Вопросы к экзамену по курсу «Методы вычислений»

Вопросы к экзамену по курсу «Методы вычислений»
Группы 341-345, 2005/2006
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Нормы векторов и матриц.
Локализация собственных чисел матрицы. Круги Гершгорина.
Обусловленность СЛАУ. Примеры.
Абсолютная и относительная ошибки решения возмущенной системы.
Оценки возмущений собственных чисел симметричной матрицы.
Оценки возмущений собственных чисел и собственных векторов произвольной
матрицы.
Метод исключения Гаусса и его трактовка как LU-разложения.
Метод ортогонализации строк и его трактовка как LQ-разложения.
Метод А.Н.Крылова нахождения собственных чисел и векторов.
Степенной метод нахождения наибольшего собственного числа.
Метод скалярных произведений.
Метод сдвига и метод обратных итераций.
Метод вращений (Якоби).
Матричные ряды и их сходимость.
Метод простой итерации решения линейных систем.
Метод Зейделя и его сравнение с методом простой итерации.
Уточнение (вычисление) элементов обратной матрицы.
Метод Ричардсона решения линейных систем.
Методы хорд и секущих решения нелинейных уравнений.
Метод итерации решения нелинейных уравнений и его порядок.
Метод Ньютона решения уравнений. Примеры.
Методы ускорения сходимости итераций.
Методы решения систем нелинейных уравнений.
Оценка абсолютной погрешности решения при замене уравнения близким.
Число обусловленности оператора. Оценка относительной погрешности при замене
уравнения близким.
Мера аппроксимации. Теорема о сходимости каркасов приближенных решений.
Теорема о сходимости приближенных решений.
Теорема об устойчивости процесса отыскания каркасов приближенных решений.
Теорема об устойчивости процесса построения приближенных решений.
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнений второго
порядка методом разностной прогонки.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Построение решения и резольвенты.
Оценка погрешности метода замены ядра на вырожденное. Теорема о сходимости.
Алгоритм метода механических квадратур и его сходимость.
Сущность проекционных методов. Две схемы исследования.
Признак сходимости последовательности проекционных операторов.
Теорема о сходимости проекционных методов.
Классификация систем элементов в гильбертовом пространстве.
Теорема об устойчивости процессов отыскания каркасов и приближенных решений
проекционных методов.
Теорема о сходимости метода Галеркина для уравнений второго рода.
Энергетическое пространство положительно определенного оператора.
Теорема о функционале энергии.
Сущность метода Ритца. Теорема о сходимости.
Теорема о признаке полноты системы в энергетическом пространстве.
Теорема о матрицах Грама системы в энергетических пространствах полусходных
операторов.
45. Энергетическое пространство обыкновенного дифференциального оператора второго
порядка при различных граничных условиях.
46. Полнота полиномиальной и тригонометрической систем в энергетическом
пространстве обыкновенного дифференциального оператора.
47. Сущность метода сеток. Способы аппроксимации дифференциальных выражений
разностными.
48. Построение конечно-разностных уравнений для эллиптического дифференциального
уравнения.
49. Построение конечно-разностных схем для уравнений теплопроводности. Понятие
явной и неявной разностной схемы.
50. Матрицы монотонного типа. Оценки решения системы с матрицей монотонного типа.
51. Теорема об ограниченности обратных матриц метода сеток для эллиптического
дифференциального уравнения.
52. Мера аппроксимации и теорема о сходимости метода сеток для эллиптического
дифференциального уравнения.
53. Теорема об ограниченности обратных матриц метода сеток в случае явной разностной
схемы для уравнения теплопроводности.
54. Мера аппроксимации и теорема о сходимости явной разностной схемы для уравнения
теплопроводности.
55. Теорема о показательной неустойчивости явной разностной схемы для уравнения
теплопроводности.
56. Мера аппроксимации и теорема о сходимости неявной разностной схемы для
уравнения теплопроводности.
57. Построение разностной схемы для гиперболического уравнения.
58. Спектральный критерий устойчивости.
59. Метод Галеркина нахождения обобщенного решения.
60. Теорема о сходимости метода конечных элементов для обыкновенного
дифференциального уравнения.
61. Исследование устойчивости МКЭ для обыкновенного дифференциального уравнения.
Литература
1. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб, 1998.
2. Даугавет И.К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. СПб,
1985 (или Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. СПб.,
2006).
3. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М., 1971.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей
математики. Т. 2. Минск, 1975.