Занятие № 1 Тема: «Теоретико-множественное основание дискретной математики» Цели: 1) Способствовать формированию представления о науке дискретная математика. 2) Содействовать восприятию и осмыслению основных понятий из теории множеств, развитию навыков выполнения операций над множествами. Основные положения лекции: 1. Введение 2. Элементы теории множеств 3. Операции над множествами. 4. Свойства операций над множествами. 5. Упорядоченные множества. 6. Решение задач. Введение С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшие расположения охотников во время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время работы. Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы. По мере усложнения производственных и общественных отношений все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. В том же направлении действовало развитие ремесел и торговли. Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие в первую очередь умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Среди предметов, положенных в пирамиду, где 35 веков тому назад был похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли разграфленную доску с тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки для древней игры «сенет», правила которой мы, вероятно, никогда не узнаем. Позже появились нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты (китайские и японские шахматы, японские облавные шашки «го» и т.д.).В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур и выигрывал тот, кто их лучше заучил. Д и с к р е т н а я м а т е м а т и к а представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера. К о м б и н а т о р и к а – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с заданными правилами. П е р е ч и с л и т е л ь н ы е з а д а ч и решают вопрос о числе предметов, составляемых из заданного набора элементов при соблюдении определенных правил. Введение в теорию множеств Решая такие задачи, мы столкнемся с теорией множеств. Def║ М н о ж е с т в о - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Вот что сказано о множестве у самого Кантора: Под множеством мы понимаем любое объединение в единое целое M определенных вполне различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли. Обозначения: xM {xAx обладает свойством Р} Преподаватель Авдеева Е.В. х является элементом множества М Множество элементов, обладающих свойством Р Белгородский педагогический колледж Занятие № 1 d e f ║ Множество А называется п о д м н о ж е с т в о м множества В, если все элементы множества А принадлежат В. Обозначения: xM {xAx обладает свойством Р} {xx=2k+1 для k Z} А Вх( х А х В) х является элементом множества М Множество элементов, обладающих свойством Р. Множество нечетных чисел. Подмножество d e f ║ Множество, не содержащее ни одного элемента, называется п у с т ы м . d e f ║ Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным. Операции над множествами Рассмотрим операции, определенные над множествами. d e f ║ П е р е с е ч е н и е м двух множеств A и B называется множество, составленное из тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству B. A B x x A и xB Пересечение множеств еще называют произведением. d e f ║ О б ъ е д и н е н и е м двух множеств A и B называется множество, элементами которого являются все элементы как множества A, так и множества B. A B x x A или x B Объединение множеств еще называют суммой. d e f ║ Р а з н о с т ь ю двух множеств A и B называется множество, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества B. A \ B= x x A и x B d e f ║ Д о п о л н е н и е м множества А называется множество, элементы которого не являются элементами множества А. А x x A U \ A, где U – универсальное U Свойства операций над множествами. Ассоциативность операций Преподаватель Авдеева Е.В. и Белгородский педагогический колледж Занятие № 1 A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C 1. Коммутативность операций и . A B B A A B B A 2. Законы идемпотентности A A A A A A 3. Законы дистрибутивности A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 4. Законы поглощения A ( A B) A A ( A B) A 5. Законы де Моргана A B A B A B A B 6. Законы нуля и единицы (1=U, 0=) A 1 1 A0 A A A 1 7. Закон двойного отрицания : A 1 A A0 0 A A 0 АА Упорядоченные множества Иногда, решая задачи, возникает необходимость расположить элементы по порядку. Располагая элементы множества по порядку номеров, мы получаем кортежи. def║ Упорядоченная последовательность (допускающая повторения) из n элементов, называется к о р т е ж е м . Компонентами кортежей могут быть кортежи, множества. Кортежи по 2 элемента называются парами, по три – тройками. Два кортежа (x1, x2, … xn) и (y1, y2, … , ym) считаются равными, если n=m и xi = yi для любого значения i. Правило суммы: Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор "либо А, либо В" можно сделать (m+n) способами. Правило суммы на языке теории множеств: Если пересечение конечных множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В. Введем обозначение числа элементов множества А через n(A). Тогда правило суммы можно записать так: n(A B)=n(A)+n(B) В случае, когда пересечение конечных множеств А и В не пусто, т.е. A B, правило суммы выглядит так: n(A B)=n(A)+n(B) - n (A B) Решение задач Задача1. Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 1 Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли бутерброды с ветчиной, 24 – с колбасой, 15 – с сыром, 11 – с ветчиной и колбасой, 8 – с ветчиной и сыром, 12 – с колбасой и сыром, 6 – бутерброды всех видов, а пятеро вместо бутербродов взяли пирожки. Решение. Пусть А – множество участников прогулки, взявших бутерброды с ветчиной, В – с колбасой, С – с сыром, D – взявших порожки. Тогда, n(A)=16, n(B)=24, n(C)=15, n(D)=5, n(A B)=11, n(B C)=12, n(A C)=8, n(A B C)=6. Чтобы посчитать число участников, необходимо вычислить количество элементов множества А A B С и добавить пятерых, взявших пирожки. Как видно из условия, различные пересечения этих множеств не пустые, поэтому n(A B С) =n(A)+n(B)+n(C) – n(A ( B С) – n(B С)= n(A) + n(B) + n(C) – – n((A B) (A С)) – n(B С)=16+24+15 – 12 – n(A B) – n (A С)+n(A B A С)= = 43-8-11+6=30 Итак, число участников прогулки составило 35 человек. Решить задачи: 1. Пусть U={1, 2, 3, 4, 5}. Выписать элементы множества М=(А\В) ( A B), если A={1, 3, 5}, B={3, 4, 5}; A={2, 4, 5}, B={1, 4}; A={1}, B=. Ответ: М={1, 3, 5}; {2, 4, 5}; {1} 2. Пусть универсальное множество состоит из целых чисел. Из каких элементов состоит множество М= A B, если A={a a=4n, nN}, B={ b b=3n, nN} Ответ: числа кратные 12. 3. Пусть универсальное множество U={a, b, c}. Выписать все его подмножества. Ответ: , U, { a}, { b}, { c}, {a, b }, {a, c}, { b, c}. 4. Каждый ученик класса - либо девочка, либо мальчик, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе? Решение: Если А - множество девочек, В - блондинов, С - учеников, которые любят математику, то n(A B С) - искомое число. - множество блондинок, множество девочек, которые любят математику, - множество всех блондинов (мальчиков и девочек), которые любят математику, множество блондинок, которые любят математику. Тогда Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 1 Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж