) - отечественные породы.
2.9. Сравнение показателей плотности, рассчитанных по двум уравнениям связи
Твердость, кН
Плотность по ур-ю 1,
3
кг/м
Плотность по ур-ю 2,
3
кг/м
Разность, %
2
3
4
5
6
7
8
9
10
362 432 490 540 585 626 664 699 732
389 457 512 559 601 638 673 705 735
-7,6 -5,7 -4,4 -3,4 -2,6 -2,0 -1,4 -0,9 -0,4
Видно, что заметная разница наблюдается лишь при самых низких значениях твердости, а далее снижается до долей процента. Следовательно,
можно говорить о практической адекватности уравнений связи, полученных из совершенно различных источников и характеризующих совершенно различные районы произрастания древесины. Поэтому и в дальнейшем
мы используем данные по породам США и Канады наряду с отечественными материалами для решения вопросов нормирования показателей древесины.
Из двух уравнений связи типа ρбаз(Тв) мы рекомендуем первое уравнение как всеобщее уравнение связи боковой твердости древесины при
влажности 12%, выраженной в кН, с базисной плотностью в кг/м3
 баз  267 Тв0 ,438
Это уравнение имеет меньшую погрешность, чем полученное для отечественных пород, и потому кажется нам более соответствующим истине.
Совсем иначе обстоит дело со взаимосвязью модуля упругости с плотностью древесины (рис. 2.9).
Рис.2.9.
Взаимосвязь
плотности древесины хвойных пород США и Канады с
модулем упругости при изгибе
Из рис.2.9 видно, что плотность слабо коррелирует с модулем упруго68
сти древесины (R2 = 0,435). Из этого можно предположить, что эти два
показателя характеризуют различные стороны материала. Плотность есть
фактически мера пористости древесины, наличия древесинного вещества
в единице объёма. Модуль упругости же характеризует способность волокон деформироваться под действием нагрузки. Следовательно, вполне логично предположить, что наилучшие результаты при оценке вероятной
прочности древесины может дать учет двух параметров древесины. Это
могут быть плотность и модуль упругости при изгибе, или твердость и
модуль упругости при изгибе, так как между плотностью и твердостью
существует очень тесная взаимосвязь.
2. 6. Оценка прочности по двум параметрам
Алгоритм расчета коэффициентов уравнения множественной регрессии
выглядит следующим образом [59]
1 ) Mx1 
x
1i
; 2 ) Mx 2 
x
2i
; 3 ) My 
y
i
;
n
n
n
4 ) Sx1   ( Mx1  x1 i )2 ; 5 ) Sx2   ( Mx 2  x2 i )2 ;
6 ) Sy   ( My  yi )2 ; 7 ) Sx1 y   ( Mx1  x1 i )( My  yi );
8 ) Sx2 y   ( Mx 2  x2 i )( My  yi );
9 ) Sx1 x2   ( Mx1  x1 i )( Mx 2  x 2 i );
10 ) b 
Sx2 y * Sx1 x2  Sx1 y * Sx2
( Sx1 y  b * Sx1 )
; 11 ) c 
;
2
( Sx1 x2 )  Sx1 * Sx2
Sx1 x2
12 ) a  My  bMx1  cMx 2 ; 13 ) y р  a  bx1  cx2 .
Здесь x1 - первый показатель, например, модуль упругости; x2 - второй
показатель, например, твердость древесины; y - отклик (фактическое значение предела прочности); n - число вариант (минимальное значение из
трех рассматриваемых статистических рядов); М - средние арифметические, Σ- суммы квадратов отклонений (или сумма произведений отклонений) отдельных вариант от их среднего арифметического, Ур - расчетное
(прогнозируемое) значение предела прочности.
Далее выполняли проверку взаимосвязи между фактическими и расчетными значениями пределов прочности. Уравнение связи нелинейного типа, например, степенного вида
69
Y=а X1b X2 c
приводили к линейному виду путем логарифмирования
lп y = lnа + b *lnХ1 + с *lnХ2
и далее действовали по алгоритму, указанному выше.
