Тема: «Методы решения иррациональных

.
Мусина Рита Маликовна
Ақтөбе қаласы,
Ақтөбе Мұнай және Газ колледжінің
математика пәнінің мұғалімі
Тема: «Методы решения иррациональных уравнений»
Цель:
1. 1.Обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные
методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся
подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.
2. Формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при
выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать,
делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.
3. Воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения
общаться в группах, повышения интереса к предмету.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, кодоскоп, кодопозитивы, диск
CD.
Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакат «Математику уже
затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
Ход урока
1.Сообщение темы и цели урока.
2.Презентация исследовательской работы, проведенной ученицей, на тему «Анализ
методов решения иррациональных уравнений».
3.Анализ методов решения творческого задания.
(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные ими
способы решения, учащиеся группы №3 записали на кодопозитиве.)
а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и
недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это
необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и
полным.
Способ I
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей
проверкой
2x  3  4x  1  4 ,
возведем обе части уравнения в квадрат
2 x  3  2 2 x  3 4 x  1  4 x  1  42 ,
2 2 x  34 x  1  16  6 x  2,
2 8 x 2  2 x  12 x  3  18  6 x,
8 x 2  10 x  3  9  3x,
возведем обе части уравнения в квадрат.
2
8 x 2  10 x  3  9  3 x  ,
8x 2  10 x  3  81  54 x  9 x 2 ,
x 2  44 x  84  0,
По теореме Виета:
x1  x2  44,
x1  x2  84,
x1  42, x2  2.
Проверка:
1). Если х=42, то
2  42  3  4  42  1  4,
81  169  4,
9  13  4,
22  4, неверно
Значит, число 42 не является корнем уравнения.
2). Если х=2, то
4  3  8  1  4,
1  3  4,
4  4, верно
Значит, число 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в
одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и
доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много
времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений,
содержащих 1-2 радикала.
Способ II
Метод равносильных преобразований
2x  3  4x 1  4 

2 x  3  2 2 x  3 4 x  1  4 x  1  4 2 ,
2 2 x  34 x  1  16  6 x  2,


 2 x  3  0,
  x  1,5,

4 x  1  0

1

x  
4

2 8 x 2  2 x  12 x  3  18  6 x,
 8 x 2  10 x  3  9  3 x,



 x  1,5
 x  1,5
8 x 2  10 x  3  9  3 x 2 ,
8 x 2  10 x  3  81  54 x  9 x 2 ,
 x 2  44 x  84  0,


  x  1,5,
  x  1,5,


1,5  x  3
9  3x  0
x  3


 x  42,

  x  2,
 x  2.
1,5  x  3

x 2  44 x  84  0
По теореме Виета:
x1  x2  44,
x1  x2  84,
x1  42, x2  2.
Ответ: 2.
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко
знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные
комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако,
последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного
описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
Способ III
Функционально графический метод
2 x  3 + 4 x  1 =4,
2x  3  4  4x  1 .
Рассмотрим функции y  2 x  3 и y  4  4 x  1 .
1). у = 2 x  3 - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
2 x  3  0  2 x  3  x  1,5.
D(x)  1,5;  .
Составим таблицу значений х и у:
х
1,5
2
6
у
0
1
3
2). у =4 - 4 x  1 - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
1
4 x  1  0  4 x  1  x   .
4
 1 
D(x)   ;   .
 4 
Составим таблицу значений х и у:
х
-0,25
0
2
6
у
4
3
1
-1
Построим данные графики функции в одной системе координат.
Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.
Ответ: 2
Вывод:
Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше
тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить
точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.
Способ IV
Метод введения новых переменных
2 x  3 + 4 x  1 =4.
Введем новые переменные, обозначив
2x  3  a ,
4 x 1  b
Получим первое уравнение системы: a+b=4.
Составим второе уравнение системы:
a 2  2 x  3,
2a 2  4 x  6,
2 x  3  a,
4 x  1  b,
b 2  4 x  1,
b2  4 x  1,
a  0,
b  0.
2a 2  b 2  7
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:
b  4  a,
a  b  4,
b  4  a,
b  4  a,
 2
 2
 2
 2
2
2
2
2a  b  7,  2a  4  a   7,  2a  16  8a  a  7  0,  a  8a  9  0, 
a  0, b  0
a  0, b  0
a  0, b  0
a  0, b  0




