ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУВПО «Марийский государственный университет» Физико-математический факультет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Марийский государственный университет»
Физико-математический факультет
Кафедра теоретической и прикладной физики
УТВЕРЖДАЮ
Декан физико-математического
факультета
«24» ноября 2009 г.
/Попов Н.И./
(подпись/Ф.И.О)
У Ч Е Б Н О -М Е ТОДИ Ч Е С К И Й К ОМ П Л Е К С П О Д И СЦ И ПЛ ИН Е
ОПД.Ф.02. Методы математической физики. Линейные и нелинейные уравнения физики
(индекс по ГОС/наименование дисциплины)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ/НАПРАВЛЕНИЕ
010701.65 – Физика
(код и наименование специальности/направления в соответствии с лицензией)
Составитель
доцент Мубаракшин И.Р., к.ф.-м.н., доцент
(должность, Ф.И.О., ученая степень, звание автора программы)
Йошкар-Ола
2009
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
теоретической и прикладной физики
(название кафедры)
Протокол № 4 от
«20» ноября 2009 г.
Зав. кафедрой
УТВЕРЖДЕНО
на заседании УМК
Протокол № 1 (ВЗ) от
«23» ноября 2009 г.
Председатель УМК
/Леухин А.В./
(подпись/Ф.И.О)
/Косов А.А./
(подпись/Ф.И.О)
2
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА
I Рабочая программа учебной дисциплины ......................................................................... 4
II Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины ..................................
III Учебно-методические материалы ......................................................................................
IV Материалы текущего контроля, промежуточной аттестации и итогового контроля
знаний ....................................................................................................................................................
V Словарь терминов и персоналий .........................................................................................
VI Программа государственного экзамена, итогового междисциплинарного экзамена...
VII Программное и методическое обеспечение практики ...................................................
3
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Марийский государственный университет»
Физико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Декан физико-математического
факультета
/Попов Н.И./
(подпись/Ф.И.О.)
«24» ноября 2009 г.
I РА Б О Ч А Я П РОГ РА М М А
Учебная дисциплина
Методы математической физики.
(название дисциплины)
Линейные и нелинейные уравнения физики. ОПД.Ф.02
(индекс по ГОС)
Специальность
010701.65 – Физика
(код и наименование в соответствии с лицензией)
Кафедра
теоретической и прикладной физики
(название)
Курс
3; 4
семестр
форма обучения
6; 7
Лекции
38 + 18 = 56
Практические занятия
38 + 18 = 56
очная
(кол-во часов)
(кол-во часов)
Лабораторные занятия
–
(кол-во часов)
Самостоятельная работа
64 + 64 = 128
(кол-во часов)
Курсовая работа (проект)
–
Зачет
6
Экзамен
7
(семестр)
(семестр)
(семестр)
Программа разработана
доцент Мубаракшин И.Р., к.ф.-м.н., доцент
(должность, Ф.И.О., ученая степень, звание автора программы)
Йошкар-Ола
2009
4
Рекомендована к утверждению
решением учебно-методической
комиссии (учебно-методического
совета) физико-математического
факультета
Рассмотрена и одобрена на
заседании кафедры
теоретической и прикладной
физики
(название кафедры)
(название факультета / института, специальности)
протокол заседания № 1
от
протокол заседания № 4 от
«11» сентября 2009 г.
«20» ноября 2009 г.
/Леухин А.В.
/Косов А.А.
(подпись, Ф.И.О. председателя)
(подпись, Ф.И.О., зав. кафедрой)
СОГЛАСОВАНО с выпускающей кафедрой
общей физики
(название кафедры)
протокол заседания № 1
от «31» августа 2009 г.
Леухин А.В.
(Ф.И.О. зав. кафедрой, подпись)
Сведения о переутверждении рабочей программы учебной дисциплины
на очередной учебный год и регистрация изменений
Учебный
год
Решение кафедры
Автор изменения
(№ протокола, дата заседания
кафедры, Ф.И.О., подпись
зав. кафедрой)
(Ф.И.О., подпись)
5
Номер
изменения
1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1.1 Требования государственного образовательного стандарта к содержанию
данной дисциплины
ОПД.Ф.02
Методы математической физики.