Ниже показана техника расчетов применительно к показателям древесины хвойных пород США и Канады при влажности 12%. В табл. 2.9 указаны средние величины трех показателей и значения сумм квадратов отклонений, необходимых для расчета коэфициентов множественного уравнения регрессии. Здесь предел прочности при изгибе (σизг) выражен в МПа,
модуль упругости (Е) в ГПа, а твердость (Тв) в кН.
2.9. Значения величин для расчетов коэффициентов уравнения множественной
регрессии
Е(Мх1) Тв(МХ2) σизг(Му)
9,94
2,38
71,0
Sx1
Sx2
Sy
Sx1y
Sx2y
Sx1x2
Урасч
158,9
16,2
7182
929,8
260,4
25,8
71,0
По этим данным можно рассчитать искомые коэффициенты:
260 ,4 * 25 ,8  929 ,8 * 16 ,2
 4 ,428
25 ,8 2  158 ,9 * 16 ,2
929 ,8  4 ,428 * 158 ,9
c
 8 ,782
25 ,8
a  71 ,0  4 ,428 * 9 ,94  8 ,782 * 2 ,38  6 ,035
b
Следовательно, уравнение для оценки прочности при изгибе по двум параметрам имеет вид:
σизг = 6,035 + 4,428E + 8,782Tв
при достоверности апроксимации R2=0,891.
Графически эти расчеты проиллюстрированы на рис.2.10, Если модуль
упругости определяет прочность при изгибе на 76%, а твердость - на 61%,
то совместный учет двух показателей повышает достоверность оценки
предела прочности до 89,1%. При этом уравнение между фактической и
расчетной прочностью принимает вид у = х, что говорит о правильности
расчетов. Соответственно этому снижается и ошибка уравнения связи - в
первом случае она составляет 9,03, во втором - 11,51 и в третьем - 6,08%.
70
Рис.2.10. Взаимосвязь показателей
для хвойных пород США и Канады
при влажности 12%: а) – между модулем упругости и пределом прочности при изгибе, б) – между твердостью и пределом прочности при изгибе, в) – между фактической и
прочностью при изгибе и прочностью, рассчитанной по двум параметрам.
Преимущество оценки прочности по двум параметрам видно и для хвойных пород СССР. Получены следующие уравнения:
σизг = 43,7 + 4,63Е
при R2 = 0,338 и ошибке 19,6%,
σизг = 62,2 + 0,797Тв
при R2 = 0,677 и ошибке 11,3%,
σизг = 31,8 + 3,16Е + 0,707Тв при R2 = 0,817 и ошибке 8,55%.
2.7. Взаимосвязь пределов прочности между собой
Взаимосвязь трех пределов прочности - при растяжении, сжатии и изгибе - издавна привлекала исследователей. Помимо чисто познавательного
интереса здесь есть стремление ограничить объём испытаний и, в частности, снизить до минимума выполнение наиболее сложных испытаний на
растяжение вдоль волокон.
bсХухрянский П.Н. [114] рассмотрел диаграмму нормальных напряжений при изгибе и, учитывая, что прочность при сжатии значительно меньше прочности при растяжении, предположил, что эпюра напряжений
должна иметь характер ломаной кривой. Максимальный момент при изломе древесины составит:
71
p
3n  1
; n
n1
 cж
где W - момент сопротивления поперечного сечения образца. Соответственно этому предел прочности при изгибе составит
M  m сжW ; m 
 изг 
M

W
 cж
3 р   сж
 р   сж
Т.Dzuba [121] рассмотрел с помощью моделирования на ЭВМ частотное
распределение прочности при изгибе при заданных распределениях прочности при сжатии и растяжении и установил, что прочность при изгибе в
большей мере зависит от прочности при растяжении, чем от прочности при
сжатии. Количественный анализ указанной зависимости выполнил Соболев Ю.С. [100]. Расчеты показали хорошее совпадение опытных и расчетных данных - отклонения в пределах от -10 до +14%. Там же отмечено, что
для крупных образцов с сучками идеализированная эпюра напряжений и
соответствующие ей расчеты становятся неприемлемыми, так как пороки
оказывают значительно меньшее влияния на прочность при сжатии, чем на
прочность при растяжении. Не исключен вариант, когда прочность образца
(детали) при сжатии вдоль волокон окажется выше прочности при растяжении или изгибе.
