1 Модель SIR В 1927 г. У. Кермак (W. O. Kermack) и А. Маккендрик (A. G. McKendrick) предложили модель эпидемии для населения неизменной численности [1]. Пусть все население (N индивидов) делится на три группы: индивиды, которые восприимчивы к данной болезни, но здоровы («восприимчивые», susceptible) — S(t); зараженные индивиды (infected) — I(t) (они больны сами и являются носителями болезни) и здоровые индивиды, обладающие иммунитетом к данной болезни («выздоровевшие», recovered) — R(t) (в зависимости от моделируемого заболевания, эти индивиды могут быть также умершими, изолированными — т.е. не способными более заболеть по тем или иным причинам. Предположим, что население перемешивается однородно, т.е. не существует мест, предпочтительных для контактов между индивидами, а также особых индивидов, контакт с которыми наиболее предпочтителен. Предположим, что частота контактов между индивидами равна β. Число контактов, при которых возможно заражении пропорционально численностям восприимчивых и зараженных индивидов. Тогда можно сказать, что за время t численность восприимчивых к болезни людей уменьшиться на βSIt, т.е. S SI t . Разделив это выражения на t и перейдя от конечных разностей к бесконечно малым, получим скорость изменения числа восприимчивых к болезни людей dS SI dt . (1) Соответственно, число заболевших пополнится на ту же величину и скорость заболеваемости будет равна dI SI dt . (2) Т.е. β можно назвать скоростью инфицирования. Кроме того, люди могут и выздоравливать и т.о., покидать группу инфицированных. Обозначим скорость выздоровления через . Эта скорость пропорциональна численности инфицированных людей, поэтому в (2) нужно добавить еще один член dI SI I dt . (3) Индивиды, покинувшие группу инфицированных оказываются среди выздоровевших, а значит скорость прироста выздоровевших равна dR I dt (4) Вместе, уравнения (1), (3), (4) образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемую моделью SIR Начальные условия для этой dS SI , dt dI SI I , (5) dt dR I . dt системы равны ( S0 , I 0 ,0 ) , где S0 , I 0 — количество восприимчивых к болезни и инфицированных индивидов при t 0 соответственно. Если исходное число инфицированных I 0 очень мало, можно считать, что S0 N . 2 Из второго уравнения системы (5), можно получить условие распространения эпидемии. Действительно, эпидемия не начнется, если dI dt 0 , т.е. численность заболевших не будет увеличиваться. Принимая dI dt 0 , получим из этого уравнения S 0. Величина носит название эпидемического порога. Подставив ее во второе уравнение системы (5), получим dI ( 1) I dt . dt 0 ), то первичные случаи заболевания быстро иссякнут и эпидемия сможет. Если > 1 ( dI dt 0 ), то каждый заболевший передает инфекцию Т.е., если < 1 ( dI возникнуть не более чем одному восприимчивому к инфекции индивиду и начинается эпидемия. Т.о. , вероятно, самая важная величина в эпидемиологии. Отметим, что работа Кермака и Маккендрика была забыта на многие десятилетия, и появилась вновь в 1979 г., в работе Андерсона (R. M. Anderson) и Мэя (R. M. May) [2, 3]. В настоящее время в эпидемиологии используются более сложные версии модели SIR, которые лучше отражают фактическую биологию исследуемого заболевания. Вообще говоря, для системы уравнений (5) можно найти точное решение [4], но мы воспользуемся численными методами. Для расчетов нам необходимо задать начальные условия (S0 , I 0 ,0) и параметры системы β и . Поскольку, данных экспериментов или статистики прошлых эпидемий для определения β и у нас нет, определим их «с потолка». Для расчетов воспользуемся методом Рунге-Кутта 4-го порядка, реализованы в MATLABфункции ode45. Файлы основной программы (sirmain.m) и функции, реализующей модель SIR (sirfun.m) прилагаются. 1 Kermack, W. O. and McKendrick, A. G. "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics." Proc. Roy. Soc. Lond. A 115, 700-721, 1927. 2 Anderson, R. M. and May, R. M. "Population Biology of Infectious Diseases: Part I." Nature 280, 361367, 1979. 3 Kermack-McKendrick Model // http://mathworld.wolfram.com/Kermack-McKendrickModel.html 4 Бейли Н. Математика в биологии и медицине. — М.: Мир, 1970. — 326 с.