Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
по «Методам вычислений»
направление подготовки
010400.68 Прикладная математика и информатика
(программа: Математическое моделирование)
Квалификация (степень): магистр
1. Пояснительная записка
Данная программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по
направлению подготовки 010400 Прикладная математика и информатика, степень
– магистр, утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ №545
от 20.05.2010 г., профиль подготовки – Математическое моделирование.
Цель программы: разрабатывается с целью проверки знаний, практических
умений и навыков по разделам дисциплины «Методы вычислений», знание алгоритмов приближенных методов решения прикладных задач.
Задачи: помочь повторить материал по дисциплине «Методы вычислений»,
сориентироваться по требованиям и формам проведения вступительного экзамена
по «Методам вычислений» на физико-математический Орловского государственного университета, облегчить подготовку к этому экзамену.
Требования к уровню подготовки
На вступительном испытании поступающий в высшее учебное заведение
должен показать знания в следующих вопросах:
1. численные методы решения типовых математических задач и уметь применять их при исследовании математических моделей;
2. синтаксис, семантика и формальные способы описания языков программирования, конструкции распределенного и параллельного программирования, методы и основные этапы трансляции; способы и механизмы управления данными;
3. применение стандартных алгоритмических языков, использование приближенных методов и стандартного программного обеспечения для решения
прикладных задач, пакетов прикладных программ и баз данных, средств
машинной графики, экспертных систем и баз знаний;
4. примение современных математических методов и программного обеспечение для решения задач науки, техники, экономики и управления и использования информационных технологий в проектно-конструкторской, управленческой и финансовой деятельности;
Критерии оценок вступительного испытания
При оценке знаний на вступительном испытании по «Методам вычислений» учитывается:
 правильность и осознанность ответа на вопросы, полнота раскрытия понятий и
закономерностей, точность употребления и трактовки общенаучных и специальных терминов;
 степень сформированности интеллектуальных и научных способностей экзаменуемого;
 самостоятельность ответа;
 речевая грамотность и логическая последовательность ответа.
От 81 до 100 баллов выставляется, если:
 полно раскрыто содержание вопросов в объеме программы и рекомендованной
литературы;
 четко и правильно даны определения и раскрыто содержание концептуальных
понятий, закономерностей, корректно использованы научные термины;
 для доказательства использованы различные теоретические знания и выводы;
 ответ самостоятельный, исчерпывающий, без наводящих дополнительных вопросов, с опорой на знания, приобретенные в процессе специализации по выбранному направлению подготовки.
От 61 до 80 баллов выставляется, если:
 раскрыто основное содержание вопросов;
 в основном правильно даны определения понятий и использованы научные
термины;
 ответ самостоятельный;
 определения понятий неполные, допущены нарушения последовательности изложения, небольшие неточности при использовании научных терминов или в
выводах и обобщениях, исправляемые по дополнительным вопросам экзаменаторов.
От 41 до 60 баллов выставляется, если:
 усвоено основное содержание учебного материала, но изложено фрагментарно,
не всегда последовательно;
 определение понятий недостаточно четкое;
 допущены ошибки при изложении доказательств;
 допущены ошибки и неточности в использовании научной терминологии,
определении понятий.
До 40 баллов выставляется, если:
 ответ неверный, не раскрыто основное содержание программного материала;
 не даны ответы на вспомогательные вопросы экзаменаторов;
 допущены грубые ошибки в определении понятий, при использовании терминологии.
Обоснование включаемых дисциплине
Дисциплина «Методы вычислений» является одной из наиболее важных и объемных дисциплин в подготовке магистра по направлению «Прикладная
математика и информатика». Она содержит значительную информацию по методам приближенного решения задач и дает возможность практической реализации
нахождения решений. В связи с этим, обучающимся в магистратуре необходимо
знать основные разделы «Методов вычислений» для дальнейшего их использования при обучении в магистратуре и выполнении научно-исследовательской работы.
Предшествующий уровень образования абитуриента
На обучение по программам магистратуры принимаются экзамены от лиц,
имеющих диплом бакалавра, диплом специалиста с высшим профессиональным
образованием или диплом магистра.
Поступающий в магистратуру абитуриент должен иметь знания по следующим направлениям:
1. дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, теорию числовых и функциональных рядов, методы теории функций комплексного переменного;
2. аналитическая геометрию и линейную алгебру;
3. основные понятия и методы дискретной математики;
4. численные методы решения типовых математических задач и уметь применять их при исследовании математических моделей;
5. основы теории алгоритмов и ее применения, методы построения формальных языков, основные структуры данных, основы машинной графики, архитектурные особенности современных ЭВМ;
6. синтаксис, семантику и формальные способы описания языков программирования, конструкции распределенного и параллельного программирования, методы и основные этапы трансляции; способы и механизмы управления данными;
7. принципы организации, состав и схемы работы операционных систем,
принципы управления ресурсами, методы организации файловых систем,
принципы построения сетевого взаимодействия, основные методы разработки программного обеспечения;
8. основные модели данных и их организацию, принципы построения языков
запросов и манипулирования данными, методы построения баз знаний и
принципы построения экспертных систем;
9. основные понятия, законы и модели классической механики, электродинамики, молекулярной и статистической физики, физические основы построения ЭВМ;
10. иметь опыт работы на различных типах ЭВМ, применения стандартных алгоритмических языков, использования приближенных методов и стандартного программного обеспечения для решения прикладных задач, пакетов
прикладных программ и баз данных, средств машинной графики, экспертных систем и баз знаний;
2. Содержательная часть программы
Основные разделы
1. Элементы теории погрешностей
2. Интерполяция функций
3. Численное интегрирование
4. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
5. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
6. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
7. Численное решение задач оптимизации
8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
9. Методы численного решения краевых задач
10. Методы численного решения уравнений в частных производных
Содержание разделов
1. Элементы теории погрешностей
Элементы теории погрешностей. Виды погрешностей. Прямая и обратная задачи
теории погрешностей.
