Многочлены. Научная работа

Содержание:
1. Ведение
2. Многочлены
2.1 Основные понятия
2.2 Действия над многочленами
2.3 Теоремы
3. Применение теории многочленов к решению задач
4. Задачи для самостоятельного решения
5. Заключение
Введение
Формально тема «Многочлены» в программу ЕГЭ не входит (за исключением
простейших сведений), но знать ее желательно. Это связано с тем, что в результате
неудачного выбора переменных в текстовых задачах, неудачных замен неизвестных
при решении уравнений, неравенств или их систем и т. Д. достаточно часто возникают
уравнения и неравенства высоких степеней, которые приходится решать. Поэтому
знание такого материала систематизирует и углубляет знания учащихся, дает
возможность самостоятельно подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, расширит кругозор
учащихся старших классов, увлекут многих школьников предметом математики.
В необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень
скромное место. Однако это первое впечатление обманчиво. Многочлены,
действительно, предельно просты. Известный математик – вычислитель Р.В.Хемминг в
своей книге «Численные методы» пишет: «Поскольку с многочленами легко
обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на
приближении многочленами». Многочлены составляют один из важнейших классов
элементарных функций. С их изучением связан целый ряд преобразований в
математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных
чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов
специальных функций в анализе.
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, а также тот факт, что
множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных
подмножествах евклидова пространства способствовали развитию методов
разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом
которой являются множества, определенные как решения систем многочленов.
Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов
используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах
математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных
объектов.
Цель моей работы состоит в том, чтобы систематизировать знания по данной теме и
продемонстрировать их применяя при решении заданий повышенной сложности, в
том числе олимпиадных.
Многочлены
Понятие многочлена
Что же такое многочлен?
Это алгебраическая сумма одночленов или выражение, составленное из
чисел, букв (переменных) и операций сложения, вычитания и умножения.
Например: 1  x, x 5  4 x 3  2 x 2  1, a 3  2b 3  abc, y 2  2 y и т.д.
Многочлены, в которых одна переменная называются многочленами от
одной переменной ( 1  x, x 5  4 x 3  2 x 2  1, y 2  2 y ). Они обозначаются f(x), g(x),
P(x), Q(x) и т.д.
Многочлены, в которых несколько переменных, называются многочленами от
нескольких переменных ( a 3  2b 3  abc ). Они обозначаются f(a,b,c), P(x,y),
Q(x,y,z) и т.д.
Рассмотрим многочлены от одной переменной.
Многочленом от одной переменной х называется выражение вида
P( x)  a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...  a n 1 x  a n ,
где a0 , a1 ,..., an числовые
коэффициенты, a 0 ≠ 0. Число n называется степенью многочлена.
Степень многочлена - это наибольшая из степеней одночленов, из которых
состоит стандартная форма многочлена т.е. такая форма, которая получается
после раскрытия всех скобок, приведения подобных членов и расположения
одночленов в порядке убывания степеней. Многочлены нулевой степени – это
просто числа (5; -3; 25). Многочлены первой степени имеют вид ax  b ( a, b числа, a≠0). Многочлены второй степени называются квадратными трехчленами.
Их общая формула ax 2  bx  c ( a, b ,с - числа, a≠0). Многочлены третьей степени
имеют вид ax 3  bx 2  cx  d ( a, b ,с ,d- числа, a≠0).
Один и тот же многочлен можно записать многими способами.( X-1)(x+5),
x 2  5 x  x  5 , x 2  4 x  5 - это разные формы записи одного и того же многочлена,
но чаще многочлен записывается в стандартной форме.
Если вместо переменной в многочлен подставить некоторое число, то получится
число, которое называется значением многочлена.
Кооффициенты a 0
Р(х)
a0
c
a1
b0 c  a1
a2
b1c  a2
…
a n 1
an
…
bn 2 c  a n 1
bn1c  a n
Очень часто приходится выполнять действия с многочленами. А именно :
сложение, вычитание, умножение, деление. Наиболее интересно действие
деления многочленов. Рассмотрим его. Процесс деления многочленов
аналогичен процессу деления натуральных чисел «столбиком» и осуществляется
так, чтобы на каждом промежуточном этапе деления исчезла старшая степень
делимого многочлена.
