Анализ автономных систем с одним нулевым корнем

УДК 517.91
Анализ автономных систем с одним нулевым корнем
В.С. Самовол
Введение.
В статье исследуются системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки (начала
координат). Данная работа является продолжением исследований, начатых в
[1], где анализировались системы обыкновенных дифференциальных уравнений, матрица линейной части которых имеет одно нулевое собственное
число, в то время как другие собственные числа лежат вне мнимой оси. Для
краткости в дальнейшем будем такие системы называть системами с одним
нулевым корнем.
Наиболее эффективным методом исследования решений систем уравнений в окрестности особой точки является анализ нормальной формы систем. В работе изучается вид нормальной формы и приводимость к ней указанной вещественной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Нормальная форма систем
обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно хорошо изучена.
Существуют различные определения нормальной формы системы, мы здесь
ограничимся рассмотрением так называемой резонансной нормальной формы. В существующих работах подробно исследована задача аналитической
приводимости к нормальной форме (см., напр., [2]). Из полученных результатов следует, что аналитическая приводимость к нормальной форме является
исключением, что связано с расходимостью соответствующего формального
нормализующего преобразования. В связи с этим естественной представляется задача поиска неаналитических преобразований систем уравнений. Отметим при этом теорему Гробмана-Хартмана о топологической эквивалентности двух систем с особой точкой, у которых число элементов спектра, лежащих справа (соответственно, слева) от мнимой оси одинаково и спектр не пересекается с мнимой осью ([3]). Наиболее общие результаты в области поиска гладких преобразований представлены в [3]. В большинстве работ, посвященных данной тематике, исследуются системы с особой точкой (или инвариантным многообразием), спектр линейной части которых не пересекается с
мнимой осью (особая точка в таких системах называется невырожденной). В
то же время вырожденные системы весьма мало исследованы. По поводу частично вырожденных систем, часть спектра которых лежит на мнимой оси,
см. [4]. Главным результатом в области изучения невырожденных систем
является теорема Стернберга-Ченя о конечно-гладкой эквивалентности таких
систем (см. теорему 12.2 из [3]). Напомним, что в данной теореме утверждается, что системы, ряды Тейлора правых частей которых отличаются членами
высокого порядка, приводятся друг к другу с помощью локального конечногладкого преобразования. В [4] аналогичный результат доказан для систем,
часть спектра которых лежит на мнимой оси. Для гладкой приводимости таких систем друг к другу достаточно совпадение конечных участков разложений правых частей систем в ряды Тейлора по невырожденным координатам.
Отсюда следует возможность локальной конечно-гладкой приводимости указанных систем к полиномиальной нормальной форме. При этом порядок
гладкости нормализующего преобразования является возрастающей функцией степени указанного полинома.
Следующим важным объектом исследований являются системы с малым вырождением линейной части, в частности, системы с одним нулевым
корнем, а также с двумя чисто мнимыми корнями. В работах [5,6] решена задача о бесконечно гладкой эквивалентности формально эквивалентных таких
систем. Тем самым сделан первый важный шаг в изучении этих систем уравнений. В то же время пока не была исследована задача конечно-гладкой эквивалентности. Кроме того, не изучена нормальная форма указанных систем.
В данной работе при анализе систем с одним нулевым корнем мы рассмотрим преобразования с особенностями и покажем, что с помощью таких преобразований можно получить весьма полезную информацию о нормальной
форме. Мы также исследуем задачу локальной конечно-гладкой эквивалентности систем уравнений указанного вида, ряды Тейлора правых частей которых отличаются членами высокой степени (эту задачу еще называют задачей
о конечно-определенных ростках векторных полей). Отметим, что в отличие
от ранее упомянутых результатов работы [4], здесь речь идет о разложения в
ряды Тейлора по всем координатам (и невырожденным и вырожденной).
Наш подход к решению задачи конечно-гладкой эквивалентности базируется на приведении таких систем к некоторой специальной нормальной
форме. Хотя при этом используются преобразования с особенностями, тем не
менее предлагаемый метод позволяет установить критерий конечно-гладкой
эквивалентности рассматриваемых систем. Будет получено обобщение для
систем с одним нулевым корнем вышеупомянутой теоремы Стернберга-Ченя
о конечно-гладкой эквивалентности таких систем.
1. Формулировка результатов.
Рассмотрим вещественную автономную систему
d
(1)
 Q( ) ,
dt
n  1, n  0, Q( )  функция класса C  в некоторой
где  , Q( )  R
~
окрестности начала координат, Q(0)  0 , матрица A  Q(0) имеет n
 
собственных чисел, лежащих вне мнимой оси и одно нулевое собственное
число.
~
1,, n  собственные числа матрицы A , лежащие вне мнимой оси, 0  0. С помощью стандартного линейного преобразования приПусть
ведем систему (1) к следующему виду, где матрица
форму
2
~
A
имеет жорданову
x  f ( x, y ),
y   i y  i yi  gi ( x, y ),
i 1
i
i  0
(2)
i  1,, n.
f ( x, y), gi ( x, y)  o( ( x, y) ), x  R1,
y  ( y , yn )  комплексный вектор, y будем называть невырожденными
i
1
координатами (переменными), а x будем называть вырожденной координаЗдесь
или
1,
той (переменной).
Ограничимся
рассмотрением
случая,
когда
f ( x,0)  bxm1  o( x m1), b  0, m 1 целое число.
Из [5, 6] следует существование у системы (2) центрального многообразия (возможно, не единственного) класса C  , отвечающего нулевому собственному числу. Зафиксируем одно из таких многообразий. После соответствующей замены переменных можно считать, что данное многообразие определяется уравнением y  0 . Согласно [7], на указанном центральном многообразии система (2) приводится невырожденным преобразованием класса
к виду
C
x  bx m  1  cx2m  1.
Поэтому без ограничения общности мы в дальнейшем будем считать,
что упомянутые выше преобразования уже сделаны. Кроме того, очевидно, что
линейным преобразованием вырожденной переменной можно добиться того,
чтобы выполнялось равенство b  1. Будем считать это условие выполненным.
Следующая теорема является аналогом теоремы 1 из [1] и ее доказательство практически повторяет рассуждения, использованные в [1].
Теорема 1. Существует невырожденное преобразование класса C  ,
приводящее систему (1) к виду, при котором ряд Тейлора правой части системы является суммой резонансных мономов по невырожденным переменным с коэффициентами, представляющими собой бесконечно-гладкие функции от вырожденной переменной.
Ниже будем считать, что система (1) (и, соответственно, система (2))
уже приведена к виду, указанному в данной теореме.
~
В [1] показано, что если все собственные числа матрицы A различны
между собой, то система приводится невырожденным конечно-гладким пре-
3
образованием к полиномиальной нормальной форме. При этом степень полинома является возрастающей функцией порядка гладкости нормализующего преобразования. Из этих же результатов следует теорема о конечногладкой эквивалентности таких систем (конечная определенность ростков
соответствующих векторных полей). Таким образом, главной проблемой при
анализе системы (2) является случай, когда некоторые собственные числа
~
матрицы A одинаковы. Эта проблема проявляется уже при преобразовании
линейной (по невырожденным координатам) части системы (2), которая имеет вид
x  bx
m 1
 cx
2m  1
,
(3)
y  A( x) y.
Анализу этой задачи посвящены первые главы книги [8]. Однако мы
получим более точные результаты и устраним некоторые пробелы, имеющиеся в [8]. Основная ценность методов работы [8], заключается, на наш взгляд,
в использовании срезающих преобразований.
Определение 1. Срезающим преобразованием (см. [8]) называется
преобразование вида
y  S ( x) z, S ( x)  diag(1, x , x2 ,, x(n 1) ) ,
где   0  рациональное число.
(4)
Срезающим преобразованием будем также называть преобразование
вида
y  S ( x) z, S ( x)  diag (E , xE ), E , E  единичные матрицы.
1 2
1 2
Определение 2. Слабо вырожденным преобразованием называется
замена переменных вида
x  du l ,
(5)
y  T ( x ) z.
Здесь T (x) является произведением конечного числа преобразований,
одна часть которых является срезающими преобразованиями, а другая часть
– это близкие к тождественным преобразования класса C  . Число l является натуральным числом, d  const  0 .
4
Основным результатом относительно системы (3) является следующая
теорема.
Теорема 2. Существует слабо вырожденное преобразование (5), приводящее систему (3) к следующей нормальной форме
u  bu
p 1
c u
1
2 p 1
,
(6)
p 1
p
z   A  uA    u
A
 u A p  z.
1
p 1
 0

