Белов А.И.

Расчет формы мениска в процессе роста кристалла методом Чохральского с
использованием различных приближений
Белов Алексей Игоревич
студент V курса
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,
физический факультет, Москва, Россия
E–mail: belov.aleksey@physics.msu.ru
В настоящее время весьма востребованы большие химически чистые кристаллы. Для
их выращивания широко используется метод Чохральского. Вместе с тем в рамках
данного метода недостаточно хорошо разработана методика выращивания кристалла
арсенида-галлия. Из-за ядовитости его компонентов для его выращивания требуется
наличие защитного слоя поверх расплава, например, оксида бора. В связи с наличием
этого слоя стандартная методика выращивания с использованием ПИД контроллера дает
сбои. Здесь требуется более тонкая система контроля: нелинейный наблюдатель. Для
создания математической модели такого наблюдателя требуется знание формы мениска,
см. рис. 1. А точнее не всего мениска, а только его поведения вблизи линии касания
кристалла (трехфазная линия). В сечении тигля плоскостью, проходящей через ось
симметрии, линия касания кристалла и расплава становится точкой, на рис. 1 она
обозначена К. Высота мениска z0 в точке К является в общем случае функцией двух
независимых переменных: угла наклона мениска  в точке К и расстояния r0 от оси
симметрии до K:
(1)
z 0  f (r0 ,  )
Рис. 1. Форма мениска.
Функциональную зависимость (1) можно получить, рассчитав форму мениска с
использованием уравнения Эйлера-Лапласа [1]:

a2 
z (r )
z (r )

(2)
z (r )  

3
/
2
1
/
2

2  1  z (r ) 2
r 1  z (r ) 2

где a  капиллярная длина или постоянная Лапласа, z ( r )  высота мениска.
Численное решение уравнения Эйлера представляет собой сложную
математическую задачу. Это связано, прежде всего, с тем, что граничные условия
являются разнородными. Одно на бесконечности, z ()  0 , а второе в точке касания,
z (r0 )  z0 . В связи с этим стандартные методы расчета дифференциальных уравнений не
работают. В ходе настоящей работы был модифицирован и использован известный
алгоритм решения уравнения Эйлера, основанный на сшивании численного решения и
асимптотического при z   [1].
Перед численным решением уравнения Эйлера удобнее перейти к нормированным
переменным z   и r   , и тем самым избавиться от параметра a , который
содержит в себе такие величины, как плотность и поверхностное натяжение расплава.
Таким образом, будет получена общая зависимость для любых веществ расплава. Кроме




метода расчета с проведением численного решения этого уравнения, существуют
приближенные аналитические соотношения, описывающие зависимость нормированной
высоты мениска  0 ( 0 ,  ) от угла наклона мениска  и от нормированного
расстояния  0 от оси симметрии до точки К. В частности, существует формула
Цивинского [2]:
2

 cos0      cos0   

 
 0  2 1  sin 0     

2 0
2 2 0  



(3)
и Бушера [3]:
0 
2 1  sin 0     0
1  0
.
(4)
На сетке значений 0 0.8; 2.0 и   80; 80 всеми тремя способами были
получены результаты, которые представлены в виде графиков поверхностей  0 ( 0 ,  ) .
Эти графики наглядно демонстрируют значительные различия (более 10 %)
предлагаемого метода от аналитических приближений (3) и (4), см. рис. 2.
Рис. 2. Результаты расчета  0 (  0 ,  ) : а) по уравнению Эйлера-Лапласа, b)
соотношениям Цивинского [1], c) соотношениям Бушера [2].
Литература
[1]
[2]
[3]
K. Mika and W. Uelhoff, Shape and stability of menisci in Czochralski growth and
comparison with analytical approximations, 1975
Tsivinskii S.V., Application of the theory of capillary phenomena to obtain pieces of a
desired shape from the flux by Stepanov’s method, 1962.
Boucher E.A., Jones T.G.J., Capillary phenomena, 1980.