Многоимпульсное фотонное эхо и микропрограммные оптические вычисления МНОГОИМПУЛЬСНОЕ ФОТОННОЕ ЭХО

Многоимпульсное фотонное эхо и микропрограммные оптические вычисления
В.Т. НИГМАТУЛЛИНА, И.И. ПОПОВ, М.Ю. КОКУРИН
Марийский государственный университет, Йошкар-Ола
МНОГОИМПУЛЬСНОЕ ФОТОННОЕ ЭХО
И МИКРОПРОГРАММНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Рассматриваются комбинаторные свойства фотонного эха и их применение для микропрограммных вычислений на
оптическом сопроцессоре при решении NP-полной «задачи о рюкзаке». В качестве дискретных параметров
последовательностей сигналов возбуждения и регистрации фотонного эха выбраны интервалы времени, отделяющие
оптические импульсы, положение импульсов в кодово-временной последовательности и цифровые сигналы,
определяемые направлением распространения регистрируемых эхо-сигналов.
В работе исследованы комбинаторные свойства фотонного эха (ФЭ) с целью построения микропрограммного оптического сопроцессора, решающего NP-полные задачи дискретной математики. При этом оптический сопроцессор многократно запускает определенное количество раз (на
единицу меньше числа неизвестных в решаемой задачи) микропрограмму оптических вычислений.
Микропрограмма оптических вычислений реализуется за счет циклического (с периодом повторения, превышающим характерные времена релаксации резонансной среды Т1) возбуждения и регистрации набора сигналов фотонного эха в выбранных направлениях.
Работа микропрограммы оптических вычислений основана на использовании параметров последовательностей дискретных сигналов возбуждения и регистрации фотонного эха. К этим параметрам относятся интервалы времени, отделяющие оптические импульсы, порядковые номера импульсов в последовательности и направления распространения регистрируемых эхо-сигналов,
представляемые тремя значениями цифрового сигнала в виде трех логических уровней (1, 0, –1).
Эти особенности возбуждения и регистрации эхо-сигналов, по сути, отражающие комбинаторные
свойства фотонного эха, использованы авторами работ [1, 2] для разработки нового принципа построения оптического эхо-процессора, выполняющего целые микропрограммы вычислений. На
основе этих комбинаторных свойств фотонного эха предложено решать NP-полную задачу дискретной математики «задачу о рюкзаке» в пределах одной секунды. В то время как на ее решение
при тех же больших размерностях задачи с помощью существующих приближенных методов вычисления в зависимости от числа неизвестных и степени разброса начальных данных может быть
затрачено несколько часов.
Комбинаторные свойства фотонного эха заключаются в наличии системной взаимосвязи между
одним из значений множества времен регистрации циклически возбуждаемых сигналов фотонного
эха и множествами алгебраических сумм временных интервалов, отделяющих оптические импульсы в возбуждающей кодово-временной последовательности. При этом кодово-временная последовательность монотонно убывает по численности импульсов на каждом шаге возбуждения эхосигналов. Для исследования комбинаторных свойств фотонного эха был использован графический
метод расчета эхо-сигналов, в котором результат воздействия всей серии импульсов из n на среду
описывается следующим образом [3, c. 141]. В момент времени
n 1
t  tn    m  m
(1)
m1
при условии t  tn наблюдается отклик среды в направлении
n
k0   (  m   m1 )km ,
(2)
m1
где tn – время генерации последнего возбуждающего импульса,  0  0 ,  n  1 ,  m  {–1, 0, 1} и соответствуют элементам матрицы плотности двухуровневой среды, m  1,..., n  1 . Для наблюдения
комбинаторных свойств фотонного эха необходимо сформировать последовательность из равных
по длительности и амплитуде лазерных импульсов, отделяемых произвольными временными интервалами 1 , 2 ,..., n1 . Направление распространения всех возбуждающих импульсов, кроме
первого, должны совпадать и равняться k 2 . А волновой вектор первого возбуждающего импульса
k1 должен составлять острый угол по отношению к вектору k 2 . Суммарное время возбуждения и
регистрации сигналов фотонного эха не должно превышать время необратимой поперечной релаксации Т2 резонансной среды. При этом необходимо регистрировать сигналы фотонного эха, фор-
Многоимпульсное фотонное эхо и микропрограммные оптические вычисления
мирующиеся после последнего возбуждающего импульса. Такое задание параметров возбуждающих импульсов обеспечивает зависимость направления регистрации эхо-сигналов в каждом цикле
только от 1 в (2):
k0  1k1  (1  1 )k2 .
(3)
Из (3) следует, что отклики среды будут наблюдаться только в трех направлениях k0  k1 , если
1  1 ; k0  k2 , если 1  0 ; k0  2k2  k1 , если 1  1 . Следовательно, для определения всего
набора неизвестных  m  {–1, 0, 1}, m  1,..., n  1 необходимо циклически возбуждать сигналы