A , A ,, A
 постоянные
0 1
p 1
Здесь
A p  постоянная
диагональные
матрица, имеющая жорданову форму,
этом на диагонали матрицы
A(0) , матрица A p
A
0
матрицы,
p  ml .
При
расположены собственные числа матрицы
такова, что если числа
ij
и
ir , стоящие на диагона-
Ai , 0  i  p 1, не равны друг другу, то соответдиагональные элементы жордановой матрицы A p располага-
ли какой либо матрицы
ствующие
ются в ее разных жордановых клетках.
Замечание 1. Конечные отрезки рядов Тейлора преобразований класса
C  , являющихся множителями слабо вырожденного преобразования (5) из
теоремы 2, определяются конечными отрезками ряда Тейлора матрицы
A(x) системы (3). Общее количество множителей, составляющих преобразование (5) зависит только от m и n . Срезающие преобразования, входящие множителями в слабо вырожденное преобразование (5), определяются отрезком ряда Тейлора матрицы A(x) , длина которого равна некоторому числу m (m, n) . Число l зависит только от n .
1
Замечание 2. Если две системы вида (1) отличаются членами порядка
N , который выше числа m  m (m, n) (см. замечание 1), то система (6)
1
1
будет для них совпадать. Кроме того, срезающие преобразования, входящие
множителями в слабо вырожденные преобразования (5), приводящие данные
системы к виду (6), также будут совпадать. При этом множители класса
C  , входящие в (5), будут различаться для наших систем, однако отли-
5
чаться они будут членами порядка выше некоторого числа
причем
lim N ( N )  
N  1
N  N (N ) ,
1
1
Рассмотрим теперь систему, которая получится после применения к
системе (2) преобразования, приводящего ее линейную часть (3) к виду (6).
Система будет иметь следующий вид
u  bu
p 1

 c1u
2 p 1
 G (u , z ),
p 1
p

(7)
z  A0  uA1    u
A p 1  u A p z  F (u , z ),
F (u, z )  u  h F (u , z ), G (u, z )  u1  l G (u, z ), F (u, z ), G (u , z ) 
1
1
1
1
функции класса C  , ряды Тейлора которых представляют собой суммы резонансных мономов по z степени большей единицы с коэффициентами, являющимися функциями класса C  , зависящими от u, h  0  целое число.
Для того, чтобы избавиться от отрицательных степеней, сделаем замену
z  ul  h w .
В результате этой замены в уравнениях системы (7) исчезнут отрицательные степени вырожденной переменной, а ряды Тейлора функций F (u , z ), G (u , z ) станут суммой резонансных мономов по невырожденным координатам с коэффициентами, являющимися функциями класса C  ,
зависящими от u . При этом в линейной (по невырожденным переменным)
2p
части системы появятся «лишние» члены порядка u
, однако, как это будет
видно из доказательства теоремы 2, эти члены можно убрать с помощью невырожденного бесконечно-гладкого преобразования. Чтобы не загромождать
изложение, будем считать, что полученная система (7) уже имеет нужный вид.
Приведение линейной части системы к виду (6) открывает новые возможности для уточнения понятия резонанса.
Ниже мы рассмотрим мономы u r z s , из которых (c некоторыми постоянными коэффициентами) состоят ряды Тейлора функций F (u, z) и G(u, z)
из системы (7) с учетом сделанных выше относительно нее замечаний. Здесь и
далее
используются
следующие
обозначения.
s1
s
z  z1  z nn , s  ( s1,  sn ), s1, , sn  неотрицательные
j
j
j
числа, s  s    sn ,   ( ,, n )  вектор, состоящий из
1
1
s
6
целые
элемен-
A j , 0  j  p , (0 ,, n0 )  ( ,, n ) . Если мо1
1
ном u r z s входит в уравнение с номером i, 1  i  n 1, то выполняется
резонансное соотношение s     s   
и моном z s мы
1 1
n n
i 1
тов спектра матрицы
называем
резонансным
q
мономом.
0  0  0, 0  q  p .
мономы
Здесь
и
ниже
считается,
что
Ниже мы рассматриваем только резонансные
zs.
Определение 3. Уровнем резонансного монома z s , входящего в уравнение с номером i, 1  i  n 1, называется такое число q , 0  q  p  2, для
которого выполняются условия:
s,  j   ij 1,
s, q  1  iq11.
0  j  q,
(8)
Если выполняются условия:
s,  j   ij 1,
то уровнем монома
zs
0  j  p  1,
(9)
p 1 .
называется число
Определение 4. Мы будем говорить, что моном
устранимым мономом, если:
zs
является мономом уровня
либо моном
zs
является мономом уровня
s,  p  b( p  r )  ip 1
s,  p  b(2 p  1  r)  0
из последних
n
p  1, r  p
( если моном
уравнений системы с номером
Будем считать моном
устранимым мономом.
является
q , 0  q  p  2 и r  q 1;
либо моном
равенство
ur z s
i)
и выполняется не-
ur z s
входит в одно
или же неравенство
(если моном входит в первое уравнение).
ur z s
неустранимым, если он не является
Из последнего определения ясно, что все резонансные (в традиционном
s
смысле) мономы z являются неустранимыми. Новое состоит в классификации мономов u r z s при r  0.
7
Отметим, что для каждого резонансного набора s число неустранимых
мономов u r z s конечно. Это мономы, для которых r  q в случае
q  p  1, где q  уровень монома, а также единственный возможный в
каждом из уравнений системы неустранимый моном уровня p  1, для которого выполняется равенство
s,  p  b( p  r )  ip 1
s,  p  b(2 p  1  r)  0
одно из последних
n
уравнений системы с номером
(если он входит в
i ),
либо равенство
(если он входит в первое уравнение системы).
Смысл определения 4 раскрывается при рассмотрении следующей
формальной системы аналогичной системе (7)
u  bu
p 1

 cu
2 p 1
z  A0  uA1    u
Здесь матрицы

 g (u , z ),
p 1
A j , 1  j  p,


A p 1  u A p z  F (u , z ).
p
(10)
такие же, как и в системе (6),
F  (u , z ), g  (u , z )  формальные
ряды, члены которых являются резонансными мономами, степени которых по невырожденным координатам выше первой. Для такой системы верна следующая теорема.
Теорема 3. Для системы (10) существует близкое к тождественному
формальное преобразование, приводящее ее к формальной нормальной форме
следующего вида (для простоты мы сохраняем обозначения системы (10))
u  bu

