Дифференциально-разностные методы расчета оптических покрытий естественных наук Специальная дисциплина по выбору студента.

Дифференциально-разностные методы расчета оптических покрытий
Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и
естественных наук
Направление «Математика. Информационные технологии»
Специальная дисциплина по выбору студента.
Трудоемкость – 4 кредита, 2 часа лекций и 2 часа лабораторных занятий в
неделю
Цель курса
Целью курса «Дифференциально-разностные методы расчета оптических
покрытий» является подробное ознакомление студентов с устойчивыми
современными методами численного решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, получающихся при применении модального
Фурье метода к математической модели взаимодействия электромагнитного
излучения в области светового диапазона с диэлектрическими структурами
нанометровых размеров:
 введение учащихся в предметную область современного математического
(шире – информационного) моделирования как неизбежной
составляющей научно-технического прогресса;
 изучение способов и возможностей математического синтеза и
компьютерного проектирования дифракционных оптических покрытий;
 подробное ознакомление студентов с устойчивыми современными
методами численного решения математических задач, возникающих при
проектировании дифракционных нанометровых оптических элементов и
устройств, разработке тонкопленочных покрытий с характерными
размерами порядка длины волны излучения.
В процессе преподавания курса решаются следующие задачи:
 формирование у студентов навыков работы на современной
измерительной аппаратуре;
 специальных методов численного решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений для моделирования и проектирования
современных
оптических
устройств на основе тонкопленочных
покрытий и дифракционных оптических элементов;
 освоение существующего программного обеспечения, ориентированного
на расчет и проектирование оптических покрытий;
 получение умения и навыков правильно оценивать сложность научноисследовательских и конструкторских заданий на разработку
дифракционных оптических элементов и устройств, аргументированно
выбирать метод решения конструкторской задачи, а затем экономично и
эффективно
выполнять
компьютерный
дизайн
требуемого
дифракционного оптического покрытия или устройства.
Содержание курса
Темы лекций
Тема 1. Матрицы и дифференциальные уравнения.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Векторно-матричные обозначения. Равномерные нормы векторов и
матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц. Существование и
единственность решений линейной системы уравнений. Матричная экспонента.
Функциональные
уравнения.
Однородные
линейные
системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Матричная
экспонента. Свойства матричной экспоненты. Невырожденность решения.
Явная
форма
решения
линейного
дифференциального
уравнения.
Диагональные матрицы. Диагонализация матрицы. Связь между двумя
подходами. Вычисление матричной экспоненты с учетом недиагонализуемости.
Примеры вычисления матричных экспонент.
Тема 2. Конечно-разностный подход к рассеянию света на оптических
решетках.
Изложение основ метода. Конечно-разностная формулировка в вертикальном
направлении. Теоретический базис. Алгоритм решения начальной задачи.
Центральная разностная схема. Сплетающие операторы. Корректирующий
метод сплетающих операторов второго порядка. Алгоритм Ньюмарка.
Алгоритм точного четвертого порядка. Блочно-треугольный UL(LU) алгоритм.
Тема 3. Вариационная формулировка рассеяния плоских электромагнитных
волн на одномерных дифракционных решетках
Дифракционная оптика, численное решение уравнений Максвелла. Рассеяние
плоских монохроматических волн на бесконечных периодических структурах.
Оптимальный дизайн миниатюрных дифракционных оптических элементов.
Прямая задача дифракции. Вариационные методы. Три случая в зависимости от
направления и поляризации падающей плоскопараллельной волны.
Квазипериодические решения. Отображение Дирихле-Неймана. Ослабленный
метод оптимального проектирования. Метод наименьших квадратов. Слабая
задача минимизации.
Тема 4. Вычислительный электромагнетизм с вариационными интеграторами и
дискретными дифференциальными формами.
Вариационные численные методы. Вариационные численные методы и
симметрии.
Сохранение
дискретной
дифференциальной
структуры.
Практические следствия учета геометрической структуры. Перчень основных
результатов метода, основные выводы. Уравнения Максвелла. От векторных
полей к дифференциальным формам. 2-формы Фарадея и Максвелла.
Электромагнитный вариационный принцип. Вариационное происхождение
уравнений Максвелла. Редукция системы уравнений. Внешнее дискретное
исчисление. Логическое обоснование использования внешнего дискретного
исчисления в вычислительной электродинамике. Сетки и двойственные сетки.
Дискретные
дифференциальные
формы.
Дискретное
внешнее
дифференцирование. Дискретное отображение Ходжа. Дискретное внутреннее
произведение. Дискретное кодифференцирование. Применение дискретного
внешнего исчисления. Начальные и граничные условия в дискретном внешнем
исчислении. Дискретное интегрирование по частям с учетом ненулевых
граничных условий.
Тема 5. Применение дискретного внешнего исчисления к уравнениям
Максвелла. Прямоугольная сетка: построение, уравнения движения.
Неструктурированная пространственная сетка с равномерными шагами по
времени:
построение,
уравнения
движения.
Неструктурированная
пространственная сетка с асинхронными шагами по времени: построение,
уравнения движения, последовательная по времени итеративная схема.
Псевдокод асинхронного вариационного интегратора с использованием
очередей по приоритету для хранения и обновления данных. Полностью
неструктурированная
пространственно-временная
сетка:
построение
пространственно-временной сетки, уравнения движения, построение сеток и
сохранение энергии.
Лабораторные занятия
1. Программная реализация алгоритма решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений методом Адамса.
2. Программная реализация алгоритма решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
3. Неявный метод Эйлера, неявный метод трапеций.
4. Неявные многошаговые методы Адамса-Мултона.
5. Метод прогноз-корректора, реализация методом Ньютона.
6. Программная реализация алгоритма решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
7. Сравнение программных реализаций разных алгоритмов решения систем
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами.
8. Тестирование программы на модельных примерах. Анализ результатов
численных экспериментов.
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа № 1.
Теоретические вопросы.
1. Анализ методов решения систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.
2. Метод матричной экспоненты решения системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Практические задания.
1. Программная реализация алгоритма решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений методом Адамса.
2. Программная реализация алгоритма решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Контрольная работа № 2.
Теоретические вопросы.
Метод диагонализации решения системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Практические задания.
 Сравнение программных реализаций разных алгоритмов решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Замечание. Практическое задание включает в себя написание краткой
теоретической части, описание используемого алгоритма, написание
программы для компьютера на языке высокого уровня с необходимым
интерфейсом – прототипом товарного оформления или в рамках
математического программного пакета, демонстрацию работоспособности
программы.
Итоговый контроль знаний.
Контрольная работа № 3.
Теоретические вопросы.
Метод матричной экспоненты решения системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений в случае недиагонализуемой матрицы.
Литература
Обязательная
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1976.
2. Chu H. Finite Difference Approach to Optical Scattering of Gratings
//Proceedings of the SPIE, Volume 5188, pp. 358-370 (2003).
3. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A. Formulation for stable and efficient
implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings //J.
Opt. Soc. Am. A12, 1068(1995).
Дополнительная
1. http://www.cde.spbstu.ru/CD_ED/consulting/svs/coshi_lab.html
2. http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/tpmath/tpmath.htm
Программу составил
Севастьянов Леонид Антонович,
доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры систем телекоммуникаций,
факультет физико-математических и естественных наук.