6 Метод размерностей для решения физических задач

СПОСОБЫ ПОДАЧИ НОВОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ ФИЗИКИ
Урок изучения нового материала или часть урока другого типа с введением нового
материала, несомненно, имеет огромное значение в процессе обучения. От того насколько
интересно педагог преподносит новый материал, от степени вовлеченности учащихся в этот
процесс зависит эффективность всего процесса обучения. Интересен урок на котором
преподаватель имеет возможность показать физическое явление в натуре, провести
демонстрационный эксперимент. Однако не всегда это возможно технически или
принципиально невозможно. Как в этом случае увлечь школьников? В данной статье
предлагается пара способов преодоления поставленной проблемы: «изобретение» формулы
(закона) и моделирование.
1 “Изобретение” формулы (закона)
Метод основан на конструировании формулы для определения какой-либо
физической величины из величин, от которых она может зависеть в условиях конкретной
физической задачи.
«Изобретем» формулу для определения силы гравитационного взаимодействия FГР
между телами, которые можно в данных условиях считать материальными точками.
Жизненный опыт (или знание второго закона Ньютона) подсказывает нам, что сила
пропорциональна массе m. Следовательно, сила FГР притяжения между телами
пропорциональна как массе первого тела m1, так и массе второго m2. Т.е. FГР~ m1 и FГР~m2.
Обобщив, получаем, что
FГР ~ m1  m2 .
(1.1)
Полученная пропорциональность уже позволяет ответить, например, на вопрос: «Во сколько
раз сила притяжения некоторого тела к телу массой 2m больше силы притяжения к телу
массой m?». Из соотношения (1.1) следует ответ: «В два раза».
Очевидно, что сила притяжения зависит также от расстояния r между телами.
Интуиция, основанная на жизненном опыте, подсказывает нам, что сила взаимодействия
должна уменьшаться по мере увеличения расстояния между телами. Сила, таким образом,
обратна пропорциональна расстоянию - FГР ~ 1 r . Так ли это?
Продолжим рассуждения, отступив в них физической строгости. Бросили, например,
камень в воду. Волна, образованная на воде, расходится при этом кругами. Энергия
(кинетическая) камня, преобразованная в волну, распределяется по окружности радиуса r.
Длина окружности равна 2πr. Чем дальше находится рассматриваемая точка от места
падения камня, тем больше длина окружности, и, следовательно, меньше воздействие,
переданное камнем молекулам воды в этой точке. Делаем вывод: воздействие обратно
пропорционально расстоянию r.
Однако, гравитационное взаимодействие распределяется в пространстве во всех
возможных направлениях, а не в некоторой плоскости как в рассмотренном выше примере.
Поэтому, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется точечный источник звука.
Энергия, излучаемая источником (в виде звуковых волн), распределяется в этом случае по
сфере радиуса r. Необязательно даже помнить выражение для площади сферы S=4πr2.
Достаточно того, что площадь S пропорциональна квадрату линейных размеров тела (для
квадрата со строной r – S=r2, для окружности радиуса r – S=πr2 и т.п.). Таким образом,
воздействие ослабевает пропорционально квадрату расстояния от точечного источника.
Обобщив данный вывод на гравитационное взаимодействие, заключаем, что
FГР ~ 1 r 2 .
(1.2)
Объеденив пропорциональности (1.1) и (1.2), получаем:
FГР ~
m1  m2
.
r2
(1.3)
Дальнейший ход рассуждений таков. Проверка размерностей в соотношении (1.3)
показывает, что коэффициент пропорциональности который нужно в него ввести (чтобы
«превратить его в полноценную формулу») должен иметь размерность Н·м2/кг2. Вывести
этот коэффициент мы не можем, т.к. он является фундаментальной физической постоянной.
Известно, что коэффициент равен 6,67·10-11 Н·м2/кг2 и называется гравитационной
постоянной.
Конечно, ученик, способный провести подобные рассуждения, без труда запомнит
закон всемирного тяготения в известной форме
FГР  G 
m1  m2
.
r2
(1.4)
Тем не менее, подача нового теоретического материала в такой форме будет стимулировать
интерес и менее способных учащихся. Ведь в этом случае на глазах учащихся происходит
открытие закона, и они являются его соавторами.
2 Моделирование
Человечество в любых областях своей деятельности постоянно создает и использует
модели окружающего мира. Модели позволяют представить в наглядной форме объекты и
явления недоступные для непосредственного восприятия (очень большие или очень
маленькие объекты, очень медленные или очень быстрые явления и др.).
В физике это, например, явления связанные молекулярной и атомной структурой
вещества, электрические и тепловые явления и др.