p 1
 cu
2 p 1
z  A0  uA1    u
 g~ (u , z ),
p 1

~
A p 1  u A p z  F (u , z ),
p
(11)
~
~(u, z )  суть формальные ряды, члены которых являются
где F (u, z ), g
неустранимыми мономами.
Замечание 3. С учетом определения неустранимых мономов, формальные ряды
~
F (u, z), g~(u, z) в
системе (11) можно представить в виде
рядов по резонансным мономам z s , коэффициенты которых будут многочленами от вырожденной переменной. При этом, если элемент ряда пред-
8
ставить в виде
s.
P(u) z s , то степень многочлена P(u)
линейно зависит от
Поскольку формальная приводимость для системы (7) означает приводимость класса C  (см. [5,6]), то следствием теоремы 3 является следующая теорема.
Теорема 4. Существует близкое к тождественному преобразование
класса C  , приводящее систему (7) к нормальной форме, ряд Тейлора которой представляет собой сумму неустранимых мономов. Если нормальную
форму записать в виде ряда по резонансным мономам z s , то коэффициенты этого ряда будут многочленами, зависящими от вырожденной переменной, при этом степень соответствующего многочлена линейно зависит от
s.
С учетом результатов работы [4], еще одним следствием теоремы 3 является следующее утверждение.
Теорема 5. Для любого целого числа
k 0
существует близкое к
тождественному преобразование класса C k , приводящее систему (7) к полиномиальной резонансной нормальной форме.
Для доказательства теоремы 5 достаточно нормальную форму системы
(7) записать в виде ряда по резонансным мономам z s , коэффициенты которого будут многочленами по вырожденной переменной. Применяя к этой
нормальной форме теорему 1 из [4], получаем требуемое утверждение.
Перейдем теперь к задаче о конечно-гладкой эквивалентности систем
уравнений. Рассмотрим две системы вида (1), у которых N  струи правых
частей совпадают. Отметим, что если у двух систем вида (1) совпадают ряды
Тейлора правых частей до некоторого порядка N ( N  струи), то у соответствующих систем вида (7), будут совпадать L  струи, причем
L  L( N ),
lim L( N )   .
N 
Следующая теорема, решает проблему конечно-гладкой эквивалентности систем вида (1).
Теорема 6. Для любого целого числа
k 0
существует целое число
N,
обладающее следующим свойством: если ряды Тейлора правых частей двух
систем вида (1) отличаются членами порядка выше
9
N
(совпадают
N  струи), то эти системы локально C k
- эквивалентны, т.е. существу-
C k , приводящее одну систему к
другой в малой окрестности начала координат. Число N зависит от
k , m, n , а также от спектра матрицы Q(0) .
ет невырожденное преобразование класса
2. Примеры
Сначала мы рассмотрим примеры, иллюстрирующие понятия устранимых и неустранимых мономов.
Рассмотрим трехмерную систему уравнений
2
x  x ,
(12)
y  A( x ) y  g ( x, y ),
1 0
1 0
1
2
x  R , y  R , A( x )  A0  xA1 , A0  
, A1  
,
0
2
0
3




 g1( x, y ) 
g ( x, y )  
, g ( x, y )  o y .
g
(
x
,
y
)
 2

Без ограничения общности можем считать, что в разложении функции
g ( x, y ) присутствуют лишь резонансные члены, следовательно,
2
g1 ( x, y )  0, g 2 ( x, y )  y1 g ( x) . Рассмотрим ситуацию, когда
r
g ( x )  cx , c  const., r  0 
целое число. Отметим, что резо-
2 имеет уровень равный нулю (см. определение
1
r 2
3). При этом моном x y при r  1 и r  2 является устранимым
1
мономом, а при r  0 и r  2  неустранимым. В последних случанансный моном y
ях при попытке найти невырожденное преобразование
10
x~
x,

y~
y  B( ~
x)~
y  H (~
x, ~
y ), H ( ~
x, ~
y )  o ~
y , B, H  C ,
приводящее (12) к виду
2
~
x  b~
x ,
~
y  A( ~
x)~
y,
мы можем подставить указанное преобразование в (12) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях разложений искомых
функций. Проводя соответствующие выкладки, получаем противоречие (при этом достаточно рассмотреть члены не выше второго
порядка по невырожденным переменным).
1 0
 , то рассматриваемые
0 2
Если в системе (12) A  A  
1
0
мономы являются неустранимыми при r  0, r  1, и устранимыми
при r  2 .
Рассмотрим теперь систему
3
x  x ,
y  A( x ) y  g ( x, y ),
2
A( x )  A0  xA1  x A2 ,
 0 
A2   1
,
0


2
1 0
A0  
,
0 2
1 0
A1  
,
 0 3
 0 
g ( x, y )   r 2 .
 x y1 
2
r 2
y1 равен нулю и моном x y1 является
устранимым при r  1 и неустранимым при r  0.
Здесь уровень монома
11
Если в данной системе
1 0
A1  A0  
 , то уровень моно0
2


2 равен единице, а моном r 2 неустраним при r  0 и
x y1
1
r  1, а при r  2 ответ на данный вопрос зависит от выполнения
равенства 2  (r  2)   . Если данное равенство выполняется
1
2
при r  2 , то указанный моном неустраним, в обратном случае –
ма y
устраним. Устранимость рассматренных выше мономов следует из
определения 4 (см. также теорему 3), проверку утверждений о неустранимости оставляем читателю.
Ниже на примере некоторых трехмерных систем мы проиллюстрируем теорему о конечно-гладкой эквивалентности.
Рассмотрим две трехмерные системы класса C

x  x m  1  f ( x, y )
y  A( x) y  g ( x, y )
(13)
~
x  ~
x m  1  f 1( ~
x, ~
y)
~ ~ 1~ ~
~
y  A( ~
x ) y  g (x, y )
(14)
 1  
~
~
~
,
A( x)  A(0)  g ( x), A( x)  A(0)  gˆ ( x), A(0)  A(0)  
0  

2
g ( x)  ( g ( x)), gˆ ( x)  ( gˆ ( x)), 1  i, j  2, g (0)  gˆ (0)  0,
ij
ij
f ( x,0)  f 1( x,0)  0, g ( x, y )  g1( x, y )  o( y ) ).
В общем случае, в отличие от рассматриваемых здесь систем,
1
2m  1
имеет место равенство f ( x,0)  f ( x,0)  bx
. Мы для простоты считаем, что b  0 . Отметим при этом, что все результаты
остаются верными и в общем случае.
Мы ниже будем считать, что N  струи правых частей систем
совпадают (число N  0 мы зададим позже).
12
k
Пусть k  0  целое число. Рассмотрим задачу о C  эквивалентности наших систем, точнее о существовании для заданного

числа k такого числа N , что при N  N
но C
 системы будут локаль-
k  эквивалентны.
В [1] показано, что если    , то при любом k  0 каждая
1
2
k
из систем приводится невырожденным преобразованием класса C
к полиномиальной нормальной форме, причем коэффициенты каждой нормальной формы определяются P  струей соответствующей
системы, где P  P(k , m) . Таким образом, если приведенные системы имеют совпадающие N  струи и N  P , то их указанные
нормальные формы совпадают и, очевидно, данные системы
C k  эквивалентны.
Рассмотрим теперь случай
1  2   . Ограничимся случаем
 1 (если   0 , то процесс распадается на этапы, каждый из которых аналогичен случаю, рассмотренному здесь).
Ниже будем считать, что системы (13) и (14) уже приведены к
виду, указанному в теореме 1. В этом случае ряды Тейлора правых
частей систем не содержат резонансных членов, за исключением
линейных по невырожденным координатам. Следовательно, функ-
1
1
ции f ( x, y ), g ( x, y ), f ( x, y ), g ( x, y ) являются плоскими. Но
тогда, поскольку согласно [6] формальная эквивалентность рас-

сматриваемых систем означает их C  эквивалентность, то можно считать эти функции равными нулю. Итак, без ограничения
общности можно считать, что системы (13) и (14) имеют следующий вид
x  x m  1
y  A( x) y
(15)
x  x m  1
~
~
y  A( x ) ~
y
(16)
13
Будем теперь преобразовывать системы (15) и (16). Поскольку
преобразования аналогичны, то ограничимся их представлением
для системы (15). Запишем последние два уравнения этой системы
подробно
y1  y1  y 2  g11 ( x) y1  g12 ( x) y 2 ,
y 2  y 2  g 21 ( x) y1  g 22 ( x) y2 .
Сделаем замену
(15) примет вид
(17)
y  y  g ( x) y  g ( x) y . Система
2
2
11
1 12
2

y1  y1  y 2 ,



y 2  y 2  g~21 ( x) y1  g~22 ( x) y 2 .
(18)
При дальнейших построениях будем предполагать, что x  0
(при x  0 построение аналогично рассмотренному случаю).
Произведем в системе (18) срезающее преобразование
y z ,
1 1
y  x z .
2
2
(19)
Число   0 определим позже.
Система (18) примет вид

z1  z1  x z 2 ,
(20)
z 2  z 2  x   g~21 ( x ) z1  ( g~22 ( x )  x m ) z 2 ,
~ ( x), i  1,2 , не являющиеся плоскими,
Запишем функции g
2i
r 
~
в виде g ( x)  x i g ( x), где g  (0)  0, r  натуральное
i
2i
2i
2i
~
число. Если какая-либо из функций g ( x) плоская, то будем счи2i
14
 r1


тать, что r   . Положим теперь     min
, r , m  . Число
i
2 2 
1


 будет рациональным, либо даже целым. Система (20) будет
1
иметь вид

z  A z  x 1 A ( x) z ,
0
1
 0 
A0  
.
0 
(21)
Ограничимся рассмотрением нескольких случаев.
r
1.
Пусть сначала m  1  r . Тогда   r  целое и в си1 2
2 2
0 1 
стеме (21) будет A (0)  
,   0. Матрица A (0) имеет
1
1
0  
различные собственные числа.
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
m 1 
1
x  x
z  A ( x) z
1
(22)
Поскольку матрица A (0) имеет различные собственные числа, то
1
согласно лемме 1 из [1] существует невырожденное преобразование
класса C 
z  H ( x) w, det H (0)  0 ,
приводящее систему (22) к виду
m 1 
1
x  x
~
w  A ( x)w,
1
15
(23)
~
1
где A  diag (a ( x), a ( x)) . Это означает выполнение равенства
1
2
m  1   1
~
1 H H ( x)  A
H ( x) A1 ( x) H ( x)  x
1 ( x) ,
1
из которого следует, в свою очередь, что

 ~
1
m

1
1
1
x H ( x) A1 ( x) H ( x)  x
H ( x) H ( x)  x 1 A1 ( x) .
Отсюда, учитывая, что H
 1( x) A H ( x)  A , получаем, что
0
0
 1

1
H A H  x 1 H ( x) A1 ( x) H ( x)  x m  1H 1 ( x) H ( x) 
0
 ~
1
 A0  x
A1 ( x)
Это означает, что система (21) после преобразования (23) распадается на независимые уравнения и система (15) получает вид
x  x m  1
w1  w1  x
1
a1 ( x ) w1 ,

w 2  w2  x 1 a 2 ( x ) w2 .
(24)
Этим данный этап преобразований системы (15) в рассматриваемом случае   r завершен.
1
2.
2
r
r
1
 r , 1  m, r  неРассмотрим теперь случай
1
2 2 2
четное число.
16
r
Тогда   1 не является целым. Получим в (21)
1 2
 0 1
A (0)  
,   0. Матрица A (0) опять имеет различные
1
1
  0
собственные числа. Чтобы избавиться от дробных степеней, сделаем дополнительное преобразование вырожденной перемен-
2
ной x  m 2u . В итоге получим систему
u  u 2m  1,
(25)
r ~
~
z  A z  u 1 A (u ) z , A (u )  C  ,
0
2
2
~
где матрица A (0) также имеет различные собственные числа.
2
Рассуждая как выше, получаем существование невырожденного
преобразования класса C  , после которого последняя система приобретает следующий вид аналогичный системе (24)
u  u 2m  1
r1 ~
w1  w1  u a1 (u ) w1 ,
r
w 2  w2  u 1 a~2 (u ) w2 .

1
(26)
Данный этап преобразований системы (15) в случае дробного
завершен.
r
В случае m  1 , m  r получаем   m и в (21) матрица
2
1
2
0 1 
A (0)  
 имеет различные собственные числа. Как и в
1
0

m


первом случае получаем существование невырожденное преобра
зования вида (15) класса C , приводящего систему (21) к виду (24).
17
Согласно лемме 2 из [1] для каждой из полученных систем
существует линейное по невырожденным координатам близкое к
тождественному преобразование класса C  , после которого данные системы примут вид
u  u
p 1
,
p 1
p
v   A  uA    u
A
 u A p v .
1
p 1
 0

(27)
Здесь A , A , , A  постоянные диагональные матрицы,
0
1
p
p  m в случаях 1 и 3 и p  2m в случае 2.
Итоговое преобразование для невырожденных переменных
можно представить в виде y  T (u )v  Q(u ) S (u ) R(u )v,
где Q(u ), R(u )  невырожденные матрицы класса C  , а
S (u )  срезающее преобразование (14). При этом x  u в 1 и 3 случаях и x  m 2u
2 во втором случае.
Для системы (16) аналогичное преобразование будет иметь
вид ~
y  T (u)v  Q (u)S (u) R (u)v.
1
1
1
При этом из построения следует, что соответствующие срезающие множители в указанных преобразованиях одинаковы, а матрицы Q (u ) и Q (u ) имеют совпадающие N  струи, это же верно
1
и для матриц R(u ) и R (u ) . Отметим также, что обе системы (15) и
1
(16) преобразуются в одну и ту же систему (27) при N  2m .
 1~
y.
1
y  TT
Рассмотрим теперь преобразование y  V (u ) ~
m
x
Кроме того, сделаем обратную замену u  x или u  2
в зависимости от рассматриваемого случая. Итоговое преобразование запишем в виде
18
y  W ( x) ~
y  V (u ( x)) ~
y.
(28)
Очевидно, что данное преобразование приводит систему (15)
к виду (16). Покажем теперь, что при достаточно большом N пре-
k
образование (28) принадлежит классу C . Можно записать
V (u )  QSR (Q SR )  1  QSRR  1S  1Q  1.
1 1
1
1
Поскольку матрицы R(u ) и R (u ) имеют совпадающие
1
N  струи, то R(u ) R  1(u )  E  r (u ) , где E  единичная матри1
N
ца, r (u )  D u , D  const .
Отметим теперь, что все производные матриц S (u ), S
порядка k не превосходят по норме величин
 1(u ) до
D u  L , D  const , L  2m  k . Из этого следует, что если
1
1
N  2(2m  k ) , то матрица SRR 1S  1 будет иметь вид
1
N
N

1

1
SRR S  E  u 1 B(u ), B(u )  C 1 ,
1
N 
N     (2m  k  1).
1 2
Отсюда следует, что матрица W (x) имеет вид
N
~
~
 N  2m  k  1
N
W  E  x 2 B ( x), B ( x)  C 2 , N    
.
2 8
4
k
и, очевидно, принадлежит классу C , если число N достаточно
велико (например, если N  4m  10k  10 ). Таким образом, при
k
указанном N преобразование (28) принадлежит классу C и, следовательно, утверждение о конечно-гладкой эквивалентности систем (13) и (14) доказано.
19
3. Преобразование линейной системы
Здесь мы приведем доказательство теоремы 2, в ходе которого будут
использоваться методы, представленные в [8]. При этом будут устранены недостатки, имеющиеся в соответствующих рассуждениях указанной книги.
Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения.
Рассмотрим некоторую квадратную матрицу H порядка K , все собственные числа которой равны между собой, имеющую жорданову форму
H  diag (H ,, H s ), s  1, где H  жордановы клетки матрицы H .
j
1
Рассмотрим также матрицу
C
 H

 1
C
  21



C
 s1
0

H

2

C
s2





0 
 . Одновременно с
 
H s 

0
данными матрицами рассмотрим соответствующие   матрицы
H ( )  H  E, C( )  C  E , где E  единичная матрица. Пусть теперь h ( ), c ( )  соответственно, наибольшие общие делители мино-
j
ров порядка
j
j,1  j  K
степени многочленов
этих матриц. Обозначим через 
h j ( ), c j ( ) , соответственно.
j ,  j ,1 j  K
Лемма 1 ([8, лемма 19.4]). Имеют место неравенства
 j   j , 1 j  K .
(29)
При этом, если матрица C имеет ненулевые элементы ниже своей главной
диагонали, то одно из приведенных неравенств является строгим.
Рассмотрим систему уравнений
u  bu
s 1
 cu
2s  1
,
w   A0  uA1    u