При решении уравнений и неравенств очень часто приходится делить
многочлен P(x) на двучлен (x-c). Это можно сделать, например, произведя
деление «столбиком». Но такой способ занимает много места и времени, но
существует более простой способ деления с использованием теоремы Безу,
которая названа в честь французского математика 18 века: «Остаток от деления
многочлена f(x) на (x - a) равен f(a): f(x)= (x-a)g(x)+f(a)».
Либо с использованием важного частного случая теоремы Безу, когда a – корень
многочлена f(x) и f(a)=0: «Число а является корнем многочлена f(x) тогда и
только тогда f(x) , когда делится на двучлен (x-a)».
Кооффициенты a 0
Р(х)
a0
c
Коэффициенты b0
Q(x)
a1
b0 c  a1
b1
a2
b1c  a2
b2
…
a n 1
an
…
…
bn 2 c  a n 1
bn1c  a n
bn 1
R
С помощью схемы Горнера можно находить значение многочлена, остаток,
полученный от деления многочлена на двучлен (x-a), корни многочлена, быстро
находить коэффициенты неполного частного или частного полученного от
деления многочлена на двучлен, раскладывать многочлен на множители
Широко распространенным приемом решения уравнений P(x)=0 является
разложение многочлена на множители (линейные или квадратичные).
Разложить многочлен на множители, значит, записать его в виде произведения
нескольких множителей. Тогда P(x) обращается в ноль, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю. Так как сомножители представляют собой степени
не выше второй, то решение соответствующих уравнений трудностей не
вызывают. Для разложения на множители, нет никакого рецепта, пригодного во
всех случаях. Поэтому, в каждой задаче приходится искать решение своим
способом. Тем не менее, существуют некоторые приемы, которые помогают
раскладывать многочлены на множители. Это:
-вынесение общего множителя за скобки;
-применение формул сокращенного умножения;
-способ группировки;
-разложение квадратного трехчлена по формуле ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2), где x1 и
x2 - корни квадратного трехчлена ax2+bx+c =0.
Пусть P( x)  a n x n  a n1 x n1  a n 2 x n2  ...  a1 x  a0
Между корнями x1 , x2 ,..., xn многочлена P(x)существуют зависимости, которые
называются формулами Виета:
x1  x2  ...  xn1  xn  
x1 x2  x1 x3  ...  xn1 xn 
an1
,
an
an2
,
an
x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  xn2 xn1 xn  
a n 3
,
an
……………………………………………………..
x1 x2 x3  ...  xn1 xn  (1) n
a0
.
an
Для частного случая квадратного трехчлена ax 2  bx  c формулы Виета имеют вид
x1  x 2  
I.
b
a
x1 x 2 
c
a
Для многочлена третьей степени ax 3  bx 2  cx  d : x1  x 2  x3  
b
a
x1 x 2  x 2 x3  x1 x3 
x1 x 2 x3  
c
a
d
c
Для многочлена четвертой степени ax 4  bx 3  cx 2  dx  e :
x1  x 2  x3  
b
a
x1 x 2  x 2 x3  x1 x3 
x1 x 2 x3  
c
a
d
c
Метод неопределенных коэффициентов
Данный метод широко используется при решении самых разнообразных задач.
Для его применения необходимо, чтобы был известен общий вид результата,
который должен получиться. Тогда эти коэффициенты, как правило, могут быть
найдены из условий данной задачи.
Пример 1:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки M(-1;2) и N(3;-4).
Решение:
Уравнение прямой имеет вид: y=ax+b (общий вид ответа известен), то для того
чтобы написать уравнение прямой, удовлетворяющей условию задачи,
необходимо найти коэффициенты a и b (неопределенные). Так как координаты
точек M и N удовлетворяют уравнению прямой, то получаем систему линейных
из которой находим a=-1.5, b=0.5. Для нахождения
уравнений
неопределенных коэффициентов, как правило, используются два основных
приема:
1. Приведение левой и правой частей равенства к одинаковому виду и
приравнивание соответствующих коэффициентов при одинаковых
структурах;
2. Использование того, что левая и правая части равны друг другу при всех
значениях переменной, и запись этого равенства при нескольких ( по
числу неопределенных коэффициентов) значениях переменной.
Пример 2:
В нашем примере мы нашли коэффициенты, решив системы уравнений, но в
ряде случаев решение системы уравнений для определения коэффициентов
представляет собой очень сложную задачу, однако, учитывая особенности
задачи, их иногда можно угадать.
Пример 3:
Разложить на множители многочлен P(x)=x4+x3-8x2+3x+5.