Линейные и нелинейные уравнения физики.
Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Общая схема метода разделения переменных. Специальные функции математической физики. Краевые задачи для
уравнения Лапласа. Уравнения параболического типа. Уравнения
гиперболического типа. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Понятие о нелинейных уравнениях математической физики. Метод конечных разностей.
240
1.2. Цели, учебные задачи дисциплины, место и роль учебной дисциплины в подготовке специалиста
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные типы дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка,
их канонический вид;
- какие физические процессы и явления описываются этими уравнениями;
- основные типы граничных условий, их физический смысл и математическое выражение;
- основные типы краевых задач;
- способы решения краевых задач;
- задачу Штурма-Лиувилля;
- общую схему метода разделения переменных;
- общие свойства собственных значений и собственных функций;
- основные виды специальных функций математической физики, используемые при
решении краевых задач;
уметь:
-осуществлять классификацию дифференциальных уравнений в частных производных
и приводить уравнения к каноническому виду;
- ставить краевые задачи для уравнений разных типов;
- решать задачу Коши для уравнений гиперболического и параболического типа;
- решать задачу Дирихле для уравнений эллиптического типа;
- применять метод разделения переменных для всех типов уравнений (гиперболического, параболического, эллиптического);
- применять функции Бесселя, сферические функции, полиномы Лежандра, полиномы
Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра и др.
Место и роль учебной дисциплины
с точки зрения физики:
- изучение дисциплины опирается на общий курс физики, дополняет его и обеспечивает математический аппарат, необходимый для теоретической физики;
с точки зрения математики:
6
- изучение дисциплины опирается на курсы математического анализа и дифференциальных уравнений, показывает их развитие и возникновение новых разделов математики под
влиянием запросов практики;
с точки зрения подготовки специалиста:
- раскрывается связь между физикой и математикой, значение математики для физики;
- обеспечивается связь между общей физикой и теоретической;
- показываются истоки формирования математического аппарата квантовой теории в
рамках классической физики;
- показываются широкие потенциальные возможности физики для решения разнообразных прикладных задач.
1.3 Виды учебной деятельности студентов
Лекции, практические занятия, работа с литературой, выполнение домашних заданий.
1.4 Контроль знаний студентов контрольные работы, проверка домашних заданий, зачет, экзамен.
2 СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Введение. О предмете “Методы математической физики”.
Часть 1. Линейные и нелинейные уравнения математической физики.
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.
1.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го по
рядка с 2-мя независимыми переменными.
1.2. Каноническая форма дифференциальных уравнений 2-го порядка.
1.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Канонические формы.
Тема 2. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
2.1. Уравнение малых поперечных колебаний струны.
2.2. Уравнение продольных колебаний струны, стержня и пружины.
2.3. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач.
2.4. Редукция общей краевой задачи.
Тема 3. Метод распространяющихся волн.
3.1. Метод распространяющихся волн (формула Даламбера).
3.2. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний.
3.3. Колебания полуограниченной струны. Метод продолжений.
Тема 4. Метод разделения переменных.
4.1. Свободные колебания струны, закрепленной на концах. Метод разделения пе
ременных.
4.2. Интерпретация решения для свободных колебаний струны, закрепленной на концах.
4.3. Неоднородные уравнения. (Вынужденные колебания струны под действием
внешней силы.)
4.4. Общая первая краевая задача (для неоднородного уравнения колебаний).
4.5. Краевые задачи со стационарными неоднородностями.
7
4.6. Общая схема метода разделения переменных.
4.7. Задача без начальных условий. (Колебания струны в среде с сопротивлением).
4.8. Колебания струны под действием сосредоточенной силы.
Тема 5. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа.
5.1. Уравнение теплопроводности.
5.2. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.
Тема 6. Метод разделения переменных для уравнений параболического типа.
6.1. Решение однородной краевой задачи методом разделения переменных для уравнения теплопроводности.
6.2. Функция источника для уравнения теплопроводности.
6.3. Неоднородное уравнение теплопроводности.
6.4. Общая 1-я краевая задача для уравнения теплопроводности.