Здесь
r 1
Ar 1  u Ar (u )  w.

r
(30)
A j , 1  j  r 1 постоянные диагональные матрицы, диаго-
нальные элементы каждой из которых одинаковы (но, вообще говоря, разные для разных матриц), r, s  натуральные числа, r  s .
20
Лемма 2. Если матрица
Ar (0) имеет различные собственные числа,
то существует невырожденное преобразование класса C  системы (30),
после которого она распадается на независимые системы меньшей размерности.
Доказательство леммы 2. Для доказательства достаточно рассмотреть вспомогательную систему
u  bu
s  r 1
 cu
2s  r  1
,
w  Ar (u ) w.
.
(31)
Данная система в соответствии с леммой 1 из [1] приводится к нормальной
форме невырожденным преобразованием w  H (u)w1, H (u) C  .
Нормальная форма системы (31) очевидно представляет собой совокупность
независимых систем меньшей размерности, каждая из которых отвечает одинаковым собственным числам матрицы Ar (0) . Указанным преобразованием
система (30) также приводится к требуемому виду, поскольку матрицы
A , 0  j  r  1 перестановочны с любой матрицей H (u) . Лемма до-
j
казана.
Доказательство теоремы 2. Ниже мы будем считать, что матрица
A(0) имеет нормальную жорданову форму:
A(0)  diag ( A , A ,, A ) ,
01 02
0r
где
A  жордановы клетки. Кроме того, согласно лемме 1 из
0j
[1] можно
считать, что система (3) имеет стандартную резонансную нормальную форму
(см. формулу (9) в [1]). Это, в частности, означает, что система распадается
на блоки (не путать с жордановыми клетками), каждый из которых содержит
только такие переменные, для которых диагональные элементы матрицы
A(0) равны между собой. Следовательно, без ограничения общности можно
считать, что матрица A(0) сама представляет собой такой блок, т.е. что все
~
0
ее собственные числа равны друг другу и равны числу  . Наша ближайшая
цель – сделать жорданову матрицу
A(0) диагональной.
Предварительно
произведем близкое к тождественному преобразование класса C  , после
которого элементы матрицы A( x)  A(0) системы (3), не равные тожде-
21
ственно нулю, окажутся в последних строках составляющих ее жордановых
клеток. Для этого запишем уравнения, соответствующие одной из жордановых клеток
n
~
y i  yi 1  0 yi   aij ( x) y j ,
j 1
i  r  1,  , r  l
и сделаем замену
n
1
y
y
  a ( x) y , y1  y , i  r  1,
r 1
r 1
j i
i
j  1 ij
в результате которой первое уравнение получит требуемую форму. Затем во
втором уравнении преобразованной системы делаем аналогичную замену.
Процесс продолжаем для всех уравнений, кроме последнего. Очевидно, что в
результате данного процесса все уравнения системы, относящиеся к выбранной жордановой клетке, будут приведены к нужному виду. Аналогичные
преобразования делаем во всех жордановых клетках. В итоге система будет
приведена к требуемому виду.
Построим теперь срезающее преобразование. Технология этого процесса подробно описана в первых пяти главах книги [8]. Ограничимся описанием ключевых моментов. Нужное преобразование будет построено при
x  0 (при x  0 построение проводится аналогично).
Рассмотрим следующее преобразование
y  S ( x) z, S ( x)  diag(1, x ,, x(n 1) ).
Здесь 
позже.
(32)
 0  некоторое рациональное число, которое будет определено
Получим систему уравнений для невырожденных переменных
1
m 1
2m  1  1
z  B ( x ) z , B ( x )  S A( x ) S ( x )  (bx
 cx
) S ( x ) S ( x ).
Элементы матрицы A(x) , не являющиеся плоскими функциями, представим
r
ij
в виде a ( x)  x a ( x), a (0)  0, r  0 . Если a (x)  плоская
ij
ij
ij
ij
ij
функция, то будем считать r   . Элементы матрицы B(x) , не являюij
щиеся плоскими функциями, запишем в виде
22
g ( )
bij ( x)  x ij bij ( x), bij (0)  0. Функции g  gij ( ) (в тех случаях,
когда они определены) являются линейными функциями с целочисленными
коэффициентами
gij ( )  rij  ( j  i) , i  j,
gii ( )  min( rii , m), i  1, g  r .
11 11
g
Если матрица A(0) не диагональна, то при некотором i
( )   . Прямые g  g ( ) при j  i имеют неположительный
ii 1
ij
наклон. Нетрудно видеть, что найдется наименьшее значение
  0 , при
1
котором одна из линий с неположительным наклоном пересекает прямую
g   . Положим в (16)    . Отметим, что   m. Число  всегда ра-
1
1
1
ционально. В тех случаях, когда оно является целым, будем называть срезающее преобразование целым. В противном случае – дробным. Так же будем
называть и само число  .
1
Рассмотрим сначала случай, когда срезающее преобразование является
целым. Запишем матрицу B(x) в виде

~
B( x)  0 E  x 1 ( B0  C ( x)),
C (0)  0 . Если у матрицы B
0
есть несовпадающие собственные числа, то полученная система, как это следует из леммы 2, после невырожденного бесконечно-гладкого преобразования распадается на системы меньшей размерности. Следовательно, без ограничения общности можно считать, что все собственные числа матрицы B
0
одинаковы. Предварительно приведя матрицу
B к жордановой форме, по0
ставим цель превращения ее в диагональную матрицу. Для этого сначала,
как и в исходной системе, переместим элементы матрицы C(x) , не равные
тождественно нулю, в строки, соответствующие последним строкам жордановых клеток матрицы B , после чего опять применим к полученной си-
0
стеме срезающее преобразование
~
~
z  S ( x) z1, S ( x)  diag(1, x ,, x(n 1) ).
Число   0 будем находить по вышеизложенной схеме. Нетрудно видеть,
23
что найдется рациональное число 
  , 0    m   такое, что си2
1
2
стема уравнений для невырожденных переменных примет вид
z1  B1 ( x ) z1 ,
1 ~
1   2
~
1
B ( x )  0 E  x 1E  x
( B1  C1 ( x )), C1 (0)  0.
Если число  опять окажется целым, то процесс продолжаем. Нетрудно ви2
деть, что если на каждом шаге срезающее преобразование будет целым, то в
этом случае мы получим конечное число целых срезающих преобразований,
а также невырожденных преобразований класса C  , в результате которых
исходная система для невырожденных переменных сведется к совокупности
независимых систем, каждая из которых будет иметь вид
~
~
z   A  xA    x m  1A
 x m Am ( x) ~
z.
1
m1
 0

Здесь
(33)
A , A , , A
 постоянные диагональные матрицы, каж0 1
m 1
дая из которых имеет одинаковые диагональные элементы. Изучением данной системы мы займемся несколько позже, а сейчас рассмотрим дробные
срезающие преобразования. В этом случае для избавления от дробных степеней придется сделать степенное преобразование вырожденной переменной
x  au q . Очевидно, что можно выбрать такое целое 0  q  n , что q (где
  определенное на рассматриваемом шаге число), будет целым числом.
1
Определим a  q m , вследствие чего уравнение для переменной u примет
mq 1  c u 2mq 1. Отметим, что вместе с ростом нелинейновид u  bu
1
сти данного уравнения может соответственно увеличиться число целых срезающих преобразований, которые требуются в этом случае для приведения
системы к виду (33). Такая ситуация возникает всякий раз при появлении
дробного  . Таким образом, пока остается неясным, как обеспечить преобразование системы к требуемому виду посредством конечного числа срезающих преобразований. Эта проблема не решена в [8] и поэтому мы ее исследуем здесь. Рассмотрим матрицу системы, возникающую после очередного
срезающего преобразования
24
1 ~
1   2 ~
~
B ( x )  0 E  x 1E  x
2 E   
1   2     r  1
x
( Br  1  C ( x )), C (0)  0.
B
 постоянная жорданова матрица, все собственные числа котоr 1
~
рой равны между собой и равны числу 
r  1. В результате следующего
~
срезающего преобразования преобразованная матрица B ( x) примет вид
Здесь
 ~
  ~
~
~
B ( x )  0 E  x 1 1E  x 1 2 2 E   
      r  1 ~