2. Интерполяция функций
Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и
Ньютона. Теорема об остаточном члене интерполяции. Оценка погрешности многочленной интерполяции и ее обусловленность. Постановка задачи интерполяции
сплайнами. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция. Построение кубического сплайна Шонберга. Локальная интерполяция. B-сплайны. Алгоритмы реализации основных методов.
3. Численное интегрирование
Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона-Котеса): формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка их точности. Алгоритмы реализации основных методов.
4. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Основные этапы. Метод простой итераций и критерий его
применимости. Метод Ньютона (касательных), метод секущих. Скорость сходимости метода Ньютона. Алгоритмы реализации основных методов.
5. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
Постановка задачи численного решения СЛАУ. Согласованные нормы векторов и
матриц, обусловленность СЛАУ и число обусловленности матрицы. Прямой метод Гаусса, его модификации и условия применимости. Итерационные методы
решения СЛАУ (метод Зейделя и простой итерации). Условия их применимости.
Алгоритмы реализации основных методов.
6. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
Проблема собственных значений. Решение частичной проблемы собственных
значений (степенной метод) и полной проблемы собственных значений (рекуррентный метод для трехдиагональных матриц). Алгоритмы реализации основных
методов.
7. Численное решение задач оптимизации
Постановка задачи безусловной оптимизации. Методы одномерной минимизации
(метод сканирования, метод золотого сечения). Методы многомерной минимизации (покоординатного спуска, градиентного и наискорейшего спуска), критерии
применимости и скорость сходимости. Алгоритмы реализации основных методов.
8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
Численное решение задачи Коши для систем ОДУ. Устойчивость, аппроксимация
и сходимость дискретных схем, теорема В.С.Рябенького-П.Лакса. Методы РунгеКутта. Алгоритмы реализации основных методов.
9. Методы численного решения краевых задач
Постановка задачи численного решения краевых задач. Метод стрельбы. Конечно-разностные аппроксимации и метод дифференциальной прогонки. Оценка погрешности. Проекционные методы (метод Галеркина и коллокаций). Алгоритмы
реализации основных методов.
10. Методы численного решения уравнений в частных производных
Численное решение уравнений в частных производных. Решение уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типа. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Условие Куранта, Фридрихса и Леви.
Алгоритмы реализации основных методов.
Примерные вопросы
1. Элементы теории погрешностей. Виды погрешностей. Прямая и обратная
задачи теории погрешностей.
2. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
3. Теорема об остаточном члене интерполяции. Оценка погрешности многочленной интерполяции и ее обусловленность.
4. Постановка задачи интерполяции сплайнами. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция. Построение кубического сплайна Шонберга. Локальная интерполяция. B-сплайны.
5. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы
интерполяционного типа (формулы Ньютона-Котеса): формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка их точности.
6. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений и систем
нелинейных уравнений. Основные этапы.
7. Метод простой итераций и критерий его применимости.
8. Метод Ньютона (касательных), метод секущих. Скорость сходимости метода Ньютона.
9. Постановка задачи численного решения СЛАУ. Согласованные нормы векторов и матриц, обусловленность СЛАУ и число обусловленности матрицы.
10. Прямой метод Гаусса, его модификации и условия применимости.
11. Итерационные методы решения СЛАУ (метод Зейделя и простой итерации). Условия их применимости.
12.Проблема собственных значений. Решение частичной проблемы собственных значений (степенной метод).
13.Проблема собственных значений.Решение полной проблемы собственных
значений (рекуррентный метод для трехдиагональных матриц).
14.Постановка задачи безусловной оптимизации. Методы одномерной минимизации (метод сканирования, метод золотого сечения).
15.Методы многомерной минимизации (покоординатного спуска, градиентного и наискорейшего спуска), критерии применимости и скорость сходимости.
16.Численное решение задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Устойчивость,
аппроксимация и сходимость дискретных схем, теорема В.С.РябенькогоП.Лакса. Методы Рунге- Кутта.
17.Постановка задачи численного решения краевых задач. Метод стрельбы.
18. Конечно-разностные аппроксимации и метод дифференциальной прогонки.
Оценка погрешности.
19. Проекционные методы решения краевых задач (метод Галеркина и коллокаций).
20. Численное решение уравнений в частных производных. Решение уравнений
эллиптического и параболического типа.
21. Численное решение уравнений гиперболического типа. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Условие Куранта, Фридрихса и
Леви.
3. Литература
1. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.: БИНОМ, 2006.- 523 с.
2. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики.М.:Диалог-МИФИ, 2010.-240 с.
3. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры.Учебное пособие.-М.:Финансы и статистика:ИНФРА-М,2008.- 480 с.
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Едиториал
УРСС, 2005.- 384 с.
5. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях.- М.: Янус-К, 2001.- 508 с.
4.Образец экзаменационного билета
Билет № 1
1.Элементы теории погрешностей. Виды погрешностей. Прямая и обратная задачи
теории погрешностей.
2.Постановка задачи численного решения краевых задач. Метод стрельбы.