Тема 7. Уравнения эллиптического типа.
7.1. Уравнение Лапласа.
7.2. Общие свойства гармонических функций.
7.3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных.
7.4. Функция источника для уравнения Лапласа и ее основные свойства.
7.5. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы.
Часть 2. Специальные функции математической физики.
Тема 8. Общее уравнение теории специальных функций.
8.1. Общее уравнение теории специальных функций.
8.2. Поведение решений вблизи особой точки.
8.3. Постановка краевых задач.
Тема 9. Цилиндрические функции.
9.1. Уравнение Бесселя.
9.2. Функции Бесселя 1-го рода.
9.3. Рекуррентные формулы для функций Бесселя 1-го рода.
9.4. Функции Бесселя 1-го рода полуцелого порядка.
9.5. Асимптотическое поведение цилиндрических функций.
9.6. Ортогональность функций Бесселя 1-го рода. Теорема разложимости.
9.7. Функции Бесселя 2-го рода или функции Неймана и другие цилиндрические
функции.
Тема 10. Задачи, приводящие к уравнению Бесселя.
10.1. Уравнение поперечных колебаний мембраны.
10.2. Собственные колебания круглой мембраны.
10.3. Задача о стационарном распределении температуры ( решение задачи Дирихле
для цилиндра).
10.4.Задача о радиальном распространении тепла.
10.5. Обобщение условий ортогональности функций Бесселя и теоремы разложимости ( 2-я и 3-я краевые задачи для уравнения Бесселя).
Тема 11. Сферические функции.
11.1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра.
11.2. Решение уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра.
11.3. Свойства полиномов Лежандра.
11.4. Присоединенные полиномы Лежандра.
11.5. Норма присоединенных полиномов Лежандра.
11.6. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
Тема 12. Задачи электростатики.
8
12.1. Проводящая сфера в поле точечного заряда.
12.2. Диэлектрический шар во внешнем электростатическом поле. Поляризация шара в однородном поле.
Тема 13. Полиномы Чебышева-Эрмита.
13.1. Производящая функция полиномов Чебышева-Эрмита. Рекуррентные формулы.
13.2. Уравнение Чебышева-Эрмита.
13.3. Норма полиномов Чебышева-Эрмита.
13.4. Функции Чебышева-Эрмита. Гармонический осциллятор.
Тема 14. Полиномы Чебышева-Лагерра.
14.1. Производящая функция и рекуррентные формулы для полиномов ЧебышеваЛагерра.
14.2. Уравнение Чебышева-Лагерра.
14.3. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра.
14.4. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра.
14.5. Волновые функции стационарных состояний атома водорода.
2
1
1
1
2
1
1
1
3
4
5
1
6
1
7
2
8
2
1
2
9
2
10
3
6 семестр
Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.
Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
Метод распространяющихся волн.
Метод разделения переменных.
Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа.
Метод разделения переменных для уравнений параболического типа.
Уравнения эллиптического типа.
итого
7 семестр
Общее уравнение теории специальных
функций.
Цилиндрические функции.
3
Задачи, приводящие к уравнению Бесселя.
9
Практические (семинарские)
заЛабораторнятия
ные занятия
№ п/п темы
1
Всего
Количество часов по
учебному плану
В том числе
Аудиторная нагрузка
Лекции
№ п/п раздела
Наименование
разделов и тем
7
Самостоятельная
работа
3. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4
5
6
8
16
4
4
8
12
4
4
4
10
38
6
4
14
2
4
14
2
2
10
2
16
4
4
8
22
120
6
38
6
38
10
44
6
2
20
4
30
4
5
2
4
2
6
6
7
14
8
22
2
2
2
2
11
12
13
14
Сферические функции.
Задачи электростатики.
Полиномы Чебышева-Эрмита.
Полиномы Чебышева-Лагерра.
итого
всего
14
24
12
14
120
240
4
2
2
2
12
56
2
6
8
16
10
10
84
128
2
18
56
4 ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
4.1 Тематический план лекций
№№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Темы лекционных занятий
2
6 семестр
Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка с 2-мя независимыми переменными.