~
x 1 2
(r  1E  x r ( Br  C ( x ))),
~
C ( 0 )  0.
Сравним матрицы
B
и Br . Имеем
r 1
~
r 1
r 1
Br  1  r  1E  H
, H
 diag ( H1 ,  , H s ), где
H j , 1  j  s  жордановы клетки с нулевыми элементами на диагонали.
Матрица
Br
имеет следующую структуру
~
0
 H1

~
C
H
2
Br   21
 
C
 s1 Cs 2
где блоки
~
Hj
0 

 0 
,
 0 
~
 H s 

имеют те же размеры, что и
H j . Прямая проверка показы-
вает (см. [8, стр. 129-130]), что если число  r
числа матрицы
Br
равны между собой, то
го, в этом случае матрица
 дробное и все собственные
~
H j  H j , 1  j  s . Кроме то-
Br имеет ненулевые элементы ниже главной диагонали, т.е. среди матриц C есть ненулевые. Следовательно, матрицы
ij
25
B
и Br
r 1
удовлетворяют условиям леммы 1, где
H B
, C  Br .
r 1
Согласно этой лемме, одно из неравенств (29) будет строгим. Таким образом, в результате последовательности не более, чем n дробных срезающих
преобразований, степени наибольших общих делителей миноров порядка
j  n матрицы Br можно сделать нулевыми. Это означает, что жорданова
форма такой матрицы будет состоять из одной жордановой клетки. Тогда
очередное дробное срезающее преобразование приведет нас к ситуации, где
матрица B
будет иметь уже неравные собственные числа и система в
r 1
соответствии с леммой 2 распадется на системы меньшей размерности (см.
[8, стр. 129-130]. Однако в данном процессе могут появляться целые срезающие преобразования (ситуация, не рассмотренная в [8]). В случае, когда оче
редное число   целое,
  m и все собственные числа мат-
1 j  r j
r
рицы
Br
равны между собой, в матрицах
Hj
и
~
Hj
совпадают все строки,
за исключением, возможно, последней. Последняя строка матрицы
~
Hj
не
обязательно является нулевой. Поскольку все собственные числа матрицы
Br
одинаковы, то это верно и для матриц
форма каждой матрицы
~
Hj
~
H j . В этом случае жорданова
будет состоять из одной жордановой клетки
(это следует из вида матрицы
~
H j ). Тогда матрица Br
будет подобна неко-
Br, имеющей в точности такую же блочную структуру, что и
. Диагональные блоки матрицы B  суть жордановы клетки с одним
B
r
r 1
торой матрице
и тем же числом на главной диагонали. Кроме того, в этом случае элементы
матрицы B, лежащие под главной диагональю, могут быть все нулевыми.
r
и B удовлетворяют условиям леммы 1,
B
r
r 1
, C  Br и имеют место неравенства (29), которые могут
где H  B
r 1
быть все нестрогими (в отличие от случая дробного  r ). Эти же неравенства, очевидно, будут выполняться и для матриц B
и Br .
r 1
Таким образом, матрицы
Если же 
r
 целое и

  m , то мы получаем систему ви-
1 j  r j
да (33), которая будет рассмотрена ниже.
26
В результате последовательности срезающих преобразований система
либо распадается на системы меньшей размерности (при появлении различных собственных чисел у очередной матрицы Br ), либо для матриц B
и
r 1
Br
выполняются неравенства (29). Причем если срезающее преобразование
оказывается дробным, то, по крайней мере, одно из неравенств является
строгим. Следовательно, если в цепочке срезающих преобразований окажется, по крайней мере, n дробных, то матрица Br будет состоять из одной
жордановой клетки и очередное дробное срезающее преобразование приведет нас к ситуации, где матрица Br будет иметь уже неравные собственные
числа, в результате чего система распадется на системы меньшей размерности. Если уравнение для вырожденной переменной имеет вид
~  1 ~ ~ 2m
~ 1
m
~
~

, то в случае последовательности не более чем
u  bu
 cu
~
m целых срезающих преобразований система приводится к виду (33). В ито-
ге получаем, что в результате конечного числа срезающих и бесконечногладких преобразований система либо распадется на системы меньшей размерности, каждая из которых может быть приведена к следующему виду
u  bu
p 1
 c1u
2 p 1
,
p 1
p
~
z   A0  uA1    u
A p 1  u A p (u )  ~
z,


(34)
A p (u )  A p (0)  o(u ),
либо сама приведется к такому виду. Здесь
A j (0  j  p  1)  постоян-
ные диагональные матрицы, каждая из которых имеет одинаковые диагональные элементы. Отметим, что система (33) также имеет этот вид.
Рассмотрим матрицу A p (0) . Считаем, что она имеет жорданову форму. Возможны два случая.
1. У матрицы
A p (0)
имеются собственные числа, разность которых яв-
ляется целым числом.
2. У матрицы
A p (0)
нет собственных чисел, разность которых является
целым числом.
27
В первом случае к системе можно применить последовательность преобразоz  S (u)w, S (u)  diag (E ,uE ) , E , E  единичные
ваний вида ~
1
2
1
2
матрицы. В результате конечного числа этих преобразований, согласно [8,
стр. 116-117], разности собственных чисел преобразованной матрицы
~
A p (0)
уже не будут целыми числами. Следовательно, без ограничения
общности можно предполагать, что жорданова матрица
A p (0)
удовлетво-
ряет первому условию. Рассмотрим вместе с системой (34) вспомогательную
систему
u  bu  c1u
p 1
,
w  A p (u ) w.
Очевидно, что здесь в уравнениях для невырожденных переменных нет резонансных членов (учитывая, что b  1). Отсюда, повторяя рассуждения
леммы 1 из [1], получаем, что данная система с помощью невырожденного
~, H (u)C 
преобразования w  H (u)w
приводится к виду
u  bu  c1u
p 1
,
~  A (0) w
~.
w
p
Но тогда очевидно, что это же преобразование приводит систему (34) к виду
u  bu
p 1
 c1u
2p 1
,
p
~   A  uA    u p  1 A
~,
w

u
A p (0)  w
0
1
p 1


что завершает доказательство теоремы 2.
4. Приведение к формальной нормальной форме,
состоящей из неустранимых мономов
28
Доказательство теоремы 3. Компоненты функций


F (u , z ), g (u , z ), относящиеся к уравнению с номером
i, 1  i  n 1, системы (10), представим в виде формальных суммами слагаемых, каждое из которых имеет вид asi (u) z s , где
n
 s j  j  i  1,
j 1
s  2,
i
a s (u )  формальный степенной
ряд по неотрицательным степеням u . Нашей целью является построение формального преобразования, после которого ряды asi (u)
окажутся полиномами, причем каждая из функций asi (u) z s будет
представлять собой конечную сумму неустранимых мономов.
Будем избавляться от устранимых мономов
мальные суммы
вая мономы
zs
u r z s , входящих в фор-
i
s
a s (u ) z . Это будем делать, последовательно рассматри-
s . Наборы s упорядочим
1
2
следующим образом. Будем считать, что s1  s 2 , если либо s  s , либо
s1  s 2
в порядке возрастания наборов
и в последовательности 
1
2

s

s
i n  i 1 n  i 1, i  1,2,, n
первый ненулевой элемент положителен.
Зафиксируем некоторый резонансный набор s, s  1, и представим функции asi (u) в виде
q

i
r
i
i u r , где N  q  1, q  уровень
a s (u )   asr u   asr
r0
rN
монома z s .
Рассмотрим сначала случай, когда q  p  2 . Сделаем следующее преобразование
zi  wi  d i u
N  q 1 s
w , 2  i  n  1.
29
(35)
Положим
di 
Если моном u
замену переменных
u  v  d1v
где положим
i
asN


q 1
s, q  1  i  1
N s
z
.
входит в первое уравнение системы, то сделаем
N  q 1 s
w ,
a1sN
d1 
s , q  1

