Решение неравенств методом замены множителей

X открытая конференция-фестиваль творчества молодежи и школьников
«Наука. Творчество. Развитие»
Решение неравенств
методом замены множителей
Автор: Алендеев Виктор Петрович, 11 класс,
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №12»
г.Новочебоксарска
Научный руководитель: Александрова
Галина Юрьевна, учитель математики
МОУ «СОШ №12» г.Новочебоксарска
Новочебоксарск 2007
1. Введение
Все неравенства с одной переменной, которые рассматриваются в школе или предлагаются в конкурсных заданиях вступительных экзаменов, имеют одну и ту же структуру
ответа – промежуток или объединение промежутков одного из известных видов: a  x  b, a  x  b, a  x  b, a  x  b, x  b, x  a,  x    , то есть объединение
открытых, полуоткрытых, закрытых интервалов и лучей изолированных точек и т.д. (Если
для тригонометрических неравенств ограничиваться их рассмотрением на соответствующем периоде (а фактически так и решаются тригонометрические неравенства), то, очевидно, ответ также будет представлять собой объединение конечного числа промежутков указанных видов).
Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая
позволяет решать их этим методом. Поэтому цель моей работы – изучить методы решения
сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого
метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению
рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную
попытку допускает. Как было сказано выше, решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.
2. Метод замены множителей (основная идея)
Любое неравенство приводимо к виду
( M 1  M 2  ...  M п1 ) /( M 1'  M 2'  ...  M n' 2 ) V0,
(*)
Где символ “V” обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: ≤, ≥,
<, >.
Очевидно, что замена любого множителя М на совпадающий с ним по знаку в области определения неравенства множитель L (и имеющий в этой же области те же корни,
что и заменяемый множитель) приводит к равносильному неравенству в указанной области определения. Этот безхитросный факт и определяет основную идею метода замены
множителей.
Здесь важно обратить внимание на то, что замена множителя осуществляются
только при условии приведения неравенства к виду (*). То есть, когда требуется сравнить
произведение множителей с нулем.
Наша цель состоит в указании наиболее типичных замен, практически используемых в решениях неравенств.
Основная часть замен обусловлена двумя следующими утверждениями.
Утверждение 1. Функция f(x) есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений a и b из области определения функции разность (a-b) совпадает по знаку с разностью (f(a)-f(b)).
Утверждение 2. Функция f(x) есть строго убывающая тогда и только тогда, когда
для любых двух значений a и b из области определения функции разность (a-b) совпадает
по знаку с разностью (f(b)-f(a)).
Обоснование сформулированных утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции.
Замену множителя М на множитель L будем обозначать следующим образом (во
втором случае подчеркивается необходимость учета области допустимых значений ОДЗ):
ОДЗ
 L
M  L или M 
Во введенных обозначениях утверждения 1 и 2 примут вид:
Утв.1( f )  (( a  b)  ( f (a)  f (b))).
Утв.2( f )  (( a  b)  ( f (b)  f (a))).
(Направленность стрелок в обе стороны означает возможность обратной замены
множителя L на M, что равносильно замене М на L для обратной функции)
Например, если неравенство рассматривается на промежутке 0<x<  / 2 , то возможны замены:
(tgx  1)  ( x   / 4)и (ctgx  1)  ( / 4  x).
Также для иллюстрации укажем некоторые виды замен, использованных в примерах 1-4:
ОДЗ
(a  b) , или, что же самое при неотрицательности чисел a и b,
1) ( a  b ) 
( a  b)  ( a 2  b 2 )
2) (2 a  2 b )  (a  b)
3. Замена знакопостоянных множителей.
Замена знакопостоянных множителей – это один из случаев замены, не вытекающих из утверждений 1 и 2.
Поэтому можно записать следующее:
( x2+bx+c) ↔1 (при D<0 и α>0),
(3.1)
(
x2+bx+c) ↔-1 (при D<0 и α<0),
(3.2)
Сумма значений показательных функций.
Так как область значений показательной функции y  a x представляет собой все
положительные числа, то любая сумма значений показательных функций является знакопостоянной положительной величиной. Поэтому имеем:
ОДЗ
a x  1, a f ( x ) 
1, (3.3), (3.4)
ОДЗ
(a f  a g  ...) 
1.(3.5)
Сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения
неравенства не равны нулю.
Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые, сумма всегда является
положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены
 0,ОДЗ
( f  g ) f g

1, (3.6)
f  g 0
( f  g )  1, (3.7)
f  g  0 ,ОДЗ
( f  g )   1, (3.8)
 D0
 A0,ОДЗ

f  ax  bx  c) 1 ,(3.8)
(│f│+
x2+b∙x+c)↔1,(3.9)
(│f│+g)↔1,(3.10)
Пример 1. Решить неравенство
3 x  12  3 x  1 x 2  3 x  1  2 x  3
0
x2  x 1 2 x  3  x2  4
2

Решение.


 

2


1
3 x  3 x  12 3 x  3 3 x  4
x
x
,
то
имеем
3

12

3

1


. Поэто3x
3x
3x
му в силу (3.3) и (3.5) исходное выражение совпадает по знаку с разностью 3 x  3 , которая в силу утверждения 1 совпадает по знаку с разностью x  1 . Так как по свойству мо-
Так как 3  x 


дуля x  1  x  1  x 2  2 x  1 , то, выделяя квадрат x  1 , исходное выражение преобразуем следующим образом:
2
x 2  3 x  1  2 x  3  x 2  2 x  1  3 x  1  4  x  1  3 x  1  4   x  1  4 x  1  1
2
2
2

2

Поэтому в силу (3.10) исходное выражение совпадает по знаку с разностью x  1  4 2 .
2
Опять, пользуясь свойством модуля m  m 2 , получаем, что исходное выражение совпа-


дает по знаку с разностью x  1  4 2 , которая преобразуется к виду: x  5x  3 . Знаменатель в области допустимых значений является положительной величиной. Поэтому
неравенство равносильно системе
 x  1 x  5 x  3  0,

 x  3  0,
 x 2  4  0,

откуда получаем ответ: x   3;2  5; .
4. Замены множителей с модулем
2
Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух
основных свойствах модуля:
│m│2 = m2 и │m│≥0 для всех m,
а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции
y=t2.
Приведем типы замен:
(4.1)
 f  g    f  g  f  g  ,
f
g 0
 g 
 f  g  f  g  ,
 f  g ( f
g 0
 f  g  ( f

2
(4.2)
 g ),
(4.3)
 g )( f 2  g )
(4.4)
f 
g  ( f  g )( f  g )
(4.5)

 
2


f  ax 2  bx  c  f  ax 2  bx  c f  ax 2  bx  c
a  0, D  0

(4.6)
Удобно указать и некоторые частные случаи приведенных замен (отметим здесь,
что (4.3) есть следствие (4.2), (4.4) – следствие (4.1) и (4.2), можно обнаружить и другие
взаимосвязи):
│f│+( x2+bx+c) ↔ (f - x2-bx-c) (f + x2+bx+c)
при α>0 и D ≤ 0.
Пример 2. Решить неравенство
 x  2  4  x  x  4 
x2  x  2
2
1  x  4 3  x  x  5 
 0
Каждый множитель как в числителе, так и в знаменателе есть разность неотрицательных чисел. Поэтому заменяя их на разность квадратов, получим равносильное неравенство в области допустимых значений. Имеем:
 x  2  4  x  x  4 
x2  x  2
2
1  x  4 3  x  x  5 




 0 

2
2
2


2 2 
2
x

2

4

x
x

4

x

x

2




 0

2
2
2

2
1 x  4 3  x  x  5

 x 2  x  2  0



Далее, пользуясь указанным свойством модуля: │m│2 = m2 и раскладывая на множители разности квадратов, получим:
  x  2 2  4  x 2 2  x  4 2  x 2  x  2
 0,



1  x 2  4 2 3  x 2  x  52

 x  1  x  2,









  x 2  x  6 x 2  x  2 9 x  18
 0,


 x  35  x 82 x  2
 x  1  x  2,

Знакопостоянные множители (-x2+x-6) и (x2+x+2) (как трехчлены с одинаковым
дискриминантом) можно заменить на единицы со знаком старшего коэффициента, т.е. на
(-1) и 1 соответственно; остальные упрощения очевидны).
 11x  2  0, 
x  2

 0,
 3  x  2  1  x  5,


  x  3x  5x  1


 x  3x  4x  1
 x  1  x  2,
 x  1  x  2,
 x  1  x  2,


x   3;2  2;5.
Ответ: x   3;2  2;5.
5. Замена множителей с показательными и логарифмическими выражениями.
Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда
по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение
основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида a f  a g имеет тот же
знак, что и выражение (f –g)(а – 1) при а> 0 (если а= 1, то выражения равны нулю)
Сказанное равносильно тому, что разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида (logaf – logag) имеет тот же знак
(в области существования логарифмов) что и выражение (f-g)(α-1).