Каноническая форма дифференциальных уравнений 2-го порядка.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Канонические формы.
Уравнение малых поперечных колебаний струны.
Уравнение продольных колебаний струны, стержня и пружины.
Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач.
Редукция общей краевой задачи..
Метод распространяющихся волн (формула Даламбера).
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний.
Колебания полуограниченной струны. Метод продолжений.
Свободные колебания струны, закрепленной на концах. Метод разделения переменных.
Интерпретация решений для свободных колебаний струны, закрепленной на концах.
Неоднородные уравнения. (Вынужденные колебания струны под
действием внешней силы.)
Общая первая краевая задача (для неоднородного уравнения колебаний).
Краевые задачи со стационарными неоднородностями.
Общая схема метода разделения переменных.
Задача без начальных условий (колебания струны в среде с сопротивлением).
Колебания струны под действием сосредоточенной силы.
Уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.
Решение однородной краевой задачи методом разделения переменных для уравнения теплопроводности. Функция источника для
уравнения теплопроводности.
Неоднородное уравнение теплопроводности. Общая 1-я краевая
задача для уравнения теплопроводности.
Уравнение Лапласа. Общие свойства гармонических функций.
10
Кол-во
часов
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
18
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных (для эллиптических уравнений). Функция источника для уравнения Лапласа и ее основные свойства.
Метод электростатических изображений и функция источника для
сферы.
7 семестр
Общее уравнение теории специальных функций. Поведение решений вблизи особой точки. Постановка краевых задач.
Уравнение Бесселя. Функции Бесселя 1-го рода.
Рекуррентные формулы для функций Бесселя 1-го рода.
Функции Бесселя 1-го рода полуцелого порядка.
Асимптотическое поведение цилиндрических функций.
Ортогональность функций Бесселя 1-го рода. Теорема разложимости.
Функции Бесселя 2-го рода или функции Неймана и другие цилиндрические функции.
Задача о стационарном распределении температуры ( решение задачи Дирихле для цилиндра).
Задача о радиальном распространении тепла.
Обобщение условий ортогональности функций Бесселя и теоремы
разложимости ( 2-я и 3-я краевые задачи для уравнения Бесселя).
Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра.
Решение уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра.
Свойства полиномов Лежандра.
Присоединенные полиномы Лежандра.
Норма присоединенных полиномов Лежандра.
Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
Проводящая сфера в поле точечного заряда.
Диэлектрический шар во внешнем электростатическом поле. Поляризация шара в однородном поле
Производящая функция полиномов Чебышева-Эрмита. Рекуррентные формулы. Уравнение Чебышева-Эрмита.
Норма полиномов Чебышева-Эрмита.
Функции Чебышева-Эрмита. Гармонический осциллятор.
Производящая функция и рекуррентные формулы для полиномов
Чебышева-Лагерра. Уравнение Чебышева-Лагерра.
Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра.
Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра.
Волновые функции стационарных состояний атома водорода.
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4.2 Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд. - М.:
Наука, 1977. – 736 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.: ВШ, 1970. – 712 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, 1981.
11
5 ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ),
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
5.1 Тематический план практических (семинарских) занятий, лабораторных
занятий
№№
п/п
1
1-2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Темы практических занятий
2
6 семестр
Классификация диф. Уравнений в частных производных. Приведение к каноническому виду.
Решение задачи Коши для гиперболических уравнений непосредственным интегрированием.
Решение задачи Коши. Формула Даламбера.
Контрольная работа по теме: Приведение к каноническому виду и
решение задачи Коши.
Метод распространяющихся волн.
Гиперболические уравнения. Метод Фурье для однородных уравнений.
Гиперболические уравнения. Метод Фурье для неоднородных
уравнений.
Параболические уравнения. Метод Фурье для однородных уравнений.
Параболические уравнения. Метод Фурье для неоднородных уравнений.
7 семестр
Метод электростатических изображений.
Свойства гармонических функций.
Краевая задача Дирихле для гармонических функций.
Краевая задача Неймана для гармонических функций.
Функции Бесселя. Задача Дирихле для цилиндра.
Задача о радиальном распространении тепла в бесконечном цилиндре.