Решение:
Запишем этот многочлен в виде произведения двух многочленов, то есть
P(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+cx3+dx2+ax3+acx2+adx+bx2+bcx+bd=x4+x3(a+c)+x2(b+d+ac)
+x(ad+bc)+bd.
Сравнивая эту запись с данной и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях x получим:
Пусть эта система имеет решения в целых числах. Тогда, из последнего
уравнения
либо
b=1,
d=5
или
b=-1,
d=-5.
При
b=1,
d=5
Целых чисел a и b, удовлетворяющих условиям a+c=1 и ac=-14, не
существует.
При b=-1, d=-5
Получаем: a=2, c=-1 или а =-1, c=2. Третьему уравнению ad+bc=3 удовлетворяет
только a=-1, c=2. Тогда, b=-1, поэтому P(x)=(x2-x-1)(x2+2x-5).
В ряде случаев решение системы уравнений для определения коэффициентов
представляет собой очень сложную задачу, однако, учитывая особенности
задач, их иногда можно угадать.
В некоторых задачах применение метода неопределенных коэффициентов
приводит к результату, хотя сами коэффициенты найти так и не удается.
Пример 4: (стр 57)
Как мы видим, что знания по теме многочлены необходимы учащимся при
успешной сдачи ЕГЭ и людям, изучающим математику более глубоко. Надеюсь,
что моя работа поможет а возможно и послужит стимулом к изучению данной
темы более глубоко.
Применение теории многочленов к решению задач
Рассмотрим на различных примерах применение теории многочленов к
решению задач.
Пример 1: Разделить P( x)  4 x 4  16 x 3  3x 2  5x  17 на D( x)  2 x 2  3x  1
Решение:
4 x 4  16 x 3  3x 2  5 x  17
2 x 2  3x  1
4x 4  6x3  2x 2
2 x 2  5x  7
 10 x 3  x 2  5 x
 10 x 3  15 x 2  5 x
 14 x 2  17
 14 x 2  21x  7
 21x  24
Итак, получили в частном 2 x 2  5 x  7 , в остатке  21x  24 . При делении
многочлены P(x) и D(x) были записаны в порядке убывания степеней х. Старший
член многочлена P(x), равный 4x 4 , делим на старший член многочлена D(x),
равный 2x 2 .Результат( 2x 2 ) является старшим членом частного. Этот одночлен
умножаем на D(x), и полученный таким образом многочлен вычитаем из P(x) .
При этом старшая степень многочлена P(x) уничтожается, и разность
составляет  10 x 3  x 2 . Сносим к этому многочлену следующий член P(x) (член
 5x ). Получаем выражение  10 x 3  x 2  5 x . Старший член этого многочлена (член
 10x 3 ) делим на старший член D(x) (2 x 2 ) . Получаем второй член частного (  5x ).
Умножаем (  5x ) на D(x) и полученное выражение вычитаем из многочлена
 10 x 3  x 2  5 x . При этом опять уничтожается старшая степень многочлена.
Продолжаем аналогичные вычисления до тех пор, пока степень оставшегося
многочлена (  21x  24 ) не станет меньше степени многочлена D(x). Такой способ
деления многочленов удобен лишь в том случае, если степень многочлена
делителя больше единицы.
1
4
1
2
Пример №2: Вычислите значение многочлена P( x)  x 4  x 3  x 2  1 , при
3
4
3
4
1
4
3
4
1
2
3
4
Решение: P( )  ( ) 4  ( ) 3  ( ) 2  1 
81
27
9
119
. Так как


1 
256 256 32
128
вычислять многочлены приходится часто, то важно научиться делать это как
можно проще. Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит
к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная схема предельно
проста и изящна. Она получается из формулы
P( x)  a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...  a n 1 x  a n вынесением за скобки х всюду, где это
возможно: P( x)  (...((( x  a1 ) x  a2 ) x  a3 )...) x  an . Используя эту формулу вычислим
значение многочлена в примере №1.
3 1
3
1
3
3
119
(((1  ( )  )  ( )  ( ))  ( )  0)  ( )  1 
4 4
4
2
4
4
128 . Это правило можно записать в
виде таблицы
1

3
4
1
4
1

2
1
3
4
Следовательно P ( ) 
1
2
1

8

0
3
32
1
119
128
119
.