Для обоснования двух сформулированных утверждений достаточно рассмотреть
два случая: 0< а<1 и а>1, и монотонностью показательной и логарифмической функций в
каждом случае.
Приведенные утверждения позволяют исключительно эффективно решать очень
многие неравенства, которые можно относить к разряду задач повышенной сложности.
В частности, легко получить следующие полезные схемы неравенств:
 f  g a  1  0,
1) a f  a g  
a  0;
 a f  b,
2) 
  f  log a b a  1  0;
b

0
,

 f  g a  1  0,

3) log a f  log a g   f  0, g  0,
a  0;



 f  a b a  1  0,

4) log a f  b   f  0,
a  0;

 fg  1a  1  0,

5) log a f  log a g  0   f  0, g  0,
 f  0;



 fa b  1 a  1  0,

6) log a f  b  0   f  0,
a  0;

 f 1  g1
 0,
a f1  a g1

f

g
7) f 2

0


2
2
a  a g2
a  0, a  1;

 f1  g1
 f  g  0,
2
 2
log a f1  log a g1
8)
 0   f i , g i  0,
log a f 2  log a g 2
a  0, a  1.


Укажем основные типы множителей, содержащих показательные и логарифмические выражения, и им соответствующие замены.
a f  a g   f  g a  1,
(6.1)
a  g 
f  log g a  1,
g  a 
log g  f a  1,
g 0
f
a
f
g 0
a
ОДЗ
log a f  log a g  
f  g a  1,
ОДЗ
log a f  g  
f  a g a  1,
ОДЗ
g  log a f  
a g  g a  1,
ОДЗ
log a f 
f  1a  1,
ОДЗ
log a f  log a g  
fg  1a  1,
(6.2)
(6.2) '
(6.3)
(6.4)
(6.4) '
(6.5)
(6.6)
Пример 3. Решить неравенство
8  x 3 2 x  1 x  20  2 x  30  x  2  4  x 2 log 35 x 2
x

2 x 1
x
5 x
log

x  20
12  x   log
x  20
20  2 x 
0.
Решение. Первый множитель в числителе заменяем на (2-х), второй в силу (5.2) –
на х, третий – на (х + 20 – (2х + 30)), четвертый в силу (4.6) – на ((х – 2) - 4 – х2) ((х – 2) +
(4 + х2)), пятый в силу (5.2) и (6.5) – на (х2 – 1) (5 – 1).
Первый множитель в знаменателе в силу (6.1) и (4.2) заменяем на (3х –6)(х –1)(х+1)
а второй в силу (6.3) и (4.2) – на (х – 8)(х + 8)(х + 19).
Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:
(2 – х) х (-х – 10) (-х2 +х – 6) (x2+x+2) (х – 1) (х + 1)
-------------------------------------------------------------------<0
(3х –6) (х –1) (х+1) (х – 8) (х + 8) (х + 19)
Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет
собой два промежутка: -10< x <0 и 0< x <10. В этой области множители (-х – 10) и (х +
19) знакопостоянны, и поэтому их заменяем соответственно на (-1) и 1.
Знакопостоянны и трехчлены (-х2 +х – 6) и (x2+x+2), поэтому в силу (3.3) и (3.4) их
заменяем также, соответственно на (-1) и 1:
(-1) (х – 2) (х – 1) (х + 1)
----------------------------------------------<0.
3(х – 2) (х – 1) (х + 1) (х – 8) (х + 8)
Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:
-8< x <-1, -1< x <0, 8< x <10.
VI Выводы.
1. Стандартный вид неравенства, когда применяется метод замены множителей:
( M 1  M 2  ...  M п1 ) /( M 1'  M 2'  ...  M n' 2 ) V0,
Где символ “V” обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: ≤, ≥,
<, >.
2. Основная идея метода замены множителя состоит в замене любого множителя М на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни (в области
существования всех множителей) множитель L.
Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего.
Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый
множитель находится в числителе или знаменателе дроби, которая сравнивается с
нулем.
3. Две основные замены.
Утв.1( f )  (( a  b)  ( f (a)  f (b))).
Утв.2( f )  (( a  b)  ( f (b)  f (a))).
VII Список использованной литературы.
1.
«Сборник задач по математике для поступающих во Втузы». Уч. пособие
/ под ред. М. И. Сканави. – М.: Высшая шк., 1988.
2.
«Эффективные пути решения неравенств». Уч. пособие / под ред. В. И.
Голубева и В. А. Тарасова. – Львов, 1992.