(36)

,
Подставляя (35) (соответственно (36)) в (10), получаем, что в преобразованном уравнении функции asi (u) приобретут вид (для простоты мы не меняем обозначений в преобразованном уравнении)
q

i
r
i
i ur .
a s (u )   asr u 
a~sr

r0
r  N 1
Рассмотрим теперь случай, когда уровень резонансного монома равен p  1. Как и выше, представим функцию asi (u) в виде
p 1

i
r
i
i ur , N  p .
a s (u )   asr u   asr
r0
rN
Если моном u
последних
что
n
di 
N s
z
является устранимым, то делаем преобразование (35) в
уравнениях (или (36) в первом уравнении) с тем уточнением,
 
i
asN
p
s,  p  i  1  b( N  p )
30
при
2  i  n  1,
d1 
 
a1sN
s,  p  b( N  2 p  1)
.
Нетрудно убедиться, что в преобразованной системе функции
обретут вид
(37)
asi (u) при-
p 1

i
r
i
i ur .
a s (u )   asr u 
a~sr

r0
r  N 1
Если же моном
u
N s
z
является неустранимым, то для каждого уравнения
~
i при заданном s число N  N ( s, i ) является единственным.
С учетом этого функции ai (u) могут быть представлены в виде
s
с номером
~
p 1
 i r
i
r
i~ N
i
a s (u )   asr u  a u   asr u ,
sN
r0
rN
~
~
где N  N ( s, i ), N  N  1. В этом случае в результате преобразований (35) и (36) с учетом (37) мы получим систему, где функции ai (u) приs
обретут вид
~
p 1

i
r
i~ N
i
i ur .
a s (u )   asr u  a u 
a~sr

sN
r0
r  N 1
Проводя индуктивное рассуждение, получаем во всех рассматриваемых случаях существование формального преобразования, приводящего систему к виду, где
~ ~ ~
q
i
r
i ~ N, N
i
 N ( s, i ) ,
a s (u )   asr u  a u
sN
r0
т.е. правая часть системы будет представлять собой сумму неустранимых мономов. Теорема 3 доказана.
31
Следствием данной теоремы являются теоремы 4 и 5 (см. Введение).
Конечно-гладкая эквивалентность
3.
L  0  целое число. Функцию Q  Q( x, y)
L
L
будем называть L  малой, если Q  Q ( x, y )  x h( x, y ), h  C ,
Матрицу будем называть L  малой , если все ее элементы являются
L  малыми функциями Если число L зависит от некоторого целочисленного параметра N , причем lim L( N )   , то совокупность
N 
L(N )  малых функций ( матриц) будем обозначать символом  .
Определение 5. Пусть
Примерами функций, принадлежащих
x
N
, x
жат  .
N
и т.п. В то же время функции
 , являются функции
2 100
и т.п. не принадлеx , x
Рассмотрим две системы вида (1), N  струи которых совпадают. Тогда, согласно замечанию 2, если N  m (m, n) , слабо вырожденные преоб-
1
разования (5), приводящие линейные части систем к виду (6), будут отличаться только множителями класса C  , причем эти множители будут иметь
совпадающие N  струи, где N  N ( N ),
lim N ( N )   .
1
1
Лемма 3. Если преобразование
1
N  1
H (u, z) имеет вид
H (u, z)  E  H (u, z) , где E  тождественное преобразование,
1
H1 (u, z )   , (u, z )  T ( x, y) (i  1,2)  слабо-вырожденные преi
образования вида (5), отличающиеся только множителями класса
причем эти множители имеют совпадающие N  струи
( N  N ( N ),
1
1
1
lim N ( N )   ), то преобразование
N  1
1
P( x, y )  T1 HT2  E   .
32
C,
Доказательство. Вначале наше утверждение докажем для случая, ко-
T ( x, y )  T ( x, y )  T ( x, y )  ( x , S  1( x) y ) , где
1
2
1
  , S  срезающее преобразование, l  натуральное число.
l
гда
Отметим, что если  ( x,
y )  , то (T )( x, y )   (в начале ко-
ординат функция T естественно доопределяется равной нулю). Если
~
 ( x)  , то S ( x   ( x))  S ( x)  S ( x), где S~ ( x)   .
Нетрудно видеть, что
 1


1
HT ( x, y )   x l  1( x, y ), S ( x ) y  1( x, y ) , 1 , 1  ,




T
1
HT ( x, y ) 
l 
l
 1

1







   x l  1( x, y )  , S   x l  1( x, y )   S  1( x ) y  1( x, y )   



 













 x   2 ( x, y ), S ( x   2 ( x, y ))( S  1( x ) y  1( x, y )) 
x  2 ( x, y), S ( x)  S1( x)S  1( x) y  1( x, y) 
x  2 ( x, y ), y   2 ( x, y) ,
Следовательно, T
1
 2 , S1 ,  2  .
HT  E  .
Покажем теперь справедливость леммы в случае, когда преобразования
T , T являются линейными по невырожденным переменным преобразова-
1
2
ниями класса


C  вида T ( x, y)  x, T~ ( x) y , T~ ( x)  матрицы с совпа-
дающими N  струями.
i
Имеем
33
i
i
~
~
T2 ( x )  T1 ( x )  r ( x ), r ( x )  ,
~
HTi ( x, y )  ( x   ( x, y ), Ti ( x ) y   ( x, y )),


~
1
1
T1 HT2  T1
x   ( x, y ), T2 ( x ) y   ( x, y ) 
 x   ( x, y ),  T~  1( x   ( x, y ))(T~ ( x ) y   ( x, y )   
2
 1


~
~
 x   ( x, y ), T1 1( x )T2 ( x ) y  1( x, y ) 
 x   ( x, y ), y   2 ( x, y ) ,  , , 1 ,  2  .




И в этом случае требуемое утверждение доказано.
Покажем теперь справедливость нашего утверждения в случае, когда
T ( x, y )  T ( x, y )  ( x, x L y ) . В этом случае
1
2
HT ( x, y )  ( x   ( x, y ), x L y   ( x, x L y )) 
2
( x   ( x, y ), x L y   ( x, y )),
1
T  1HT ( x, y )  ( x   ( x, y ), ( x   ( x, y )) L ( x L y   ( x, y ))) 
1
2
1
( x   ( x, y ), x  L (1   ( x, y )( x L y   ( x, y ))) 
1
1
( x   ( x, y ), y   ( x, y )).
2
Утверждение доказано и в этом случае.
Представим теперь преобразования T
i
( x, y), i  1,2 в виде произве-
дений конечного числа преобразований трех указанных выше видов
Ti ( x, y )  Ti1    TiK . Обозначим
1
H 0  H , H j  T1 j H j  1T2 j , 1  j  K . Так как H  E   ,
то, согласно доказанному, по индукции получаем, что
34
H j  E  , 1  j  K .
1
T1 HT2  E   .
Из этого следует при
j  K , что
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 6. Рассмотрим две системы вида (1) с совпадающими N  струями правых частей, где число N определим позже, а пока будем считать
N  m (m, n) . Согласно [4], существует такое число
1
~ ~
N  N (k , ) , что если ряды разложения правых частей двух систем вида
~
(1) по невырожденным переменным отличаются членами порядка выше N ,
~
то такие системы C k  эквивалентны. Здесь   спектр матрицы A линейной части системы (1). Согласно [1], правые части систем можно считать конечной суммой резонансных мономов по невырожденным переменным (сте~
пени этих мономов не превышают числа N ), с коэффициентами, являющимися функциями от вырожденной переменной класса C  , N  струи которых совпадают. По теореме 2 обе системы с помощью слабо-вырожденных
преобразований T и T , соответственно, приводятся к системам вида (7).
1
2
Указанные преобразования являются суперпозицией конечного числа среза
ющих преобразований и преобразований класса C , являющихся линейными по невырожденным координатам, а также степенного преобразования вырожденной переменной. Заметим также, что, согласно замечанию 2, если
число N достаточно велико, то срезающие преобразования, являющиеся
множителями указанных слабо-вырожденных преобразований для наших
двух систем будут совпадать, а бесконечно-гладкие множители будут отли-
N , где
N   N ( N ), lim N ( N )   .
N 
чаться членами порядка выше
Правые части полученных таким
образом двух систем представляют собой многочлены степени
~
N
по невы
рожденным переменным, коэффициенты которых – суть функции класса C
N  струи этих функций
1
N  N ( N ), lim N ( N )   .
1 1
N  1
от вырожденной переменной, причем
Здесь
совпадают.
Ниже для каждой из систем будут построены близкие к тождественным
преобразования (полиномиальные по невырожденным переменным), после
которых правая часть каждой системы будет представлять собой сумму двух
35
слагаемых. Первое слагаемое, совпадающее для обеих систем, будет полино-
~
N , коэффициенты которого
также являются полиномами по вырожденной переменной степени N . Вто1

