10-17Urok3

Урок 3. Изображение комплексных чисел точками координатной плоскости
План урока





Соответствие между комплексными числами и парами действительных чисел.
Изображение суммы комплексных чисел.
Изображение комплексно-сопряженные числа.
Проверь себя. Изображение комплексных чисел точками координатной плоскости.
Домашнее задание
Цели урока
Показать, как изображаются точками координатной плоскости комплексные числа, их
сумма и разность, а также комплексно-сопряженные числа.
Соответствие между комплексными числами и парами действительных чисел.
Подобно тому, как действительные числа изображаются точками числовой оси, комплексные числа изображают точками координатной плоскости.
Напомним, что комплексным числом называется выражение вида
a  bi
где a и b — действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i 2  1 и называется мнимой единицей.
Каждое комплексное число a  bi однозначно определяется упорядоченной парой чисел
(a b) .Парой координат (a b) также однозначно задается точка координатной плоскости.
Значит, что комплексное число a  bi можно изобразить точкой координатной плоскости
с координатами (a b) (рисунок 1).
При этом действительные числа, имеющие вид a  0i , изображаются точками вида
(a 0) , то есть точками оси Ox .
Мнимая единица i  0 1 i изображается точкой (01) , расположенной на оси Oy (рисунок 1).
Каждое число вида bi  0  bi изображается точкой (0 b) , расположенной на оси Oy .
При a  0 и b  0 комплексное число a  bi изображается точкой, не лежащей на осях координат.
На рисунке 2 точками координатной плоскости изображены комплексные числа 1  i ,
1  i , 1  i и 1  i . Из этого рисунка видно, что данные точки расположены в вершинах
квадрата с центром в начале системы координат и со сторонами длины 2 , параллельными
осям координат.
Вопрос. Какой точкой координатной плоскости изображается комплексное число 0 ?
(Ответ: (0;0))
Координатную плоскость, на которой изображаются комплексные числа, часто называют
комплексной плоскостью. При этом ось Ox , на которой изображаются действительные
числа, называют действительной осью. Ось Oy , на которой изображаются числа вида bi ,
называют мнимой осью.
Иногда комплексные числа вида bi , где b  R , называют чисто мнимыми.
Изображение суммы комплексных чисел.
Сложение комплексных чисел a  bi и c  di производится по формуле
(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
Поэтому сумма комплексных чисел a  bi и c  di изображается точкой с координатами
a  c и b  d , которые являются суммами соответствующих координат точек, изображающих слагаемые.
Таким образом, сумма комплексных чисел производится по "правилу параллелограмма".
Это значит, что если числа 0 , z1  a  bi , z2  c  di не лежат на одной прямой, то их сумма z1  z2 изображается четвертой вершиной (a  c b  d )
параллелограмма, у которого первыми тремя вершинами являются (0 0) , (a b) и (c  d )
(рисунок 3).
Пример. Комплексные числа 1  i и 1  i изображаются точками (11) и (1 1) (рисунок 4).
Их сумма (1  i )  (1  i )  2 изобразится точкой 2 действительной оси.
Она является четвертой вершиной квадрата с тремя вершинами 0 , (11) и (1 1) .
Вопрос. Какой точкой изображается комплексное число  z , противоположное комплексному числу z  a  bi ?
(Ответ: точкой (–a;–b), симметричной точке (a;b) относительно начала координат)
Изображение комплексно-сопряженные числа.
Напомним, что числа z  a  bi и z  a  bi , где a и b действительные числа, называются
комплексно- сопряженными.
Они изображаются точками (a b) и ( a b) , симметричными относительно оси Ox (рисунок 5).
Например, комплексные числа 1  i и 1  i являются комплексно-сопряженными, а поэтому в комплексной плоскости симметричны относительно действительной оси.
Вопрос. Какое комплексное число изображает точка, симметричная точке (a b) относительно оси Oy ?
(Ответ: z  a  bi )
Проверь себя. Изображение комплексных чисел точками координатной
плоскости.