Возьмем в качестве среды для моделирования школьный класс и создадим несколько
моделей известных физических явлений. В этом случае каждый ученик класса
представляется нами как малая частица, а весь класс - как совокупность большого числа
малых частиц.
2.1 Газы, жидкости, твердые тела
2.1.1 Физические свойства
Газы отличаются тем, что их молекулы находятся друг от друга на расстояниях в
среднем много превышающих размеры молекул. Газ занимает весь предоставленный ему
объем, молекулы газа хаотически движутся во всех направлениях, мало взаимодействуя друг
с другом.
В жидкостях молекулы «упакованы» плотно. Как следствие, жидкость имеет
постоянный объем. Молекулы жидкости длительное время находятся в определенном месте
(положение равновесия), совершая около него хаотические колебания. Это, так называемые,
«оседлые положения». Однако молекулы жидкости время от времени могут менять оседлые
положения (с этим связано свойство текучести жидкости).
В твердых телах молекулы так же располагаются плотно. Колеблются около
некоторых положений равновесия, но менять их не могут. Если это кристалл, то такие
положения распределены в пространстве периодично и называются узлами кристаллической
решетки.
2.1.2 Модели
Школьный класс на перемене – это модель газа. Школьники занимают весь
предоставленный им объем («растекаются» по зданию школы), общий характер движения –
хаотический.
Класс на уроке физкультуры – модель жидкости. Учащиеся находятся в
ограниченном пространстве (спортзал). Играя, например, в волейбол находятся некоторое
время около некоторого положения равновесия, совершая около него движения. Затем это
положение меняется.
На уроке, например, физики – модель твердого кристаллического тела. Ученики не
покидают своих мест, совершая мелкие движения около них. Существует периодичность в
расположении учеников (ряд, парта в ряду).
2.2 Фазовые переходы
2.2.1 Плавление
Плавление – процесс перехода вещества из твердого состояния в жидкое. При этом
атомы (молекулы) покидают положения равновесия, и вещество приобретает свойство
текучести.
Моделью плавления можно считать поведение класса сразу же после звонка с урока.
Ученики покидают свои места (положения равновесия) и «текут» к выходу из кабинета.
При звонке на урок происходит обратная ситуация: происходит «отвердевание»
(кристаллизация) – ученики занимают свои места за партами.
2.2.2 Парообразование
В процессе парообразования происходит переход вещества из жидкого состояния в
газообразное. Атомы (молекулы) становятся более подвижными, двигаются хаотически и
удаляются на значительные расстояния друг от друга.
Поведение класса за дверьми школьного кабинета после звонка на перемену – модель
парообразования.
Обратный процесс, конденсация, моделируется случаем, когда класс входит с
перемены на урок в школьный кабинет
2.3 Электрические явления
Хорошо известна гидродинамическая модель для явлений, связанных с протеканием
электрического тока. В этой модели аналогами, например, проводника являются трубы, а
источников тока – насосы.
Построим «классную» модель некоторых электрических явлений.
3.1 Электрическое сопротивление
Известно, что причиной сопротивляемости металлов протеканию электрического тока
является «рассеяние» электронов на узлах металлической решетки. С увеличением
температуры сопротивление металлов растет, что связано с увеличением амплитуды
тепловых колебаний атомов в узлах решетки и, соответственно, к увеличению вероятности
рассеяния электронов.
Представим, что ученик (электрон) должен пройти через толпу неподвижно стоящих
одноклассников (металлическая решетка). Ученик легко будет находить промежутки между
одноклассниками и пройдет сквозь толпу, испытывая некоторые отклонения от
прямолинейного направления. Так же и электрон движется в металле, испытывая его
сопротивление.
Теперь представим, что каждый одноклассник в толпе начинает совершать
беспорядочные движения (влево-вправо, вперед-назад и т.п.) около некоторого положения.
Тем самым мы моделируем тепловые колебания атомов в металлической решетке. В этом
случае ученику уже труднее пробраться сквозь толпу, ему то и дело придется сталкиваться
со своими одноклассниками. Сопротивление повысилось.
Повышение температуры моделируется увеличением амплитуды беспорядочных
движений учеников в толпе. Вероятность столкновений (рассеяния) увеличивается –
увеличивается сопротивление.
Подобное моделирование физических явлений «оживляет» интерес учеников,
заставляет их «включиться» в тему, «подключает» их фантазию. Такие модели дают
возможность ученикам посмотреть на физические явления с необычной точки зрения. Всё
это помогает развивать и удерживать интерес к изучению физики, стимулирует творческие
способности учащихся.