фотонного эха через время, превышающее время релаксации Т1. При этом в каждом последующем
цикле возбуждения эхо-сигналов последовательность лазерных импульсов уменьшается на один
импульс, стоящий в ней первым. Регистрируя в заданное время один из эхо-сигналов в каком-либо
из трех возможных направлений волнового вектора, мы последовательно определяем  m  {–
1, 0, 1}, m  1,..., n  1 в соответствующем акте возбуждения последовательности эхо-сигналов.
При этом время регистрации эхо-сигналов в каждом последующем акте определяется в соответствии с (1) и с учетом найденной в данном акте 1 . Акты возбуждения эхо-сигналов повторяются
до определения  n2 . Последняя неизвестная  n1 вычислялась с помощью выражения (1). Таким
образом, определялся один набор произведений m  m , m  1,..., n  1 из нескольких возможных.
Форма представления данных в микропрограммном оптическом сопроцессоре
на фотонном эхе при решении «задачи о рюкзаке»
Установленные комбинаторные свойства фотонного эха могут быть использованы при решении
троичной «задачи о рюкзаке». Формулировка задачи заключается в следующем. По данным значениям 1, 2 ,..., n1, c  0 требуется выяснить, имеет ли решение уравнение
n 1
 m xm  c ,
m1
xm {0, 1, 2} , m  1, 2,..., n 1
(4)
и найти это решение в случае разрешимости (4) [4]. Искомые значения x m , m  1,2,..., n  1 могут
быть последовательно определены при помощи оптического сопроцессора [1], работающего в составе обычного персонального компьютера. Для решения данной задачи на предлагаемом оптическом сопроцессоре необходимо преобразовать уравнение (4) в вид, пригодный для представления
в формате данных этого процессора. Для этого производим замену переменных xm   m  1 . Тогда
«задача о рюкзаке» перепишется в эквивалентном виде:
n 1
n 1
m 1
m 1
 m  m  b ,  m  {–1, 0, 1}, b  c   m , m  1, 2,..., n 1.
(5)
При работе этого сопроцессора форма представления данных «задачи о рюкзаке» имеет следующий вид. Входные данные «задачи о рюкзаке» 1,..., n1 кодируются временными интервалами
между короткими лазерными импульсами, воздействующими на резонансную среду. Величина b –
временным интервалом, отделяющим последний возбуждающий импульс от момента включения
затворов, установленных перед фотоэлектронными умножителями (ФЭУ), регистрирующими эхосигналы. При этом выходными данными «задачи о рюкзаке» будут являться члены одной из возможных последовательностей значений 1 ,...,  n1 , (  m  {–1, 0, 1}, m  1, 2,..., n 1 ). Значения
данной последовательности отражаются в работе сопроцессора направлениями регистрации зачетных эхо-сигналов в каждом акте возбуждения (от 1 до n – 1). При регистрации эхо-сигналов в
заданное время сразу несколькими детекторами, по ранее определенному критерию в качестве зачетного 1 выбирается один, например, имеющий наименьшее значение. Таким образом, после
определения одного из возможных наборов значений  m   1,0,1 , m  1,..., n  1 , можно определить остальные возможные наборы.
Принцип работы оптического сопроцессора
Многоимпульсное фотонное эхо и микропрограммные оптические вычисления
Работа оптического сопроцессора на фотонном эхе заключается в циклическом исполнении
микропрограммы нахождения последовательности величин  m , каждый член которой соответствует значению m , при m изменяющемся от 1 до (n  1) . Принцип работы этого сопроцессора
поясняется с помощью его схемы, приведенной на рис. 1, и заключается в следующем. На персональном компьютере (ПК) производится комплексный расчет. В алгоритме вычислений встречается необходимость решения «задачи о рюкзаке» с определенными данными. Алгоритм ПК формирует последовательность данных, подаваемых в память микропроцессора блока управления (БУ).
В БУ происходит перевод данных «задачи о рюкзаке» в вид, требуемый для оптического сопроцессора, и формируются управляющие сигналы для генератора возбуждающих импульсов (ГВИ) и
затворов. С ГВИ в резонансную среду подается серия возбуждающих лазерных импульсов. В
установленное время включаются затворы оптического процессора. ФЭУ регистрируют эхосигналы. Информация о наличии эхо-сигналов в трех выбранных направлениях подается в БУ. В
БУ происходит корректировка управляющих сигналов для ГВИ и момента включения затворов
оптического процессора для последующего цикла возбуждения эхо-сигналов, запоминаются значения m  m (при m в первом акте возбуждения равном единице), анализируется сумма запомненных значений m  m на равенство нулю. Запускается еще несколько актов возбуждения эхосигналов с периодом их повторения, превышающим время необратимой продольной релаксации
резонансной среды T1. В случае равенства суммы m  m нулю при очередном ее анализе возбуждение эхо-сигналов прекращается.
1  1
ОС
kВ
Б
У
У
ПК