Задание 1.
Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может
быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Корень из –1 изображается в комплексной плоскости точкой с координатами
1. (0;1).
2. (1;0).
3. (0;–1).
4. (–1;0).
Ответ: 1, 3.
Числа z  a  bi при |a| = |b| изображаются в комплексной плоскости
1. точками, лежащими на оси Ox.
2. точками, лежащими на оси Oy.
3. точками, лежащими на биссектрисе первой и третьей четверти.
4. точками, лежащими на биссектрисе второй и четвертой четверти.
Ответ: 3, 4.
Выберите верные утверждения.
1. Комплексные числа можно складывать.
2. Комплексные числа можно вычитать.
3. Комплексные числа можно сравнивать.
4. Комплексные числа можно умножать друг на друга.
Ответ: 1, 2, 4.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы.
Какой точкой в комплексной плоскости изображается число bi , где b – действительное
число?
1. Точкой, лежащей на оси Ox.
2. Точкой, лежащей на оси Oy.
3. Точкой, лежащей на биссектрисе первой и третьей четверти.
4. Точкой, лежащей на биссектрисе второй и четвертой четверти.
Ответ: 2.
Какой точкой в комплексной плоскости изображается действительное число?
1. Точкой, лежащей на оси Ox.
2. Точкой, лежащей на оси Oy.
3. Точкой, лежащей на биссектрисе первой и третьей четверти.
4. Точкой, лежащей на биссектрисе второй и четвертой четверти.
Ответ: 1.
Пусть точка A изображает в комплексной плоскости число z, какая точка изображает число –z?
1. Точкой, симметричной относительно начала координат.
2. Точкой, симметричной относительно оси Ox.
3. Точкой, симметричной относительно оси Oy.
4. Точкой, симметричной относительно биссектрисы первой и третьей четверти.
Ответ: 1.
Как в комплексной плоскости изображаются комплексно сопряженные числа?
5. Точками, симметричными относительно начала координат.
6. Точками, симметричными относительно оси Ox.
7. Точками, симметричными относительно оси Oy.
8. Точками, симметричными относительно биссектрисы первой и третьей четверти.
Ответ: 2.
Домашнее задание.
1. Изобразите точками координатной плоскости комплексные числа:
а) 2  i ;
б) 2  i ;
в)  i ;
г) 3  4i ;
д) 3  4i .
2. Какое комплексное число изображает точка, симметричная точке (21) :
а) относительно оси Ox ;
б) относительно оси Oy ;
в) относительно начала координат?
3. Какое комплексное число изображает четвертая вершина параллелограмма, у которого
первыми тремя вершинами являются точки:
а) (0 0) , (1 2) , (21) ;
б)  (1 2) , (11) , (3 2) ;
в)  (2 0) , (2 0) , (0 2) ?
4. Вычислите сумму трех комплексных чисел, изображаемых точками:
а) (1 2) , (11) , (3 2) ;
б) (2 0) , (2 0) , (0 2) .
5. Изобразите точками координатной плоскости корни квадратного уравнения:
а) x 2  2 x  1  0 ;
б)  x 2  2 cos   x  1  0 ,где   37 .
6. Докажите, что числа, противоположные двум комплексно- сопряженным числам, также являются комплексно-сопряженными.
7. Комплексные числа z1 и z2 изображены точками A1 и A2 координатной плоскости.
Как найти точку, изображающую число z1  z2 ?
Словарь терминов
Комплексной плоскостью называют координатную плоскость, на которой изображаются комплексные числа.
Действительной осью называют ось Ox комплексной плоскости, на которой изображаются действительные числа.
Мнимой осью называют ось Oy комплексной плоскости, на которой изображаются числа
вида bi .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1 —10-14-01.eps
Рисунок 2 —10-14-02.eps
Рисунок 3 —10-14-03.eps
Рисунок 4 —10-14-04.eps
Рисунок 5 —10-14-05.eps