128
Покажем, как теорема Безу и ее частный случай используются при решении
задач:
Пример: Найти остаток при делении многочлена x6-4x4+x3-2x2+5 на (x+3)
Решение: Если выполнить деление уголком, то оно займет слишком много
времени и места. Но в результате, мы узнаем не только остаток, но и частное,
которое искать не надо. Поэтому не будем делать лишнюю работу, а
воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток равен
f(-3)= (-3)6-4(-3)4+(-3)3-2(-3)2+57=365
Пример: При каком a многочлен f(x)=2х3 -ax+3 делится на (x-3) без остатка.
Решение: Если f(x)=2x3-ax+3 делится на (x-3) без остатка, то 3- корень
многочлена 2x3-ax+3, т.е. f(3)=0. Подставим х=3 и f(x)=0. в формулу f(x)=2x3-ax+3.
Получим 2  33  a  3  3  0 , откуда a=19.
Пример: Найти остаток от деления многочлена P( x)  x 4  5x 2  3x  1 на (х-2) и
неполное частное.
Решение: Согласно теореме Безу остаток от деления многочлена P (x ) на
двучлен (х-2) равен значению P (x ) при х=2, т. е. R  P(2)  2 4  5  2 2  3  2  1  29
Чтобы найти неполное частное многочлен P( x)  x 4  5x 2  3x  1 разделим на (х-2)
столбиком, а лучше применим схему Горнера и решение оформим в виде
таблицы
Кооффициенты
1
Р(х)
2
1
Коэффициенты x3
Q(x)
0
5
2
2x2
9
9x
-3
-1
15
15
29(остаток)
3
2
Таким образом неполное частное Q( x)  x  2 x  9 x  15
Это решение можно было сразу оформить в виде схемы Горнера.
Покажем применение формул Виета на примере.
x 3  2x 2  x  1  0
x1 , x 2 , x3
Пример3: Известно, что
- корни уравнения
Составить новое уравнение, корнями которого были бы
числа
y1  x1 x2 , y 2  x2 x3 , y3  x1 x3
.
.
Решение: Пусть искомое уравнение
y 3  ay 2  by  c  0
. Тогда по формулам Виета:
a  ( y1  y 2  y3 )  ( x1 x2  x2 x3  x1 x3 )
b  y1 y 2  y 2 y3  y1 y3  ( x1 x2 )( x2 x3 )  ( x2 x3 )( x1 x3 )  ( x1 x2 )( x1 x3 )  x1 x2 x3 ( x1  x2  x3 )
c  ( y1 y 2 y 3 )  ( x1 x 2 )( x 2 x3 )( x1 x3 )  ( x1 x 2 x3 ) 2 . Видно, что a, b, c выражаются через
комбинации корней исходного уравнения, определяемые формулами Виета:
x1  x2  x3  2,
x1 x 2  x 2 x3  x1 x3,  1
Тогда
a  1, b  (1)  2  2, c  (1) 2  1
x1 x2 x3  1 .
Таким образом, искомое уравнение y 3  y 2  2 y  1  0
Задачи для самостоятельного решения
1.
Разложить на множители
1. x3-2x2-5x+6
б) 2x3+5x2+x-2
в) x4+4x3-25x2-16x+84
г) x5-2x4-13x3+26x2+36x-72
2.
Многочлен P(x)=2x3+x2+ax+b при делении на (x+1) дает остаток 18, а на
(x-2) делится без остатка. Найти a и b- корни многочлена
3.
Многочлен P(x)= x3+ax2+bx+c при делении на (x+1) дает остаток 12, один из
корней многочлена равен 1. Найти остальные корни.
4.
Решить уравнение:
а) x3+9x2+11x-21=0
б) x4-2x3-11x2+12x+36=0
в) x5-3x4-2x3-4x2-24x+32=0
5.
A(x)= 4x4-13x2+x, B(x)= x-2
Найти неполное частное a(x) от деления A(x) на B(X) и остаток R(x)
6.
Найти a и b, при которых многочлен P(x)=3x4+5x3+ax2+bx+10, нацело
делится на a(x)=x2+x-2
Заключение
Знание данного материала систематизирует и углубляет знания учащихся, дает
возможность самостоятельно подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, расширяет
кругозор учащихся старших классов, увлекает многих школьников предметом
математики.
В работе освещены основные понятия по теме многочлены, рассмотрены
решения различных задач, а так же подобраны задачи для самостоятельного решения.
Этот материал можно применять для расширения кругозора учащихся старших
классов, на уроках алгебры, на элективных курсах, выпускникам школ в целях
самоподготовки к ЕГЭ.