b  4  a,

b  4  a,
b  3,
a  1,
 


a  1
a  1.
a  9,
a  0, b  0

a 2  8a  9  0,
по теореме Виета:
a1  a2  8,
a1  a2  9,
a1  9, a2  1.
Вернемся к переменной х: 2 x  3  1  2 x  3  1  2 x  4  x  2.
Ответ: 2.
Вывод:
Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для
данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных
уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под
знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.
Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать
наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно
оформленный.
Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:
а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень с проверкой;
б) методу равносильных переходов;
в) функционально графическому методу;
г) методу введения новых переменных?
1. Практическая часть
Задание№1.
Рассмотрим и решим иррациональные уравнения, для которых метод введения новой
переменной наиболее рационален:
Группа 1. 3√2 − 𝑦 - √𝑦 + 7=3
Группа 2. 2𝑥2 +3x-5√2𝑥2 + 3𝑥 + 9 = -3
𝟑−𝒙
𝟐+𝒙
Группа 3. √𝟐+𝒙 +√𝟑−𝒙 = 4
Задание №2.
Рассмотрим и решим иррациональные уравнения, содержащие модуль:
Группа 1. √𝟏𝟔 − 𝟒𝒙|𝒙 + 𝟓| = x+4
Группа 2. √𝟑𝟔 + 𝟓𝒙|𝒙 + 𝟑| = x+6
Группа 3. √𝟐𝟓 + 𝟗𝒙|𝒙 + 𝟒| -5 = 2x
Задание №3.
Решить уравнения, содержащие несколько радикалов:
Группа 1. √𝒚 + 𝟐𝟎 - √𝒚 − 𝟏 =3
Группа 2. √𝟐𝒙 + 𝟑 - √𝒙 + 𝟏 =1
Группа 3. √𝒙 + 𝟑 - √𝟕 − 𝒙 =√𝟐𝒙 − 𝟖
Задание №4.
Решить уравнения методом расщепления:
Группа 1. (𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 )√𝟓 − 𝒙 =0
Группа 2. √6 − 𝑥 (16 − 𝑥2 ) =0
Группа 3. √2𝑥 − 1 (𝑥2 − 1) =0
5. Самостоятельная работа
Решить уравнение, содержащее 3 радикала третьей степени, используя тождество
a 3  b3  c3  3abc .
В каждой группе один учащийся решает на кодопленке, чтобы затем проверить решение.
В группах сначала идет обсуждение хода решения, а затем приступают к решению.
Кто решит раньше, тот назначается консультантом и помогает тем, кто затрудняется
решить.
3

3
2х  3 
3
2х  1  3 1  2х  3 2х  3 
 
3
2x  3 
3
 
3
2x  1 
3

3
3
2х  1  3 1  2х  0 
2 x  1  3 3 2х  3 
3
2 х  1  3 2 x  1  2x+3+2x+1+2x-1=3
2x  32x  12x  1  6x+3=3 3 2x  32x  12x  1 
3
2x+1= 3 2 x  32 x  12 x  1  2 x  1  (2 x  3)( 2 x  1)( 2 x  1) 
2
2
2
 (2x+1)( 2 x  1  2 x  3(2 x  1)) =0  2 x  1 4 x  4 x  1  4 x  2 x  6 x  3  0 
3
 (2x+1)4=0  2x=-1  x  -
1
2
1
Ответ:- .
2
6. Итог урока
Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических
знаний,
умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.