Наши исследования взаимосвязи различных пределов прочности малых
чистых образцов древесины по данным [104] дали такие результаты
(рис.2.11). Учитывая, что наиболее простым по технике исполнения является определение предела прочности на сжатие вдоль волокон, определили
связь этого показателя с пределами прочности при изгибе и скалывании
вдоль волокон, техника определения которых более трудоемка.
Рис.2.11. Диаграммы взаимосвязи предела прочности при сжатии с пределом прочности при изгибе
(1), R2 = 0,934 и сопротивлением скалыванию вдоль волокон (2), R2 = 0,695.
72
Результаты показали, что для чистой древесины существует очень тесная
связь пределов прочности при сжатии и изгибе. Это позволяет во многих
случаях для характеристики какой-либо партии древесины ограничиться
простыми испытаниями на сжатие вдоль волокон, на основании которых
затем прогнозировать предел прочности при изгибе с погрешностью не более 7%. Сопротивление скалыванию связано с пределом прочности при
сжатии гораздо меньше и не может быть прогнозировано через прочность
при сжатии.
Еще более трудны испытания на растяжение вдоль волокон. Эти пределы прочности для зарубежных пород вообще отсутствуют. Для отечественных пород связь пределов прочности при сжатии и растяжении выражается величиной R2= 0,4, что не позволяет говорить о надежном прогнозе. Однако при оценке по двум параметрам, то есть по формуле, учитывающей σсж и σизг,
достоверность апроксимации составляет 0,75. На
рис.2.12 показано соответствие фактических величин прочности при растяжении вдоль волокон с теоретическими, рассчитанными по двум параметрам.
Следовательно, мы можем утверждать, что прочность при растяжении
чистой древесины примерно на 75% определяется пределами прочности
при сжатии и изгибе.
Рис.2.12. Совпадение расчетных и
фактических значений прочности
чистой древесины при растяжении
вдоль волокон.
73
Выводы по главе II
1.Расчеты по имеющимся базам данных по показателям свойств древесных пород различных районов произрастания выявили, что за небольшим
исключением все показатели древесины тесно взаимосвязаны.
2. Наиболее представительным оценочным показателем прочности чистой древесины является ее плотность, которая показывает достоверность
апроксимации с пределами прочности при сжатии, изгибе и скалывании
вдоль волокон на уровне 0,7 - 0,9.
3. Твердость древесины показывает немного меньшую взаимосвязь с
пределами прочности древесины, но также может служить надежным оценочным показателем в деле оценки прочности чистой древесины неразрушающим способом.
4. Модуль упругости тесно связан только с пределом прочности при изгибе и в несколько меньшей степени - с пределом прочности при сжатии.
Для прогнозирования других показателей его использование не рекомендуется.
5. Оценочные показатели тесно взаимосвязаны между собой. Особенно
тесная корреляция обнаружена между плотностью и твердостью древесины, что позволяет рекомендовать твердость как наиболее практичный показатель для оценки плотности и прочности чистой древесины.
6. Значительный эффект дает оценка прочности по двум оценочным показателям, например по модулю упругости и твердости древесины. Относительная ошибка уравнения связи снижается по сравнению с вариантом
оценки по одному показателю на 5-10%.
7. Пределы прочности чистой древесины также связаны между собой.
Предел прочности при сжатии тесно связан с пределом прочности при изгибе, что позволяет значительно уменьшить объём испытаний, например,
при оценке прочности в партии пиломатериалов или других случаях. Предел прочности при растяжении может быть рассчитан по пределам прочности при сжатии и изгибе.
74