рые слагаемые будут функциями класса C , у которых разложение в ряд
Тейлора по невырожденным переменным содержит лишь члены степени вы~
ше N . Сами построенные преобразования будут отличаться от тождественного на функции, принадлежащие  .
мом по невырожденным переменным степени
Указанное построение представим ниже, а сейчас допустим, что такие
преобразования уже построены и приведем заключительную часть доказательства теоремы.
Обозначим указанные преобразования двух наших систем
H иH ,
1
2
соответственно. Применим теперь к системам, полученным после этих пре-
образований, преобразование T 1 и рассмотрим следующие итоговые пре-
1
образования исходных двух систем
R  T 1H T , R  T 1H T .
1 1 11 2 1 2 2
Нетрудно видеть, что согласно лемме 1 преобразования
R  E, R  E
1
2
будут принадлежать
Поскольку преобразование
.
T 1 линейно по невырожденным пере1
менным, то правые части полученных систем будут суммой двух слагаемых,
первое из которых, одинаковое для обеих систем, является полиномом по не-
~
вырожденным переменным степени N , а вторые слагаемые будет представ
лять собой функции класса C по невырожденным переменным, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени большей
преобразования принадлежат классу C
N
~
N . Так как итоговые
2 , где N  N ( N ),
2
2
lim N ( N )   , то при достаточно большом N можно считать, что
N  2
~
и первые и вторые слагаемые принадлежат классу C M , где M  N . При
этом правые части систем отличаются только членами, имеющими порядок
по невырожденным переменным выше
~
N . Но тогда, согласно [4], получен-
36
ные системы будут C k  эквивалентны. Тем самым доказательство теоремы
будет завершено.
Перейдем теперь к построению указанных выше преобразований. В
связи с тем, что эти преобразования для обеих систем строятся аналогично,
то ограничимся рассмотрением одной системы вида (7). Запишем эту систему в следующем виде
~
N
p 1
2p 1
u  bu
 c1u
  br (u , z ),
r2
~
N
p
z  A0  uA1    u A p z   ar (u , z ).
r2

(38)

Здесь
ar (u, z) 

s r
as (u) z s , as (u)  a1s (u)  as2 (u), a1s (u) 
N
1

j
a u ,
sj
j 0
N1
br (u , z )   bs (u ) z s , bs (u )  b1s (u )  bs2 (u ), b1s (u )   bsj u j ,
s r
j0
2
2
ряды Тейлора функций a (u ), b (u ) имеют вид
s
s
2
a s (u ) 
asj u j , bs2 (u ) 
bsj u j , l  1.


j  N1  l
j  N1  l
Отметим, что у рассматриваемых систем функции
совпадают, т.к.
дают.
1
1
a s (u ), bs (u )
N  струи функций a (u ), b (u ) у обеих систем совпаs
s
1
u r z s , удовлетворяющих условию
~
s  N и входящих в ряды Тейлора функций z s as2 (u) . Это будем делать,
последовательно рассматривая мономы z s в порядке возрастания наборов
s . Наборы s упорядочим как и при доказательстве теоремы 3. Соответственно упорядочим и мономы z s .
Будем избавляться от мономов
37
Используем следующую замену переменных, после которой функции
a1s (u) не изменятся, а ряды Тейлора функций as2 (u) будут начинаться с
членов порядка N  l  1
1
N  l  q 1 s
zi  wi  diu 1
w , 1  i  n,
q  уровень монома z s .
(39)
ai
sN1  l
В случае 0  q  p  2 положим d 
, где
i
q

1
q

1
s, 
 i
ai
 соответствующая координата вектора a
.
sN  l
sN  l
1
1


ai
sN1  l
В случае q  p 1 положим d 
.
i
p
p
s,   i  b( N1  l  p )
 
N l
u 1 z s входит в первое уравнение системы, то сделаN  l  q 1 s
ем замену переменных u  v  d v 1
w , где в случае
0
bsN  l
1
,
а
0  q  p  2 положим d 0 
q

1
s, 
bsN  l
1
при q  p 1 положим d 
.
0
p
s,   b( N1  l  2 p  1)
Если моном


 
Если число
N выбрать таким, чтобы оно удовлетворяло неравенству
1
N1  2 p  1  ( s  1) max  pj , то коэффициенты d существуют.
i
1 j  n
38
В результате указанного преобразования мы добьемся того, что ряды
Тейлора функций
2
2
a s (u ), bs (u ) будут начинаться с членов порядка
N  l  1. Проводя индукцию по l
1
и используя результаты [5, 6], получаем
существование преобразования класса
C  вида
s
u  v  d 0 (v ) w ,
s
zi  wi  d i (v) w , 1  i  n, ,
2
2
в результате которого функции a (u ), b (u ) станут равными нулю. При
s
s
N p
этом d (v )  o( v 1
), 0  i  n.
i
~
s
~
После данных преобразований появляются новые мономы w , где s  s ,
коэффициенты при которых будут функциями, зависящими от переменной
v , причем ряды Тейлора этих функций будут начинаться с членов степени
выше N  p . С помощью конечного числа преобразований вида (39) все
1
~
эти мономы при ~
s  N также последовательно устраняются по мере их
возрастания. Очевидно, что итоговое преобразование будет отличаться от
тождественного на функцию, принадлежащую  . Таким образом, наша система может быть приведена к требуемому виду. Теорема 6 доказана.
Автор выражает глубокую благодарность А.Д. Брюно за полезные обсуждения, способствующие существенному улучшению
изложения результатов работы.
39
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] В.С. Самовол, «Нормальная форма автономной системы с одним
нулевым корнем», Матем. заметки, 75:5 (2004), 711-720.
[2] А.Д. Брюно, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979. [
[3] Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М.,
1970.
[4] В.С. Самовол, «Эквивалентность систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки», Тр. ММО, 44 (1982), 213-234.
[5] А.Н. Кузнецов, «Дифференцируемые решения вырождающихся систем обыкновенных уравнений», Функциональный анализ и его приложения,
6:2 (1972), 41-51.
[6] Г.Р. Белицкий, «Гладкая эквивалентность ростков векторных полей», Функциональный анализ и его приложения, 20:4 (1986), 1-8.
[7] Ю.Н. Бибиков, «О приводимости системы двух дифференциальных
уравнений к нормальной форме», Дифференциальные уравнения, 7:10 (1971),
1899-1902.
[8] В. Вазов, Асимптотические разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, Мир, М., 1968.
40