kC kВ k П
kВ
З2

k1
k0  k1
З1

k п kn1 ,..., k2
ГВИ
Д1
РС
З3
Д2

kC 
kП
Д3
1  0
k0  k 2
 1  1
k0  2k2  k1
1, 2, 3
1, 2, 3
Рис. 1. Схема оптического сопроцессора на фотонном эхе в составе персонального компьютера:
ГВИ – генератор возбуждающих импульсов; РС – резонансная среда; З1, З2, и З3 – оптические затворы в трех
пространственных каналах регистрации сигналов ФЭ; Д1, Д2, Д3 – детекторы сигналов эха в трех выбранных
направлениях; БУ – блок управления; ПК – персональный компьютер; k П , k B , kС – волновые векторы сигналов первичного, восстановленного и стимулированного эха; k1 ,…, kn 1 – волновые векторы возбуждающих коротких импульсов; ОС – оптический сопроцессор на фотонном эхе (внутри контура, обозначенного
штриховыми линиями)
Многоимпульсное фотонное эхо и микропрограммные оптические вычисления
Параметры всех значений m  m в виде выходного массива оптического сопроцессора передаются в ПК как результаты решения «задачи о рюкзаке».
Принципиальным требованием, обусловливающим эффективное применение сопроцессора для
решения данного класса задач, является возможность регистрации всех эхо-откликов, возникающих после окончания действия последнего возбуждающего импульса. Существенным препятствием для регистрации всей совокупности эхо-откликов на последовательность из n коротких импульсов является экспоненциально большое число этих откликов, оцениваемое величиной O(3n )
([3,с.147]). В работе [5] найдены значения площадей возбуждающих импульсов, при которых регистрируется максимально возможное количество эхо-сигналов, и проведена оценка максимального числа возбуждающих импульсов, при использовании выражений из [6].
Как метод повышения комбинаторных возможностей фотонного эха, а следовательно, и для
увеличения максимального числа возбуждающих импульсов, в работе [7] исследованы поляризационные свойства фотонного эха. За счет использования двух ортогонально-ориентированных поляризационных каналов возбуждения эхо-сигналов можно расширить возможности оптического
сопроцессора, а именно – размерность решаемой троичной задачи о рюкзаке или порядок разброса
входных значений 1,..., n1 .
Таким образом, на основе исследованных комбинаторных свойств фотонного эха впервые
предложена микропрограмма оптических вычислений, которая в циклическом исполнении в оптическом сопроцессоре решает NP-полную задачу дискретной математики – «задачи о рюкзаке».
Оптический сопроцессор для решения рассматриваемой троичной «задачи о рюкзаке», не считая
арифметических операций микропроцессора БУ по пересчету параметров задачи и операций
вспомогательных устройств, требует O  n2  элементарных операций (воздействия на резонансную
среду коротких лазерных импульсов). Поэтому общее время его работы без учета сопровождающих затрат на поитерационную модификацию уравнения (1) пропорционально O  n2  . Порядок
данной величины заметно меньше значения O  2n/2  , измеряющего трудоемкость решения более
простой бинарной задачи о рюкзаке с использованием гипотетического процессора из [8]. Принципы работы процессора из [8] базируются на квантовых явлениях, обязанных взаимодействию
импульсов электромагнитного поля с резонансной средой из двухуровневых атомов. В [8] описан
“реализуемый” вариант этого процессора, предназначенный для решения вопроса о разрешимости
бинарной задачи о рюкзаке и состоящий из O(n) вспомогательных устройств. Описанный выше
сопроцессор на фотонном эхе помимо распознавания разрешимости позволяет находить само решение и при этом включает лишь ограниченное (неизменное) количество компонент (см. рис. 1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов И.И., Кокурин М.Ю., Нигматуллина В.Т. // Известия РАН, Сер. физ. 2008. T. 72. № 1.
С. 58.
2. Popov I.I., Kokurin M.Yu., Nigmatullina V.T. // Proceedings of SPIE. 2008. V. 7024. 70240K
3. Калачев А.А. Когерентные явления в оптике / А.А. Калачев, В.В. Самарцев. – Казань: КГУ,
2003.
4. Kellere H. Knapsack problems / H. Kellere, U. Pferschy, D. Pisinger. – Berlin: Springer, 2003. –
546p.
5. Нигматуллина В.Т., Кокурин М.Ю., Попов И.И. // Physics of Wave Phenomena. 2009. V. 17. №
1. C. 1.
6. Маныкин Э.А. Оптическая эхо-спектроскопия // Э.А. Маныкин, В.В. Самарцев. – М.: Наука,
1984.
7. Нигматуллина В.Т., Попов И.И., Кокурин М.Ю. // Сборник статей Одиннадцатой
международной молодежной научной школы “Когерентная оптика и оптическая спектроскопия” –
Казань: КГУ, 2007. С.122.
8. Grigoriev D., Kazakov A., Vakulenko S. // Письма в ЭЧАЯ. 2007. Т. 4. № 2. С. 244.