7 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г.
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
ОМСКА
Решением Оргкомитета имя профессора Г.П. Кукина, основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.
второй (городской) этап  10 января 2006 г.
7 класс
1.
В деревне П живёт фермер Петров со своим котом Петькой, а в деревне В — фермер Васильев
с котом Васькой. Первого декабря одновременно Петров с Петькой поехали в пункт В, а
Васильев с Васькой — в пункт П. Когда они встретились, оказалось, что Петька съел в два
раза больше пакетиков «Вискас», чем Васька. За всю дорогу между пунктами В и П пакетиков
они съели поровну. К новому году фермеры подарили своих котов друг другу. Одиннадцатого
января они снова выехали из своих деревень с котами. На этот раз за всю дорогу Васька съел
5 пакетиков «Вискас». Сколько пакетиков за всю дорогу съел Петька?
2.
Можно ли квадрат
шестиугольник?
3.
В парламент прошли 99 представителей двух партий: «красные» и «синие». На первом
заседании парламента каждый депутат сделал следующее заявление: «в парламенте
представители моей партии составляют большинство». Известно, что каждый красный
говорит правду, если перед ним выступает синий, и обманывает, если перед ним выступает
однопартиец. А каждый синий, наоборот, говорит правду после однопартийца, и обманывает
после человека из чужой партии. К какой партии принадлежал первый выступавший?
(Известно, что в парламенте присутствуют представители обеих партий.)
4.
Вершину A прямоугольника ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Мог
ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
5.
Три различных натуральных числа подобраны так, что сумма одного из них и произведения
двух других в три раза больше того числа из этой тройки, которое является вторым по
величине. Какие значения может принимать наименьшее из этих чисел? Найдите все
варианты ответа и докажите, что других быть не может.
6.
На доске написаны цифры 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9. Каждую минуту робот Вася меняет запись на
доске по следующим правилам. Он берёт два числа, одно из которых делится на другое. Если
это числа различны, то он стирает меньшее, а большее заменяет частным от деления большего
на меньшее. Если же эти два числа равны, то он стирает оба. Если пары делящихся друг на
друга чисел нет, то робот сразу же ломается. Через несколько минут сломанный Вася стоял
возле доски, на которой были написаны три числа. Какие это числа? Найдите все варианты
ответа и докажите, что других быть не может.
разрезать
на
треугольник,
© Оргкомитет, 2006
четырёхугольник,
пятиугольник
и