2-я и 3-я краевые задачи для уравнения Бесселя.
Общее решение уравнения Лапласа.
Асимптотические разложения.
Кол-во
часов
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5.2 Номер и наименование темы в соответствии с тематическим планом практических (семинарских) занятий, лабораторных занятий
5.3 Список литературы
1. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова.
– 2-е изд. - М.: Наука, 1982. – 256 с.
2. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970.
– 2-е изд. – 504 с.
3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1977. – 224 с.
12
6 ПРОГРАММА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
6.1 Тематический план самостоятельной работы
№№
п/п
1
1
2
3
4
Темы для самостоятельного изучения
2
Математическое описание некоторых явлений, изучаемых методами математической физики.
Метод функций Грина. Метод Грина решения краевых задач.
Функция Грина для шара. Функция Грина для полупространства.
Задача о распространении тепла в однородном шаре.
Уравнение Гельмгольца. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца.
Кол-во
часов
3
8
8
6
8
6.2 Номер и наименование темы в соответствии с тематическим планом самостоятельной работы
6.3 Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд. - М.:
Наука, 1977. – 736 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.: ВШ, 1970. – 712 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, 1981.
4. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.
7 ТЕМАТИКА
7.1 Контрольных работ
1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го
порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.
2. Решение краевых задач для уравнений гиперболического типа методом разделения переменных.
3. Функции Бесселя. Решение краевых задач для уравнений параболического типа
методом разделения переменных.
4. Сферические функции и полиномы Лежандра. Решение краевых задач для
уравнений эллиптического типа.
7.2 Эссе, рефератов - нет
7.3 Курсовых работ (проектов) - нет
13
8 КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ
Задачи для зачета
Для более сложных задач предлагается только правильно сформулировать или
поставить краевую задачу. Для более простых предлагается поставить краевую задачу
и решить.
Постановка краевых задач мат. физики.
1(1). Упругий прямолинейный стержень длины l выведен из состояния покоя тем,что его поперечным сечениям в момент времени t=0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Дать постановку краевой задачи для определения смещений поперечных сечений стержня при t > 0.
Рассмотреть случаи, когда концы стержня:
1) закреплены жестко; 2)движутся в продольном направлении по заданному закону.
1(2). Упругий прямолинейный стержень длины l выведен из состояния покоя тем,что его поперечным сечениям в момент времени t=0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Дать постановку краевой задачи для определения смещений поперечных сечений стержня при t > 0.
Рассмотреть случаи, когда концы стержня: 1)свободны; 2) закреплены упруго.
3. Один конец прямолинейного однородного упругого стержня длины l, начиная с момента t=0, совершает продольные колебания по заданному закону  (t ) , а к другому приложена сила (t ) ,
направленная по оси стержня. В момент времени t=0 поперечные сечения стержня были неподвижны
и находились в неотклоненном положении. Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений при t > 0.
4. Дать постановку краевой задачи о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня
длины l, если один конец его закреплен жестко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости.
6. Дать постановку краевой задачи о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.
8. Два полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены и составляют один неограниченный стержень, причем  1, E1 – соответственно плотность
массы и модуль упругости одного из них, а  2 и Е2 – другого. Дать постановку краевой задачи для
определения отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени t=0 поперечным сечениям стержня сообщены продольные
смещения и скорости.
9. Дать постановку краевой задачи в случае колебаний струны длины l с закрепленными концами,
если в точке x=C cтруны укреплен сосредоточенный грузик массы m0.
10. Дать постановку краевой задачи в случае колебаний струны длины l с закрепленными концами,
которая в начальный момент t=0 оттянута в точке x=C на величину h и отпущено без начальной скорости.
11(1). Дать постановку краевой задачи об определении температуры стержня длины l с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура задана. Рассмотреть случаи:
1) концы стержня поддерживаются при заданной температуре;
2) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток.
11(2). Дать постановку краевой задачи об определении температуры стержня длины l с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура задана. Рассмотреть случаи:
1) на концах стержня происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.
14
12(1). На боковой поверхности стержня длины l происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой u0 . Дать постановку краевой задачи об определении температуры в
стержне при начальных и граничных условиях предыдущей задачи: начальная температура задана;
1) концы стержня поддерживаются при заданной температуре;
2) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток.
12(2). На боковой поверхности стержня длины l происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой u0 . Дать постановку краевой задачи об определении температуры в
стержне при начальных и граничных условиях предыдущей задачи: начальная температура задана;
1) на концах стержня происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.
13. Два полуограниченных однородных теплоизолированных стержня одинакового поперечного сечения с различными коэффициентами теплопроводности соединены непосредственно. Дать постановку краевой задачи об определении температуры в этом стержне.
14. Два полуограниченных однородных теплоизолированных стержня одинакового поперечного сечения с различными коэффициентами теплопроводности соединены массивной муфтой с теплоемкостью С0. Дать постановку краевой задачи об определении температуры в этом стержне.
Вопросы к экзамену
Часть 1. Линейные и нелинейные уравнения математической физики
1. Классификация диф. уравнений. 2-го порядка с 2-мя независимыми переменными.
2. Каноническая форма дифференциальных уравнений 2-го порядка.
3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Канонические формы.
4. Уравнение малых поперечных колебаний струны.
5. Уравнение продольных колебаний струны, стержня и пружины.
6. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач.
7. Редукция общей краевой задачи.
8. Метод распространяющихся волн (формула Даламбера).
9. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний..
10. Колебания полуограниченной струны. Метод продолжений.
11. Свободные колебания струны, закреплённой на концах. Метод разделения переменных.
12. Интерпретация решения для свободных колебаний струны, закреплённой на концах.
13. Неоднородные уравнения. (Вынужденные колебания струны под действием внешней силы.)
14. Общая первая краевая задача ( для неоднородного уравнения колебаний).
15. Краевые задачи со стационарными неоднородностями.
16. Общая схема метода разделения переменных.
17. Задача без начальных условий (Колебания струны в среде с сопротивлением.)
18. Колебания струны под действием сосредоточенной силы.
19. Уравнение теплопроводности.
20. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.
21. Решение однородной краевой задачи методом разделения переменных для уравнения
теплопроводности.
22. Функция источника для уравнения теплопроводности.
23. Неоднородное уравнение теплопроводности.
24. Общая 1-я краевая задача для уравнения теплопроводности.
25. Уравнение Лапласа.
26. Общие свойства гармонических функций.
27. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных (для
эллиптических уравнений).
28. Функция источника для уравнения Лапласа и её основные свойства.
29. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы.
15
Часть 2. Специальные функции.
Уравнение Бесселя.
Функции Бесселя первого рода.
Рекуррентные формулы для функций Бесселя 1-го рода.
Функции Бесселя 1-го рода полуцелого порядка.
Асимптотическое поведение цилиндрических функций.
Ортогональность функций Бесселя 1-го рода. Теорема разложимости.
Функции Бесселя 2-го рода или функции Неймана и другие цилиндрические функции.
Задача о стационарном распределении температуры ( решение задачи Дирихле для
цилиндра).
9. Обобщение условий ортогональности функций Бесселя и теоремы разложимости ( 2-я
и 3-я краевые задачи для уравнения Бесселя).
10. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра.
11. Решение уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра.
12. Свойства полиномов Лежандра.
13. Присоединенные полиномы Лежандра.
14. Норма присоединенных полиномов Лежандра.
15. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
16. Проводящая сфера в поле точечного заряда.
17. Диэлектрический шар во внешнем электростатическом поле. Поляризация шара в однородном поле.
18. Производящая функция полиномов Чебышева-Эрмита. Рекуррентные формулы.
19. Уравнение Чебышева-Эрмита.
20. Норма полиномов Чебышева-Эрмита.
21. Функции Чебышева-Эрмита. Гармонический осциллятор.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Экзаменационные билеты прилагаются.
9 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ
Список литературы
Основная литература
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд. - М.:
Наука, 1977. – 736 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.: ВШ, 1970. – 712 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, 1981.
4. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова.
– 2-е изд. - М.: Наука, 1982. – 256 с.
5. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
Дополнительная литература
1. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.
2. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970.
– 2-е изд. – 504 с.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 1978. – 832 с.
16
II МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении темы 1. “Классификация диф. уравнений в частных производных”
необходимо усвоить порядок действий, необходимых для классификации и приведения
уравнения к каноническому виду. Формулы для новых коэффициентов уравнения после замены переменных не требуют запоминания. Они громоздкие и практически не используются.
Достаточно проследить один раз вывод, чтобы усвоить порядок действий. Конкретный вид
коэффициентов в каждом случае вычисляется непосредственно, после того как определены
новые переменные с помощью характеристического уравнения.
Тема 2. “Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа” является
основополагающей для всего курса. При выводе уравнения колебаний преследуется цель не
просто получить само уравнение, а раскрыть физический смысл каждого члена уравнения.
При формулировании граничных условий излагается постановка краевых задач, как довольно большое разнообразие явлений описывается сравнительно небольшим числом граничных
или краевых условий.
Тема 3. “Метод распространяющихся волн” сравнительно простая и показывает разнообразие методов, применяемых при решении задач математической физики.
Тема 4. “Метод разделения переменных”, как показывает название, посвящена основному
методу решения задач математической физики, методу разделения переменных или методу
Фурье. Поэтому параграфы 4.1 и 4.6 являются, можно сказать, программными для всего курса.
Тема 5.”Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа.” аналогична
теме 2 и посвящена постановке краевых задач для уравнений параболического типа, т.е. для
тепловых явлений.
Тема 6. “Метод разделения переменных для уравнений параболического типа.” представляет собой продолжение применения метода Фурье для уравнений параболического типа и
ничего принципиально нового не содержит.
Тема 7. “Уравнения эллиптического типа” завершает первую часть курса и посвящена
свойствам гармонических функций и методам решения уравнения Лапласа. Заканчивается
тема изложением метода электростатических изображений, который для физиков представляет особый интерес.
Учебник Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики выбран в качестве основного. Он охватывает весь курс, обе части. Но при пользовании им надо иметь, что
там изложение ведется только на примере 1-ой краевой задачи. Поэтому с вопросами по поводу 2-ой и 3-ей краевых задач надо обращаться к другим источникам, например, учебникам
под номерами 2 и 3 в списке литературы.
III УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Основная литература
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд. - М.:
Наука, 1977. – 736 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.: ВШ, 1970. – 712 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, 1981.
4. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова.
– 2-е изд. - М.: Наука, 1982. – 256 с.
5. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
Дополнительная литература
1. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.
17
2. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970.
– 2-е изд. – 504 с.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 1978. – 832 с.
IV МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Задачи для зачета и вопросы для экзамена приводятся выше в п. 8.
V СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ И ПЕРСОНАЛИЙ
Гармонические функции
Граничные условия для дифференциальных уравнений в частных производных
Дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных
ДУ в частных производных, линейные относительно старших производных
Канонический вид ДУ в частных производных
Классификация ДУ в частных производных
ДУ в частных производных гиперболического типа
ДУ в частных производных параболического типа
ДУ в частных производных эллиптического типа
Задача Дирихле
Задача Коши
Задача Неймана
Задача Штурма – Лиувилля
Краевая задача
Метод разделения переменных или метод Фурье
Метод электростатических изображений
Начальные условия для дифференциальных уравнений в частных производных
Норма функции
Ортогональность функций
Собственные значения и собственные функции
Уравнение Бесселя
Уравнение Лапласа
Уравнение Лежандра
Уравнение Чебышева-Эрмита
Формулы Грина
Функция источника для уравнения Лапласа
Функции Бесселя 1-го и 2-го рода
Функции (полиномы) Лежандра
Функции (полиномы) Лежандра присоединенные
Функции сферические
Функции цилиндрические
Функции Чебышева-Эрмита
Характеристическое уравнение
См. на CD: Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров, ред. кол. Д.М.
Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. –
944 с.
VI ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА, ИТОГОВОГО
МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА
Не предусмотрено.
VII ПРОГРАММНОЕ И МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИКИ
Не предусмотрено.
18